Convergencia de variables aleatorias
# Convergencia de variables aleatorias

En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos.

## Convergencia en distribución

### Definición

Se dice que una sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge en ley, o converge débilmente, a una variable aleatoria $X$ si

    $\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),$

para todo punto $x\in \mathbb {R}$ en el que $F$ es continua, donde $F_{n}$ y $F$ denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias $X_{n}$ y $X$, respectivamente.

La convergencia en distribución puede indicarse como:

| ${\begin{aligned}\\&X_{n}\ \xrightarrow {d} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {D} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {L} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {\mathcal {D}} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {\mathcal {L}} \ X,\\&X_{n}\rightsquigarrow X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {L}}_{X},\ \ {\mathcal {L}}(X_{n})\to {\mathcal {L}}(X),\\\\\end{aligned}}$ | (1) |
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donde $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}$ es la ley (distribución de probabilidad) de X. Por ejemplo, si X es una gausiana típica o normal estándar se puede escribir $X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)$.

## Convergencia en probabilidad

### Definición

Una sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria $X$ si para todo $\epsilon >0$

    $\lim _{n\to \infty }\Pr {\big|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.$

Suele indicarse de alguna de estas maneras:

| $X_{n}\ \xrightarrow {p} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {P} \ X,\ \ X_{n}\ {\overset{\xrightarrow {\Pr } }}\ X,\ \ {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\,X_{n}=X.$ | (2) |
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## Convergencia casi segura

### Definición

Una sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria $X$ si

    $\operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.$

Notación:

| ${\overset{X_{n}\,\xrightarrow {\mathrm {c.s.} } \,X.}}$ | (3) |
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## Convergencia en $L^{r}$

### Definición

Dado un número real $r\geq 1$, se dice que la sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge en $L^{r}$ a la variable aleatoria $X$, si los momentos absolutos $r$-ésimos ${\text{E}}(|X_{n}|^{r})$ y ${\text{E}}(|X|^{r})$ de $X_{n}$ y de $X$ existen, y

    $\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,$

donde el operador $E$ denota la esperanza matemática.

Notación:

| ${\overset{X_{n}\,{\xrightarrow {L^{r}}}\,X.}}$ | (4) |
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* Datos: Q578985
