Desigualdad de Bernoulli
# Desigualdad de Bernoulli

La desigualdad de Bernoulli es aquella que se establece entre números reales.

* (Desigualdad de Bernoulli)
* Para cualquier número real $x\geq -1$ y cualquier número entero $n\geq 1$ se cumple:
* $(1+x)^{n}\geq 1+nx$
* y la igualdad se obtiene si y sólo si x=0 o n=1.

La desigualdad de Bernoulli tiene generalizaciones y variantes:

* Si el exponente es par, entonces la desigualdad es válida para cualquier número real a.
* Si el exponente es un número real β entonces

$(1+y)^{\beta }\geq 1+\beta \cdot y$, si $y\geq -1$ y $\beta \leq 0$ o $\beta \geq 1$

mientras que

$(1+y)^{\beta }\leq 1+\beta \cdot y$, si $y\geq -1$ y $0\leq \beta \leq 1$.

La desigualdad de Bernoulli es de particular relevancia pues en numerosas ocasiones funciona como lema intermedio en la prueba de resultados de cálculo más complejos.

## Prueba de la desigualdad

La demostración se efectúa únicamente para n, número natural.

Para n = 1,

    $(1+x)^{1}\geq 1+1\cdot x\,$

lo cual es equivalente a 1+x ≥ 1+x

Ahora, supóngase que el enunciado es válido para n = k:

    $(1+x)^{k}\geq 1+kx.\,$

Luego se probará para n = k+1:

    ${\begin{aligned}&\qquad (1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)\quad {\text{(por hipótesis, debido a que }}(1+x)\geq 0)\\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2},\\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x+kx^{2}.\end{aligned}}$

Sin embargo, como 1 + (k + 1)x + $kx^2$ ≥ 1 + (k + 1)x (porque $kx^2$ ≥ 0), se tiene que (1 + $x)^{k+1}$ ≥ 1 + (k + 1)x, lo cual significa que el enunciado es cierto para n = k + 1.

Por inducción se concluye que el enunciado es cierto para todo n ≥ 1.

