Resolución de triángulos
# Resolución de triángulos

La resolución de triángulos (del latín solutio triangulorum) es uno de los principales problemas de los que se ocupa la trigonometría. Consiste en determinar las dimensiones características de un triángulo (sus ángulos y las longitudes de sus lados), cuando algunos de estos datos son conocidos. El triángulo se encuentra en un plano o en una esfera. Aplicaciones que requieren la resolución de triángulos incluyen la geodesia, la astronomía, la construcción y la navegación.

## Resolución de triángulos en el plano

Un triángulo de forma general tiene seis características principales (véase el cuadro): tres lineales (las longitudes de los lados a, b, c) y tres angulares (α, β, γ). En los problemas clásicos de trigonometría en el plano se deben especificar tres de las seis características y determinar las otras tres. En este sentido, un triángulo puede ser determinado por completo únicamente en los siguientes casos:

* Tres de sus lados (LLL)
* Dos lados y el ángulo incluido (LAL)
* Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos (LLA), si la longitud del lado adyacente al ángulo es menor que la longitud del otro lado.
* Un lado y los dos ángulos adyacentes a él (ALA)
* Un lado, el ángulo opuesto a él y un ángulo adyacente (AAL)
* Tres ángulos (AAA) sobre la esfera (pero no en el plano).

Para todos los casos en el plano, se debe especificar al menos la longitud de uno de los lados. Si solo se dan los ángulos, no es posible determinar las longitudes de los lados, ya que cualquier triángulo semejante es una solución del problema.

### Teoremas principales

El método general para resolver el problema es utilizar relaciones trigonométricas fundamentales.

**Teorema del coseno**


    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$
    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

**Teorema de los senos**


    ${\frac {a}{\operatorname {sen} \alpha }}={\frac {b}{\operatorname {sen} \beta }}={\frac {c}{\operatorname {sen} \gamma }}$

**Suma de ángulos**


    $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

**Teorema de la tangente**


    ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Existen otras relaciones generales (a veces útiles en la práctica): el Teorema de la cotangente y las Fórmulas de Mollweide.

