Momento central
# Momento central

En estadística el momento central o centrado de orden $k$ de una variable aleatoria $X$ es la esperanza matemática $\operatorname {E} [(X-E[X])^{k}]$ donde $\operatorname {E}$ es el operador de la esperanza. Si una variable aleatoria no tiene media el momento central es indefinido. También se puede definir como:

$\mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\,dx.$

Normalmente la letra griega para el momento central es μ. El primer momento central es cero y el segundo se llama varianza (σ²) donde σ es la desviación estándar. El tercer y cuarto momentos centrales sirven para definir los momentos estándar denominados de asimetría y de curtosis.

Las fórmulas de los momentos centrados y no centrados se pueden obtener a partir de la fórmula de la esperanza matemática. Si la desarrollamos, obtenemos que los momentos no centrados son:

Orden 0: $E[x^{0}]=1$

Orden 1: $E[x]={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}=m=\alpha$

Orden 2: $E[x^{2}]={\frac {\sum _{i}x_{i}^{2}}{n}}=\alpha _{2}$

Orden 3: $E[x^{3}]={\frac {\sum _{i}x_{i}^{3}}{n}}=\alpha _{3}$

Orden 4: $E[x^{4}]={\frac {\sum _{i}x_{i}^{4}}{n}}=\alpha _{4}$

Mientras que los centrados son:

Orden 0: $E[(x-m)^{0}]=1$

Orden 1: $E[(x-m)]=\alpha -\alpha =0$

Orden 2: $E[(x-m)^{2}]=\alpha _{2}-\alpha ^{2}=\sigma ^{2}=\mu _{2}$

Orden 3: $E[(x-m)^{3}]=\alpha _{3}-3\alpha \alpha _{2}+2\alpha ^{3}=\mu _{3}$

Orden 4: $E[(x-m)^{4}]=\alpha _{4}-4\alpha \alpha _{3}+6\alpha ^{2}\alpha _{2}-3\alpha ^{4}=\mu _{4}$

