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PREAMBULE : Ce billet est un rappel en version courte d'une approche classique de cartographie thématique sous la forme de flux origine-destination, que j'ai déjà pu présenter à plusieurs reprises dans différents contextes (voir réf. en fin de billet). Que les initi.é.e.s m'en excusent. Si je propose cette version - billet, c'est pour rappeler ces bases (histoire que l'on sache bien de quoi on parle, parce que cela va nous servir pour la suite) sur lesquelles Nicolas lambert et moi-même nous penchons en particulier dans le cadre du programme Tribute to Tobler TTT pour ré-examiner la partie des travaux de Tobler qui porte sur une approche discrète de la cartographie des interactions spatiales - à noter que l'approche continue étant notamment examinée en parallèle par Étienne Côme - voir notamment ses Winds.Les matrices de flux correspondent à « […] ces tables [qui] peuvent être décomposées en deux parties, une partie symétrique et une partie antisymétrique. Pour les statisticiens de l'auditoire la variance totale peut également être divisée en ces deux parties ».Waldo Rudolf Tobler (1979).La matrice de flux étant un objet complexe à manipuler, le choix du flux à représenter est un paramètre fondamental. Du point du vue de la matrice origine-destination (tableau croisé lignes*colonnes) et dans une perspective d'analyse géographique, faut-il s'intéresser :- aux interrelations entre les lieux (le cœur de la matrice) ?- aux interactions entre les lieux (le cœur pondéré de la matrice) ?- aux lieux de destination (les colonnes) ?- aux lieux d'origine (les lignes) ?-&#160; à un seul lieu, d'origine et/ou de destination (une seule ligne et/ou colonne) ?- ou encore aux effets de ces interactions sur la distribution des lieux d'origine et/ou de destination (les marges du tableau) ? ; - à tout ce qui précède ?- etc.Pour tenter d'y voir clair, Tobler (1979, 1982) a proposé de décomposer l'information du coeur de la matrice de flux en deux sous-parties complémentaires.Rappelons au passage - car il faut toujours rendre à César ce qui lui appartient - que cette idée de « décomposition » s'inscrit dans la suite logique de celle de « simplification » proposée par Jacques Bertin (1973).« Lorsque l’on veut tout représenter sur une même carte [de flux], des simplifications s’imposent. Elles peuvent être de diverses natures : 1°) Représentation de la balance entre les deux sens, ce qui divise le réseau par deux et évite les allers et retours. Mais la vision de la masse migrante disparaît […] ». Jacques Bertin (1973).Bertin propose de représenter soit l'existence d'une liaison (Lij), soit la balance migratoire, ce que propose également Tobler et d'autres auteurs, mais en allant plus loin, en proposant de décomposer une matrice de flux quelconque en deux composantes complémentaires.Principe de la décomposition des flux selon ToblerL'objectif d'enrichir la cartographie discrète de la valeur de flux (Fij) à représenter, que celle-ci ait fait l'objet d'une modélisation en amont ou non - c'est très important -, en la décomposant en deux sous-parties complémentaires :- l'une décrivant le fond vital du système d'échanges (Fij+), sous la forme d'un volume bilatéral total ;- l'autre décrivant la dynamique du système d'échanges (Fij-), via le bilan, balance ou solde bilatéral net ;sachant qu'il est toujours possible de représenter - l'ensemble des flux bilatéraux (Fij) = (Fij-) + (Fij+)Cette proposition théorique présente plusieurs avantages méthodologiques qui sont liés à la conception de la carte en lien avec les données dont on dispose. En utilisant la propriété générale de symétrie des matrices OD par rapport à la diagonale principale, la décomposition entraîne une division par deux du nombre de figurés linéaires à représenter, allégeant ainsi considérablement l'image. Cette forme de « symétrisation », en modifiant les valeurs de flux, introduit également des variations de forme des figurés associés à chacune des sous-parties - elle a donc des conséquences graphiques directes. Si un&#160; système de double flèches convient pour le (Fij), une seule flèche est requise pour le (Fij-) et une bande pour le (Fij+), comme illustré par ce tableau récapitulatif.&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;Les OD symétriques symbolisées par une bande suppriment par ailleurs l’orientation des figurés, ce qui n'est pas peu, vus mes / nos problèmes (dans R spécialement) liés à la gestion des dispositions des têtes et des queues de flèches visant à montrer un effet de convergence (ou de divergence) des flux vers (ou depuis) des lieux de destination (ou d'origine) mais ... heureusement que Nicolas Lambert a très rapidement pu régler ce problème spécifique en deux minutes trente chrono et en plein confinement. Merci à lui.De la même façon, la représentation des OD non symétriques induit une difficulté supplémentaire liée à la gestion des dispositions des figurés d'orientations opposées entre les mêmes OD, leurs dessins respectifs obligeant au respect d'un parallélisme parfait, pour évoquer l'éventuelle bilatéralité des interactions représentées ... mais heureusement que le confinement a un peu duré, car du coup, Nicolas Lambert a aussi pu régler cet autre problème dans R, quoique plus compliqué que le précédent. "- Je t'assure que là, elles sont bien parallèles les flèches ".Application cartographiqueLa proposition initiale de Tobler conduit finalement à trois principaux types de cartes de flux fondamentalement différentes, alors qu'elles portent sur les mêmes données. Ces trois cartes correspondent en réalité à trois types de matrices différentes, que j'avais déjà présenté, en version longue ici (pp. 109-140) et en version courte ici. Aussi ici en version atelier pour les géomaticiens sous QGIS.Pour illustrer brièvement le résultat cartographique, considérons trois cartes réalisées par Tobler lui-même, à partir d'une matrice de migrations intra-européennes de 1990.Carte 1. Flux observésLes flux observés (Fij) sont généralement asymétriques : le flux de i vers j est (généralement) différent du flux de j vers i : (Fij) &#60;&#62; (Fji) . C'est pourquoi ces flux sont symbolisés par deux flèches , d'épaisseurs différentes et d'orientations opposées.- On ne fait pas un rectangle ou une seule flèche pour représenter ces matrices asymétriques, juste parce que l'on trouve que c'est joli. Faire cela, c'est supprimer arbitrairement des inter relations ou interactions entre des lieux.- Le seul cas pour lequel on pourrait substituer une flèche par une bande, est dans la représentation des flux dirigés vers / depuis un seul lieu, aussi dans celle des accessibilités - c'est la méthode dite des oursins.Sur le plan (carto)graphique : les tracés sont droits et strictement parallèles, leur dessin évoque la métrique euclidienne (le vol d'oiseau) puisque le mode de transport n'est pas considéré dans les données, ni dans leur cartographie. Dit autrement, les contraintes (notamment) géographiques liées au déplacement ne sont pas prises en compte dans cette cartographie.Carte 2. Volume bilatéral de fluxLa composante symétrique (Fij+) de cette même matrice se symbolise par une bande, typiquement par un rectangle unique (en raison de la symétrie des valeurs). La carte illustrer un volume bilatéral des échanges.Sur le plan (carto)graphique : les tracés sont également droits et leur dessin évoque aussi la métrique euclidienne, pour les mêmes raisons que précédemment.Carte 3. Solde (ou bilan net)La composante antisymétrique (Fij-) de cette même matrice se symbolise par une seule flèche, car les valeurs situées de part et d’autres de la diagonale principale sont similaires, mais de signes opposés. La représentation de la moitié (des figurés) de la matrice suffit donc pour symboliser le flux, sous réserve que cela soit précisé en légende - à noter que les images d'origine présentées ici ne sont pas dotées de légendes. Trois possibilités sont en effet envisageables selon qu'on appréhende le (Fij-) :a) en valeur absolue |(Fij-)| en combinant avec des éléments supplémentaire de sémiologieb) par ses valeurs positives : (Fij-) &#62; 0 c) par ses valeurs négatives : (Fij-) &#60; 0.Le choix de l'une de ces possibilités dépend de la thématique de la matrice sous-jacente (flux migratoires, commerciaux, financiers ...) et de l'interprétation de la carte, en particulier lorsqu'elle est bipartite - que les lieux d'origine diffèrent de ceux de destination. Dans le cas des flux commerciaux par exemple, il sera dès lors possible de représenter la dynamique des flux d'exportations ou celle des flux d'importation, ce qui n'est pas tout à fait la même chose. De même que pour les mobilités professionnelles qui s'expriment entre des lieux de résidence et des lieux de travail, la représentation de cette dynamique n'aura pas la même signification. La carte suivante décrit des migrations entre des lieux similaires (des lieux de résidence).PerspectivesAu-delà de ces trois cas, il est possible d'enrichir la carte en combinant la représentation de ces différents types de flux par un indicateur similaire du point de vue des lieux (par exemple, le volume des flux reçus par chacun des lieux). C'est d'ailleurs ce qui est généralement fait - en géographie du moins.En suivant ce raisonnement général de Tobler, il est également possible d'aller plus loin en manipulant la matrice pour aboutir soit à d'autres types de flux ; soit à d'autres représentations cartographiques de ces principaux types de flux ; soit à d'autres symbolisation de ces mêmes flux ; enfin, soit à d'autres interprétations qualitatives de ces mêmes flux.Si l'on s'en tient aux perspectives d'ordre cartographique, il est possible de pousser le raisonnement en entrant par la manière dont ces différents types de flux sont symbolisés. De ce point de vue, l'une des particularités de ces cartes de flux est qu'elles sont réalisées à l'aide de polygones et non seulement de lignes tracées entre les OD. Ce changement de forme n'est pas si anodin, il correspond d'abord à un changement d'implantation spatiale. S'il ouvre évidemment d'autres perspectives graphiques, il conduit avant tout à ré-examiner la signification des différents types de cartes de flux envisageables et plus loin, à enrichir le raisonnement conduisant à la représentation de mouvements géographiques ... pour avoir le mouv' [Billet à venir] à défaut d'avoir le bon flow !Mais pour cela, il faut d'abord pouvoir réaliser de telles cartes. C'est pourquoi l'un des packages R du programme Tribute to Tobler (TTT) sera finalement dédié aux fonctionnalités du Flowmapper, le programme historique de Tobler qui a permis de représenter les cartes présentées ci-dessus ... aussi celle-ci présentée ici en version béta.Vers une version 2 du FlowmappeR de Tobler, Tribute To Tobler, 2020.L'enjeu ici est de rendre cette proposition cartographique réalisable aujourd'hui et aisément  reproductible pour pouvoir proposer ce type de cartes sur des jeux de données contemporains, y ajouter d'autres types en étendant les fonctionnalités de cet outil, voire même, pourquoi pas, en proposer d'autres outils tel celui-ci..Références de Tobler mentionnées- Tobler, W. R. (1979), A geographical flow mapping program, Geographical Analysis, n°13, Vol. 1, pp. 1-20.- Tobler W. R. (1982), Cartographic study of movement tables, Presentation in the National Computer, Graphic Assembly - session on Statistical Graphics - Mapping, Anaheim, 17-06-1982.Billets liés à TTTFrançoise Bahoken et Nicolas Lambert (2020), Le Flowmapper de Tobler (1979)Laurent Jégou (2020), TTT: Continuous choropleth, sur ObservableFrançoise Bahoken (2020) Quels flux représenter comment ?Nicolas Lambert (2020) Avoir le bon flowÉtienne Côme (2020) Migrations, cartes de vents et calligramme cartographiqueNicolas Lambert (2020) Cartographie(s) “extrudée(s)”Étienne Côme (2020) Wind, a Tribute to Tobler, sur le blog @comeetie Collectif TTT : TTT dans NeocartoAutres références mentionnées- Jacques Bertin (1973), les diagrammes, les réseaux, les cartes, p. 344.- Bahoken, F. (2014), L’intérêt du raisonnement logique en cartographie de flux. L’exemple de migrations internes, European Journal of GIS and Spatial Analysis | Revue Internationale de Géomatique (RIG), Lavoisier, vol. 24, n°2, pp. 231-250 [Pdf sur demande].- Bahoken, F. (2015), L’approche cartographique de la décomposition des matrices de flux, Mappemonde, https://mappemonde-archive.mgm.fr/num44/articles/art14404.html- Bahoken, F. (2016), La décomposition des matrices de flux (Fij): le volume (Fij+) et le solde bilatéral (Fij-). Chapitre 3, « Contribution à la cartographie d’une matrice de flux». Thèse de doctorat en Géographie – Sciences des Territoires, Université Denis Diderot (Paris 7), p. 117-120. HAL Id: tel-01273776- Bahoken, F. (2017), Cartographie de flux avec QGIS. support de l'atelier « Analyse de réseaux spatiaux et SIG », session de la Conférence internationale de géomatique – SAGEO 2017. - Lhomme, S. (2017), Analyse de réseaux spatiaux et SIG, compte rendu de la session de la Conférence internationale de géomatique – SAGEO 2017, groupe fmr (flux, matrices, réseaux).