Axiomática conjuntista de Gorbátov
# Axiomática conjuntista de Gorbátov

Axiomática conjuntista de Gorbátov es un enfoque axiomático que construye formalmente una teoría de conjuntos sobre la base de axiomas pertinentes, con miras de usar en asuntos de informática.

## Axiomática

### Axioma de existencia

Existe por lo menos un conjunto.

### Axioma de voluminosidad

Llamado también axioma de extensionalidad. Si los conjuntos $M_a$ y $M_b$ se componen de los mismos elementos, ellos coinciden (son iguales): $M_a$ = $M_b$

### Axioma de unión

Para dos conjuntos arbitrarios $M_a$ y $M_b$ existe un conjunto, cuyos elementos son todos los elementos del conjuntos $M_a$ y todos los elementos del conjunto $M_b$ y que no contiene ningún otro elemento.

De los axiomas de voluminosidad y de unión se infiere que para los conjuntos arbitrarios $M_a$ y $M_b$ el conjunto que satisface el axioma de unión es único. La unicidad fluye de lo anterior.

### Axioma de diferencia

Para los conjuntos arbitrarios $M_a$ y $M_b$ existe un conjunto, cuyos elementos son aquellos, y solo aquellos, elementos del conjunto $M_a$ que no son elementos del conjunto $M_b.$

Análogamente, del segundo y cuarto axiomas se deduce que para dos conjuntos arbitrarios existe exactanente un conjunto que contiene los elementos del primer conjunto, no pertenecientes al segundo. Este conjunto se denomina diferencia de $M_a$ y $M_b$ y que se denota $M_c$ = $M_a$ \ $M_b$

### Axioma de potencia

Para cada conjunto M existe una familia de conjuntos B(M) (booleano), cuyos elementos son todos los subconjuntos $M_i,$ $M_i$ ⊂ M, y solamente estos.

### Axioma de existencia del conjunto vacío

Existe tal conjunto ∅ que ningún elemento le pertenece.

## Otras operaciones con conjuntos

Aunque las operaciones y los conceptos de la teoría de los conjuntos fueron elaborados intuitivamnete, la estructuración axiomática da la oportunidad de definir formalmente estos conceptos y operaciones de la teoría de conjuntos, apoyándonos en los seis axiomas presentados previamente. Con el auxilio de unión y de diferencia, usando los axiomas introducidos , vamos a definir tres operaciones más sobre conjuntos.

### Intersección

Se define mediante la fórmula

   $M_{a}\cap M_{b}=M_{a}-(M_{b}-M_{b})$

Se puede demostrar que los elementos de la intersección $M_{a}\cap M_{a}$ son aquellos y únicamente aquellos que son elementos de $M_a$ y además son elementos del conjunto $M_b.$

### Complemento

Esta operación se define por la fórmula

   $M^{c}={\boldsymbol {1}}-M$ donde ${\boldsymbol {1}}\supset M;1-M\neq \emptyset$

### Diferencia simétrica

Esta operación se establece usando la fórmual definitoria

   $M_{a}\Delta M_{b}=(M_{a}-M_{b})\cup (M_{b}-M_{a})$

## Propiedades de operaciones

Empleando la axiomática introducida, se puede probar la validez de leyes que se aducen para determinar las propiedades de la signatura del álgebra de conjuntos: las leyes de «idempotencia», «conmutativa», «asociativa», «distributiva» «de operación con constantes », «de complemento doble», «leyes formuladas por De Morgan» y otras más presentadas a continuación:

* ley distributiva de intersección respecto a la diferencia
* ley conmutativa de diferencia simétrica
* ley asociativa de diferencia simétrica
* ley distributiva de intersección respecto a la diferencia simétrica
* leyes de encolamiento $(M\cap N)\cup (M\cap N^{c})=M$; $(M\cup N)\cap (M\cup N^{c})=M$
* leyes de absorción
* leyes de Poretski $M\cup (M^{c}\cap N)=M\cup N$; $M\cap (M^{c}\cup N)=M\cap N$

## Notas y referencias

* ↑ Gorbátov V. A. «Fundamentos de la matemática discreta» ISBN 5-03-000620-6
* ↑ Texto referido
* ↑ Ibid
* 1 2 3 Ibídem
* ↑ Gorbátov. Op. cit. M. 1988, p.41
