Transformada ondícula
# Transformada ondícula

En matemáticas, una serie de ondículas es una representación de un cuadrado-integrable (real- o complejo-valorado) función por una serie ortonormal segura generada por una ondícula. Este artículo proporciona una definición formal, matemática de una ondícula ortonormal y la integral de esta transformada.

## Definición

Una función $\scriptstyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )$ es llamada una ondícula ortonormal si pueda ser utilizado para definir una base Hilbert, siendo un sistema ortonormal completo , para el espacio Hilbert $\scriptstyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ de funciones integrables cuadradas.

La base Hilbert está construido como la familia de funciones $\scriptstyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}$ con medias de translaciones diádicas y dilataciones de {\displaystyle \scriptstyle \psi \,} ,

Para enteros

Z {\displaystyle \scriptstyle j,\,k\,\en \,\mathbb } .

Si bajo el producto interno estándar en L

( R ) {\displaystyle \scriptstyle L^{2}\izquierda(\mathbb {R} \correcto)} ,

Esta familia es ortonormal, es un sistema ortonormal :

Dónde

{\displaystyle \scriptstyle \delta _{jl}\,} es el Kronecker delta.

la integridad es satisfecha si cada función f

L

( R ) {\displaystyle \sciptstyle f\,\en \,L^{2}\izquierda(\mathbb {R} \correcto)} puede ser expandido en la base cuando

con la convergencia de la serie entendido como convergencia en norma. Tal representación de f se entiende como una serie de ondículas. Esto implica que una ondícula ortonormal self-dual.

La transformada de ondícula integral es la transformada integral definida como

Los coeficientes ondícula c

{\displaystyle \scriptstyle c_{jk}} están dados por

Aquí,

= 2 − j { un\;=\;^{-}} se llama dilatación binaria, y b =

2

j {\displaystyle \scriptstyle b\;=\;k2^{-j}} es la posición binaria.

## Principio

La idea fundamental de la transformada de ondícula tendría que permitir cambios únicos en extensión de tiempo, pero no en forma. Esto está afectado por la elección de funciones básicas adecuadas.Plantilla:How Los cambios en la extensión de tiempo están esperados para conformar a la frecuencia de análisis correspondiente de la función de base. Basado en el principio de incertidumbre de procesamiento de señal,

Dónde t representa tiempo y ω frecuencia angular (ω = 2πf, donde f es frecuencia temporal).

Entre mayor resolución de tiempo requerido, menor debe ser la resolución en frecuencia. Entre más grande es la extensión de la ventana de análisis escogida, mayor es el valor de Plantilla:How

Cuándo Δt es grande,

* Resolución de tiempo malo
* Resolución de frecuencia buena
* Frecuencia baja, grande scaling factor

Cuándo Δt es pequeño

* Resolución de tiempo bueno
* Resolución de frecuencia mala
* Frecuencia alta, pequeño scaling factor

En otras palabras, la función de base Ψ puede ser considerada como una respuesta de impulso de un sistema con la función x(t) siendo filtrado. La señal transformada proporciona información sobre el tiempo y la frecuencia. Por tanto, la transformada de ondícula contiene la información similar a la transformada de fourier de tiempo corto, pero con propiedades especiales adicionales de las ondículas, los cuales aparecen en la resolución en tiempo en frecuencias de análisis más alto de la función de base. La diferencia en resolución de tiempo en frecuencias ascendentes para la la transformada de Fourier y transformada de ondícula está mostrado abajo.

Esto muestra que la transformada de ondícula es buena en resolución de tiempo de frecuencias altas, mientras para funciones de lenta variación, la resolución de frecuencia es destacable.

Otro ejemplo: El análisis de tres señales sinusoidales superpuestas y (

) = pecado ⁡ (

π f 0

t )

t ) {\displastyle \scriptstyle y(t)\;=\;\pecado(2\pi f_{0}t)\;+\;\pecado(4\pi f_{0}t)\;+\;\pecado(8\pi f_{0}t)} Con STFT y transformada de ondícula.

## Compresión de ondícula

La compresión de ondícula es una forma de compresión de datos bien convenida para compresión de imagen (a veces también compresión de vídeo y compresión de audio). Las implementaciones notables son JPEG 2000, DjVu y ECW para imágenes quietas, CineForm, y Dirac de la BBC. El objetivo es almacenar dato de imagen en el menor tamaño posible de archivo. La compresión de ondícula puede ser del tipo lossless o lossy.

Utilizando un compresión de ondícula, el wavelet métodos de compresión son adecuados para representar transients, como sonidos de percusión en audio, o alto-componentes de frecuencia en imágenes bidimensionales, por ejemplo una imagen de estrellas en un cielo de noche. Esto significa que los elementos transitorios de una señal de dato pueden ser representados por una cantidad más pequeña de información que sería el caso si algunos otro transformar, como el más extendido discreto cosine transformar, había sido utilizado.

### Método

Primero un wavelet transforma está aplicado. Esto produce tan muchos coeficientes tan hay píxeles en la imagen (i.e., no hay ninguna compresión todavía desde entonces es solo un transformar). Estos coeficientes entonces pueden ser comprimidos más fácilmente porque la información es statistically concentrado en justo unos cuantos coeficientes. Este principio se apellida transforma codificación. Después de que aquello, los coeficientes son quantized y el quantized los valores son entropía codificados y/o la longitud corrida codificó.

Unos cuantos 1D y 2#D aplicaciones de wavelet la compresión utiliza una técnica llamó "wavelet huellas".

## Vee también

* Continuo wavelet transforma
* Discreto wavelet transforma
* Complejo wavelet transforma
* Dual wavelet
* Multiresolution Análisis
* MrSID, el formato de imagen desarrollado de original wavelet búsqueda de compresión en Laboratorio Nacional Los Álamos (LANL).
* ECW, un wavelet-basado geospatial formato de imagen diseñado para velocidad y procesando eficacia
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* DjVu El formato utiliza wavelet-basó IW44 algoritmo para compresión de imagen
* scaleograms, un tipo de espectrograma generó utilizar wavelets en vez de Fourier de tiempo a escaso transforma.
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