Aleatoriedad estadística
# Aleatoriedad estadística

Una secuencia numérica se dice que es aleatoriedad estadística cuando no contiene patrones reconocibles o regularidades; secuencias como el resultado de una tirada de dados. Existen diversas definiciones que tratan de formalizar la noción intuitiva anterior.

La aleatoriedad estadística no implica necesariamente aleatoriedad "verdadera". La secuencia pseudoaleatoria es suficiente para muchos usos.

## Definiciones formales

### Reales aleatorios

Un número real $0<r=0.r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}\dots <1$ es b-normal (aleatorio en base b) si escrita como expresión numérica:

   $r=r_{1}b^{-1}+r_{2}b^{-2}+\dots =\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}b^{-k},\qquad r_{k}\in \{0,1,\dots ,b-1\}$

Si todas las secuencias de k dígitos que aparecen en la secuencia $r_{m+1}r_{m+2}\dots r_{m+k}$ tienen la misma probabilidad $p_{k}=1/b^{k}$. En los años 1920, Émile Borel conjeturó que la mayor parte de números reales eran aleatorios (concretamente que un número real escogido al azar es con probabilidad 1). Igualmente, la computación de números trascendentes como $\pi$ o $e$ sugieren que sus desarrollos decimales parecen b-normales (ver números de Stoneham). Sin embargo, demostrar formalmente que un número real es realmente b-normal se ha revelado auténticamente difícil. Sólo en 1973, Richard Stoneham demostró formalmente que algunos números reales son b-normales.

La siguiente tabla muestra la aparente 10-normalidad de las cifras de $\pi$:

    SecuenciaOcurrenciasSecuenciaOcurrenciasSecuenciaOcurrencias 099 993 9420010 004 5240001 000 897 199 997 334019 998 2500011 000 758 2100 002 410029 999 2220021 000 447 399 986 9110310 000 2900031 001 566 4100 011 9580410 000 6130041 000 741 599 998 8850510 002 0480051 002 881 6100 010 387069 995 451006999 294 799 996 061079 993 703007998 919 8100 001 8390810 000 565008999 962 9100 000 273099 999 276009999 059 ____109 997 289010998 884 ____119 997 9640111 001 188 ____............ ____9910 003 709099999 201 ________...... ________9991 000 905 Total1000 000 000Total1000 000 000Total1000 000 000

### Compresibilidad algorítmica

La complejidad de Kolmogórov puede pensarse como una cota inferior de la compresibilidad algorítmica de una secuencia finita (de caracteres o dígitos binarios). Asigna a cada secuencia de ese tipo W un número natural K(w) que, intuitivamente, mide la mínima longitud de un programa informático (escrito en cierto lenguaje de programación fijo y preestablecido) que tiene input vacío y tiene como output la secuencia W cuando es ejecutado. Dado un número natural c y una secuencia w, decimos que w es c-incompresible si $K(w)\geq |w|-c$.

    Una sucesión infinita S es aleatoria en el sentido de Martin-Löf si y sólo si existe una constante c tal que todas los prefijos finitos de S's son c-incompresibles.

Por ejemplo, se conjetura que el número $\pi$ es b-normal, sin embargo, es algorítmicamente compresible ya que es un número calculable mediante un procedimiento finito bien definido.

