Rigidez
# Rigidez

En ingeniería, la rigidez es una medida cuantitativa de la oposición a las deformaciones elásticas producidas en un material a causa de una fuerza o un esfuerzo, que contempla la capacidad de un elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones.

Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.

   $K_{i}={\frac {F_{i}}{\delta _{i}}}$

Para barras o vigas se habla así de rigidez axial, rigidez flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.

## Rigideces de prismas mecánicos

El comportamiento elástico de una barra o prisma mecánico sometido a pequeñas deformaciones está determinado por 8 coeficientes elásticos. Estos coeficientes elásticos o flexibles depende de:

* La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar cables más gruesos para arriostrar debidamente los mástiles de los barcos que son más largos, o que para hacer vigas más rígidas se necesiten vigas con mayor sección y más grandes.
* El material del que esté fabricada la barra, si se fabrican dos barras de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene mayor módulo de Young (E).
* La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra, entre dos barras de la misma sección transversal y fabricadas del mismo material, la barra más larga sufrirá mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.

Funcionalmente las rigideces tienen la forma genérica:

$K_{i}=\alpha _{i}{\frac {ES_{i}}{L^{\beta _{i}}}}$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $K_{i}$ | Rigidez |
| $E$ | Módulo de Young |
| $L$ | Longitud de la barra |
| $S_{i}$ | Magnitud puramente geométrica dependiente del tamaño y forma de la sección transversal |
| $\alpha _{i}$ | Coeficientes adimensional dependiente del tipo de rigidez que se está examinando |
| $\beta _{i}$ | Coeficientes adimensional dependiente del tipo de rigidez que se está examinando |

Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que representa el comportamiento elástico dentro de una estructura.

### Rigidez axial

La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de cargas según su eje.

$K_{ax}={\frac {N_{x}}{\delta _{x}}}={\frac {EA}{L}}$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $K_{ax}$ | Rigidez axial |
| $A$ | Área de la sección transversal |
| $E$ | Módulo de Young del material de la barra |
| $L$ | Longitud |

### Rigidez flexional

La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

   $K_{flex,y}={\frac {M_{y}}{\theta _{y}}}={\frac {EI_{y}}{L}}\qquad K_{flex,z}={\frac {M_{z}}{\theta _{z}}}={\frac {EI_{z}}{L}}$

Donde $I_{z},I_{y}$ son los segundos momentos de área de la sección transversal de la barra.

### Rigidez frente a cortante

La rigidez frente a cortante es la relación entre los desplazamientos verticales de un extremo de una viga y el esfuerzo cortante aplicado en los extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según cada una de las direcciones principales:

   $K_{cort,y}={\frac {V_{y}}{\delta _{y}}}={\frac {12EI_{y}}{L^{3}}}\qquad K_{cort,z}={\frac {V_{z}}{\delta _{z}}}={\frac {12EI_{z}}{L^{3}}}$

### Rigidez mixta flexión-cortante

En general debido a las características peculiares de la flexión cuando el momento flector no es constante sobre una taza prismática aparecen también esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexión aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzan desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexión. Para representar adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexión, y los giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-flexión que para una barra recta resulta ser igual a:

   $K_{mcf,y}={\frac {6EI_{y}}{L^{2}}}\qquad K_{mcf,z}={\frac {6EI_{z}}{L^{2}}}$

### Rigidez torsional

La rigidez torsional en una barra recta de sección uniforme es la relación entre el momento torsor aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:

$K_{tors}=\tau _{tors}={\frac {M_{x}}{\theta _{x}}}={\frac {GJ}{L}}$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $K_{tors}$ | Rigidez torsional |
| $G$ | Módulo elástico transversal |
| $J$ | Momento de inercia torsional |
| $L$ | Longitud de la barra |

## Rigideces en placas y láminas

De manera similar a lo que sucede con elementos lineales las rigideces dependen del material y de la geometría, en este caso el espesor de la placa o lámina. Las rigideces en este caso tienen la forma genérica:

$K_{i}=\alpha _{i}{\frac {Eh^{\beta _{i}}}{(1+\nu )^{\delta _{i}}(1-\nu )^{\epsilon _{i}}}}$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $K_{i}$ | Rigidez en placa |
| $\nu$ | Coeficiente de Poisson |
| $E$ | Módulo de Young |
| $h$ | Espesor del elemento bidimensional |
| $\beta _{i}$ | Entero |
| | $\{\delta _{i},\epsilon _{i}\}\subset \{0,1\}$ |

### Rigidez de membrana

La rigidez de membrana es el equivalente bidimensional de la rigidez axial en el caso de elementos lineales viene dada por:

$C={\frac {Eh}{(1-\nu ^{2})}}={\frac {2Gh}{(1-\nu )}}$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $C$ | Rigidez de membrana |
| $\nu$ | Coeficiente de Poisson |
| $E$ | Módulo de Young |
| $G$ | Módulo elástico transversal |
| $h$ | Espesor del elemento bidimensional |

### Rigidez flexional

Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la única rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas por la flexión bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce como rigidez flexional de placas y viene dada por:

$D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}$ :

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $D$ | Rigidez flexional |
| $\nu$ | Coeficiente de Poisson |
| $E$ | Módulo de Young |
| $h$ | Espesor de la placa |

## Flexibilidad

El inverso de la rigidez es la flexibilidad, típicamente medido en unidades de metros por newton. En reología, se puede definir como la relación entre la deformación y la tensión, y así tomar las unidades de tensión recíproca, por ejemplo, 1/Pa.

