Espacio de Sóbolev
# Espacio de Sóbolev

Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo $L^p,$ tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio $L^p,$ estos espacios reciben su nombre del matemático ruso Serguéi Sóbolev.

## Espacios $W^{m,p}(\Omega )$

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones, que puede verse como un subespacio de un espacio $L^p.$ De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio vectorial del espacio $L^p$ formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a $L^p.$ Dado un dominio $\scriptstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ el espacio de Sobolev $\scriptstyle W^{m,p}(\Omega )\,$ se define como:

   $W^{m,p}(\Omega )=\{f\in L^{p}(\Omega )|\ D^{\alpha }f\in L^{p}(\Omega ),\ \forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}\subset L^{p}(\Omega )$

Donde $D^{\alpha }f\,$ es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio, al igual que $L^p(Ω),$ está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ de $L^p:$

   $\|f\|_{m,p,\Omega }=\left[\sum _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right]^{1/p},\qquad 1\leq p<\infty$
   $\|f\|_{m,\infty ,\Omega }=\max _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{\infty }(\Omega )}$

Algunas propiedades interesantes son:

* Los espacios de Sóbolev son reflexivos, es decir isomorfos a su espacio bidual, para $\scriptstyle 1<p<\infty$
* El espacio de Sóbolev $\textstyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega )$
* $\textstyle W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega )$ si $\textstyle m>k$
* $\textstyle C^{m}({\bar {\Omega }})\hookrightarrow W^{m,p}(\Omega )$
* $\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})\cap W^{m,p}(\Omega )$ es denso en $\textstyle W^{m,p}(\Omega )$

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

   $W_{0}^{m,p}(\Omega )={\overline {W^{m,p}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$

## Espacios $H^{m}(\Omega )$

Los espacios de Sóbolev, con $p=2\,$ están dotados de manera natural de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios $L^2:$

   $H^{m}(\Omega )\equiv W^{m,2}(\Omega )$

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de $L^2:$

   $(f,g)_{H^{m}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq m}(D^{\alpha }f,D^{\alpha }g)_{L^{2}(\Omega )}$

Análogamente al caso de los espacios $W_{0}^{m,p}(\Omega )$ se define el espacio:

   $H_{0}^{m}(\Omega )={\overline {H^{m}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$

### Ejemplo

Dado el intervalo [a, b], se puede definir el espacio de Sobolev $\scriptstyle H^{1}([a,b])$ a partir del espacio de funciones continuamente diferenciables sobre [a, b] con un producto escalar obtenido por la integral definida desde a hasta b, de la suma de los productos de funciones con el producto de sus derivadas:

   (*)$\int _{a}^{b}[x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt$

Dicho espacio no es completo; su completación es un espacio de Hilbert llamado espacio de Sóbolev y denotado H $^{1}.$

Propiedad: El espacio $\scriptstyle H^{1}([a,b])$ está encajado en el espacio de las funciones continuas $\scriptstyle C^{1}[a,b]$.

