Integral de Euler
# Integral de Euler

En matemáticas, hay dos tipos de integral de Euler:

    1. La integral de Euler de primer orden es la función de beta
       $\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$
    2. La integral de Euler de segundo orden es el función gamma
       $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,dt$

Para enteros positivos $m$ y $n$, las dos integrales pueden ser expresadas en términos de factoriales y coeficientes binomiales:

    $\mathrm {B} (n,m)={\frac {(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}}={\frac {n+m}{nm{\binom {n+m}{n}}}}=\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right){\frac {1}{\binom {n+m}{n}}}$
    $\Gamma (n)=(n-1)!$
