Ecuación de Nernst-Planck
# Ecuación de Nernst-Planck

La ecuación de Nernst-Planck es una ecuación de conservación de la masa utilizada para describir el movimiento de una especie química cargada en un medio fluido. Es una extensión de la ley de difusión de Fick para el caso en que una fuerza electrostática imparta un movimiento a las partículas en difusión. El nombre de la ecución proviene de Walther Nernst y Max Planck .

## Ecuación

La ecuación de Nernst-Planck es una ecuación de continuidad para la concentración dependiente del tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle c(t,{\bf x})} de una especie química:

    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle {\partial c\over{\partial t}} + \nabla \cdot {\bf J} = 0}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle {\bf J}} es el flujo . Se supone que el flujo total depende de tres elementos: difusión, advección y electromigración . Esto implica que la concentración varía en función del gradiente de concentración iónica $\nabla c$, la velocidad de flujo ${\bf {v}}$, y el campo eléctrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle {\bf E}}  :

    ${\bf {J}}=-\underbrace {D\nabla c} _{\text{Diffusion}}+\underbrace {c{\bf {v}}} _{\text{Advection}}+\underbrace {{Dze \over {k_{\text{B}}T}}c{\bf {E}}} _{\text{Electromigration}}$

donde $D$ denota la difusividad de la especie química, $z$ es la valencia de las especies iónicas, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): e representa la carga elemental, $k_{\text{B}}$ es la constante de Boltzmann, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): T es la temperatura absoluta . El campo eléctrico se puede descomponer a su vez como:

    Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle {\bf E} = -\nabla \phi - {\partial {\bf A}\over{\partial t}}}

dónde $\phi$ representa al potencial eléctrico y ${\bf {A}}$ al vector potencial magnético . Por tanto, la ecuación de Nernst-Planck viene dada por:

    ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D\nabla c-c\mathbf {v} +{\frac {Dze}{k_{\text{B}}T}}c\left(\nabla \phi +{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}\right)\right]$

### Simplificaciones

En el caso de que la concentración esté en equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle (\partial c/\partial t = 0)} y la velocidad del flujo sea cero, es decir, que solo se muevan los iones, la ecuación de Nernst-Planck toma la forma:

    $\nabla \cdot \left\{D\left[\nabla c+{ze \over {k_{\text{B}}T}}c\left(\nabla \phi +{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}\right)\right]\right\}=0$

Si se supone que solo la componente electrostática del campo eléctrico es significativa, la ecuación se simplifica aún más al eliminarse la derivada temporal del vector potencial magnético:

    $\nabla \cdot \left[D\left(\nabla c+{ze \over {k_{\text{B}}T}}c\nabla \phi \right)\right]=0$

La forma más común se expresa en unidades de mol/(m $^2$ ·s) y en función de la constante de los gases Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): R :

    $\nabla \cdot \left[D\left(\nabla c+{zF \over {RT}}c\nabla \phi \right)\right]=0$

donde $F$ es la constante de Faraday, igual al producto de la constante de Avogadro $N_{\text{A}}$ y la carga elemental. $e$

## Aplicaciones

La ecuación de Nernst-Planck se usa para describir la cinética de intercambio iónico en los suelos. También se ha utilizado en la electroquímica de membranas .

