Recta de Schoch
# Recta de Schoch

En geometría, la recta de Schoch es una línea definida a partir de un arbelos, en la que se localizan los centros de una serie de circunferencias que son simultáneamente tangentes al círculo mayor del arbelos, y a una serie de arcos tangentes entre sí en la cúspide intermedia del arbelos. Todas estas circunferencias tienen el mismo tamaño que los círculos de Arquímedes. Su nombre procede de una referencia de Peter Woo al trabajo de Thomas Schoch, que había estudiado la recta junto con los círculos de Schoch.

## Construcción

Un arbelos es una forma delimitada por tres arcos semicirculares mutuamente tangentes con puntos finales colineales, con los dos arcos más pequeños anidados dentro del más grande. Sean los puntos finales de estos tres arcos (en orden en la recta que los contiene) A, B y C. Sean $K_1$ y $K_2$ dos arcos más, con centros en A y C, respectivamente, con radios AB y CB. Estos dos arcos son tangentes en B. Ahora, sea $K_3$ el más grande de los tres arcos del arbelos. A continuación, se traza un círculo tangente a los arcos $K_1,$ $K_2$ y $K_3,$ cuyo centro es el punto $A_1.$ Este círculo es congruente con los círculos de Arquímedes (es decir, tiene el mismo radio), por lo que es un círculo arquimediano; y es uno de los círculos de Schoch. La recta de Schoch es perpendicular a la línea AC y pasa por el punto $A_1.$ También es la ubicación de los centros de infinitos círculos arqimedianos, los círculos de Woo.

## Radio y centro de $A_1$

Si r=AB/AC y AC = 1, entonces el radio de $A_1$ es

    $\rho ={\frac {1}{2}}r\left(1-r\right)$

y el centro es

    $\left({\frac {1}{2}}r\left(-1+3r-2r^{2}\right)~,~r\left(1-r\right){\sqrt {\left(1+r\right)\left(2-r\right)}}\right).$
