Teorema de König (teoría de conjuntos)
# Teorema de König (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos, el teorema de König establece una desigualdad entre la suma y el producto de dos conjuntos de números cardinales, siempre que se cumpla el axioma de elección. Debe su nombre al matemático húngaro Gyula Kőnig.

## Enunciado

El enunciado del teorema de König en términos de cardinales bien ordenados es:

* Sean dos familias de cardinales ${κ_i}_{i∈I}$ y ${μ_i}_{i∈I},$ tales que se cumpla la desigualdad estricta $κ_i$ < $μ_i$ para cada i ∈ I. Entonces se tiene:
* $\sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\mu _{i}$

La suma de cardinales $Σ_i$ $κ_i$ ha de entenderse como el cardinal de la unión disjunta de los $κ_i,$ mientras que el producto $Π_i$ $μ_i$ es el cardinal del producto cartesiano de los $μ_i.$ La demostración del teorema asume el axioma de elección.

## Equivalencia con el axioma de elección

El enunciado del teorema de König es equivalente al axioma de elección (en ZF), si se reformula sin hacer referencia a los cardinales bien ordenados, de la siguiente forma:

* Dadas dos familias de conjuntos ${A_i}_{i∈I}$ y ${B_i}_{i∈I}$ tales que $|A_i|$ < $|B_i|$ para cada i ∈ I, se cumple que:
* $\left|\biguplus _{i\in I}A_{i}\right|<\left|\prod _{i\in I}B_{i}\right|\,,$
* donde $\uplus$ denota una unión disjunta.

Asumiendo el axioma de elección, este enunciado es equivalente al anterior. Por otro lado, si se asume este enunciado, tomando como $A_i$ una familia de conjuntos vacíos, se tiene que:

   $\varnothing <\left|\prod _{i\in I}B_{i}\right|\,,$

para cualquier familia de conjuntos no vacíos, que es precisamente una forma equivalente de enunciar el axioma de elección: el producto cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos es no vacío.

