Recta de Filón
# Recta de Filón

En geometría, la recta de Filón se construye a partir de un ángulo y de un punto situado en su interior, y se define como el segmento más corto que pasa por el punto y que tiene sus extremos en los dos lados del ángulo. Lleva el nombre de Filón de Bizancio, un tratadista griego que escribió sobre dispositivos mecánicos, y que vivió probablemente durante el siglo I o II a. C. Usó la recta que lleva su nombre para calcular la duplicación del cubo. Es sabido que no se puede duplicar el cubo exclusivamente con regla y compás, ni tampoco construir la recta de Filón.

## Caracterización geométrica

El punto de definición de una recta de Filón, y la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo a la recta, son equidistantes a los puntos finales del segmento abarcado por el ángulo. Es decir, supóngase que el segmento $DE$ es parte de la recta de Filón del punto $P$ y el ángulo $DOE$; y sea $Q$ la base de una perpendicular $OQ$ a $DE$. Entonces, $DP=EQ$ y $DQ=EP$.

Por el contrario, si $P$ y $Q$ son dos puntos cualesquiera equidistantes de los extremos de un segmento rectilíneo $DE$, y si $O$ es cualquier punto de la recta que pasa por $Q$ que es perpendicular a $DE$, entonces $DE$ es la recta de Filón del ángulo $DOE$ y el punto $P$.

## Duplicación del cubo

La recta de Filón se puede usar para duplicar un cubo, es decir, para construir una representación geométrica de la raíz cúbica de dos, y este fue el propósito de Filón al definirla. Específicamente, sea $PQRS$ un rectángulo cuya relación de aspecto $PQ:QR$ es $1:2$, como en la figura. Sea $TU$ la recta de Filón del punto $P$ con respecto al ángulo recto $QRS$. Por otro lado, se denomina $V$ al punto de intersección de la línea $TU$ y de la circunferencia que pasa por los puntos $PQRS$. Debido a que el triángulo $RVP$ está inscrito en la circunferencia con $RP$ como diámetro, es un triángulo rectángulo y $V$ es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo hasta la recta de Filón.

Sea $W$ el punto donde la línea recta $QR$ cruza una línea perpendicular a través de $V$. Entonces, las igualdades de los segmentos $RS=PQ$, $RW=QU$ y $WU=RQ$ se derivan de la propiedad característica de la recta de Filón. La semejanza de los triángulos rectángulos $PQU$, $RWV$ y $VWU$ se deduce a partir de la bisección perpendicular de los triángulos rectángulos. La combinación de estas igualdades y relaciones de semejanza permite obtener la igualdad de proporciones $RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ$ o más concisamente $RS:RW=RW:WV=WV:RQ$. Dado que el primer y último término de estas tres proporciones iguales están en la razón $1:2$, las proporciones en sí deben ser todas $1:{\sqrt[{3}]{2}}$, la proporción que se requiere para duplicar el cubo.

Sabiendo que es imposible duplicar el cubo solo con regla y compás, es igualmente imposible construir la recta de Filón con estas herramientas.

