Grupo ortonormal generalizado
# Grupo ortonormal generalizado

En matemáticas, el grupo ortogonal generalizado, ${\text{O}}(p,q)$ es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial n-dimensional real que deja invariante una forma bilineal simétrica y no-degenerada, de signatura $(p,q)$, donde n = p + q. También se le llama grupo pseudo-ortogonal o grupo ortogonal indefinido. La dimensión del grupo es $n(n-1)/2$. El nombre responde a que generaliza al grupo ortogonal que es un caso particular.

El grupo ortogonal especial generalizado o indefinido, ${\text{SO}}(p,q)$ es el subgrupo de ${\text{O}}(p,q)$ formado por todos los elementos con determinante igual a la unidad. A diferencia del caso definido, ${\text{SO}}(p,q)$ no es conexo, teniendo dos componentes. Además tiene subgrupos de índice finito adicionales, a saber, el ${\text{SO}}^{+}(p,q)$ y ${\text{O}}^{+}(p,q)$, que tiene 2 componentes – ver sección de Topología para definiciones y una discusión de estos hechos.

La signatura de la forma determina el grupo, salvo isomorfismos, intercambiando el papel de $p$ y $q$, lo cual equivale a reemplaza la métrica por su forma negativa, conlleva el mismo grupo. Si uno de los dos índices $p$ o $q$ es cero, entonces el grupo resultante es el grupo ortogonal ordinario ${\text{O}}(p+q)$. Para estudiar el caso eneral, asumimos en lo que sigue que tanto $p>0$ y $q>0$. El grupo ${\text{O}}(p,q)$ se define para espacios vectoriales sobre los reales. Para espacios vectoriales complejos, todos los grupos ${\text{O}}(p,q,\mathbb {C} )$ son isomorfos al habitual grupo ortogonal ${\text{O}}(p+q,\mathbb {C} )$, ya que la transformación $z_{j}\mapsto iz_{j}$ cambia la signatura de la forma. Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido ${\text{U}}(p,q)$ que conserva una forma sesquilineal de signatura $(p,q)$.

En dimensión para $p=q=n/2$, el grupo ${\text{O}}(p,q)$ se denomina el grupo ortogonal escindido.

