Orden multiplicativo
# Orden multiplicativo

En teoría de números, dado un número entero a y un entero positivo n coprimo con a (es decir, tal que mcd(a,n) = 1), el orden multiplicativo de a módulo n es el menor entero positivo k que cumple

    $a^k$ ≡ 1 (módulo n).

El orden de a (mód n) se suele denotar $ord_n$ a, o bien $O_n(a).$

Por ejemplo, para determinar el orden multiplicativo de 4 módulo 7, calculamos $4^2$ = 16 ≡ 2 (mód 7) y $4^3$ ≡ 64 ≡ 1 (mód 7), por tanto, $ord_7(4)$ = 3.

Sin saber que estamos trabajando en un grupo finito, se puede demostrar que a tiene un orden si las potencias de a sólo pueden tomar un número finito de valores módulo n, por lo que debe haber dos exponentes, s y t, tales que $a^s$ ≡ $a^t$ (mód n). Como a y n son coprimos, esto implica que $a^{|s-t|}$ ≡ 1 módulo n.

El concepto de orden multiplicativo es un caso especial del orden de elementos de un grupo. El orden multiplicativo de un número a módulo n es el orden de a en el grupo multiplicativo cuyos elementos son los residuos módulo n de los números coprimos con n, y cuya operación de grupo es la multiplicación módulo n. Este es el grupo de unidades del anillo $Z_n;$ tiene φ(n) elementos (donde φ denota la función φ de Euler), y se denota por U(n) o $U(Z_n).$

Como consecuencia del teorema de Lagrange, $ord_na$ siempre divide a φ(n). Si $ord_n$ a es igual a φ(n) y por tanto tiene el valor máximo que puede tener, entonces a se dice raíz primitiva módulo n. Esto significa que el grupo U(n) es cíclico y la clase de residuos de a lo genera.

