Algebra graduata
# Algebra graduata

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, unalgebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

## Anello graduato

Un anello graduato $A$ è un anello tale che esista una famiglia $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ di sottogruppi abeliani additivi di $(A,+)$ che decompongano $A$ in una somma diretta:

    $A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:

    $x\in A_{s},y\in A_{r}\implies xy\in A_{s+r},$

ossia

    $A_{s}A_{r}\subseteq A_{s+r},$

per tutti gli indici $r,s\in \mathbb {N}$.

Gli elementi $A_{n}$ sono noti come elementi omogenei di grado $n$. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento $a\in A$ ammette una decomposizione unica come somma:

    $a=\sum _{n}a_{n},$

dove $a_{n}\in A_{n}$ per tutti gli $n\in \mathbb {N}$; gli elementi $a_{n}$ sono talvolta chiamati parti omogenee di $a$.

Un sottoinsieme ${\mathfrak {a}}\subset A$ è omogeneo se per ogni elemento $a\in {\mathfrak {a}}$, le parti omogenee di $a$ sono anche contenute in ${\mathfrak {a}}.$

Se $I$ è un ideale omogeneo di $A,$ allora $A/I$ è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

    $A/I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}+I)/I.$

## Algebra graduata

Un'algebra $A$ su un anello $R$ è un'algebra graduata se è graduata come anello. Nel caso in cui l'anello $R$ sia anche un anello graduato, allora si richiede che:

* $A_{i}R_{j}\subset A_{i+j},$
* $R_{i}A_{j}\subset A_{i+j}.$

Si noti che la definizione di anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove $R$ è graduato in modo banale (ogni elemento di $R$ è di grado zero).

