Notación de Landau
# Notación de Landau

En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

## Definición

La notación de Landau (Edmund Landau) se define de la siguiente forma:

Si f(x), g(x) son funciones complejas definidas en un entorno de un punto $x_{0}$, entonces

* $f=O(g)\,\!$ cuando $x\rightarrow x_{0}$ si y sólo si existe un $\epsilon >0$ tal que $|f(x)|\leq \epsilon |g(x)|$ para todo $x$ en un entorno de $x_{0}\,\!$.
* $f=o(g)\,\!$ cuando $x\rightarrow x_{0}$ si y sólo si para todo $\epsilon >0$ tenemos que $|f(x)|<\epsilon |g(x)|\,\!$ para todo $x$ en un entorno de $x_{0}\,\!$.

Una versión un poco más restrictiva pero más manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ dos funciones definidas para $x>x_{0}.\,\!$ y sea $g(x)\neq 0\ \ \forall x>x_{0}\,\!$. Los símbolos

$f=o(g)\,\!$

$f=O(g)\,\!$

significan respectivamente que $f(x)/g(x)\to 0\,\!$ cuando $x\to x_{0}\,\!$, y que $f(x)/g(x)\,\!$ está acotado para $x\,\!$ suficientemente grande. La misma notación es usada cuando $x\,\!$ tiende a un límite finito o a $-\infty \,\!$, o también cuando $x\,\!$ tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es $o(1)\,\!$ o $O(1)\,\!$ si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones $f(x)\,\!$ y $g(x)\,\!$ definidas en una vecindad de un punto $x_{0}\,\!$ (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si $f(x)/g(x)\to 1\,\!$ cuando $x\to x_{0}\,\!$

Si las fracciones $f(x)/g(x)\,\!$, $g(x)/f(x)\,\!$ están acotadas en una vecindad de $x_{0}\,\!$ se dice que $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ son del mismo orden cuando $x\to x_{0}\,\!$

## Propiedades

Contexto de las propiedades

Sean $a,b\in \mathbb {R} \,\!$ y supóngase que $f\,\!$ es una función definida sobre un intervalo finito o infinito $a\leq x<b\,\!$ y es integrable sobre cualquier intervalo $(a,b')\,\!$ con $b'<b\,\!$ podemos escribir

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t\ \ x\in (a,b')\,\!$

Sea $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots \,\!$ una sucesión de números y sea

$U_{\nu }=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{\nu }\ \ (\nu =0,1,\ldots )\,\!$

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

* Suponga que $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ están definidas en $a\leq x<b\,\!$ e integrables sobre cualquier $(a,b')\,\!$, que $g(x)\geq 0\,\!$ y que $G(x)\to +\infty \,\!$ cuando $x\to b\,\!$. Si $f(x)=o(g(x))\,\!$ cuando $x\to b\,\!$, entonces también se tendrá que $F(x)=o(G(x))\,\!$
* Sean $\{u_{\nu }\},\ \{v_{\nu }\},\ \,\!$ dos sucesiones de números, esta última positiva. Si $\{u_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},\ \,\!$ y $V_{\nu }\to +\infty \,\!$, entonces $U_{\nu }=o(V_{\nu })\,\!$
* Suponga que la serie $\sum v_{\nu }\,\!$ converge, que los $v\,\!$'s son positivos, y que $u_{\nu }=o(v_{\nu })\,\!$. entonces$u_{\nu }+u_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )\,\!$
* Sea $f(x)\,\!$ una función positiva, monótona y finita definida para $x\geq 0\,\!$ y sea$F(x)=\int _{0}^{x}f\mathrm {d} t,\ \ \ F_{n}=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).\,\!$Entonces $(i)$ si $f(x)\,\!$ decrementa, $F(n)-f_{n}$ tiende a un límite finito $(ii)$ si $f(x)\,\!$ incrementa, $F(n)\leq F_{n}\leq F(n)-f(n)_{n}\to +\infty$
* Sea $f(x)\,\!$ positiva, finita y monótona para $x\geq 0\,\!$. Si se cumple $(i)$ $f(x)\,\!$ incrementa y $F(x)\to \infty \,\!$ o $(ii)$ $f(x)\,\!$ incrementa y $f(x)=o(F(x))\,\!$, entonces $F_{n}\,\!$ es asintóticamente igual a $F(n)\,\!$ $\,\!$
