Hermann Schwarz
# Hermann Schwarz

Hermann Schwarz (25 de enero de 1843 - 30 de noviembre de 1921) fue un matemático alemán conocido por su trabajo en análisis complejo. Nació en Hermsdorf, Silesia (ahora Sobieszów, Polonia) y murió en Berlín. Se casó con Marie Kummer y tuvieron seis hijos.

Schwarz inicialmente estudio química en Berlín pero Kummer y Weierstrass lo persuadieron para que se hiciera matemático. Entre 1867 y 1869 trabajó en Halle, después en Zürich. Desde 1875 trabajó en el universidad de Gotinga, tratando los temas de teoría de funciones, geometría diferencial y cálculo de variaciones.

Su trabajo de “búsqueda de una superficie mínima” lo acabó en la Academia de Berlín en 1867 pero no fue impreso hasta 1871, y reimpreso en su “colección de artículos matemáticos” (1890).

En 1892 se convirtió en miembro de la Academia de las ciencias de Berlín y en profesor de la Universidad de Berlín. Algunos de sus estudiantes más importantes fueron Lipót Fejér, Paul Koebe y Ernst Zermelo. Falleció en Berlín con 78 años de edad.

## Teorema de Schwarz

En análisis es conocido este teorema para comprobar la derivabilidad de una función de varias variables.

Sea $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ una función cuyas derivadas parciales segundas son continuas, entonces se cumple que son simétricas.

* ${\frac {d^{2}f}{dx\,dy}}={\frac {d^{2}f}{dy\,dx}}$

De forma más general, se puede extender a una función vectorial $F:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ donde, para dos derivadas parciales de cualquier variable $x_{i},x_{j}$ con $1\leq i,j\leq n$, se cumple que

* ${\frac {d^{2}F}{dx_{i}\,dx_{j}}}={\frac {d^{2}F}{dx_{j}\,dx_{i}}}$

Esta simetría que se aplica a la segunda derivada, se extiende a todas las derivadas, en el caso de que las derivadas sucesivas de la función sean continuas. Por ejemplo, en la tercera derivada ocurre que

* ${\frac {d^{3}f}{dx\,dx\,dy}}={\frac {d^{3}f}{dx\,dy\,dx}}={\frac {d^{3}f}{dy\,dx\,dx}}$
