Filtración (álgebra abstracta)
# Filtración (álgebra abstracta)

En matemáticas, una filtración ${\mathcal {F}}$ es un conjunto indexado $S_i$ de subestructuras de una estructura algebraica S, recorriendo el subíndice i cierto conjunto I (el conjunto I debe ser un conjunto totalmente ordenado) y cumpliendo la condición:

   $\forall i,j\in I:i\leq j\Rightarrow S_{i}\subseteq S_{j}$

Si el índice i es el parámetro tiempo de un proceso estocástico, entonces la filtración puede interpretarse como una representación de todo el histórico de información hasta un instante dado, y nunca incluirá información que sólo estará disponible en el futuro. Así el objeto $S_i$ irá haciéndose más informativo y complejo a medida que i crece. Definido eso, un proceso se dice adaptado a la filtración ${\mathcal {F}}$, si es un proceso no anticipatorio, es decir, "no puede prever el futuro".

A veces, como en una álgebra filtrada, se impone el requerimiento de que las $S_{i}$ sean subálgebras con respecto a algunas operaciones determinadas (como por ejemplo, la suma vectorial), pero no necesariamente con respecto a otras. A veces, se asume que las filtraciones satisfarán requerimientos adicionales como que la unión de todas las $S_{i}$ debe ser el conjunto $S$ completo, o el que homomorfismo canónico del límite directo de las $S_{i}$ en $S$ sea de hecho isomorfismo.

## Ejemplos

### Álgebra

**Grupos**

En álgebra, las filtraciones usualmente se indexan mediante $\mathbb {N}$, el conjunto de los números naturales. Una filtración de un grupo G, es entonces una sucesión anidada $G_n$ de subgrupos normales de G (es decir, para cualquier n se tiene $G_{n+1}$ ⊆ $G_n).$ Nótese que este uso del término "filtración" se corresponde con la noción de "filtración descendente".

Dado un grupo G y una filtración $G_n,$ existe una manera natural de definir una topología sobre G, "asociada" a dicha filtración. Una base para esta topología sería el conjunto de todas las traslaciones de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un conjunto de G se define como abierto si es la unión de conjuntos de la forma $aG_n,$ donde a∈G y n es un número natural.

La topología asociada a una filtración sobre un grupo G hace de G un grupo topológico. La topología asociada a una filtración $G_n$ sobre un grupo G es Hausdorff si y solo si $∩G_n$ = {1}.

