Media armónica
# Media armónica

La media armónica (designada usualmente mediante H) de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números $x_1,$ $x_2,$ ... , $x_n$ la media armónica será igual a:

   ${H}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}$

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

## Características

* La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
* Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
* La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualquier número real positivo $x_{i}>0$:

   ${\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\dots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$

### Ventaja

* Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

### Desventajas

* La influencia de los valores pequeños y el hecho de que no pueda ser determinada en distribuciones con valores iguales a cero; por eso su empleo no es aconsejable en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

Suele ser empleada para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

## Curiosidades

La media armónica surge de manera natural al calcular el índice de Paasche, uno de los números índice más comunes. Considérese una serie temporal $p_{1,t}q_{1,t}+\cdots +p_{n,t}q_{n,t}$ que resulta de agregar el valor nominal de la producción o el gasto $p_{i,t}q_{i,t}$ en $n$ mercancías. Para aislar cambios en cantidades de cambios en precios el índice de Laspeyres fija los precios del periodo anterior y compara el gasto hoy con los precios de ayer al gasto de ayer

    $L_{t}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t-1}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}}}{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t-1}}}$

Al dejar los precios fijos, se interpreta que $L_{t}$ sólo refleja cambios en cantidades o reales. También se puede observar que se trata de una media donde el cambio en la cantidad de la mercancía $i$ aparece ponderada por el peso del gasto en esta mercancía sobre el gasto total.

El índice de Paasche, al revés, procede a dejar fijos los precios de hoy: compara el gasto hoy con el gasto de ayer si hubieran prevalecido los precios de hoy.

    $P_{t}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t-1}}}.$

De esta definición no podemos obtener una media ponderada como antes. Sin embargo, si se considera la fórmula invertida ocurre que

    ${\frac {1}{P_{t}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t-1}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i,t-1}}{q_{i,t}}}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}$

pero entonces

    $P_{t}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}}}}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}\right)^{-1}.$

Esto es, el índice de Paasche resulta ser la media armónica de los cambios en cantidades en cada una de las mercancías.

