H-cuadrado
# H-cuadrado

En matemáticas y teoría de control, H $^2,$ o H-cuadrado es un espacio de Hardy con la norma del cuadrado. Es un subespacio del espacio $L^2,$ y por lo tanto es un espacio de Hilbert. En particular, es un kernel de reproducción de espacio de Hilbert.

## En el círculo unitario

En general, los elementos de $L^2$ en el círculo unitario están dados por

    $\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$

mientras que los elementos de $H^2$ están dadas por

    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$

La proyección de $L^2$ a $H^2$ (estableciendo $a_n$ = 0 cuando n < 0) es ortogonal.

## En el semiplano

La transformada de Laplace ${\mathcal {L}}$dada por

    $[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

se puede entender como un operador lineal

    ${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)$

donde $L^{2}(0,\infty )$es el conjunto de funciones cuadradas-integrables en la recta numérica real positiva, y $\mathbb {C} ^{+}$es la mitad derecha del plano complejo. Es más; es un isomorfismo, en que es invertible, y es isométrico , en que satisface

    $\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$

La transformada de Laplace es "la mitad" de una transformada de Fourier; de la descomposición

    $L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$

uno entonces obtiene una descomposición ortogonal de $L^{2}(\mathbb {R} )$en dos espacios resistentes

    $L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$

Este es esencialmente el teorema de Paley-Wiener .

