Teorema de Lindemann–Weierstrass
# Teorema de Lindemann–Weierstrass

El teorema de Lindemann–Weierstrass es un resultado muy útil para establecer la trascendencia de un número. Afirma que si $α_1,$ $α_2,$ $...,α_n$ son números algebraicos linealmente independientes sobre el cuerpo de los números racionales $\mathbb {Q}$, entonces $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}}\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb {Q}$; es decir, el grado de trascendencia de la extensión del cuerpo $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$ sobre $\mathbb {Q}$ es n.

Lindemann demostró en 1882 que $e^α$ es trascendente para todo α algebraico no nulo, y de este modo estableció que π es transcendente. Weierstrass demostró la forma más general de este teorema en 1885.

El teorema anterior junto con el Teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado por la conjetura de Schanuel.

## Trascendencia de e y π

La trascendencia de e y π se obtiene como corolario de este teorema.

Supongamos que α es un número algebraico no nulo; entonces {α} es un conjunto linealmente independiente sobre los racionales y por lo tanto ${e^α}$ es un conjunto algebraicamente independiente; en otras palabras, $e^α$ es trascendente. En particular, $e^1$ = e es trascendente.

Probemos ahora que π es trascendente. Si π fuese algebraico, 2πi también lo sería (porque 2i es algebraico), y por tanto, según el teorema de Lindemann-Weierstrass $e^{2πi}$ = 1 es trascendente. Pero sabemos que 1 es racional y por tanto π es necesariamente trascendente.

