Carácter de Dirichlet
# Carácter de Dirichlet

En teoría de números, los caracteres de Dirichlet son un cierto tipo de funciones aritméticas que derivan de caracteres completamente multiplicativos sobre las unidades $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$. Los caracteres de Dirichlet son usados para definir las Funciones L de Dirichlet, las cuales son funciones meromorfas, con una variedad interesante de propiedades analíticas. Si $\chi$ es un carácter de Dirichlet, se define su serie L de Dirichlet de la siguiente manera:

    $L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$

donde s es un número complejo con la parte real > 1. Por continuación analítica, esta función puede ser extendida a una función meromorfa en todo el plano complejo. Las funciones L de Dirichlet son generalizaciones de la función zeta de Riemann y aparecen en la hipótesis generalizada de Riemann.

Los caracteres de Dirichlet y sus L-series fueron introducidos por Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, en 1831, con el fin de demostrar el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. Sólo los estudió para s reales y sobre todo cuando s tiende a 1. La extensión de estas funciones a s complejos en el completo plano complejo fue obtenida por Bernhard Riemann en 1859.

## Definición axiomática

Un carácter de Dirichlet es cualquier función χ de números enteros a números complejos con las siguientes propiedades:

* Existe un entero positivo k tal que χ(n) = χ(n + k) para todo n.
* Si mcd (n,k) > 1 entonces χ(n) = 0; si mcd(n,k) = 1 entonces χ(n) ≠ 0.
* χ(mn) = χ(m)χ(n) para todo los enteros m y n.

Estas consecuencias son importantes:

Por la propiedad 3), χ(1)=χ(1×1)=χ(1)χ(1); puesto que mcd(1, k) = 1, por la propiedad 2) se tiene que χ(1) ≠ 0, así que

    4. χ(1) = 1.

Las propiedades 3) y 4) muestran que cada carácter es completamente multiplicativo.

La propiedad 1) dice que un carácter es periódico con periodo k; se dice que χ es un carácter según el modulus k. Esto es equivalente a decir que

    5. Si a ≡ b (mod k) entonces χ(a) = χ(b).

Si el mcd(a,k) = 1, el teorema de Euler dice que $a^{φ(k)}$ ≡ 1 (mod k) (donde φ(k) es la función φ de Euler). Por lo tanto, por 5) y 4), $χ(a^{φ(k)})$ = χ(1) = 1, y por 3), $χ(a^{φ(k)})$ $=χ(a)^{φ(k)}.$ Así que

    6. Para todo a primo relativo con k, χ(a) es una φ(k)-ésima raíz de la unidad compleja.

El único carácter de periodo 1 se llama carácter trivial. Nótese que cualquier carácter se anula en 0 excepto el carácter trivial, el cual es 1 para todos los enteros.

Un carácter es llamado principal si éste da el valor 1 para argumentos que sean coprimos con sus módulos y que de otra manera sean 0. Un carácter es llamado real si toma valores reales únicamente. Un carácter que no es real es denominado complejo.

El signo de un carácter χ depende de su valor en −1. Específicamente, se dice que χ es impar si χ(−1) = −1 y par si χ(−1) = 1.

