Espacio de Fock
# Espacio de Fock

El espacio de Fock ${\mathcal {F}}(H)$, en mecánica cuántica es un espacio de Hilbert especial, que se construye como suma directa de productos tensoriales de otro espacio de Hilbert dado $H\,$. Este espacio se usa para describir el estado cuántico de un sistema formado por un número variable o indeterminado de partículas. Recibe su nombre de Vladimir Fock.

## Definición

Técnicamente, el espacio de Fock es el espacio de Hilbert preparado como suma directa de los productos tensoriales de los espacios de Hilbert para una partícula:

   ${\mathcal {F}}_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }^{(n)}H^{\otimes n}=\mathbb {C} \ \oplus \ H\ \oplus \ S_{\nu }^{(2)}(H\otimes H)\ \oplus \ S_{\nu }^{(3)}(H\otimes H\otimes H)\oplus \ \dots$

donde $S_ν$ es el operador que simetriza (o antisimetriza) el espacio, de forma que el espacio de Fock describa adecuadamente a un conjunto de bosones ν=+ (o fermiones ν=-). H es el espacio de Hilbert para una sola partícula. Esta forma de combinación de H, que resulta en un espacio de Hilbert "mayor" (el espacio de Fock), contiene estados para un número arbitrario de partículas.

Los estados de Fock son la base natural para este espacio.

### Espacio de Fock bosónico

Esta construcción se realiza usando como proyector uno que simetriza los elementos, por ejemplo, para simetrizar el producto de dos vectores que representan cada el estado de una partícula:

   $S_{+}^{(2)}(|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle )={\frac {1}{2}}(|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle +|\psi _{2}\rangle \otimes |\psi _{1}\rangle )$

Este último estado simetrizado representa un estado con dos bosones indistinguibles. Para el caso de n vectores el operador de simetrización viene dado por:

   $S_{+}^{(n)}(|\psi _{1}\rangle \otimes \dots \otimes |\psi _{n}\rangle )={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}|\psi _{\sigma (1)}\rangle \otimes \dots \otimes |\psi _{\sigma (n)}\rangle$

Donde el sumatorio se extiende a todas las permutaciones posibles del grupo simétrico de orden n. Obviamente la simetrización de los espacios de cero y de una partícula son triviales:

   $S_{+}^{(0)}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ,\qquad S_{+}^{(1)}(|\psi _{1}\rangle )=|\psi _{1}\rangle$

### Espacio de Fock fermiónico

Generalizando los resultados de la sección anterior construimos los operadores de antisimetrización. El antisimetrizador de dos partículas viene dado por:

   $S_{-}^{(2)}(|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle )={\frac {1}{2}}(|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle \otimes |\psi _{1}\rangle )$

Así este estado antisimetrizado representa, por tanto, un estado con dos fermiones indistinguibles. Para el caso de n fermiones un estado vendría dado por:

   $S_{-}^{(n)}(|\psi _{1}\rangle \otimes \dots \otimes |\psi _{n}\rangle )={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\ |\psi _{\sigma (1)}\rangle \otimes \dots \otimes |\psi _{\sigma (n)}\rangle$

Donde nuevamente el sumatorio se extiende a todas las permutaciones posibles del grupo simétrico de orden n y donde $\operatorname {sgn}(\cdot )$ es el signo de la permutación (+1 si es par, -1 si es impar).

