Espacio cociente (álgebra lineal)
# Espacio cociente (álgebra lineal)

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

## Definición

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados $u,v\in E$ diremos que están relacionados módulo $F\,$ si $u-v\in F$.

* La relación anterior es una relación de equivalencia
* Se considera la relación $x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in F\rangle$ y se comprueban:
* Propiedad reflexiva:
* Dado un elemento $x\in E$ se tiene que $x-x={\vec {0}}\in F.$
* Propiedad de simetría:
* Dados dos elementos $x,y\in E$ se tiene que si $x-y=v\in F$ entonces $-v\in F$ es decir $y-x\in F.$
* Propiedad transitiva:
* Dados tres elementos $x,y,z\in E$ se tiene que si $x-y\in F$ y $y-z\in F$ entonces $F\ni (x-y)+(y-z)=x-z$ es decir $x-z\in F.$

Observación:$u-v\in F$ equivale a $u-v=w,w\in F$, es decir, $u=v+w,w\in F$ y abusando del lenguaje $u=v+F.$

    Se nota por $[u]=u+F:=\{u+v:v\in F\}$ $=\{w:w=u+v,\;v\in F\}$ a la clase de $u\,$ módulo $F\,$.

Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior:

    Se nota por $E/F_^$ a dicho espacio cociente.

El espacio $E/F_^$ es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

* ${\begin{matrix}[u]+[v]&:=&[u+v]\\\;\;\;\;\;\;\;\lambda [u]&:=&[\lambda u]\;\;\;\;\end{matrix}}$
* La suma y multiplicación están definidas por ser $F\,$ un subespacio vectorial:
* $[u]+[v]=(u+F)+(v+F)=u+v+(F+F)$ $=u+v+F$ $=[u+v]\in E/F.$
* Propiedad conmutativa:
* $[u]+[v]=[u+v]=[v+u]=[v]+[u].$
* Propiedad asociativa:
* $[u]+([v]+[w])=[u]+[v+w]=[u+(v+w)]=[(u+v)+w]=[u+v]+[w]=([u]+[v])+[w].$
* Existencia del elemento neutro:
* $[0]+[v]=[0+v]=[v].$
* Existencia del elemento opuesto:
* $[u]+[-u]=[u-u]=[0].$
* $\lambda [u]=\lambda (u+F)=\lambda u+\lambda F$ $=\lambda u+F$ $=[\lambda u]\in E/F.$
* Propiedad asociativa:
* $\alpha (\lambda [u])=\alpha [\lambda u]=[\alpha (\lambda u)]=[(\alpha \lambda )u]$ $=(\alpha \lambda )[u].$
* Propiedad del elemento neutro de K:
* $1[u]=[1u]=[u].$
* Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
* $\lambda ([u]+[v])=\lambda [u+v]=[\lambda (u+v)]=[\lambda u+\lambda v]$ $=[\lambda u]+[\lambda v]$ $=\lambda [u]+\lambda [v].$
* Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
* $(\lambda +\alpha )[u]=[(\lambda +\alpha )u]=[\lambda u+\alpha u]=[\lambda u]+[\alpha u]$ $=\lambda [u]+\alpha [u]$

Observaciones

* Si $u\in v+F$ $\Leftrightarrow u+F=v+F$ $\Leftrightarrow [u]=[v]$, por constituir $E/F$ una partición de $E\,.$
* Si $u\in F$ $\Leftrightarrow u\in [0].$
* Si $u\not \in F$, $\langle u\rangle \cap \;(u+F)\neq \emptyset$ $\Leftrightarrow \lambda u=u+v,v\in F$ $\Leftrightarrow (\lambda -1)u\in F$ $\Leftrightarrow \lambda =1.$
* Los elementos de $[u]:\;[u]\neq [0]$ no son un espacio vectorial en $E\,$ pues no tiene el elemento neutro ${\vec {0}}.$
* Esta estructura vectorial es la única en el cociente que hace a la proyección canónica lineal.

## Dimensión del espacio cociente

Dado $E\,$ un espacio vectorial y $F\subset E$ un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:

* $E/F$ es de dimensión finita
* $dimE/F=dimE-dimF$.
* Sean $m=dimF$, $n=dimE$ y $u_{1},...,u_{m}$ una base de $F.$ Se puede completar la base hasta obtener una de $E$, ${u_{1},...,u_{m},u_{m+1},...,u_{n}}$.
* $\forall u\in E,\;u=\sum _{i=1}^{n}k_{i}u_{i}$.
* Tomando clases, $[u]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]$, pues $[u_{1}]=...=[u_{m}]=[0]$ (ya que $u_{1},...,u_{m}\in F$). Luego, se tiene que $[u_{m+1}],...,[u_{n}]$ generan $E/F.$
* Para ver que son linealmente independientes, supóngase que:
* $[0]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]=[\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}]$,
* entonces, $\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}$ pertenece a $F$, en consecuencia, existen $k_{1},...,k_{m}$ tales que $\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}=\sum _{i=1}^{m}k_{i}u_{i}$.
* Por la independencia lineal de $u_{1},...,u_{n}$, se sigue que $k_{m+1},...,k_{n}=0$.
* Por lo tanto, $u_{m+1},...,u_{n}$ son una base de $E/F$ y $dimE/F=n-m=dimE-dimF.$

## Ejemplo

Sea $F\,$ un subespacio vectorial de $\mathbb {R} ^{2}$ generado por un vector $v\,$, $F=\langle v\rangle$, si se considera el espacio cociente $\mathbb {R} ^{2}/F$ la clase de un vector $u\in \mathbb {R} ^{2}$ será:

    $[u]=\{u+v:v\in F\}$, siendo su espacio cociente $\mathbb {R} ^{2}/F=\{[u]:u\in \mathbb {R} ^{2}\}$, es decir todas las rectas paralelas al subespacio F.
