Desigualdad de Hölder
# Desigualdad de Hölder

En análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios $L^p.$

Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre S, se tiene que

    $\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ||fg $||_1$ es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f está en $L^p(μ)$ y g está en $L^q(μ),$ entonces fg está en $L^1(μ).$

Para 1 < p, q < ∞, f ∈ $L^p(μ)$ y g ∈ $L^q(μ),$ la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f $|^p$ y |g $|^q$ son linealmente dependientes en $L^1(μ),$ lo que significa que existen dos números reales α, β ≥ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que α |f $|^p$ = β |g $|^q$ μ-casi en todas partes.

La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de la desigualdad triangular en el espacio $L^p(μ),$ y también para establecer que $L^q(μ)$ es el espacio dual de $L^p(μ)$ para 1 ≤ p < ∞.

La desigualdad de Hölder fue descubierta por primera vez por Rogers (1888), y descubierta independientemente por Hölder (1889).

