Teorema de Niven
# Teorema de Niven

En matemáticas, el teorema de Niven, que lleva el nombre del matemático estadounidense Ivan Morton Niven (1915-1999), establece que:

* Teorema de Niven:
* Los únicos valores racionales de un ángulo θ en el intervalo 0° ≤ θ ≤ 90° para los que el seno de θ es también un número racional, son:
* ${\begin{aligned}\operatorname {sen} 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\operatorname {sen} 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\operatorname {sen} 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}$

En radianes, se requeriría que 0 ≤ x ≤ $^π⁄_2,$ que $^x⁄_π$ sea racional, y que sen x también sea racional. La conclusión es que los únicos valores de este tipo son sen 0 = 0, sen $^π⁄_6$ = $^1⁄_2,$ y sen $^π⁄_2$ = 1.

El teorema aparece como el Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales.

El teorema también se extiende a las otras funciones trigonométricas. Para valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o del coseno son 0, $±^1⁄_2$ y ±1; Los únicos valores racionales de la secante o cosecante son ±1 y ±2; y los únicos valores racionales de la tangente o cotangente son 0 y ±1.

