Teorema de Löb
# Teorema de Löb

En lógica matemática, el teorema de Löb establece que en una teoría con aritmética de Peano, para cualquier fórmula P, se puede demostrar que "si P es demostrable entonces P", entonces P es demostrable. O sea:

    si $T\vdash {\text{Dem}}(\#P)\rightarrow P$, entonces $T\vdash P$

donde Dem(#P) significa que la fórmula con número de Gödel #P es demostrable en T.

El teorema de Löb debe su nombre a Martin Hugo Löb.

## El teorema de Löb en la lógica demostrativa

La lógica demostrativa se abstrae de los detalles de las fórmulas utilizadas en los teoremas de incompletitud de Gödel expresando la demostrabilidad de P en el sistema dado en el lenguaje de la lógica modal, por medio de la modalidad $\Box P$.

Se puede formalizar el teorema de Löb mediante el axioma:

    $\Box (\Box P\rightarrow P)\rightarrow \Box P$,

Este axioma se conoce como el axioma GL, por Gödel-Löb. El mismo a veces es formalizado por medio de la siguiente regla de inferencia:

    ${\frac {\Box P\rightarrow P}{\Box P}}$

La lógica demostrativa GL que resulta de tomar la lógica modal K4 y agregarle el axioma GL es el sistema investigado con mayor intensidad en la lógica demostrativa.

