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Comment cartographier le mouvement, les déplacements, les migrations ? Cette question agite le cerveau des cartographes depuis longtemps, car aucune réponse simple ni de consensus n'a jamais été complètement trouvé. Le défi est en effet important. Pour s'en convaincre, il suffit de regarder comment les déplacements sont en général décrits. En effet, pour décrire un ensemble de déplacements, on utilise généralement une matrice M appelée matrice OD (pour matrice Origine-Destination) qui comptabilise simplement le nombre de déplacements observés entre chaque couple de zones OD. Même si cette matrice est généralement creuse (c'est-à-dire qu'elle contient beaucoup de zéros, un certain nombre de zones n'échangeant pas de déplacements entre elles), le nombre de données à représenter est de l'ordre du nombre de zones au carré ! Difficile dans ces conditions de mobiliser simplement une carte choroplèthe ou de simple symboles proportionnels positionnés au centre de chacune des zones de l'étude. Ces méthodes par nature ne permettent de représenter qu'une information par lieu et non une information impliquant des couples de lieux.Pour résoudre cette difficulté, les cartographes ont tout de même imaginé un grand nombre de solutions. Des cartes de flux utilisant des flèches, des cartes multiples, des représentations matricielle, des représentations circulaires …Mais ce ne sont pas celles-là qui nous amènent aujourd'hui. La solution dont nous allons discuter a été imaginée par le prolifique Waldo Tobler dans les années 70 / 80. Tobler a travaillé sur différentes méthodes de visualisation et a évoqué une approche particulière dans différents articles, permettant de reconstruire un champ vectoriel (tel que ceux rencontrés dans la description des vents, par exemple) pour décrire des migrations observées. L'article A Model of Geographic Movement publié en 1980 est une bonne présentation synthétique de ses recherches sur cette question. &#160;Pour les curieux, je vous recommande également ces 2 présentations :&#160;A Movement Talk et Asymmetry to Potentials dans lesquelles il évoque les données de migrations entre communes Françaises comme cas d'étude pour sa méthode. Dans le cadre du projet Tribute To Tobler (TTT), nous avons donc trouvé naturel de produire des cartes dynamiques sur les migrations résidentielles françaises telles que celle-ci pour remettre en avant cette méthode. Carte des vents des migrations résidentielles des retraités Français en 2016 [source recensement INSEE]Vous pouvez explorer les résultats obtenus pour d'autres catégories de la population française ici.Ces cartes s'appuient sur la méthodologie de Tobler pour reconstruire un champ vectoriel : à chaque point de l'espace est associé un vecteur donnant une direction et une amplitude résumant les migrations observées ; et sur une&#160; technique de visualisation, les streamlets. La visualisation des champs vectoriels sous la forme de streamlets est assez classique. Les streamlets sont simplement des particules dont on simule le comportement suivant le champ vectoriel que l'on veut visualiser, pendant une petite période de temps, avant de les faire disparaître et d'en simuler de nouvelles. Un effet de légère traînée - obtenu en conservant une version estompée de la simulation au pas de temps précédent - permet de mieux suivre les trajectoires des particules individuelles. Pour obtenir ce rendu, nous avons développé un petit script d3 qui s'inspire en partie du code de wind.js, un portage du projet earth-null-school développé pour visualiser les données de vents sur la surface du globe.Ces cartes possèdent donc un lien fort avec les cartes de phénomènes physiques de vents, telles que la magnifique carte du projet earth-null-school qui s'appuie également sur le système des streamlets pour représenter le champ vectoriel décrivant les vents. Cependant, elles ne sont pas tout à fait de même nature que celles qui portent sur des migrations. Les cartes physiques de vents peuvent s'appuyer sur des mesures directes du champ vectoriel associé au vent. En chaque point de l'espace, il est possible de mesurer la direction et la force du vent ; chaque point de l'espace est donc associé à un et un seul vecteur et la mesure obtenue correspond donc directement à un champ vectoriel. Carte des vents du projet earth-null-school.Dans le cas des migrations de personnes ou de biens, ce champs que nous représentons n'est pas observé directement et n'est en fait en partie qu'une (re)construction de l'esprit. En effet, seuls les lieux d'origine et de destination des déplacements sont observés, c'est pourquoi il est nécessaire de (re)construire un champ vectoriel permettant de résumer ces mouvements observés entre les couples de lieux. C'est justement ce que fait la méthodologie développée par Tobler. La carte suivante montre ainsi le champ reconstruit par Tobler à partir des données de migrations de billets de 1 dollar, en 1976, aux USA. La visualisation est statique, car les moyens informatiques de l'époque rendaient difficile la création de cartes animées telles que celle que nous proposons ; le champ vectoriel est visualisé à l'aide de flèches positionnées sur une grille dont la longueur et la direction varient.Champs vectoriel et potentiel associés aux mouvements des billets de 1 dollar aux USA, en 1976 (re)construits avec la méthode de Waldo Tobler. Tobler dans A geography of movements. La combinaison assez naturelle que nous proposons des champs vectoriels de Tobler associés au rendu en streamlets donne un résultat assez parlant.&#160;Ce qui, à mon sens, rend cette représentation particulièrement efficace c'est l'adéquation parfaite qu'elle offre entre le fond et la forme. La carte animée représente des mouvements au sens propre comme au sens figuré. Les dynamiques qui l'animent&#160;représentent bien des mouvements.&#160; J'ai cherché où trouver une bonne image pour évoquer ce lien fort et direct entre forme et fond et j'aime bien l'idée du calligramme cartographique, ce qui me permet de glisser dans ce post un calligramme de Guillaume Apollinaire.En tout cas, ce procédé rend cette représentation des mouvements particulièrement intelligible et efficace, cela au premier regard et même sans échelle, un crime !&#160;Calligramme de Guillaume Apollinaire  issu de Calligrammes, sous-titré&#160;Poèmes de la paix et de la guerre 1913-1916, publié le 15 avril 1918&#160;aux éditions Mercure de France.Comme nous l'avons déjà dit, cette représentation s'appuie sur la (re)construction d'un champ vectoriel pour résumer des migrations ; elle n'est donc in-fine pas une représentation parfaite de ces migrations. Nous reviendrons sur les inconvénients qui découlent de ce choix, mais pour l'heure intéressons-nous&#160;à la (re)construction de ce champs.Comment ça marche ? Pour reconstruire un champs de vecteurs résumant une matrice OD, la méthodologie s'appuie sur un nombre restreint d'hypothèses et sur 2 étapes. La première de ces étapes consiste à reconstruire un champ non pas vectoriel mais scalaire (associant à chaque nœud d'une grille un nombre) qui va décrire l'attractivité de chacun des nœuds de la grille. La seconde étape permet d'obtenir le champ vectoriel en calculant le gradient, c'est-à-dire la dérivée en x et y, par différence finie du champ précédent.&#160;Un nœud de la grille i et ses quatre voisins (N, E, S, O) et leurs échanges.Imaginons que l'espace est représenté par une grille régulière, chaque nœud étant placé tous les 2 km par exemple. Chaque nœud de cette grille communique et échange uniquement avec ses quatre voisins. C'est la première hypothèse forte qui est posée : les mouvements sont locaux, ils ne peuvent s'effectuer que de proche en proche. La figure précédente reprend cette hypothèse et décrit les différents flux entre un nœud i et ses quatre voisins. Enfin, le solde de i, Δi est calculé : il correspond simplement à la différence entre les flux entrants et les flux sortants de i.&#160;&#160;La seconde hypothèse forte du modèle de Tobler permet de relier les flux observés à l'attractivité des lieux. La différence entre les valeurs des flux observés est supposée proportionnelle à la différence d'attractivité des lieux (pondérée par l'inverse de la distance entre ceux-ci, certains retrouveront ici des liens avec le modèle gravitaire). Comme ici les nœuds sont placés sur une grille régulière, ceux-ci sont positionnés à équidistance les uns des autres et ce facteur de distance peut être supprimé. En utilisant cette hypothèse pour le nœud précédent, il est possible d'écrire 4 équations quasiment identiques : elles font intervenir l'attractivité du nœud i et de ses voisins, ainsi que l'ensemble des flux entre ceux-là.En additionnant simplement ces quatre équations, nous obtenons une nouvelle relation entre ces nœuds qui est au fondement de l'approche. Celle-ci fait en effet apparaître le solde en i et les attractivité des 5 nœuds concernés. Cette équation peut être dérivée de manière identique pour l'ensemble des nœuds de la grille, à l'exception des nœuds situés sur la frontière pour lesquels un traitement spécifique est nécessaire en raison d'un effet de bord, cela permet d'obtenir un système d'équations liant les attractivités aux soldes. Si les soldes sont observés (ou calculés a partir d'une matrice OD), il est possible de résoudre ce (très grand) système d'équations pour obtenir les attractivités de chacun des nœuds, à une constante additive près.L'idée de Tobler consiste à calculer les soldes en chaque nœud de la grille à l'aide d'une matrice OD et d'en déduire les attractivités et le champ vectoriel associés ; ce dernier étant donné par calcul de différences finies.Schéma de l'affectation des noeuds de la grille régulière aux zones.Pour calculer les soldes en chaque nœud d'une grille à partir d'une matrice OD entre zones définies par des polygones, Tobler propose simplement de calculer les soldes de chaque zone, puis de les répartir de manière uniforme sur l'ensemble des nœuds se situant à l'intérieur de la zone considérée (comme le montre le petit schéma précédent). Pour résumer, on calcule donc les soldes finaux de chaque nœud et l'on essaye de reconstruire le champ d'attractivité en contraignant les mouvements à être locaux qui sont compatibles avec ces soldes observés au niveau des zones de départ.Au final, ce n'est donc qu'un résumé de la matrice OD qui est pris en compte, les soldes ou balances entre entrants/sortants de chaque zone. Ces soldes permettent de décrire l’asymétrie de la matrice OD.&#160;&#160;Il ne reste plus qu'à rechercher le champ d'attractivité avec des déplacements locaux qui est compatible avec ces soldes.Il est intéressant de noter que ce système d'équations correspond à la discrétisation d'une équation physique bien connue, l'équation de Poisson, même si elle n'a pas été dérivée en utilisant une analogie physique, mais un modèle sur les déplacements (le déplacement est contraint au voisinage et la différence des flux est proportionnelle à la différence d'attractivité).Limites Comme nous l'avons vu, au final, cette méthode entraîne tout de même une perte d'information, seuls les soldes de chaque zone sont utilisés ; le reste de l'information étant reconstruit en utilisant l'hypothèse de continuité des déplacements de proche en proche, les particules n'ayant pas le droit de se téléporter. Cela peut entraîner des déformations dans la perception des échanges et ne permet pas de visualiser des relations qui justement ne respecteraient pas cette propriété. Enfin, cette hypothèse rend difficile le traitement de territoires non continus qui présentent des îles ! C'est d'ailleurs pour cela que la Corse n'est pas représentée dans notre proposition cartographique. Les mouvements étant locaux, il faut nécessairement un chemin, une continuité spatiale entre chaque nœud de la grille pour que le résultat obtenu fasse sens. J'aimerai d'ailleurs bien réfléchir à cette question dans le futur.Voila pour cette première présentation autour des travaux de Tobler sur la visualisation de flux. D'autres posts suivront peut-être sur ces questions, avant que nous ne diffusions le package R permettant de faire plus facilement ce genre d'analyse. J’espère que, si vous avez réussi à me suivre jusqu'ici, ce post vous aura permis de mieux comprendre cette méthodologie proposée par Tobler et ses limites éventuelles.Références mentionnéesTobler W. R. (1980) A Model of Geographic Movement Tobler W. R. A Movement TalkTobler W. R. (2005) Asymmetry to PotentialsBillets liés à TTT Françoise Bahoken et Nicolas Lambert (2020), Le Flowmapper de Tobler (1979)Laurent Jégou (2020), TTT: Continuous choropleth, sur ObservableFrançoise Bahoken (2020) Quels flux représenter comment ?Nicolas Lambert (2020) Avoir le bon flowÉtienne Côme (2020) Migrations, cartes de vents et calligramme cartographiqueNicolas Lambert (2020) Cartographie(s) “extrudée(s)”Étienne Côme (2020) Wind, a Tribute to Tobler, sur le blog @comeetie Collectif TTT : TTT dans Neocarto