Grupo de jets
# Grupo de jets

En matemáticas, un grupo de jets es una generalización del grupo lineal general que se aplica mediante una serie de Taylor, asimilable a un vector en un punto. Esencialmente, un grupo de jets describe cómo un polinomio de Taylor se transforma bajo los cambios de un sistema de coordenadass (o, equivalentemente, mediante difeomorfismos).

## Visión general

El grupo de jets $G^n_k$ de orden k-ésimo, consiste en un conjunto de jets bajo la aplicación de difeomorfismos uniformes φ: $R^n$ → $R^n$ tales que φ (0) = 0.

La siguiente es una definición más precisa de un grupo de jets.

Sea k ≥ 2. El gradiente de una función f: $R^k$ → R puede interpretarse como una sección del haz cotangente de $R^K$ dado por df: $R^k$ → T* $R^k.$ De forma similar, las derivadas hasta el orden m incluido son secciones del paquete de jets $J^m$ $(R^k)$ = $R^k$ × W, donde

    $W=\mathbf {R} \times (\mathbf {R} ^{*})^{k}\times S^{2}((\mathbf {R} ^{*})^{k})\times \cdots \times S^{m}((\mathbf {R} ^{*})^{k}).$

Aquí R* es el espacio dual a R, y $S^i$ denota la i-ésima potencia simétrica. Una función suave f: $R^k$ → R tiene una prolongación $j^mf:$ $R^k$ → $J^m$ $(R^k)$ definido en cada punto p ∈ $R^k$ colocando la i-ésima derivada parcial de f en p en la componente $S^i$ $((R*)^k)$ de W.

Considérese un punto $p=(x,x')\in J^{m}(\mathbf {R} ^{n})$. Existe un único polinomio $f_p$ con k variables y de orden m tal que p pertenece a la imagen de $j^mf_p.$ Es decir, $j^{k}(f_{p})(x)=x'$. Los datos diferenciales x pueden transferirse para estar sobre otro punto y ∈ $R^n$ como $j^mf_p$ (y), las derivadas parciales de $f_p$ respecto a y.

Asóciese a $J^m$ $(R^n)$ una estructura de grupo tomando

    $(x,x')*(y,y')=(x+y,j^{m}f_{p}(y)+y')$

Con esta estructura de grupo, $J^m$ $(R^n)$ es un grupo de Carnot de clase m + 1.

Debido a las propiedades de los jets bajo una función compuesta, $G^n_k$ es un grupo de Lie. El grupo de jets es un producto semidirecto del grupo lineal general y un grupo nilpotente conectado y simplemente conectado. También es, de hecho, un grupo algebraico, ya que la composición solo implica operaciones polinomiales.

