Identidad de Proizvolov
# Identidad de Proizvolov

En matemática, la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 (Savchev y Andreescu, 2002, p. 66).

Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos,

    1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,

y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno. Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente):

    $A_{1}<A_{2}<\cdots <A_{N}.$

Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente):

    $B_{1}>B_{2}>\cdots >B_{N}.$

Entonces la suma

    $|A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+\cdots +|A_{N}-B_{N}|$

es siempre igual a $N^2.$

## Ejemplo

Tómese por ejemplo N = 3. El conjunto de números es entonces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionan tres números de este conjunto, por ejemplo el 2, 3 y 5. Entonces las secuencias A y B son:

    $A_1$ = 2, $A_2$ = 3, y $A_3$ = 5;
    $B_1$ = 6, $B_2$ = 4, y $B_3$ = 1.

La suma es

    $|A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+|A_{3}-B_{3}|=|2-6|+|3-4|+|5-1|=4+1+4=9,$

la cual indica que es igual a $3^2.$

