Teorema de Le Cam
# Teorema de Le Cam

En la teoría de la probabilidad, el teorema de Le Cam, que lleva el nombre de Lucien le Cam (1924 - 2000), establece lo siguiente.

Supóngase que:

* $X_1,$ ..., $X_n$ son variables aleatorias independientes, cada una de ellas con una distribución de Bernoulli (es decir, igual a 0 o 1), no necesariamente distribuidas idénticamente.
* $Pr(X_i$ = 1) = $p_i$ para i = 1, 2, 3, ...
* $\lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.$
* $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.$ (es decir, $S_{n}$ sigue una distribución binomial de Poisson)

Entonces:

    $\sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.$

En otras palabras, la suma sigue aproximadamente una distribución de Poisson y la desigualdad anterior limita el error de aproximación en términos de la distancia de variación total.

Al establecer $p_i$ = $λ_n/n,$ vemos que esto generaliza el teorema del límite de Poisson habitual.

Cuando $\lambda _{n}$ es grande, es posible un mejor límite: $\sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n})\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.$

También es posible debilitar el requisito de independencia.

