Dimensión de Assouad
# Dimensión de Assouad

En matemáticas — específicamente, en fractales — la dimensión de Assouad es una definición de dimensión fractal para subconjuntos de un espacio métrico. Fue introducida por Patrice Assouad en su tesis doctoral de 1977 y posteriormente publicado en 1979, aunque ya había sido definida anteriormente por Georges Bouligand en 1928. Además de utilizarse para estudiar fractales, también se ha utilizado para estudiar aplicaciones cuasiconformales y problemas de encaje.

## Definición

   $X,d_{A}(X)$
   $s$
   $(X,\varsigma )$
   $(M,s)$
   $M\geq 1$

Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $E$ un subconjunto no vacío de $X$. Para $r>0$, sea $N_{r}(E)$ el menor número de bolas métricas de radio menor o igual a r con las que es posible recubrir el conjunto $E$. La dimensión de Assouad de $E$ se define como el $\alpha \geq 0$ ínfimo para el que existen constantes positivas $C$ y $\rho$ de modo que, siempre que

    $0<r<R\leq \rho ,$

se mantiene el siguiente límite:

    $\sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.$

La intuición subyacente a esta definición es que, para un conjunto E con dimensión entera n "ordinaria", el número de bolas pequeñas de radio r necesarias para cubrir la intersección de una bola más grande de radio R con E se escalará como $(R/r)^n.$

