Desigualdad de Friedrichs
# Desigualdad de Friedrichs

En matemáticas la desigualdad de Friedrichs es un teorema de análisis funcional gracias a Kurt Friedrichs. Se coloca el límite en la norma $L^p$ de una función utilizando límites $L^p$ en las derivadas débiles de la función y de la geometría del dominio, y se puede utilizar para mostrar que ciertas normas en espacios de Sóbolev son equivalentes.

## Discusión de la desigualdad

Sea Ω un conjunto acotado del espacio euclídeo $R^n$ con diámetro d. Supongamos u : Ω → R reside en un espacio de Sóbolev $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ (i.e. u reside en $W^{k,p}(Ω)$ y el soporte de u es compacto). Entonces:

    $\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.$

En lo anterior

* $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ denota la norma $L^p;$
* α = $(α_1,$ ..., $α_n)$ es un multiíndice con norma |α| = $α_1$ + ... + $α_n;$
* $D^αu$ es la derivada parcial

       $\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.$
