Desigualdad de Jensen
# Desigualdad de Jensen

En matemáticas, la desigualdad de Jensen para funciones convexas relaciona el valor que asigna a una integral con la integral de esa misma función permutando, por así decirlo, la función y la integral. Fue probada por el matemático danés Johan Jensen en 1906. Dada su generalidad, la desigualdad aparece en múltiples contextos.

## Formulación

En su formulación más simple, la desigualdad es la siguiente: una transformación convexa de la media es menor o igual en valor que la media de una transformación convexa. Sin embargo, su formulación formal más general se expresa en el contexto de la teoría de la medida:

Sea (Ω, A, μ) un espacio de medida tal que μ(Ω) = 1. Si g es una función real μ-integrable y φ una función convexa en el eje real, entonces:

   $\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu .$

## Casos particulares

### Formulación finita

Dada una función convexa φ, números $x_1,$ $x_2,$ ..., $x_n$ en su dominio y pesos positivos $a_i$ se cumple que:

   $\varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}.$

En particular, si los pesos $a_i$ son todos iguales a 1, entonces

   $\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}.$

Por ejemplo, como la función -log(x) es convexa, la desigualdad anterior puede concretarse en

   ${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$

### En análisis real

Si $a<b$ son números reales y $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ es una función real integrable, entonces, reescalando, se puede aplicar la desigualdad de Jensen para obtener

   $\varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq \int _{a}^{b}\varphi ((b-a)f(x)){\frac {1}{b-a}}\,dx.$

Por otro lado, si f(x) es una función no negativa tal que

   $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1,$

g es una función real cualquiera y φ es una función convexa sobre el rango de g, entonces

   $\varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.$

En caso de que g sea la función identidad, se obtiene

   $\varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.$

## Aplicaciones en casos especiales

### Formulación probabilística

La desigualdad de Jensen, usando la notación habitual en teoría de la probabilidad, puede reescribirse así:

   (1)$\varphi \left(\mathbb {E} \{X\}\right)\leq \mathbb {E} \{\varphi (X)\}.$

donde $\varphi$ es una función convexa.

### Física estadística

La desigualdad de Jensen desempeña un papel importante en física estadística cuando la función convexa es la exponencial porque entonces

   (1)$e^{\langle X\rangle }\leq \left\langle e^{X}\right\rangle ,$

fórmula en la que los paréntesis angulares representan la esperanza respecto a la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.

### Teoría de la información

Si p(x) es la función de densidad correspondiente a una variable aleatoria X y q(x) es otra función de densidad, entonces, aplicando la desigualdad (1) a la variable aleatoria Y(X) = q(X)/p(X) y la función φ(y) = −log(y) se obtiene

   $\int p(x)\log {\frac {p(x)}{q(x)}}\,dx\geq -\log \int p(x){\frac {q(x)}{p(x)}}\,dx$
   $\Rightarrow \int p(x)\log {\frac {p(x)}{q(x)}}\,dx\geq 0$
   $\Rightarrow -\int p(x)\log q(x)\,dx\geq -\int p(x)\log p(x)\,dx,$

que es la llamada desigualdad de Gibbs y está relacionada con el hecho de que la longitud de los mensajes es mínima cuando se codifican en términos de la distribución verdadera y con el concepto de la divergencia de Kullback-Leibler.

