Hipotrocoide
# Hipotrocoide

Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.

La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).

Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.

## Ecuaciones

Siendo $q={\dfrac {a}{b}}$ (donde $q>1$) y $d=kb$, con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:

    $z=a=x$ pero x no es igual a A

donde:

    $qz=a[(q-1)e^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,$
    $q(x+iy)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]$

Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:

    $qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos[(q-1)t)];\,$
    $qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin[(q-1)t)];\,$

donde:

    $q={\dfrac {a}{b}}$ y $k={\dfrac {d}{b}}\,$.

Sabiendo que $a=R$, $b=r$ y $t=\theta$, obtenemos las ecuaciones siguientes:

    $x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)$
    $y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)$

el ángulo $\theta$ varía de 0 a 2π.

Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde $R=2r$.

Las hipocicloides son casos particulares, donde $d=r$ (el punto fijo de la generatriz)

## Aplicaciones

* Los espirografos (son juguetes para dibujar) crean hipotrocoides.
* Las hipotrocoides definen el soporte de los autovalores de matrices aleatorias con correlaciones cíclicas.
