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Colloque organisé par Ilya Prigogine du 29 juin au 3 juillet 1994ParticipantsYoji Aizawa (Waseda University, Tokyo, Japon), Jean-Pierre Antoine (Université catholique de Louvain, Belgique), loannis Antoniou (Vrije Universiteit, Bruxelles, Belgique), Vassilios Basios (Instituts Solvay, Bruxelles et Université Libre de Bruxelles (ULB), Belgique), Arno Bohm (University of Texas, Austin, USA), Francisco Bosco (ULB, Belgique), Erkki Brändas (University of Uppsala, Suède), Maurice Courbage (Université de Paris VII et Laboratoire de probabilités, France), C. Aris Dreismann (Technical University, Berlin, Allemagne), Dean Driebe (University of Texas, Austin, USA), Pavel Exner (Nuclear Physics Institute CAS, Prague, République Tchèque), Manuel Gadella (Fac. Sc. Prado Magdalena, Valladolid, Espagne), Pierre Gaspard (ULB, Belgique), Israël Gelfand (Rutgers University, New Brunswick, USA), Claude George (ULB, Belgique), Karl Gustafson (University of Colorado, Boulder, USA), Hiroshi Hasegawa (University of Texas, Austin, USA), Pavel Kurasov (Université de Saint-Pétersbourg, Russie), Anoucha Latifi (Instituts Solvay, Bruxelles, Belgique), Roberto Laura (Universidad de Rosario, Argentine), Jacob Levitan (Bar-Ilan University, Israël), Tom Petrosky (University of Texas, Austin, USA), Yves Pomeau (Ecole normale supérieure (ENS), Paris, France), Ilya Prigogine (ULB, Belgique), Linda Reichl (University of Texas, Austin, USA), George Sudarshan (University of Texas, Austin, USA), Bhamathi G. Sudarshan (University of Texas, Austin, USA), Shuichi Tasaki (Institute for Fundamental Chemistry, Kyoto, Japon), Ralph Willox (Vrije Universiteit, Bruxelles, Belgique)…je m’interroge et l’interrogation est moinsque l’étonnement.Je m’étonne d’être arrivé icià ce moment où je vois vivre ces branchesprodigues et minutieuses dans leur renouveau.Comment sommes-nous parvenus, le temps et moi,jusqu’à ce lieu étrange… ?Thomas Segovia&#160;Compte-renduPendant cinq jours, vingt-neuf scientifiques des quatre coins du globe se sont réunis pour débattre du problème du “temps, chaos et résonances”. Ilya Prigogine (Université Libre de Bruxelles, ULB) faisait remarquer dans son exposé que, lorsque la science se pose les questions fondamentales, elle rencontre nécessairement la philosophie et la poésie, qui ont toujours exprimé les préoccupations les plus profondes de l’humanité.Et l’un des points centraux de ces questions fondamentales est la nature du temps, car, avant même que la philosophie ne s’éveille dans la conscience de l’homme, le temps était toujours là pour être vécu…Ilya Prigogine expliquait ensuite que la formulation des lois de la nature a été le but principal de la physique théorique. Les lois de Newton, qui constituent les bases de la physique classique, ont donné au temps un caractère absolu, quasi divin.La conséquence directe de ce caractère absolu est la nature réversible du temps où le futur et le passé ne peuvent pas être différenciés. Les lois de la nature ont alors une description déterministe, c’est-à-dire qu’une fois les conditions initiales données, nous pouvons prédire le futur comme “rétrodire” le passé. Bien que ce siècle ait été le témoin de deux révolutions scientifiques majeures, la relativité et la mécanique quantique, les concepts du déterminisme et de la réversibilité du temps y ont survécu. En effet, en mécanique quantique, le concept de trajectoire est remplacé par le concept de fonction d’onde qui, quant à elle, obéit à l’équation de Schrödinger et reste réversible et déterministe. Or, nous savons qu’à toute échelle de la nature la réalité est autre. Le futur et le passé jouent différents rôles. En chimie, en biologie ou en cosmologie, la distinction entre le futur et le passé est une évidence. Nous vivons dans un univers en évolution où la flèche du temps a une direction privilégiée. Comment alors cette flèche du temps émerge-t-elle des lois fondamentales de la physique ? Est-ce une “illusion”, comme disait souvent Einstein, ou est-ce nos concepts de base qui sont incomplets ? La réponse à ces questions se trouve dans la physique, loin de l’état d’équilibre où l’objet conceptuel central est la distribution irréductible de probabilité. Nous devons donc reformuler aussi bien la mécanique classique que la mécanique quantique dans l’espace de Liouville, au niveau de la distribution des probabilités. Cette reformulation permet un élargissement de la dynamique, qui devient alors irréversible et probabiliste. Dans ce sens, Ilya Prigogine et Tom Petrosky (University of Texas-Austin) ont fait le lien avec les systèmes de Poincaré non intégrables et les spectres continus où apparaissent les termes de diffusion qui brisent la symétrie du temps. Les termes de diffusion sont prépondérants dans le cas des interactions persistantes, c’est-à-dire les interactions où, contrairement à la théorie de la diffusion conventionnelle, le temps n’est plus considéré à une échelle beaucoup plus grande que n’importe quel événement, mais l’échelle du temps est de l’ordre de la durée du phénomène étudié. Ces interactions apparaissent typiquement en mécanique statistique.Mais une nouvelle physique a besoin d’une structure mathématique rigoureuse. Ilya Prigogine et Ioannis Antoniou (ULB) ont présenté dans ce cadre les mathématiques des extended forms exprimées en termes de paires duales des espaces topologiques qui généralisent les triplets de Israël Gelfand ou le Riggead Hilbert Space. Cela peut être étendu à la dualité entre les états et les observables où l’état des densités correspond à des fonctionnelles linéaires dans une algèbre correctement choisie des opérateurs représentant les observables du système dynamique. Dans le sens de la généralisation des mécaniques classique et quantique, Arno Bohm (University of Texas Austin) a présenté la formulation de la mécanique quantique dans le Rigged Hilbert Space en opposition à sa formulation dans l’espace de Hilbert Von Neumann. Cette nouvelle formulation s’applique non seulement à la physique de “l’être”, mais aussi à la physique du “devenir”, en ce sens qu’elle couvre une large classe de processus liés à l’évolution irréversible du temps dans les systèmes microphysiques. George Sudarshan (University of Texas-Austin) a exposé sa méthode de dilatation analytique du dual de l’espace des vecteurs. Cette formulation permet l’étude des états métastables et leurs diffusions après collision avec d’autres particules. Certaines fonctions, telles que l’énergie libre de la thermodynamique, peuvent être trouvées par le spectre complexe, avec une contribution finie de l’état de l’énergie complexe et le continuum. De son côté, Shuichi Tasaki (Institute for fondamental Chemistry-Kyoto) a démontré que l’approche de Arno Bohm et George Sudarshan de la dilatation analytique et celle de l’École de Bruxelles donnent les mêmes résultats pour le modèle de Friedrichs.Israël Gelfand (Rutgers University) a souligné l’importance des idées nouvelles introduites par Ilya Prigogine et a insisté en tant que mathématicien sur le fait que “ce qui n’est pas encore mathématique doit le devenir…” Il fait également remarquer que les mathématiques ont vingt ans de retard et que nous avons besoin d’un nouveau langage mathématique. Toujours dans le sens de construire les outils mathématiques appropriés, Karl Gustafson (University of Colorado at Boulder) a présenté la méthode des Operator State Diagram et son utilité dans la compréhension des structures de Rigged Hilbert Space, les états propres “gauches” et résonances. Il a également présenté sa récente théorie des “anti-états” propres en tant qu’une nouvelle théorie spectrale. Jean-Pierre Antoine (Université catholique de Louvain) a présenté son travail concernant les résonances, dilatation analytique et les espaces avec les produits intérieurs partiels motivés par le besoin de définir de façon précise la notion de résonances. Yoji Aizawa (Waseda University) a présenté une approche géométrique où, à l’aide du principe des moindres actions, il relie les caractéristiques fondamentales d’un système dynamique hamiltonien au signe de sa courbure riemannienne. Manuel Gadella (Fac. Sc. Prado Magdalena-Valladolid) a défini les propriétés les plus intéressantes des fonctions appartenant au Hardy Class. Les Rigged Hilbert Spaces de ces fonctions sont nécessaires pour la description des résonances.Ces nouvelles méthodes et approches ont bien entendu leurs applications dans différents domaines de la physique théorique. Dans ce sens, Dean Driebe (University of Texas-Austin) a montré l’importance de la différentiabilité pour les résonances des maps chaotiques, alors que Hiroshi Hasegawa (University of Texas-Austin) discutait le spectre des maps intermittents. Anoucha Latifi (ULB) a donné la preuve analytique de la non intégrabilité du modèle de l’Univers, dit the Mixmaster Univers. Cela constitue la première preuve du comportement chaotique de notre Univers, interdisant ainsi une reconstitution déterministe des premiers instants de celui-ci. Pierre Gaspard (ULB) a discuté la transformation de Boulanger multiple et la diffusion utilisant le langage de la décomposition spectrale. Roberto Laura (Universidad de Rosario) a calculé l’évolution des densités pour le modèle de Friedrichs. Francisco Bosco (ULB) a calculé l’exposant de Lyapounov et les corrélations pour le gaz de Lorentz, et Ralph Willox (Vrije Universiteit Bruxelles) a démontré l’existence d’une décroissance initiale non exponentielle dans les billards chaotiques classiques. Linda Reichl (University of Texas-Austin) a montré que le mécanisme sous-jacent de la transition vers le chaos, en relation avec la mécanique classique et quantique conventionnelle, joue également un rôle au niveau des systèmes dynamiques stochastiques.Titles of talksSession 1 Ilya Prigogine – Introductory remarks &#38; Chaos, time and resonances Arno Bohm – Irreversible quantum mechanics and rigged Hilbert space Erkki Brändas – Resonances and dilation analyticity in Liouville space Linda Reichl – The stochastic manifestations of chaosSession 2 Aris Dreismann – Quantum correlations between protons in condensed matter – experimental results Pierre Gaspard – Chaos, fractals and transport properties: a new insight into non-equilibrium statistical mechanics and irreversibility Yves Pomeau – Irreversibility in quantum flows Yoji Aisawa – Chaos and relaxation in nearly integrable Hamiltonian SystemsSession 3 George Sudarshan – Unstable Systems in generalized quantum theory Bhamathi G. Sudarshan – Cascade model: a solvable field theory Ioannis Antoniou – Generalized spectral decompositions and intrinsic irreversibilitySession 4 Dean Driebe – Generalized spectral determination in chaotic maps Francisco Bosco – The Poincaré map for the Lorentz gas Ralph Willox – Non exponential decay of correlations in chaotic billiardsSession 5 Tomio Petrosky – Poincaré resonances and extension of classical and quantum mechanics Anoucha Latifi – The mixmaster universe is non-integrable Roberto Laura – Decay in quantum Systems Claude George – Dynamics as subdynamicsSession 6 Karl Gustafson – Operator spectral states Israël Gelfand – Generalized functions and rigged Hilbert spaces Jean-Pierre Antoine – Resonances dilation analyticity and partial inner product spacesSession 7 Pavel Exner – Irregular spectra of point interaction Systems Pavel Kurasov – Lax-Phillips scattering theory for operators with band spectrum Manuel Gadella – Rigged Hilbert spaces of Hardy functions Maurice Courbage – Exponential decay of correlations in Systems with zero KS entropy