Análogo dimensional del Cubo de Rubik
# Análogo dimensional del Cubo de Rubik

Un Análogo dimensional del Cubo de Rubik es un rompecabezas cuya geometría y funcionamiento son análogos a los del Cubo de Rubik; es decir, puede ser un hipercubo de cualquier número de dimensiones. Estos análogos tienen $n^{d}$ piezas diferentes, donde d es el número de dimensiones del hipercubo y n es el número partes en las que se divide cualquiera de las líneas que unen dos vértices del mismo. El conocido cubo de Rubik es un hipercubo con $3^{3}$ = 27 piezas cúbicas, de las cuales una es invisible por estar en el centro del cubo. Dado que la mecánica de un objeto de cuatro dimensiones o más no puede ser representada físicamente, todos estos rompecabezas análogos existen únicamente como software, siendo el más popular el programa "Magic Cube 4d".

## Estructura

Cada uno de los análogos tiene sus piezas cubiertas por estampitas de colores, las cuales tienen $d-1$ dimensiones. Sin embargo, sólo un subconjunto de las piezas muestran sus estampitas al exterior; es decir, hay piezas con un distinto número de estampitas visibles en d dimensiones. Por ejemplo, en el Cubo de Rubik existen piezas que tienen 0, 1, 2, y 3 estampitas. En general los análogos contienen $d+1$ tipos distintos de piezas. Para cada tipo distinto de piezas se puede conocer el número total de ellas en el rompecabezas a través de la fórmula

$2^{s}\cdot_{d}\!C_{s}$

Donde d es el número de dimensiones, s es el número de estampitas de un tipo de pieza particular, y $_{d}\!C_{s}$ es el número de combinaciones de d cosas tomadas en s, lo que es igual a

${\frac {d!}{s!(d-s)!}}$

Si añadimos a nuestra fórmula el operador $n-2$ obtenemos una expresión para el número de piezas de cualquier n, d, y s

$2^{s}\cdot_{d}\!C_{s}\cdot (n-2)$

A partir de estos planteamientos podemos deducir el número de piezas de todos los tipos, por ejemplo de un análogo de la forma $3^{d}$:

| d\s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Piezas totales | Estampitas totales |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 2 |
| 2 | 1 | 4 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 12 |
| 3 | 1 | 6 | 12 | 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 27 | 54 |
| 4 | 1 | 8 | 24 | 32 | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 81 | 216 |
| 5 | 1 | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 243 | 810 |
| 6 | 1 | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 | 0 | 0 | 0 | 729 | 2916 |
| 7 | 1 | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 0 | 0 | 0 | 2187 | 10206 |
| 8 | 1 | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 | 0 | 6561 | 34992 |
| 9 | 1 | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 0 | 19683 | 118098 |
| 10 | 1 | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 59049 | 393660 |

* Datos: Q5700732
