Notación multi-índice
# Notación multi-índice

La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente, un multi-índice $\alpha \,$ es una n-tupla de números enteros, cuya medida $|\alpha |\,$ viene dada por:

   $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n},\qquad |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}$

Se define $\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!$ Esta notación multi-índice simplifica muchas fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable, en las ecuaciones diferenciales parciales o en la teoría de distribuciones, al generalizar el concepto de una índice entera a una tupla ordenada de índices.

## Derivación

Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:

   $D^{\alpha }f\equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\,.$

## Polinomios

Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios $K[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$. La expresión $X^{\alpha }$, escrita mediante multi-índice $\alpha$, representa el monomio de n variables dado por

   $X^{\alpha }\equiv X_{1}^{\alpha _{1}}X_{2}^{\alpha _{2}}\dots X_{n}^{\alpha _{n}}$.

## Otros contextos y sus propiedades básicas

Un n -dimensional multiíndice es una n-tupla

   $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$

de enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto de números naturales de n, denotado $\mathbb {N} _{0}^{n}$).

Para los multiíndices $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ y $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ se define:

### Suma y diferencia por componentes

   $\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

### Orden parcial

   $\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$

### Suma de componentes (valor absoluto)

   $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$

### Factorial

   $\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$

### Coeficiente binomial

   ${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}$

### Coeficiente multinomial

   ${\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}$
   donde $k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}$

### Potencias

   $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$

### Derivada parcial de orden superior

   $\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}$
   where $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$

(véase también 4-gradiente). A veces también se utiliza la notación $D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }$.

