Número de Munchausen
# Número de Munchausen

En teoría de números, un invariante perfecto dígito a dígito (PDDI por las siglas del término inglés "perfect digit-to-digit invariant"; también conocido como número de Munchausen) es un número natural en una base $b$ dada que es igual a la suma de sus dígitos, cada uno elevado a una potencia igual a sí mismo.

Un ejemplo en base 10 es 3435, porque: $3435=3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}$.

El término "número de Munchausen" fue acuñado por el matemático e ingeniero de software holandés Daan van Berkel en 2009, ya que evoca la historia del Barón de Münchhausen que se levantaba del suelo tirando de su propia coleta, lo que sirve de referencia a que cada dígito se debe elevar a una potencia igual a sí mismo.

## Definición

Sea $n$ un número natural que se puede escribir en base $b$ como el número de k dígitos $d_{k-1}d_{k-2}...d_{1}d_{0}$ donde cada dígito $d_{i}$ está entre $0$ y $b-1$ inclusive, y $n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}$. Se define la función $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ como $F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_{i}}^{d_{i}}$.

Como $0^0$ no siempre está definido, se usan dos convenciones, una en la que se considera que es igual a uno y otra en la que se considera que es igual a cero.

Un número natural $n$ se define como un invariante perfecto dígito a dígito en base b si $F_{b}(n)=n$. Por ejemplo, el número 3435 es un invariante perfecto de dígito a dígito en base 10 porque $3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435$

$F_{b}(1)=1$ para todo $b$, y por lo tanto 1 es un invariante perfecto dígito a dígito "trivial" en todas las bases, y todos los demás invariantes dígito a dígito perfectos son "no triviales". Para la segunda convención donde $0^{0}=0$, tanto $0$ como $1$ son invariantes perfectos de dígito a dígito triviales.

Un número natural $n$ es un invariante dígito a dígito sociable si es un punto periódico para $F_{b}$, donde $F_{b}^{k}(n)=n$ para un entero positivo $k$, y forma un ciclo de período $k$. Un invariante perfecto dígito a dígito es un invariante sociable dígito a dígito con $k=1$. Un invariante dígito a dígito amistoso es un invariante dígito a dígito sociable con $k=2$.

Todos los números naturales $n$ son puntos preperiódicos para $F_{b}$, independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base $b$ con $k$ dígitos satisfacen que $b^{k-1}\leq n\leq (k){(b-1)}^{b-1}$. Sin embargo, cuando $k\geq b+1$, $b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}$, por lo que cualquier $n$ satisfará a $n>F_{b}(n)$ hasta $n<b^{b+1}$.

Hay un número finito de números naturales menor que $b^{b+1}$, por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que $b^{b+1}$, convirtiéndolo en un punto preperiódico. Esto también significa que hay un número finito de invariantes dígito a dígito perfectos y ciclos para cualquier base dada $b$.

El número de iteraciones $i$ necesarias para que $F_{b}^{i}(n)$ alcance un punto fijo es la función de persistencia $b$-factorión de $n$, e indefinido si nunca llega a un punto fijo.

## Invariantes y ciclos perfectos dígito a dígito de $F_b$ para b específica

Todos los números están representados en la base $b$.

### Convención $0^0$ = 1

| Base | Invariantes dígito a dígito perfectos no triviales ($n\neq 1$) | Ciclos |
| - | - | - |
| 2 | 10 | $\varnothing$ |
| 3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
| 4 | 131, 313 | 2 → 10 → 2 |
| 5 | $\varnothing$ | 2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104 |
| 6 | 22352, 23452 | 4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445 |
| 7 | 13454 | 12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066 |
| 8 | | 405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405 |
| 9 | 31, 156262, 1656547 | |
| 10 | 3435 | |
| 11 | | |
| 12 | 3A67A54832 | |

### Convención $0^0$ = 0

| Base | Invariantes dígito a dígito perfectos no triviales ($n\neq 0$, $n\neq 1$) | Ciclos |
| - | - | - |
| 2 | $\varnothing$ | $\varnothing$ |
| 3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
| 4 | 130, 131, 313 | $\varnothing$ |
| 5 | 103, 2024 | 2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9 |
| 6 | 22352, 23452 | 5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53 |
| 7 | 13454 | |
| 8 | 400, 401 | |
| 9 | 30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084 | |
| 10 | 3435, 438579088 | |
| 11 | $\varnothing$ | $\varnothing$ |
| 12 | 3A67A54832 | |

## Ejemplos de programación

### Python

El siguiente programa en Python determina si un número entero es un Número de Munchausen (o invariante perfecto dígito a dígito) o no, siguiendo la convención $0^{0}=1$.

Los ejemplos siguientes desarrollan la función invariante de dígito a dígito perfecta descrita en la definición anterior en Python para las dos convenciones.

### Java

El siguiente programa en Java determina si un número entero es un Número de Munchausen o no, siguiendo la convención $0^{0}=1$.

