Dimensión fractal local
# Dimensión fractal local

La dimensión fractal local, dimensión puntual o exponente de Hölder es un límite definido punto a punto para ciertas medidas definidas sobre un espacio métrico y que puede ser usado para caracterizar dichas medidas.

## Definición

La dimensión fractal local o exponente de Hölder de una medida finita definida sobre $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ se define punto a punto como el límite:

   $({\mbox{dim}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}{\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}$

El límite anterior no siempre existe por lo que común mente se definen los límites superior e inferior para la misma magnitud:

   ${\begin{cases}({\underline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\inf {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\\({\overline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\sup {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\end{cases}}$

## Propiedades

Si $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ es un conjunto de Borel y $\mu \,$ es una medida finita, se cumple que:

* Si $({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\geq s$ para todo $x\in E$ y $\mu (E)>0$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\geq s$.
* Si $({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s$ para todo $x\in E$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\leq s$.
* Si $({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s$ para todo $x\in E$ y $\mu (E)>0$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\leq s$.
* Si $({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s$ para todo $x\in E$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\leq s$.

Donde:

    ${\mbox{dim}}_{H}(\cdot )$, es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
    ${\mbox{dim}}_{P}(\cdot )$, es la dimensión de empaquetado.

## Aplicaciones

El análisis multifractal de una medida finita sobre un espacio métrico se usa la dimensión fractal local, que puede diferir en algunos puntos de la dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch, para definir el llamado espectro multifractal que se usa para caracterizar a la propia medida.

