Topología de los complementos finitos
# Topología de los complementos finitos

En matemáticas, la topología de los complementos finitos o topología cofinita sobre un conjunto $X$ es la topología dada por

    ${\mathcal {T}}_{cof}=\{A\subseteq X:X\setminus A{\text{ es finito ó }}A=\emptyset \}$

Es decir, un subconjunto $A$ de $X$ es abierto si su complemento es un conjunto finito.

## Propiedades

Algunas propiedades sobre la topología cofinita sobre un conjunto $X$:

* Si $X$ es finito, la topología cofinita es la topología discreta. En este caso, un subconjunto $A\subseteq X$ es abierto si, y sólo si, es cerrado.
* La topología cofinita sobre $X=\mathbb {R}$ es menos fina que la topología usual.
* Un subconjunto $A\subseteq X$ es cerrado si, y sólo si, $A=X$, $A=\emptyset$ ó $A$ es finito.
* Si $x\in U\subseteq X$, entonces $U$ es un entorno de $x$ si, y sólo si, $X\setminus U$ es finito.
* Todo espacio $X$ con la topología cofinita es $T_1$ y, por tanto, $T_0.$
* Si $X$ es infinito, entonces no es de Hausdorff. Como consecuencia, tampoco es $T_3.$
* Todo espacio $X$ con la topología cofinita es compacto y, por tanto, también es de Lindelöf.
