Criterio de Cramér-von Mises
# Criterio de Cramér-von Mises

En estadística el criterio de Cramér-von Mises se emplea para juzgar la bondad de una función de distribución acumulada $F^{*}$ comparada con una función de distribución empírica $F_{n}$, o para comparar dos distribuciones empíricas. También se utiliza como parte de otros algoritmos, tal como la estimación de la distancia mínima. Se define como:

    $\omega ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }[F_{n}(x)-F^{*}(x)]^{2}\,\mathrm {d} F^{*}(x)$

Aplicándolo a una única muestra, $F^{*}$ es la distribución teórica y $F_{n}$ es la empírica. Alternativamente las dos distribuciones pueden ser estimadas empíricamente; esto se conoce como un caso de dos muestras.

El criterio lleva los apellidos de Harald Cramér y Richard Edler von Mises, quienes fueron los primeros en exponerlo entre los años 1928-1930. La generalización de las dos muestras es obra de Theodore Wilbur Anderson.

El criterio es una alternativa al test de Kolmogorov-Smirnov.

## Test de Cramér-von Mises (una muestra)

Sean $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ los valores observados, en orden creciente. Entonces el estadístico $es^{:1153}$

    $T=n\omega ^{2}={\frac {1}{12n}}+\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {2i-1}{2n}}-F(x_{i})\right]^{2}.$

Si este valor es mayor que el valor tabulado, se puede rechazar la hipótesis de que los datos provienen de la distribución $F$

### Test de Watson

Una versión modificada del criterio es el test de Watson, el cual usa el estadístico $U^2,$ donde

    $U^{2}=T-n({\bar {F}}-{\tfrac {1}{2}})^{2},$

donde

    ${\bar {F}}={\frac {1}{n}}\sum F(x_{i}).$

## Test de Cramér–von Mises test (dos muestras)

Sean $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}$ y $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{M}$ los valores observados en la primera y segunda muestra respectivamente, en orden creciente. Sean $r_{1},r_{2},\cdots ,r_{N}$ los rangos de x en la muestra combinada, y sean $s_{1},s_{2},\cdots ,s_{M}$ los rangos de y en la muestra combinada. $Anderson^{:1149}$ muestra que

    $T=N\omega ^{2}={\frac {U}{NM(N+M)}}-{\frac {4MN-1}{6(M+N)}}$

donde U se define como

    $U=N\sum _{i=1}^{N}(r_{i}-i)^{2}+M\sum _{j=1}^{M}(s_{j}-j)^{2}$

Si el valor de T es mayor que los valores $tabulados,^{:1154–1159}$ se puede rechazar la hipótesis de que las dos muestras provienen de la misma distribución. Esto implica que no hay duplicados en $x$, $y$, y en las secuencias $r$. Por tanto $x_{i}$ es única, y su rango es $i$ en $x_{1},...x_{N}$. Si hay duplicados, y $x_{i}$ en $x_{j}$ son valores idénticos, donde se puede utilizar el enfoque del medio rango método: asignar a cada duplicado un rango de $(i+j)/2$. En las ecuaciones precedentes, en las expresiones $(r_{i}-i)^{2}$ y $(s_{j}-j)^{2}$, los duplicados pueden alterar las cuatro variables $r_{i}$, $i$, $s_{j}$, y $j$.

