Transizione di Kosterlitz-Thouless
# Transizione di Kosterlitz-Thouless

In meccanica statistica la transizione di Kosterlitz-Thouless, o anche transizione di Berezinsky-Kosterlitz-Thouless, è una transizione di fase speciale che si osserva nel modello XY per sistemi di spin interagenti in due dimensioni. È una transizione in cui i vortici hanno un ruolo determinante, al di sotto di una temperatura critica i vortici possono formarsi solo in coppie vortice-antivortice, mentre al di sopra di questa temperatura i vortici e gli antivortici non sono legati e formano configurazioni libere.

Formalmente, il modello XY è un modello di spin bidimensionale che possiede una simmetria U(1) o circolare, in cui ad ogni punto dello spazio o ad ogni nodo del reticolo è associata una variabile di tipo angolo, cioè periodica in $[0,2\pi )$. Una possibile funzione di partizione che gode di questa simmetria è:

$Z=\int _{0}^{2\pi }\prod _{k}d\theta _{k}e^{{\frac {J}{k_{B}T}}\sum _{(i,j)}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$

dove la sommatoria è estesa a tutti i link $(i,j)$ del reticolo. A causa del teorema di Mermin-Wagner questo sistema non ammette alcune transizione di fase del tipo ordine-disordine con associata la formazione dei bosoni di Goldstone. Tuttavia nonostante questo il sistema è caratterizzato dalla presenza di alcuni valori delle costanti di accoppiamento in cui la lunghezza di correlazione è infinita.

La transizione prende il nome dei suoi scopritori, J. Michael Kosterlitz, David J. Thouless (premiati con il premio Nobel per la fisica nel 2016), e Vadim L'vovich Berezinskiĭ (Вади́м Льво́вич Берези́нский).

## Il ruolo dei vortici

Nel modello XY in due dimensioni, i vortici sono configurazioni topologicamente stabili, dato che il gruppo U(1) non è semplicemente connesso. Un vortice presente in questo sistema non può essere distrutto dalle fluttuazioni termiche o quantistiche e lo studio di queste fluttuazioni deve essere fatto invece sviluppandole intorno alle configurazioni vorticose. È stato dimostrato che nella fase ad alta temperatura, caratterizzata da una lunghezza di correlazione che decade esponenzialmente, la presenza di vortici liberi è termodinamicamente favorita. Al di sotto di una certa temperatura critica il sistema è invece caratterizzato da una correlazione che decade con una legge a potenza, determinata dalla condensazione di vortici in coppie di vorticosità opposta, analogamente a quanto accade per un gas di elettroni in uno spazio bidimensionale.

## Descrizione della transizione

C'è un vero elegante argomento termodinamico per comprendere la transizione KT. L'energia di un singolo vortice è della forma $\kappa \ln(R/a)$, dove $\kappa$ è un parametro dipendente dal sistema in cui si sviluppa il vortice, mentre $R$ è la dimensione del sistema e $a$ è il raggio del nucleo del vortice. Si assume che $R\gg a$, cioè che il vortice sia molto più grande del suo nucleo e della scala a cui i dettagli microscopici del sistema diventano rilevanti. Il numero di possibili posizioni di ciascun vortice nel sistema è approssimativamente $(R/a)^{2}$. Per la legge di Boltzmann, l'entropia è uguale a $S=2k_{B}\ln(R/a)$, dove $k_{B}$ è la costante di Boltzmann. Quindi, l'energia libera di Helmholtz vale

    $F=E-TS=(\kappa -2k_{B}T)\ln(R/a).$

Quando $F>0$, il sistema non permette la formazione di vortici. Tuttavia, quando $F<0$, le condizioni sono sufficienti affinché un vortice si formi nel sistema e affinché in questo modo sia raggiunto il minimo dell'energia libera. Definiamo la temperatura della transizione come la temperatura per cui $F=0$. Quindi, la temperatura critica $T_{c}$ è

    $T_{c}={\frac {\kappa }{2k_{B}}}.$

I vortici si possono formare al di sopra di questa temperatura ma non al di sotto.

