Matriz antihermitiana
# Matriz antihermitiana

En álgebra lineal, una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

$(A^{*})$ $=-A$

o en su forma componente, si ($A=a_{i,j}$):

    $a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}$

Para todas las i y las j.

## Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:

    ${\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}$

## Propiedades

* 1. Los autovalores de una matriz antihermitiana son todos imaginarios puros. Es más, las matrices antihermitianas son matrices normales. Por lo tanto, son diagonalizables y sus autovectores para distintos autovalores son ortogonales.
* 2. Si A es antihermitiana entonces iA es hermitiana.
* 3. Si A,B es antihermitiana, entonces aA+bB es antihermitiana para todos los escalares reales de a,b.
* 4. Si A es antihermitiana, entonces $A^{2k}$ es hermitiana para todos los naturales k.
* 5. Si A es antihermitiana, entonces $A^{2k+1}$ es antihermitiana para todos los naturales k.
* 6. Si A es antihermitiana, entonces $e^A$ es matriz unitaria.
* 7. La diferencia entre una matriz y su traspuesta conjugada ($C-C^{*}$) es antihermitiana.
* 8. Una matriz cuadrada arbitraria C puede ser escrita como la suma de la matriz hermitiana A y la matriz antihermitiana B:

       $C=A+B\quad {\mbox{para}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{y}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*}).$
