Clausura simétrica
# Clausura simétrica

Sea $R$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto $A$, la clausura simétrica o cierre simétrico de $R$, denotada $CS(R)$, es la relación simétrica más pequeña aplicada sobre $A$ que contiene a $R$.

En otras palabras, $CS(R)$ es la relación binaria que verifica:

* $R\subseteq CS(R)$
* $CS(R)\,$ es simétrica
* Si $R'\,$ es una relación simétrica tal que $R\subseteq R'$, entonces $CS(R)\subseteq R'$

Note que si $R$ es simétrica, entonces $CS(R)=R$.

## Cómo calcularla

Si tenemos una relación binaria $\scriptstyle {\mathcal {R}}$ sobre un conjunto de n elementos $\scriptstyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}$, para calcular la clausura simétrica conviene representar esta relación binaria como una matriz booleana $\scriptstyle B_{\mathcal {R}}$ definida como:

   $B_{\mathcal {R}}=[b_{ij}]\quad {\mbox{donde}}\quad b_{ij}:={\begin{cases}1&{\mbox{si}}\ a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\\0&{\mbox{si}}\ \lnot a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\end{cases}}$

Es decir, si el elemento $a_i$ y el elemento $a_j$ están relacionados entonces en la fila i y la columna j de la matriz boleana aparecerá un 1, y si no están relacionados aparecerá un 0.

Si tenemos una relación expresada como matriz booleana, para obtener la matriz que representará a la clausura simétrica se cambian algunos ceros (0) por unos (1), en la matriz de la relación original para que la matriz final sea simétrica respecto de la diagonal principal.

${\begin{matrix}\mathbf {1} &0&1&0&1&0\\0&\mathbf {1} &0&1&0&1\\1&0&\mathbf {1} &0&1&0\\0&1&0&\mathbf {1} &0&1\\1&0&1&0&\mathbf {1} &0\\0&1&0&1&0&\mathbf {1} \\\end{matrix}}$

La regla de cambio es: si $b_{ij}\neq b_{ji}$ entonces debemos hacer el siguiente cambio ${\bar {b}}_{ij}:={\bar {b}}_{ji}=\max\{b_{ij},b_{ji}\}$.

