Elemento supremo e ínfimo
# Elemento supremo e ínfimo

En matemáticas, dado un subconjunto $S$ de un conjunto parcialmente ordenado $\left(P,<\right)$, el supremo de $S$, si existe, es el mínimo elemento de $P$ que es mayor o igual a cada elemento de $S$. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de $S$. El supremo de un conjunto $S$ comúnmente se denota como $\sup S$.

## Definiciones

Sea $T$ un subconjunto no vacío de $\mathbb {R}$.

* Si $T$ está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de $T$ si es menor que cualquier cota superior de $T$. En tal caso, a esa cota superior se le denota $\sup T$.
* Si $T$ está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de $T$ si es mayor que cualquier cota inferior de $T$. En tal caso, a esa cota inferior se le denota $\inf T.$

## Propiedades

* En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.
* $s$ es supremo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $\mathbb {R}$ de números reales si es cota superior de $T$ y si, y solo si para toda $\varepsilon >0$ existe $s_{\varepsilon }$ en $T$ tal que $s-\varepsilon <s_{\varepsilon }$.
* $r$ es ínfimo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $\mathbb {R}$ de números reales si es cota inferior de $T$ y si, y solo si para toda $\varepsilon >0$ existe $r_{\varepsilon }$ en $T$ tal que $r+\varepsilon >r_{\varepsilon }$.
* Sean $L$ un subconjunto acotado de números reales y $K$ un subconjunto no vacío de $L$. Se cumple que $\inf L\leq \inf K\leq \sup K\leq \sup L$.
* Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
* $\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$, si es que dichos supremos existen
* $\inf(A\cup B)=\min\{\inf(A),\inf(B)\}$, si es que dichos ínfimos existen
* Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

## Ejemplos

* $\sup\{1,2,3\}=3\,$
* $\inf\{1,2,3\}=1\,$
* $\sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,$
* $\inf\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\inf\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=0\,$
* $\sup\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}\,$
* $\inf\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}<2\}=0\,$
* $\sup \left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=1\,$
* $\inf \left\{{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=0\,$
