Identidad de Roy
# Identidad de Roy

La identidad de Roy es un resultado importante en la microeconomía que tiene aplicaciones en la teoría del consumidor y la teoría de la empresa. El lema relaciona la función de demanda marshalliana (ordinaria) con las derivadas de la función de utilidad indirecta. Específicamente, denota la función de utilidad indirecta como $v(p,w)$, la función de demanda marshalliana para el bien $i$ puede calcularse comoː

    $x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}$

donde $p$ es el vector de precios de los bienes y $w$ el ingreso. La identidad es nombrada a partir del economista francés René Roy, quien la publicó en Econometrica en 1947.

## Derivación de la identidad

La identidad de Roy reformula el lema de Shephard para obtener una función de demanda marshalliana para un individuo y un bien ($i$) de alguna función de utilidad indirecta.

El primer paso es considerar la identidad obtenida al sustituir la función de gasto por riqueza o ingreso $w$ en la función de utilidad indirecta $v(p,w)$, a una utilidad de $u$ː

    $v(p,e(p,u))=u$

Esto dice que la función de utilidad indirecta evaluada de tal manera que minimiza el costo de lograr una determinada utilidad dado un conjunto de precios (un vector $p$) es igual a esa utilidad cuando se evalúa a esos precios.

Tomando la derivada de ambos lados de esta ecuación con respecto al precio del bien $p_{i}$(manteniendo el nivel de utilidad constante) tiene como resultadoː

    ${\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0$

Reorganizandoː

    $-{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))$

con la penúltima igualdad siguiendo el lema de Shephard y la última igualdad de una propiedad básica de la demanda hicksiana (compensada).

## Prueba utilizando el teorema de la envolvente

Para facilitar la explicación, considere un caso de dos bienes. La función de utilidad indirecta $v(p_{1},p_{2},w)$ es la función de valor del problema de optimización restringida caracterizado por el siguiente lagrangiano:

    ${\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})$

Por el teorema de la envolvente, las derivadas de la función $v(p_{1},p_{2},w)$ con respecto a los parámetros son:

    ${\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}$
    ${\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda$

Donde $x_{1}^{m}$ es el maximizador (es decir, la función de demanda marshalliana para el bien 1). Por tanto:̟

    $-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}$

## Aplicaciones

La identidad proporciona un método para derivar la función de demanda marshalliana de un bien para un consumidor a partir de la función de utilidad indirecta. Es fundamental para derivar la ecuación de Slutski.

