Operación interna
# Operación interna

Una operación matemática, se dice que es una operación interna, en un conjunto A si para todos los valores de la operación el resultado pertenece a A.

En el caso de un conjunto $A\,$ y una operación binaria $\circledcirc$ definida sobre él $(A,\circledcirc )$, tendremos que para dos elementos cualesquiera del conjunto A operados bajo $\circledcirc$, el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

    ${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

El resultado siempre pertenece al mismo conjunto:

    $\forall a,b\in A:\quad a\circledcirc b\in A$

## Ejemplo

Sea el conjunto de los números naturales: N y la operación suma: +, $(\mathbb {N} ,+)$ podemos ver:

    ${\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}$

Se cumple:

    $\forall x,y\in \mathbb {N} :\quad x+y\in \mathbb {N}$.

Para todo valor x e y que pertenecen a los números naturales, la suma x + y pertenece a los números naturales.

Por lo tanto $(\mathbb {N} ,+)$ es una operación interna.

Si vemos el mismo conjunto de los números naturales y la operación resta: -, $(\mathbb {N} ,-)\,$ tenemos que:

    $\neg \forall x,y\in N:\quad x-y\in N$.

No para todos los valores x e y que pertenecen a N, x - y pertenece a N, o lo que es lo mismo:

    $\forall x\in \mathbb {N} ,\quad \exists y\in \mathbb {N} :\quad x-y\notin \mathbb {N}$.

Para todo valor x de N, existen valores y de N tal que x - y no pertenece a N, eso se da en todos los casos en los que y es mayor que x, por ejemplo, 3 - 5 no pertenece a N.

La operación resta de los números naturales no es una operación interna.

