Ecuación hipsométrica
# Ecuación hipsométrica

La ecuación hipsométrica o ecuación altimétrica es una ecuación utilizada en meteorología y oceanografía que relaciona un cociente entre presiones atmosféricas con el grosor equivalente de una capa atmosférica asumiendo temperatura y gravedad constantes. Se deriva de la ecuación hidrostática y de la ley de los gases ideales.

## Ecuación

La ecuación hipsométrica se expresa como:

$h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\ {\bar {T}}}{g}}\ \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$ :

| Símbolo | Nombre | Valor | Unidad |
| - | - | - | - |
| $h$ | Grosor de la capa atmosférica | | m |
| $z$ | Altitud | | m |
| $g$ | Aceleración gravitacional estándar | | m / $s^2$ |
| $R$ | Constante de los gases específica para el aire seco | 287.06 | J / (kg K) |
| ${\bar {T}}$ | Temperatura media de la capa | | K |
| $p$ | Presión | | Pa |

En meteorología, $p_{1}$ y $p_{2}$ son superficies isobáricas. En altimetría, con la Atmósfera Estándar Internacional, la ecuación hipsométrica se emplea para computar la presión a una altitud dada en capas isotérmicas en la estratosfera superior e inferior.

## Derivación de la ecuación

La ecuación hidrostática:

    $p=\rho \cdot g\cdot z$

donde $\rho$ es la densidad $[kg/m^3],$ se usa para generar la ecuación del equilibrio hidrostático, expresada en forma diferencial:

    $dp=-\rho \cdot g\cdot dz$

Esto se combina con la ley de los gases ideales:

    $p=\rho \cdot R\cdot T$

Recordar que en todo el desarrollo que sigue, $R$ no es la Constante de los gases ideales sino la constante específica para el aire seco, es decir, aquí $R$ es la constante de los gases dividida por la masa molar del aire seco.

Para eliminar $\rho$:

    ${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$

Esta expresión se integra entre $z_{1}$ y $z_{2}$:

    $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$

R y g son constantes respecto de z, por lo que se pueden sacar fuera de la integral. Si la variación de la temperatura es lineal respecto de z (como se supone en la Atmósfera Estándar Internacional), también se puede sacar de la integral reemplazándola por ${\bar {T}}$, la temperatura media entre $z_{1}$ y $z_{2}$.

    $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z$

Al integrar, se obtiene:

    $\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$

que se simplifica a:

    $\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$

Reordenando los términos, queda:

    $z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$

o, alternativamente, eliminando el logaritmo neperiano (ln):

    ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}$
