Conjunto estacionario
# Conjunto estacionario

En teoría de conjuntos y en teoría de modelos existen tres nociones diferentes de conjunto estacionario:

* Los conjuntos estacionarios clásicos.
* Los conjuntos estacionarios de Jech.
* Los conjuntos estacionarios generalizados.

## Conjunto estacionario clásico

Si $\kappa \,$ es un cardinal con cofinalidad no numerable, $S\subseteq \kappa \,,$ y $S\,$ se interseca con cada conjunto club de $\kappa \,,$ entonces $S\,$ se denomina conjunto estacionario. Si un conjunto no es estacionario, entonces se denomina conjunto delgado. Esta noción no debe confundirse con la de conjunto delgado en teoría de números.

Si $S\,$ es un conjunto estacionario y $C\,$ es un conjunto club, entonces su intersección $S\cap C\,$ también es estacinaria. Porque si $D\,$ es cualquier conjunto club, entonces $C\cap D\,$ es un conjunto club porque la intersección de dos conjuntos club es también un conjunto club. Así $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)\,$ es no vacío. Por lo tanto, $(S\cap C)\,$ debe ser estacionario.

La restricción a una cofinalidad no numerable se hace para evitar casos triviales: Supóngase que tiene un cofinalidad $\kappa$ numerable. Entonces$S\subset \kappa$ es estacionario en $\kappa$ si y solo si $\kappa \setminus S$ está acotado en $\kappa$. En particular, si la cofinalidad de $\kappa$ es $\omega =\aleph _{0}$, entonces cualesquiera dos conjuntos estacionarios de $\kappa$ tienen intersección estacionaria.

Si se introduce la restricción de cofinalidad no numerable entonces lo último deja de ser certo. De hecho, supóngase que $\kappa$ es un cardinal regular y $S\subset \kappa$ es estacionario. En ese caso $S$ puede ser particionado en $\kappa$ conjuntos estacionarios disjuntos. Este resultado se debe a R. M. Solovay. Para $\kappa$ cardinal sucesor, este resultado fue demostrado por S. M. Ulam y se demuestra fácilmente con el auxilio de la matriz de Ulam.

## Conjunto estacionario de Jech

Existe otra noción diferente de conjunto estacionario debida a Thomas Jech. Dado un conjunto $[X]^{\lambda }$, siendo $\lambda$ un cardinal y $X$ un conjunto tal que su cardinal $|X|\geq \lambda$, donde $[X]^{\lambda }$ denota el conjunto de conjuntos de $X$ cardinalidad $\lambda$: $[X]^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}$. Como en el caso de un conjunto estacionario clásico, $S\subset [X]^{\lambda }$ es estacionario si y solo si se interseca con cada conjunto club de $[X]^{\lambda }$ y es no acotado bajo $\subset$ y cerrado bajo la unión de cadenas de longitud inferior a $\lambda$.

Esta definición en general no es equivalente de conjunto estacionario clásico, aunque para $X=\omega _{1}$ y $\lambda =\aleph _{0}$ ambas coinciden en el sentido de que $S\subset [\omega _{1}]^{\omega }$ es estacionario si y solo si $S\cap \omega _{1}$ es estacionario en $\omega _{1}$. En este caso también se cumple una versión moficada del lema de Fodor.

