Eje radical
# Eje radical

En geometría plana, el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas.

Por medio de la geometría analítica se puede demostrar que el eje radical es siempre una recta. Sean $(p_{1},q_{1})$ y $(p_{2},q_{2})$ los centros de los dos círculos, $r_{1}$ y $r_{2}$ los radios correspondientes. Según la definición algebraica de la potencia del punto $(x,y)$ se obtiene para cada uno de los círculos $(x-p_{1})^{2}+(y-q_{1})^{2}-r_{1}^{2}$ o $(x-p_{2})^{2}+(y-q_{2})^{2}-r_{2}^{2}$. Al igualar las dos potencias se obtiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de los círculos:

   $(x-p_{1})^{2}+(y-q_{1})^{2}-r_{1}^{2}=(x-p_{2})^{2}+(y-q_{2})^{2}-r_{2}^{2}$

La multiplicación y agrupación resulta en

   $2(p_{2}-p_{1})x+2(q_{2}-q_{1})y+(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}+p_{1}^{2}+q_{1}^{2}-p_{2}^{2}-q_{2}^{2})=0$

En esta ecuación los términos cuadrados $x^{2}$ e $y^{2}$ se han anulado, no hay términos mixtos $xy$, ha quedado una ecuación del tipo $Ax+By+C=0$ que es la forma general de la ecuación de recta.

El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.

