Cotangente hiperbólica
# Cotangente hiperbólica

En trigonometría, la cotangente hiperbólica de un número real $x$, es una función hiperbólica definida como la inversa de la tangente hiperbólica. Se simboliza ${\text{coth}}(x)$ o ${\text{cotgh}}(x)$ y matemáticamente se sintetiza:

   $\operatorname {coth} (x)={\frac {\operatorname {cosh} (x)}{\operatorname {senh} (x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

## Características

El dominio de la función está definido para $(-\infty ,0)$ y $(0,+\infty )$ y su codominio queda definido para el intervalo $(-\infty ,-1)$ y $(1,+\infty )$. La función presenta una asíntota horizontal en $y=-1$ y en $y=1$. A ambos lados de la asíntota nos encontramos una función monótona estrictamente decreciente.

### Derivación

La derivada de la función es:

   ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x$

### Teorema de adición

La función cotangente hiperbólica, como demuestra el teorema de adición, se puede sintetizar en:

   $\coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}$
