Imagen inversa
# Imagen inversa

La imagen inversa, antiimagen o contraimagen de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto. Es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.

## Definición

Sea $\textstyle f:{\mbox{A}}\longrightarrow {\mbox{B}}$ una aplicación e $\textstyle {\mbox{Y}}\subset {\mbox{B}}$. La imagen inversa de $\textstyle Y$ se define como sigue:

$f^{-1}(Y)\quad =\quad \lbrace \quad x\in A\quad |\quad \exists y\in Y\quad ,\quad f(x)=y\quad \rbrace$

## Propiedades

La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:

### Unión

$\forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cup {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cup f^{-1}({\mbox{Z}})$

### Intersección

$\forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cap {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cap f^{-1}({\mbox{Z}})$

### Complementario

$\forall Y\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{B}}-{\mbox{Y}})={\mbox{A}}-f^{-1}({\mbox{Y}})$

### Diferencia de conjuntos

$\forall {\mbox{Y}},{\mbox{Z}}\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}-{\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})-f^{-1}({\mbox{Z}})$

## Aplicaciones

La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.

