Espacio T1
# Espacio T1

* Axiomas de separación en espacios topológicos
* $T_0$
* $T_1$
* $T_2$
* $T_{2½}$
* completamente $T_2$
* $T_3$
* $T_{3½}$
* $T_4$
* $T_5$
* $T_6$

En topología un espacio $T_1$ o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

## Definición

Un espacio topológico $E$ es $T_{1}$ si para cada pareja de elementos distintos $x$, $y$ de $E$ existe un abierto que contiene a $x$ y no a $y$. Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a $y$ y no a $x$, ya que también se cumple para la pareja $y$, $x$. Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos $x$ e $y$ de $E$ existe un abierto que contiene a $x$ y no a $y$ y también existe un abierto que contiene a $y$ y no a $x$

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo $x$ e $y$, sería un espacio de Hausdorff o $T_{2}$).

## Propiedades

Sea $X$ un espacio topológico. Son equivalentes:

* $X$ es un espacio $T_{1}$.
* $X$ es un espacio $T_{0}$ y un espacio $R_{0}$.
* Para cada $x$ de $X$, $\{x\}$ es cerrado.
* Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
* Todo subconjunto de $X$ es la intersección de sus entornos.
* Todo suconjunto finito de $X$ es cerrado.
* Todo subconjunto cofinito de $X$ es abierto.
* El ultrafiltro principal de $x$ converge solamente a $x$.
* Para cada punto $x$ de $X$ y todo subcojunto $S$ de $X$, $x$ es un punto límite de $S$ si y solo sí es un punto de acumulación de $S$.

La propiedad de ser $T_1$ es hereditaria, es decir, los subespacios de un $T_1$ es también $T_1.$

## Nota y casos

* Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.
* Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.
* Sea $X=\{a,b,c\}$ con la topología formada por los subconjuntos de $X$ siguientes: $\emptyset$, $\{b\}$, $\{a,b\}$, $\{b,c\}$, $X$. No es $T_1$ ya que $\{b\}$ no es cerrado.

### Teorema

Un espacio topológico es $T_1$ si y solo si cada punto es un conjunto cerrado.

## Ejemplos

* La topología cofinita sobre un conjunto infinito es $T_1$ pero no $T_2.$
* El espacio topológico de Sierpinski es $T_0$ pero no es $T_1.$
