Ecuación de Eckhaus
# Ecuación de Eckhaus

En física matemática, la ecuación de Eckhaus, o la ecuación de Kundu-Eckhaus, es una ecuación diferencial parcial no lineal dentro de la clase de no lineal de Schrödinger:

    $i\psi _{t}+\psi _{xx}+2\left(|\psi |^{2}\right)_{x}\,\psi +|\psi |^{4}\,\psi =0.$

La ecuación fue introducida independientemente por Wiktor Eckhaus y por Anjan Kundu para modelar la propagación de ondas en medios dispersivos. La ecuación Kundu-Eckhaus admite muchos tipos diferentes de soluciones analíticas, al igual que la ecuación no lineal de Schrödinger, incluidas, entre otras, las soluciones racionales de ola gigante. El comportamiento de sus soluciones estocásticas de ola gigante y sus espectros pueden usarse para fines de detección precoz.

## Linearization

La ecuación de Eckhaus se puede linealizar a la ecuación lineal de Schrödinger:

    $i\varphi _{t}+\varphi _{xx}=0,$

a través de la transformación no lineal:

    $\varphi (x,t)=\psi (x,t)\,\exp \left(\int _{-\infty }^{x}|\psi (x^{\prime },t)|^{2}\;{\text{d}}x^{\prime }\right).$

La transformación inversa es:

    $\psi (x,t)={\frac {\varphi (x,t)}{\displaystyle \left(1+2\,\int _{-\infty }^{x}|\varphi (x^{\prime },t)|^{2}\;{\text{d}}x^{\prime }\right)^{1/2}}}.$

Esta linealización también implica que la ecuación de Eckhaus es integrable.

