Derivada de Lie
# Derivada de Lie

En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable $\scriptstyle {\mathcal {M}}$, cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial: una aplicación $\scriptstyle \mathbb {R}$-lineal sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones.

Para definir la derivada de Lie sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s) bastará con definir su acción sobre funciones y sobre campos de vectores: Así, si X es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:

* ${\mathcal {L}}_{X}f=X(f).$ para toda función diferenciable f.
* ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$ para todo campo diferenciable Y. Donde [,] es el corchete de Lie.

La derivada así definida satisfará automáticamente las propiedades citadas de una derivación tensorial:

       ${\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).$

El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma a su vez un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie.

Aunque menos habitual, también se denota a la derivada de Lie de $Y$ respecto de un campo $X$ como $X^{L}Y$. Esta notación, en ocasiones más limpia que la anterior pues evita subíndices, proviene del profesor Juan Bautista Sancho Guimerá.

## Derivada de Lie de campos tensoriales

En geometría diferencial, si tenemos un tensor diferenciable T de rango (p, q) (es decir una función lineal de secciones diferenciables, α, β, ... del T*M fibrado cotangente y X, Y,... del TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tales que para cualesquiera funciones diferenciables

$f_1...,f_p...,f_{p+q},$ $T(f_1α,f_2β...,f_{p+1}X,f_{p+2}Y,...)$ = $f_1f_2...$ $f_{p+1}f_{p+2}...$ $f_{p+q}$ T(α, β..., X, Y ,...)) y un campo vectorial (sección del fibrado tangente) A diferenciable, entonces la función lineal:

$(£_AT)(α,$ β,..., X, Y,...) ≡ $∇_A$ T(α, β,..., X, Y,...) - $∇_{T(-,β...,X,Y,...)}A(α)-...$ + T(α, $β...,∇_XA,Y,...)+...$

es independiente de la conexión ∇ que se utiliza, mientras sea libre de torsión, y es, de hecho, un tensor.

Este tensor se llama la derivada de Lie de T con respecto a A.

