Teorema de Okishio
# Teorema de Okishio

El teorema de Okishio es un teorema formulado por el economista japonés Nobuo Okishio. Ha tenido un impacto importante en los debates marxistas en torno a la teoría del valor trabajo. Intuitivamente, se puede entender arguyendo que si un capitalista eleva sus ganancias mediante la introducción de una nueva técnica que reduce sus costes, la tasas de ganancia colectiva - para todos los capitalistas - sube.

Okishio [1961] establece este teorema en el supuesto de que el salario real - el precio de la cesta de productos básicos que consumen los trabajadores - se mantiene constante. Por lo tanto, el teorema aísla el efecto de la innovación pura de los cambios consiguientes en el salario.

Por esta razón, el teorema, propuesto por primera vez en 1961, despertó gran interés y controversia porque, según Okishio, está en contradicción con la ley marxista de la tasa de ganancia decreciente. Marx había afirmado que la nueva tasa general de ganancia, tras la introducción de una nueva técnica, sería menor que antes. En palabras modernas, los capitalistas serían víctimas de una trampa de la racionalidad, pudiendo también expresarse de acuerdo con el resultado del dilema del prisionero: lo que es racional desde el punto de vista de un solo capitalista, resulta ser irracional para el sistema en su conjunto, para el colectivo de todos los capitalistas. Este resultado fue ampliamente reconocido, incluso por el propio Marx, como el establecimiento de que el capitalismo contenía límites inherentes a su propio éxito. Por lo tanto, el teorema de Okishio fue recibido en Occidente como la prueba de que el resultado fundamental de Marx es inconsistente.

Más precisamente, el teorema dice que la tasa general de ganancia en la economía en su conjunto será más alto si se introduce una nueva técnica de producción en la que, a los precios vigentes en el momento en que se introduce el cambio, el coste unitario de la producción en una industria es menor que el coste unitario previo al cambio. El teorema, como Okishio (1961:88) señala, no se aplica a las ramas no básicas de la industria.

La prueba del teorema puede entenderse con más facilidad como una aplicación del teorema de Perron-Frobenius. Este último teorema viene de una rama del álgebra lineal conocida como la teoría de matrices no negativas. Un buen texto de partida para la teoría básica es Seneta (1973). La declaración del teorema de Okishio, y las controversias que lo rodean, sin embargo, puede ser entendido intuitivamente sin referencia al teorema de Perron-Frobenius o de la teoría general de matrices no negativas.

## El modelo de Sraffa

El argumento de Nobuo Okishio, economista japonés, se basa en el modelo de Sraffa. La economía se compone de dos departamentos de I y II, donde I es el departamento de inversión en mercancías (medios de producción) y II es el departamento de bienes de consumo, donde se producen los bienes de consumo para los trabajadores. Los coeficientes de producción expresan cuantos de los diversos insumos son necesarios para producir una unidad de producción de un determinado producto ("producción de mercancías por medio de mercancías"). En el modelo existen dos outputs $x_{1}$, la cantidad de bienes de inversión, y $x_{2}$, la cantidad de bienes de consumo.

Los coeficientes de producción están definidos como:

* $a_{11}$: quantity of investment goods necessary to produce one unit of investment goods.
* $a_{21}$: quantity of hours of labour necessary to produce one unit of investment goods.
* $a_{12}$: quantity of investment goods necessary to produce one unit of consumption goods.
* $a_{22}$: quantity of hours of labour necessary to produce one unit of consumption goods.

El trabajador recibe un salario a una tasa w por unidad de trabajo, que está definida por una cierta cantidad de bienes de consumo.

Ergo:

* $w\cdot a_{21}$: quantity of consumption goods necessary to produce one unit of investment goods.
* $w\cdot a_{22}$: quantity of consumption goods necessary to produce one unit of consumption goods.

La siguiente tabla describe la economía:

| | Input $x_{1}$ | Input $x_{2}$ | Output |
| - | - | - | - |
| Departamento I | $a_{11}x_{1}$ | $a_{21}wx_{1}$ | $x_{1}$ |
| Departamento II | $a_{12}x_{2}$ | $a_{22}wx_{2}$ | $x_{2}$ |

Esto es equivalente a las siguientes ecuaciones:

* $(a_{11}x_{1}p_{1}+a_{21}wx_{1}p_{2})(1+r)=x_{1}p_{1}$
* $(a_{12}x_{2}p_{1}+a_{22}wx_{2}p_{2})(1+r)=x_{2}p_{2}$
* $p_{1}$: price of investment good $x_{1}$
* $p_{2}$: price of consumption good $x_{2}$
* $r$: General rate of profit. Due to the tendency, described by Marx, of rates of profits to equalise between branches (here departments) a general rate of profit for the economy as a whole will be created.

In department I expenses for investment goods or for constant capital are:

* $a_{11}x_{1}p_{1}$ and for variable capital:
* $a_{21}wx_{1}p_{2}$.

In Departamento II los gastos de capital constante son:

    $a_{12}x_{2}p_{1}$

'y para el capital variable:

    $a_{22}wx_{2}p_{2}.$

(The constant and variable capital of the economy as a whole is a weighted sum of these capitals of the two departments. See below for the relative magnitudes of the two departments which serve as weights for summing up constant and variable capitals.)

Now the following assumptions are made:

* $p_{2}=1$: The consumption good $x_{2}$ is to be the Numéraire, the price of the consumption good $p_{2}$ is therefore set equal to 1.
* The real wage is assumed to be $w=2p_{2}=2.$
* Finally, the system of equations is normalised by setting the outputs $x_{1}$ und $x_{2}$ equal to 1, respectively.

Okishio, siguiendo la tradición marxista, supone una tasa de salario real constante igual al valor de la fuerza de trabajo, es decir, el salario debe permitir la compra de una cesta de bienes necesarios para que los investigadores puedan reproducir su fuerza de trabajo de consumo. Por lo tanto, en este ejemplo se supone que los trabajadores obtienen dos unidades de bienes de consumo por hora de mano de obra con el fin de reproducir su fuerza de trabajo.

Una técnica de producción se define de acuerdo a Sraffa por sus coeficientes de producción. Para una técnica, por ejemplo, podría ser numéricamente especificado por los siguientes coeficientes de producción:

* $a_{11}=0.8$: quantity of investment goods necessary to produce one unit of investment goods.
* $a_{21}=0.1$: quantity of working hours necessary to produce one unit of investment goods.
* $a_{12}=0.4$: quantity of investment goods necessary to produce one unit of consumption goods.
* $a_{22}=0.1$: quantity of working hours necessary to produce one unit of consumption goods.

From this an equilibrium growth path can be computed. The price for the investment goods is computed as (not shown here): $p_{1}=1.78$, and the profit rate is: $r=0.0961=9.61\%$. The equilibrium system of equations then is:

* $(0.8\cdot 1\cdot 1.78+0.1\cdot 2\cdot 1\cdot 1)\cdot (1+0.0961)=1\cdot 1.78$
* $(0.4\cdot 1\cdot 1.78+0.1\cdot 2\cdot 1\cdot 1)\cdot (1+0.0961)=1\cdot 1$
