Complejo simplicial
# Complejo simplicial

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

## Ejemplo

Sean $p_{0},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ con $k\geq 1$ que están en posición general, la clausura convexa del conjunto $\{p_{0},\ldots ,p_{k}\}$ se llama k-símplice de $\mathbb {R} ^{n}$ y se denota $\langle p_{0},\ldots ,p_{k}\rangle$. Se prueba sin dificultad que:

       $\langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle =\{a\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ a=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}p_{i}\}$

con $\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}=1$ y $\lambda _{i}\geq 0$ para todas las i.

Los $\lambda _{i}\,$ de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto $a\,$. Si tomamos $\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{r}}\}\subseteq \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}$, se dice que el r-símplice $\langle p_{i_{1}},\cdots ,p_{i_{r}}\rangle$ es una cara de $\langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle$.

Observe que un 0-símplice es un punto, un 1-símplice es un segmento, un 2-símplice es un triángulo y un 3-símplice es un tetraedro.

## Caracterización

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de $K\,$- símplices de $\mathbb {R} ^{n}$ que cumple las dos condiciones siguientes:

* Si un símplice pertenece a $K\,$, entonces todas sus caras pertenecen a $K\,$.
* Si dos símplices de $K\,$ se cortan, su intersección es una cara común.
