Teorema de Pickands-Balkema-de Haan
# Teorema de Pickands-Balkema-de Haan

El teorema de Pickands-Balkema-de Haan, frecuentemente denominado segundo teorema de la teoría de valores extremos, proporciona la distribución asintótica para las colas de una variable aleatoria X, cuando la verdadera distribución $F_X$ de X no e conoce. A diferencia del primer teorema de la teoría de valores extremos (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko), el interés reside aquí en los valores por encima de un umbral fijado.

## Función de distribución condicional del exceso

Si se considera una distribución desconocida $F$ de una variable aleatoria $X$, puede plantearse el problema de estimar la función de distribución condicional $F_{u}$ de que la variable $X$ cuando se conoce que su valor está por encima de un cierto umbral $u$. Esta función se denomina función de distribución condicional del exceso, definida por:

   $F_{u}(y)=\mathbb {P} (X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}\,$

para $0\leq y\leq x_{F}-u$, donde $x_{F}$ el valor para el cual $\inf\{x_{F}|F(x_{F})=1\}$. La función $F_{u}$ describe la distribución del valor en exceso por encima del umbral $u$, dado que el umbral es sobrepasado.

## Enunciado

Sea $(X_{1},X_{2},\ldots )$ una sucesión de variables aleatorias i.i.d., y sea $F_{u}$ su función de distribución condicional del exceso. Pickands (1975), Balkema y de Haan (1974) mostraron que para una amplia clase de distribuciones de partida $F$, y valores grades de $u$, $F_{u}$ puede ser aproximada adecuandamente mediante la distribución generalizada de Pareto. Es decir:

   $F_{u}(y)\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty$

donde

    $G_{k,\sigma }(y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}$, si $k\neq 0$
    $G_{k,\sigma }(y)=1-e^{-y/\sigma }$, si $k=0$

Aquí σ > 0 y y ≥ 0 cuando k ≥ 0 y 0 ≤ y ≤ −σ/k cuando k < 0. Puesto que un caso especial de distribución generalizada de Pareto es una ley potencial, el teorema de Pickands-Balkema-de Haan a veces se usa para justificar el uso de leyes potenciales para modelizar situaciones extremas. Sin embargo, muchas distribuciones importantes, como la distribución normal o la lognormal, no tienen colas pesadas que presenten valores extremos al modo de las leyes potenciales.

## Casos especiales de distribución generalizada de Pareto

* Distribución exponencial con media $\sigma$, si k = 0.
* Distribución uniforme sobre $[0,\sigma ]$, si k = -1.
* Distribución de Pareto, si k < 0.
