Espacio de Cantor
# Espacio de Cantor

En matemáticas, un espacio de Cantor, llamado así en honor a Georg Cantor, es una abstracción topológica del conjunto de Cantor: un espacio topológico es un espacio de Cantor si es homeomofo al conjunto de Cantor. En teoría de conjuntos, el espacio topológico $2^ω$ se conoce como "el" espacio de Cantor. Nótese que, comúnmente, a $2^ω$ se le conoce simplemente como el conjunto de Cantor, mientras que el término espacio de Cantor se reserva para la construcción general de $D^S,$ donde D es un conjunto finito y S es un conjunto que podría ser finito, numerable, o incluso no numerable.

## Ejemplos

El conjunto de Cantor es un espacio de Cantor. Aun así, el ejemplo canónico de un espacio de Cantor es el del producto topológico numerable infinito del espacio discreto con dos puntos. Este espacio suele escribirse como $2^{\mathbb {N} }$ o $2^ω$ (donde 2 denota el conjunto de dos elementos {0,1} con la topología discreta). Un punto de $2^ω$ es una secuencia binaria infinita, es decir, una secuencia infinita que sólo toma los valores 0 o 1. Dada una secuencia de esta forma, $a_0,$ $a_1,$ $a_2,...,$ podemos asignarle el número real

    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}.$

Esta asignación define un homeomorfismo desde $2^ω$ al conjunto de Cantor, probando así que $2^ω$ es de hecho un espacio de Cantor.

