Emparejamiento
# Emparejamiento

El concepto de emparejamiento (o apareamiento) aquí tratado es referente al campo de las matemáticas, específicamente al álgebra lineal. Con aplicaciones prácticas en el área de la criptografía.

## Definición

Sea R un anillo comutativo más la unidad, y sean M, N y L tres R-módulos.

Un emparejamiento es cualquier mapa bilinear R $e:M\times N\to L$. Que satisfaga:$e(rm,n)=e(m,rn)=re(m,n)$

para cualquier $r\in R$. O equivalentemente, un emparejamiento es un mapa linear R: $M\otimes _{R}N\to L$

donde $M\otimes _{R}N$ denota el producto tensorial de M y N.

Un emparejamiento también puede ser considerado como un mapa linear R $\Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)$, que satisfaga la primera definición y establezca $\Phi (m)(n):=e(m,n)$.

Un emparejamiento es llamado no degenerativo si para el mismo mapa se tiene que $e(m,n)=1$ para todo valor de $m$ y $n=0$.

## Ejemplos

Cualquier producto escalar en un espacio vectorial V real es un emparejamiento (sean M = N = V, R = R en las definiciones anteriores).

El mapa determinante (matriz 2 × 2 en k) $\to$ k se puede considerar como un emparejamiento $k^{2}\times k^{2}\to k$.

El mapa de Hopf $S^{3}\to S^{2}$ definido como $h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}$ es un ejemplo de un emparejamiento. En, Hardie et al. presentan una construcción explícita de este tipo de mapas utilizando conjuntos parcialmente ordenados.

## Emparejamientos criptográficos

El cómputo de los emparejamientos criptográficos utiliza dos grupos, $G_{1}$ y $G_{2}$. Estos dos grupos son finitos, cícilos y aditivamente formulados en donde al menos uno de estos grupos tiene orden primo, denotado como r. El emparejamiento toma un elemento de cada uno de los dos grupos y los mapa hacia un tercero $G_{T}$, el cual es finito, cíclico, pero formulado multiplicativamente, también de order primo r. Un emparejamiento criptográfico útil satisface las siguientes propiedades:

* Bilineariedad:
   * $\forall P,P\in G_{1}$ y $\forall Q,Q\in G_{2}$, se tiene que: $e(P+P,Q)=e(P,Q)\times e(P,Q)$ y $e(P,Q+Q)=e(P,Q)\times e(P,Q)$
* No degeneración:
   * $\forall P\in G_{1}$ con $P\neq 0$, existe $Q\in G_{2}$ tal que $e(P,Q)\neq 1$.
   * $\forall Q\in G_{2}$ con $Q\neq 0$, existe $P\in G_{1}$ tal que $e(P,Q)\neq 1$.
* Computable:
   * e puede ser fácilmente calculado.

Los mejores métodos para calcular los emparejamientos criptográficos están basados en el algoritmo de Miller. Este método está estandarizado de facto y su mejoramiento tanto en el bucle principal como en la llamada exponenciación final es tema actual de investigación.

