Conjunto grueso
# Conjunto grueso

En matemáticas, un conjunto grueso o conjunto con grosor (thick set en inglés) es un conjunto de números enteros que contiene intervalos arbitrariamente largos. Es decir, dado un conjunto grueso $T$, para cada $p\in \mathbb {N}$, hay algún $n\in \mathbb {N}$ tal que $\{n,n+1,n+2,...,n+p\}\subset T$.

## Ejemplos

Trivialmente, $\mathbb {N}$ es un conjunto grueso. Otros conjuntos bien conocidos que son gruesos incluyen los no primos y los no cuadrados. Los conjuntos gruesos también pueden ser escasos, por ejemplo:

    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{x:x=10^{n}+m:0\leq m\leq n\}.$

## Generalizaciones

La noción de un conjunto grueso también se puede definir de manera más general para un semigrupo, de la siguiente manera. Dado un semigrupo $(S,\cdot )$ y $A\subseteq S$, se dice que $A$ es grueso si para cualquier subconjunto finito $F\subseteq S$, existe $x\in S$ tal que

    $F\cdot x=\{f\cdot x:f\in F\}\subseteq A.$

Se puede comprobar que cuando el semigrupo en consideración son los números naturales $\mathbb {N}$ con la operación de suma $+$, esta definición es equivalente a la anterior.

