Ecuación recíproca
# Ecuación recíproca

En álgebra ecuación recíproca se llama a la ecuación polinómica $P(x)=0$ en la que si $s$ distinto de cero, es una solución, entonces también lo será ${\frac {1}{s}}$.

Desplegando

   $P(x)_^=$ $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}=0.$

Esto implica que al reemplazar x por 1/x en la ecuación propuesta, y eliminar los denominadores, se obtiene la misma ecuación, esto es:

   $P(x)_^=$ $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}x^{0}=0$

entonces se verifica:

          $a_k$ = $a_{n-k}$ para k = 0, 1,...,n.

## Ecuación cuártica recíproca

Sin embargo, en el caso de la ecuación algebraica de cuarto grado del tipo

          $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$se denomina recíproca (e diferente de 0), si existe un número α ≠ 0 tal que, entre los coeficientes de la ecuación a, b. c, d, e hayan las relaciones $d=\alpha b,e=\alpha ^{2}a.$

Empleando la sustitución $x+{\frac {\alpha }{x}}=y,$ después de dividir entre $x^2$ la ecuación original, y teniendo en cuenta que $x^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}=y^{2}-2\alpha$ se obtiene una ecuación cuadrática respecto a y:

          $ay^{2}+by+cy-2\alpha a=0$.

la que da dos raíces de y, que permite estructurar dos ecuaciones de segundo grado en x

$x^{2}-y_{1}x+\alpha =0$

$x^{2}-y_{2}x+\alpha =0$

donde $y_1$ e $y_2$ son raíces de la ecuación cuadrática en y (1).

## Casos de ecuación cuártica recíproca

### Ecuación simétrica

Cuando α = 1, en el caso de la ecuación cuártica recíproca, resulta

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$

, los coeficientes de los términos equidistantes del término cuadrático son idénticos

### Ecuación antisimétrica

Asumiendo que α = -1, da como resultado

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0$

, la que se conoce como ecuación antisimétrica de cuarto grado. Los coeficientes de los términos de grado impar son opuestos.

