Grupo ordenable
# Grupo ordenable

En matemática, un grupo se dice ordenable (a veces se le llama ordenable a izquierda) si admite un orden total invariante a izquierda, es decir, un orden total $\preceq$ tal que $a\preceq b$ implica $ca\preceq cb$ para todos los elementos $a,b,c$ del grupo.

Cuando el grupo admite un orden que es invariante tanto a izquierda como a derecha entonces decimos que es biordenable.

## Ejemplos

* El conjunto de los números reales dotado con la operación suma es un grupo ordenable, ya que el orden total habitual es invariante por traslaciones.
* Cualquier subgrupo H de un grupo ordenable G es también ordenable, ya que dado un orden total de G invariante a izquierda restringiéndolo obtenemos uno para H.
* $\mathbb {Z} ^{n}$ es ordenable. Esto puede mostrarse fácilmente de dos maneras. Una forma es utilizar un homomorfismo inyectivo de $\mathbb {Z} ^{n}$ en $\mathbb {R}$ y utilizar lo dicho en el ejemplo anterior. Otra forma es utilizar el orden lexicográfico.
* El producto directo entre dos grupos ordenables es ordenable, utilizando el orden lexicográfico.
* El grupo libre en n generadores es ordenable para todo n, esto fue probado por Wilhelm Magnus.
* El grupo de los homeomorfismos de $\mathbb {R}$ que preservan orientación ($Homeo_{+}(\mathbb {R} )$) es un grupo ordenable. Dada una sucesión $(a_{n})$ densa en $\mathbb {R}$ se define el orden $\preceq$ sobre $Homeo_{+}(\mathbb {R} )$ de la siguiente manera: si $f\neq g$ diremos que $f\prec g$ cuando el mínimo n tal que $f(a_{n})\neq g(a_{n})$ verifica $f(a_{n})<g(a_{n})$.

## Algunos resultados

* El primer resultado en la teoría de grupos ordenables es debido a Otto Hölder: todo grupo con un orden total invariante a izquierda que satisface una propiedad arquimediana es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de los números reales.
* Si un grupo es ordenable entonces es libre de torsión. Esto se prueba fácilmente: si $\preceq$ es un orden total invariante a izquierda para G y $g\in G$ entonces $g\preceq id$ o $id\preceq g$, en el primer caso es sencillo mostrar que se tendrá $g^{n}\preceq g^{n-1}$ para todo $n\in \mathbb {Z} ^{+}$, por lo que $g^{n}\neq id$ para todo n si $g\neq id$.
* Dada una sucesión exacta corta $\{1\}\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow \{1\}$, si A y C son ordenables entonces B también lo es. De hecho, por cada par de órdenes elegidos en A y C tendremos un orden distinto en B.
* Un grupo G es ordenable si y solo si todo subgrupo finitamente generado de G es ordenable.
* Con el resultado anterior, y ya sabiendo que $\mathbb {Z} ^{n}$ es ordenable, se deduce que todo grupo abeliano libre de torsión es ordenable. Esto es consecuencia del teorema de estructura que dice que todo grupo abeliano finitamente generado es suma directa de grupos cíclicos.
* Si G es ordenable y numerable entonces G es isomorfo a un subgrupo de $Homeo_{+}(\mathbb {R} )$.
* En un grupo biordenable se cumple la propiedad de raíz única: si $g^{n}=h^{n}$ entonces $g=h$.

## Conos positivo y negativo

Un orden invariante a izquierda está determinado por su cono positivo, o sea el conjunto de elementos mayores a la identidad del grupo.

Un grupo G es ordenable si y solo si existe un semigrupo P tal que $P\cap P^{-1}=\varnothing$ y $G=P\cup P^{-1}\cup \{id\}$. Con esta caracterización es fácil demostrar que un grupo admite un orden total invariante a izquierda si y solo si admite un orden total invariante a derecha; esta es la razón por la que no exista una teoría de grupos ordenables a derecha.

Para que G sea biordenable es además necesario que el semigrupo P sea invariante por conjugaciones, o sea $gPg^{-1}=P$ para todo $g\in G$.

## El espacio de órdenes

Dado G un grupo ordenable, se tiene el conjunto LO(G) formado por los órdenes totales en G invariantes a izquierda.

Está demostrado que LO(G) es finito o no numerable (o sea, no existe ningún grupo tal que admita exactamente una cantidad infinita numerable de órdenes totales invariantes a izquierda). Este resultado no es cierto para los biórdenes.

En LO(G) generalmente se define una topología, con sub base $\{U_{f}:\ f\in G\}$, siendo $U_{f}=\{\preceq :\ f\preceq id\}$. Con esta topología LO(G) resulta un espacio compacto totalmente disconexo.

