Topología euclidiana
# Topología euclidiana

En matemáticas, y especialmente en topología general, la topología euclidiana o topología euclídea es un ejemplo de topología dado por el conjunto de los números reales, denotados mediante R. Dado el conjunto R una topología significa decir que los subconjuntos de R son «abiertos», y hacerlo de tal manera que los siguientes axiomas se cumplan:

* La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
* La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
* El conjunto R y el conjunto vacío ∅ son conjuntos abiertos.

## Construcción

Se requiere que el conjunto R y el conjunto vacío ∅ sean conjuntos abiertos, así que se definirá R y ∅ como conjuntos abiertos en esta topología. Dados dos números reales, por ejemplo x e y, con x < y se difine una familia incontable infinita de conjuntos abiertos denotados mediante $S_{x,y}$ como sigue:

    $S_{x,y}=\{r\in \mathbf {R} :x<r<y\}.$

Junto con el conjunto R y el conjunto vacío ∅, los conjuntos $S_{x,y}$ con x < y son usados como base para la topología euclidiana. En otras palabras, los conjuntos abiertos de la topología euclidiana son dados por el conjunto R, el conjunto vacío ∅ y las uniones e intersecciones finitas de varios conjuntos $S_{x,y}$ para los diferentes pares (x,y).

## Propiedades

* La línea real, con su topología, es un espacio $T_5.$ Dados dos subconjuntos, digamos A y B, de R con A ∩ B = A ∩ B = ∅, donde A denota la clausura de A, etc., existen conjuntos abiertos $S_A$ y $S_B$ con A ⊆ $S_A$ y B ⊆ $S_B$ tales que $S_A$ ∩ $S_B$ = ∅.
