Transformada de Möbius
# Transformada de Möbius

En teoría de números, la transformada de Möbius, llamada así en honor a August Ferdinand Möbius es una transformación de funciones aritméticas. Si f es una función definida sobre los números enteros positivos, Tf viene dada por

    $(Tf)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\mu \left({n \over d}\right)=\sum _{d\mid n}f\left({n \over d}\right)\mu (d)$

donde μ es la función de Möbius clásica. En un lenguaje más común y extendido por razones históricas, la función Tf se llama inversa de Möbius de f. (La notación d | n significa que d es un divisor de n).

La transformación toma funciones aritméticas, o sea, funciones f: N → C y devuelve funciones aritméticas. Sobre funciones generadas mediante series de Dirichlet, se corresponde a una división por la función zeta de Riemann.

La transformada inversa $T^{-1}f$ viene dada por

    $(T^{-1}f)(n)=\sum _{d\mid n}f(d).$

## Relaciones con series

Sea

    $a_{n}=\sum _{d\mid n}b_{d}$

de manera que

    $b_{n}=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d}$

sea su transformada de Möbius. Las transformadas están relacionadas por medio la serie de Lambert de la siguiente manera:

    $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}$

y por medio de las series de Dirichlet:

    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}$

donde $\zeta (s)$ es la función zeta de Riemann.

