Teorema de Seifert-van Kampen
# Teorema de Seifert-van Kampen

En matemáticas, concretamente en topología algebraica, el teorema de Seifert–van Kampen, a veces conocido simplemente como el teorema de van Kampen, expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico X respecto de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por caminos U y V que recubren X. Se puede emplear por tanto para obtener el grupo fundamental de espacios construibles a partir de espacios más sencillos.

## Enunciado

* Sea $X$ un espacio topológico, $X=U_{1}\cup U_{2}$, con $U_{1},U_{2}$ subconjuntos abiertos y conexos por caminos, tales que $U_{1}\cap U_{2}\neq \varnothing$ también es conexo por caminos. Sea $x_{0}\in U_{1}\cap U_{2}$.
* Supongamos que conocemos los grupos fundamentales
* $\pi _{1}(U_{1},x_{0})=\langle S_{1};R_{1}\rangle \,$,
* $\pi _{1}(U_{2},x_{0})=\langle S_{2};R_{2}\rangle \,$ y
* $\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})=\langle S;R\rangle$.
* Entonces, $\pi _{1}(X,x_{0})=\langle S_{1}\cup S_{2};R_{1}\cup R_{2}\cup \{(i_{1})_{*}(s)((i_{2})_{*}(s))^{-1}|s\in S\}\rangle$, donde,
* si $i_{1}:U_{1}\cap U_{2}\rightarrow U_{1}$ y $i_{2}:U_{1}\cap U_{2}\rightarrow U_{2}$ son las inclusiones naturales,
* entonces $(i_{1})_{*}$ y $(i_{2})_{*}$ son las aplicaciones inducidas tales que
* $(i_{1})_{*}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(U_{1},x_{0})$ que actúa $[\alpha ]\rightarrow (i_{1})_{*}([\alpha ]):=[i_{1}\circ \alpha ]$,
* y análogamente
* $(i_{2})_{*}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(U_{2},x_{0})$ que actúa $[\alpha ]\rightarrow (i_{2})_{*}([\alpha ]):=[i_{2}\circ \alpha ]$.
