Teorema de Slutsky
# Teorema de Slutsky

En teoría de la probabilidad, el teorema de Slutsky extiende algunas propiedades de operaciones algebraicas sobre sucesiones convergentes de números reales a sucesiones de variables aleatorias.

El teorema lleva el nombre de Yevgueni Slutski aunque es también atribuido a Harald Cramér.

## Enunciado

Sean ${X_n},$ ${Y_n}$ sucesiones de variables aleatorias.

Si $X_n$ converge en distribución a una variable aleatoria X; e $Y_n$ converge en probabilidad a una constante c, entonces

* $X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;$
* $X_{n}Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ cX;$
* $X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,$ siempre que c ≠ 0,

donde ${\xrightarrow {d}}$ denota convergencia en distribución.

Observaciones:

* En el enunciado del teorema, la condición $“Y_n$ converge en probabilidad a una constante c” puede ser reemplazada con $“Y_n$ converge en distribución a una constante c” — estas dos condiciones son equivalentes debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.
* La condición $Y_n$ converge a una constante es importante — si convergiera a una variable aleatoria no degenerada, el teorema podría no ser válido.
* El teorema sigue siendo válido si se reemplaza, en todos los casos, convergencia en distribución por convergencia en probabilidad debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.

## Demostración

Este teorema se deduce del hecho de que si $X_n$ converge en distribución a X e $Y_n$ converge en probabilidad a una constante c, entonces el vector $(X_n,$ $Y_n)$ converge en distribución a (X, c). Luego, se aplica el teorema de la aplicación continua, considerando las funciones g(x,y)=x+y, g(x,y)=xy, y $g(x,y)=x^{−1}y$ como continuas (para que la última función sea continua, x debe ser invertible).

