Ecuación de la desdoblada
# Ecuación de la desdoblada

En matemáticas, la ecuación de la desdoblada es la ecuación de la recta tangente a una circunferencia que pasa por uno de los puntos de dicha circunferencia.

## Ecuación de la desdoblada de una circunferencia

Sea una circunferencia C de centro $O=(\alpha ,\beta )$ y radio $r$ de ecuación:

    $(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=r^{2}$

que también puede expresarse en la forma

    $x^{2}+y^{2}-2\alpha x-2\beta y+\gamma =0$

donde $\gamma =\alpha ^{2}+\beta ^{2}-r^{2}$.

Sea $P(x_{P},y_{P})$ un punto perteneciente a dicha circunferencia.

La ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por dicho punto será perpendicular al radio que pasa por P, y se puede demostrar que su ecuación es:

    $(x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma$
* Demostración
* La ecuación de la recta tangente por $(x_{P},y_{P})$ será
* $y-y_{P}=m(x-x_{P})$
* El problema se reduce a encontrar la pendiente m tal que la recta resultante sea perpendicular al radio que pasa por P. Una vez obtenida la pendiente $m_{R}$ de la recta ${\overline {OR}}$, la pendiente buscada será $m=-1/m_{R}$.
* Las coordenadas del centro O de la circunferencia son $(\alpha ,\beta )$. Por tanto
* $m_{R}={\frac {y_{P}-\beta }{x_{P}-\alpha }}$, y
* $m=-{\frac {x_{P}-\alpha }{y_{P}-\beta }}$
* luego
* $y-y_{P}=-{\frac {x_{P}-\alpha }{y_{P}-\beta }}(x-x_{P})$
* reordenando términos:
* $(x_{P}-\alpha )(x-x_{P})+(y-y_{P})(y_{P}-\beta )=0$
* (1)$(x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-\alpha x_{P}-\beta y_{P}$
* dado que el punto P pertenece a la circunferencia, satisface su ecuación, luego
* $x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-\alpha x_{P}-\beta y_{P}=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma$
* sustituyendo en (1)
* (2)$(x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma$

### Ejemplo

La circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+8y-33=0$ pasa por el punto P = (4, 3). La ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia que pasa por el punto dado P es:

    $(4-2)x+(3+4)y=2\cdot 4-4\cdot 3+33$
    $2x+7y=29$
