Forma bilineal
# Forma bilineal

En matemáticas, una forma bilineal sobre un espacio vectorial $V$ es una aplicación bilineal $V\times V\to K$, donde $K$ es el cuerpo de escalares. En otras palabras, una forma bilineal es una función que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.

Cuando $K$ es el cuerpo de números complejos $\mathbb {C}$, es más interesante hablar de formas sesquilineales, que son similares a las formas bilineales, pero son conjugadas lineales en un argumento.

## Definición

Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación

    $f:V\times V\to K$

que verifica:

* $\ f(u_{1}+u_{2},v)=f(u_{1},v)+f(u_{2},v)$
* $\ f(u,v_{1}+v_{2})=f(u,v_{1})+f(u,v_{2})$
* $\ f(au,v)=af(u,v)$
* $\ f(u,av)=af(u,v)$

para cualquier $a\in K$ y $u,v,u_{1},u_{2},v_{1}\ y\ v_{2}\in V$

También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (2, 0).

### Ejemplos

* El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional $\mathbb {R} ^{2}$ de la forma $u=(a,b)$ y $v=(c,d)$, su producto escalar viene dado por: que se puede verificar que es una forma bilineal.

    $\ \langle u,v\rangle =ac+bd$
* El determinante de una matriz cuadrada de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional $\mathbb {R} ^{2}$, $u=(a,b)$ y $v=(c,d)$, y sea se define denotado más comúnmente por

    $M={\begin{bmatrix}u&v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$
    $f:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ f(u,v)=ad-bc$
    $\det(M)=ad-bc$.

## Propiedades

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

* $\ f(u,0)=f(0,u)=0$
* $\ f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v)$
* $\ f(\sum _{i}a_{i}u_{i},\sum _{j}b_{j}v_{j})=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}f(u_{i},v_{j})$

para todo $a\in K$ y $u,v,u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in V$

## Forma bilineal simétrica y antisimétrica

Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

### Forma bilineal simétrica

Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:

    $\ f(u,v)=f(v,u)$

Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

### Forma bilineal antisimetrica

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

    $\ f(u,v)=-f(v,u)$

en particular se tiene que $\ f(v,v)=0$

Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.

### Descomposición de una forma bilineal cualquiera

Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:

    $\ f_{S}={\frac {1}{2}}(f(x,y)+f(y,x))$

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:

    $\ f_{T}={\frac {1}{2}}(f(x,y)-f(y,x))$

Las formas así definidas componen la forma original:

    $\ f(x,y)=f_{S}(x,y)+f_{T}(x,y)$

## Forma sesquilineal

Si el cuerpo K es el cuerpo de números complejos C, se puede definir una forma sesquilineal como:

* $\ f(u_{1}+u_{2},v)=f(u_{1},v)+f(u_{2},v)$
* $\ f(u,v_{1}+v_{2})=f(u,v_{1})+f(u,v_{2})$
* $\ f(au,v)=af(u,v)$
* $\ f(u,av)={\overline {a}}f(u,v)$

donde ${\overline {a}}$, en la última condición, denota al complejo conjugado.

* Se dice que una forma sesquilineal f es hermítica si es igual a su conjugada
* se denomina que una forma hermítica f es positiva si a f (v, v)≥ 0

## Matriz asociada

Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial. Dadas una forma bilineal $f:V\times V\to K$ y una base $B=\{e_{1},..,e_{n}\}$ del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:

    $\mathbb {A} =\;{\begin{pmatrix}a_{(1,1)}&a_{(1,2)}&\cdots &a_{(1,n)}\\a_{(2,1)}&a_{(2,2)}&\cdots &a_{(2,n)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{(n,1)}&a_{(n,2)}&\cdots &a_{(n,n)}\end{pmatrix}}$

Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f: $a_{(i,j)}=f(e_{i},e_{j})$. Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores $u=(u_{1},..,u_{n})$ y $v=(v_{1},..,v_{n})$ sería:

    $f(u,v)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v=(u_{1},u_{2},...,u_{n})\cdot {\begin{pmatrix}a_{(1,1)}&a_{(1,2)}&\cdots &a_{(1,n)}\\a_{(2,1)}&a_{(2,2)}&\cdots &a_{(2,n)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{(n,1)}&a_{(n,2)}&\cdots &a_{(n,n)}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

Nótese que por ser $f(u,v)\in K$ un escalar, se verifica que

    $f(u,v)=u^{t}\mathbb {A} v=v^{t}\mathbb {A} ^{t}u={{\Bigf(u,v){\Big ]}}^{t}$

Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.

* Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.
* Demostración
* El enunciado puede reescribirse como un par de implicaciones dobles.
* f es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica.
* f es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica.
* con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo u, v en V,
* $f(u,v)=f(v,u)\iff \mathbb {A} =\mathbb {A} ^{t}$ por un lado, y
* $f(u,v)=-f(v,u)\iff \mathbb {A} =-\mathbb {A} ^{t}$.
* Se demuestra cada proposición por separado.
* $\Longrightarrow )$ por hipótesis, $f(u,v)=f(v,u)$ luego
* $0=f(u,v)-f(v,u)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v-u^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot v=u^{t}\cdot \left(\mathbb {A} -\mathbb {A} ^{t}\right)\cdot v$
* como la igualdad es cierta para todo u, v tiene que ser
* $\mathbb {A} =\mathbb {A} ^{t}$.
* $\Longleftarrow )$Escribimos nuevamente a f en forma matricial
* $f(u,v)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v=v^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot u$
* pero como por hipótesis $\mathbb {A} ^{t}=\mathbb {A}$,
* $f(u,v)=v^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot u=f(v,u)$.
* $\Longrightarrow )$ La prueba es análoga.
* $0=f(u,v)+f(v,u)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v+u^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot v=u^{t}\cdot \left(\mathbb {A} +\mathbb {A} ^{t}\right)\cdot v$
* por lo tanto
* $\mathbb {A} =-\mathbb {A} ^{t}$.
* $\Longleftarrow )$Escribimos nuevamente a f en forma matricial
* $f(u,v)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v=-u^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot v=-v^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot u=-f(v,u)$

## Forma cuadrática asociada

Dada una forma bilineal, se puede definir su forma cuadrática asociada como:

    $\ \Phi :V\longrightarrow K$

dado por

    $\ \Phi (x)=f(x,x)$

Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.

