3-variedad
# 3-variedad

En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$.

Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.

## Ejemplos sin frontera

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera $S^{3}\,$. Otro más es el espacio proyectivo $\mathbb {R} P^{3}$. Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

    $S^{2}\times S^{1}$
    $\mathbb {R} P^{2}\times S^{1}$
    $T\times S^{1}$
    $K\times S^{1}$

O bien fibrados de la forma $S^{1}\subset E\to \Sigma$, donde $\Sigma$ es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También tenemos los fibrados de las forma $F\subset E\to S^{1}$, siendo $F$ una superficie cerrada. Estos son fuente de ejemplos muy importantes.

## Ejemplos con frontera

Hay 3-variedades con frontera, como la 3-bola unitaria $D^{3}\,$ o el toro sólido $D^{2}\times S^{1}$, cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente. La botella de Klein sólida es otro ejemplo de tres variedad con frontera que es una superficie una botella de Klein.

También están todos los fibrados de la forma

       $I\subset E\to F$ (fibrado I)

donde $I$ es un intervalo y $F$ una superficie. Ejemplo es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein, $K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}$, que es el fibrado $I$ que construye pegando dos toros sólidos identificando dos aros en la frontera, uno en cada uno de ellos. Cada uno de estos aros es la vecindad regular de una curva $(2,1)\,$ dos-longitudes y un meridiano, i.e. un nudo tórico. Sabemos que su frontera, $\partial (K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O})$, es un toro $S^{1}\times S^{1}$. Además $K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}$ corresponde a $M{\ddot {o}}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}$.

Otro ejemplo es el producto cartesiano $M{\ddot {o}}\times S^{1}$ de la banda de Möbius con el círculo y el cual es $T{\stackrel {\sim }{\times }}I$ y es diferente a $K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}$.

También la frontera $\partial (M{\ddot {o}}\times S^{1})$ es $(\partial M{\ddot {o}})\times S^{1}$, lo cual, también es un toro $S^{1}\times S^{1}$.

## Algunas clases de 3-variedades

* Complementos de nudos y enlaces (knots and links)
* Fibrado de Seifert clásico fibrado de Seifert. Fibrado de Scott
* Espacios lentes (lens spaces)
* Fibrados por superficie (Surface Bundles) sobre el círculo
* Variedades de Haken
* Graph manifolds
* Esferas homológicas.

## Resultados Fundamentales

* Teorema de Descomposición Prima
* Teorema de Moise
* Descomposición de JSJ
* Teoremas del Lazo y la Esfera (que generalizan el Lema de Dehn).
* Teorema de Geometrización para variedades de Haken
* Teorema de Lickorish-Wallace

## Problemas famosos

* Conjetura de Poincaré
* Geometrización de Thurston
* Conjetura de la fibración virtual.
* Conjetura de ser virtualmente Haken.
