Ley de Grashof
# Ley de Grashof

La Ley de Grashof establece que un mecanismo de cuatro barras tiene al menos una articulación de revolución completa, si y solo si la suma de las longitudes de la barra más corta y la barra más larga es menor o igual que la suma de las longitudes de las barras restantes.

## Demostración

### Análisis de una articulación de revolución completa

Dado un mecanismo cualquiera de cuatro barras ABCD consecutivas, se analizara la articulación AB. Se define $\alpha$ como el ángulo relativo entre las barras A y B, $\beta$ como el ángulo relativo entre C y D, y $\delta$ como la distancia entre las articulaciones BC y AD.

Se sabe que por el teorema del coseno:

    $\delta ^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cos \alpha \quad y\quad \delta ^{2}=C^{2}+D^{2}-2CD\cos \beta$

siendo el coseno una función acotada superiormente por uno, se puede afirmar entonces la siguiente inecuación:

    $C^{2}+D^{2}-2CD\leq \delta ^{2}$

con el desarrollo del binomio del cuadrado de la resta se deduce (aplicando la raíz cuadrada a ambos términos de la inecuación):

    $|C-D|\leq \delta$

Se puede observar también de la llamada desigualdad triangular que:

    $\delta \leq C+D$

de ambas se deduce:

    $|C-D|\leq \delta \leq C+D$

Si se supone que la articulación AB es de revolución completa, entonces

    $\delta _{min}=|A-B|\ \quad y\quad \delta _{max}=A+B$

Finalmente, se obtienen las relaciones necesarias y suficientes para que la articulación AB sea de revolución completa:

    $|A-B|\geq |C-D|\ \quad y\quad A+B\leq C+D$.

### Análisis de un mecanismo de cuatro barras de longitudes diferentes

Se toma un mecanismo de cuatro barras I, II, III y IV en cualquier orden tal que

$I>II>III>IV\quad (1)$ (Los casos particulares se analizan más adelante)

Hipotéticamente existen 6 tipos de articulaciones posibles: I*II, I*III, I*IV, II*III, II*IV y III*IV.

Y de la relación (1) se desprenden:

$I+II>III+IV\quad (2)$

$I+III>II+IV\quad (3)$

$II-III<I-IV\quad (4)$

I*II no es de revolución completa pues (2). Análogamente (3) y (4) impiden que I*III y II*III lo sean.

Analizando la articulación I*IV se nota que es necesario y suficiente que se cumplan (4) y

$I+IV<II+III\quad (5)$

o equivalentemente

$I-III<II-IV\quad (6)$

o

$I-II<III-IV\quad (7)$

Entonces son posibles articulaciones de revolución completa: I*IV, pues (4) y (5); II*IV, pues (3) y (6); y III*IV, pues (2) y (7).

### Casos particulares

$I=II\neq III=IV\iff$

$I+II>III+IV\quad (2')$

$I+III=II+IV\quad (3')$

$II-III=I-IV\quad (4')$

Y como consecuencia la única articulación que no es de revolución completa es la I*II

análogamente se deduce que si las barras son todas de la misma longitud todas las articulaciones son de revolución completa.

## Corolarios

Si cumple (5) además del teorema se cumple que:

* Si las barras son todas distintas, entonces solo hay dos articulaciones de revolución completa y articulan a la barra más pequeña.
* Si las barras son todas iguales, todas las articulaciones son de revolución completa.
* Si hay un par de barras iguales, y el par de barras más grandes está articulado entre sí, entonces esta es la única articulación de revolución incompleta.
