Congettura di Andrica
# Congettura di Andrica

La congettura di Andrica è una congettura della teoria dei numeri, riguardante gli intervalli tra due successivi numeri primi, formulata dal matematico romeno Dorin Andrica nel 1986. Afferma che, per ogni coppia di numeri primi consecutivi $p_n$ e $p_{n+1},$ si ha

    ${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1$

Se poniamo $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$, allora la congettura può essere riscritta come

    $g_{n}<{\sqrt {p_{n+1}}}+{\sqrt {p_{n}}}.$

semplicemente spostando ${\sqrt {p_{n}}}$ a destra ed elevando entrambe le quantità al quadrato.

La congettura è stata verificata empiricamente per tutti i numeri primi minori di $10^{6}$.

Una generalizzazione della congettura è lo studio dell'equazione

    $p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1$

Si pensa che il più piccolo x per cui questa equazione sia risolubile sia $x\approx 0,56714814020201\ldots$ (la costante di Smarandache); per questo numero, i primi coinvolti sono $p_{30}=113$ e $p_{31}=127.$

Conseguentemente, la congettura generalizzata di Andrica afferma che per ogni x minore di questa costante la disequazione

    $p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1$

vale per ogni n.

