Coordenadas biangulares
# Coordenadas biangulares

En matemáticas, las coordenadas biangulares son un sistema de coordenadas del plano donde $C_{1}$ y $C_{2}$ son dos puntos fijos, y la posición de un punto P no alineado con ${\overline {C_{1}C_{2}}}$ está determinada por los ángulos $\angle PC_{1}C_{2}$ y $\angle PC_{2}C_{1}$.

## Historia

Este tipo de coordenadas fue examinado por primera vez por Lazare Carnot, quien publicó sus resultados en 1803.

## Paso de coordenadas biangulares a cartesianas

Dado un punto por sus coordenadas biangulares $P(\theta _{1},\theta _{2})$ respecto a los dos puntos de referencia de coordenadas $c_{1}=(a,0)$ y $c_{2}=(-a,0)$, para determinar sus coordenadas cartesianas $P(x_{p},y_{p})$, se debe calcular la intersección de las rectas $r_{1}$ y $r_{2}$ que pasan por $c_{1}$ y $c_{2}$ con los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$ respectivamente:

    $r_{1}\equiv y=(x-a)\tan(\pi -\theta _{1})$
    $r_{2}\equiv y=(x+a)\tan \theta _{2}$

para simplificar la notación, si se denominan:

    $m_{1}=\tan(\pi -\theta _{1})$
    $m_{2}=\tan \theta _{2}$

se tiene que resolviendo la intersección de las dos rectas, resulta que $P(x_{p},y_{p})$:

    $x_{p}={\frac {a\;(m_{1}+m_{2})}{m_{1}-m_{2}}}$ ; $y_{p}={\frac {2a\;m_{1}\;m_{2}}{m_{1}-m_{2}}}$

## Paso de coordenadas cartesianas a biangulares

Utilizando la misma notación, es inmediato deducir que a partir de las coordenadas cartesianas de un punto $P(x_{p},y_{p})$, se obtienen las coordenadas biangulares $P(\theta _{1},\theta _{2})$ según las expresiones:

    $\theta _{1}=\pi -\arctan 2{\frac {y_{p}}{x_{p}-a}}$ ; $\theta _{2}=\arctan 2{\frac {y_{p}}{x_{p}+a}}$

siendo arctg2 una generalización de la función trigonométrica arcotangente con dos parámetros, utilizada a menudo en relaciones inversas en un plano para evitar la ambigüedad en el ángulo resultante.

## Curvas en coordenadas biangulares

En coordenadas biangulares se pueden expresar fácilmente las ecuaciones de algunas curvas:

Ecuación de una circunferencia:

* $\theta _{1}+\theta _{2}=k$

Ecuación de la hipérbola:

* $\theta _{1}-\theta _{2}=k$

Cuando los puntos $c_{2}$ y $c_{1}$ se eligen con las coordenadas $(0,0)$ y

$(1,0)$, la expresión de las siguientes curvas toma la forma:

Ecuación de la parábola $(y=x^{2}-x)$:

    (Pasa por los puntos $c_{2}$ y $c_{1}$)
* $\tan \theta _{1}-\tan \theta _{2}=1$

Ecuación de la elipse $(y=k{\sqrt {0.5^{2}-(x-0.5)^{2}}})$:

    (su diámetro pasa por los puntos $c_{2}$ y $c_{1}$, y la relación entre la longitud de sus ejes es $k$)
* $\tan \theta _{1}\tan \theta _{2}=-k^{2}$
