Teorema de Routh
# Teorema de Routh

En geometría, el teorema de Routh determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por la intersección de tres cevianas (una por cada vértice).

## Nomenclatura

Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianas AD, BE y CF.

Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).

    $I=AD\cap CF,\quad G=AD\cap BE,\quad H=BE\cap CF$

Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:

    ${\overline {AF}}/{\overline {BF}}=r$
    ${\overline {BD}}/{\overline {CD}}=s$
    ${\overline {CE}}/{\overline {AE}}=t$

Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como $A_{ABC}$ y $A_{IGH}.$

## Enunciado del teorema

Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:

* $A_{IGH}={\frac {(r\cdot s\cdot t-1)^{2}}{(s\cdot t+s+1)(r\cdot t+t+1)(r\cdot s+r+1)}}\;A_{ABC}.$

El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( r s t = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.

