Ecuación diferencial de Clairaut
# Ecuación diferencial de Clairaut

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemático francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

    $y=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

donde $y$ es función de $x$, para resolver la ecuación, se diferencia respecto a $x$, quedando:

    ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\left[x\;{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]\\&={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\end{aligned}}$

lo que se reduce a

    $0=\left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

y así tenemos que

    $0={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

o

    $0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:

    $y(x)=Cx+f(C),\,$

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

    $0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right),$

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

## Ejemplo

Resolver:

    $xy'''+(y''')^{2}=y''.\,$

Se hace el cambio de variable

    $y''=p,\,$

por lo que

    $xp'+(p')^{2}=p,\,$

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:

    $p=y''=Cx+C^{2},\,$

de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así:

    $y=\int \int y''\,dxdx=\int \int (Cx+C^{2})\,dxdx=\int ({\frac {Cx^{2}}{2}}+C^{2}x+D)\,dx={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E,\,$

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.

Solución:

    $y={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E.$

## Notas y referencias

* ↑ "ecuaciones diferenciales aplicaciones" (sic) (Spiegel, Murray R. ISBN 0-13-234997-053-8, p. 60 .
* ↑ texte, Académie des sciences (France) Auteur du (1734). «Histoire de l'Académie royale des sciences ... avec les mémoires de mathématique & de physique... tirez des registres de cette Académie». Gallica (en español). Consultado el 6 de septiembre de 2022.
* ↑ Se considera que f(y') define una función diferenciable de y'; Ibídem
