Cuerpo de descomposición
# Cuerpo de descomposición

En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

## Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo $K$, y un polinomio no constante $p(X)\in K[X]$ (con coeficientes en $K$) de grado $n>0$, se define el cuerpo de descomposición de $p$ como un cuerpo $E_{p}$ que cumple:

* Que el polinomio $p(X)$ descompone completamente en $E_{p}$, es decir, que se puede expresar $p(X)$ como

       $p(X)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})$, con $\alpha \in K,\alpha _{i}\in E_{p}.$
* Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a $K$ todas las raíces del polinomio $p(X)$:

    $E_{p}=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$.

### Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios $T\subseteq K[X]$ es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios $p(X)\in T\subseteq K[X]$.

## Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo $K$, el cuerpo de descomposición de $K$ es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios $K[X];$ es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en $K.$

En este caso se le llama clausura algebraica de $K$ y se le denota por ${\bar {K}}$.

Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a $K$, también contiene a ${\bar {K}}$:

    $\forall \,\Omega {\mbox{ algebr. cerrado, }}K\subseteq \Omega \Rightarrow K\subseteq {\bar {K}}\subseteq \Omega$
