Factor de inflación de la varianza
# Factor de inflación de la varianza

En estadística, el factor de inflación de la varianza (FIV, a veces también conocido por su nombre en inglés, variance inflation factor, y de ahí VIF) cuantifica la intensidad de la multicolinealidad en un análisis de regresión normal de mínimos cuadrados. Proporciona un índice que mide hasta qué punto la varianza (el cuadrado de la desviación estándar estimada) de un coeficiente de regresión estimado se incrementa a causa de la colinealidad.

## Definición

Considerando el siguiente modelo lineal con k variables independientes

    Y = $β_0$ + $β_1$ $X_1$ + $β_2$ X $_2$ + ... + $β_k$ $X_k$ + ε.

El error estándar de la estimación de $β_j$ es la raíz cuadrada de los j+1, j+1 como elemento de $s^2(X^′X)^{−1},$ donde s es la raíz del error cuadrático medio (RECM), teniendo en cuenta que $RECM^2$ es un estimador insesgado de la varianza del error $\sigma ^{2}$); X es la regresión de la matriz de diseño -una matriz en la que $X_{i,j+1}$ es el valor de la j enésima variable independiente para el i enésimo caso u observación, por lo que $X_{i,1}$ es 1 para todo i-. Resulta que el cuadrado de este error estándar, la varianza estimada de $β_j,$ puede expresarse de manera equivalente como:

    ${\rm {\widehat {var}}}({\hat {\beta }}_{j})={\frac {s^{2}}{(n-1){\widehat {\rm {var}}}(X_{j})}}\cdot {\frac {1}{1-R_{j}^{2}}},$

donde $R_j^2$ es el múltiplo $R^2$ para la regresión de $X_j$ sobre otras covariables (una regresión que no involucra la respuesta de la variable Y). Esta identidad separa las influencias de varios factores diferentes en la varianza de la estimación del coeficiente:

* $s^2:$ una gran dispersión en los datos de la representación de la regresión llevan proporcionalmente a una mayor varianza en las estimaciones de los coeficientes.
* n: un gran tamaño de la muestra se traduce proporcionalmente en una menor varianza en los estimadores del coeficiente.
* ${\widehat {\rm {var}}}(X_{j})$: una gran variabilidad en una covariable particular lleva proporcionalmente a una menor varianza en la correspondiente estimación del coeficiente.

## Cálculo y análisis

Se pueden calcular los k factores de inflación de la varianza diferentes (uno para cada $X_i)$ en tres pasos:

### Primer paso

En primer lugar se realiza una regresión de mínimos cuadrados que tenga a $X_i$ como una función de las demás variables explicativas de la primera ecuación.

Si i = 1, por ejemplo, la ecuación sería:

    $X_{1}=\alpha _{2}X_{2}+\alpha _{3}X_{3}+\cdots +\alpha _{k}X_{k}+c_{0}+e$

donde $c_0$ es una constante y e es el error.

### Segundo paso

En segundo lugar, se calcula el factor de inflación de la varianza para ${\hat {\beta }}_{i}$ con la siguiente fórmula:

    $\mathrm {FIV_{i}} ={\frac {1}{1-R_{i}^{2}}}$

donde $R^2_i$ es el coeficiente de determinación de la ecuación de regresión del primer paso, con $X_{i}$ en el lado izquierdo y el resto de variables predictivas en el derecho.

### Tercer paso

Se analiza la magnitud de la multicolinealidad considerando el tamaño de $\operatorname {FIV} ({\hat {\beta }}_{i})$. Si $\operatorname {FIV} ({\hat {\beta }}_{i})>10$, la multicolinealidad es alta.

