Trisectriz de Longchamps
# Trisectriz de Longchamps

La trisectriz de Longchamps (también conocida como trébol equilátero) es una curva plana que lleva el nombre del matemático francés Gohierre de Longchamps (1842-1906), con la propiedad de se puede utilizar para realizar la trisección de un ángulo (de ahí la denominación de trisectriz).

## Definición

En un círculo con un centro $M$ y diámetro $AB$, el punto $B'$ gira a una velocidad constante en la dirección angular positiva y el punto $A'$ gira a doble velocidad en la dirección opuesta. El punto $B'$ comienza en el punto $B$ y el punto $A'$ en el otro extremo del diámetro en el punto $A$. Las tangentes del círculo en los puntos $A'$ y $B'$ se cruzan en un punto $E$. El lugar geométrico de los puntos $E$ es la trisectriz de Longchamps.

## Ecuaciones

Para un círculo con radio $a$, cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas, se obtiene la siguiente ecuación en coordenadas polares:

    $r=-{\frac {a}{\cos(3\varphi )}}$.

La siguiente ecuación en coordenadas cartesianas se deduce de la expresión anterior:

    $x(x^{2}-3y^{2})+a(x^{2}+y^{2})=0$.

Utilizando el parámetro $\gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ en coordenadas cartesianas, se obtiene con funciones trigonométricas la forma:

    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\cos(t)}{\cos(3t)}}a\\-{\frac {\cos(t)}{\sin(3t)}}a\end{pmatrix}}$.

También es posible expresar la curva según el parámetro $\gamma :(-\infty ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ en coordenadas cartesianas con funciones racionales:

    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}a\\{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}at\end{pmatrix}}$.

## Propiedades

La trisectriz de Longchamps tiene tres asíntotas y tres ejes de simetría:

### Asíntotas

* $x={\frac {a}{3}}$,
* $y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x-{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}$.
* $y={\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}$

### Ejes de simetría

* $y=0$
* $y={\frac {\sqrt {3}}{2}}x$
* $y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}x$

La inversión de la trisectriz respecto al círculo de su definición genera un trébol regular.

