Matrice gramiana di controllabilità
# Matrice gramiana di controllabilità

In teoria del controllo, la matrice gramiana di controllabilità è una matrice di Gram usata per determinare se un sistema dinamico è controllabile. Per un sistema lineare invariante rispetto al tempo

    ${\dot {x}}=Ax+Bu$

la gramiana di controllabilità è definita come

    $W_{c}(t)=\int \limits _{0}^{t}e^{-A\tau }BB^{T}e^{-A^{T}\tau }d\tau =\int \limits _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t-\tau )}d\tau$

La coppia $(A,B)$ è controllabile se e solo se la matrice $W_{c}$ è non singolare, cioè $W_{c}$ ha rango pieno per ogni $t>0$. È inoltre possibile provare che se la matrice $A$ è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è proprio $W_{c}$.

La definizione può essere estesa ai sistemi tempo varianti. Il sistema

    ${\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$,

è controllabile in un intervallo $[t_{0},t_{1}]$ se e solo se le righe della matrice $\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )$, dove $\Phi$ è la matrice di transizione di stato, sono linearmente indipendenti. La gramiana può essere usata proprio per provare questo. Si ha indipendenza lineare se e solo se la matrice gramiana di controllabilità

    $W_{c}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )d\tau$

è non singolare, cioè invertibile.

