Inraggio
# Inraggio

In geometria, l'inraggio è il nome dato nel triangolo al raggio dell'incerchio, ma può essere usato analogamente anche per indicare l'omologo in qualsiasi altro poligono avente circonferenza inscritta; corrisponde però al concetto di apotema nei casi di poligoni regolari.

Per le sue particolarità, moltiplicando l'inraggio per il semiperimetro p si ottiene il valore dell'area del triangolo.

## Proprietà

Dato un triangolo ABC si traccino le sue bisettrici fino al reciproco congiungimento, determinando così l'incentro I e l'inraggio r della circonferenza inscritta. Il raggio tocca i lati del triangolo nei punti di tangenza, formando con essi angoli retti, per cui r può essere considerato l'altezza dei tre triangoli IAB, IBC e IAC rispettivamente di aree:

    $S_{c}=r\cdot AB/2$
    $S_{a}=r\cdot BC/2$
    $S_{b}=r\cdot CA/2$

Dunque l'area S del triangolo ABC sarà pari alla loro somma:

    $S=S_{a}+S_{b}+S_{c}=r\cdot (AB+BC+CA)/2$

da cui:

    $S=r\cdot p$

ove $p$ è il semiperimetro.

## Formule geometriche

Dalla formula di Erone ricaviamo che

    $\mathrm {S} ={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}$

ma allora, per la relazione precedentemente trovata, abbiamo che

    $r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$

## Formule trigonometriche

$r=(p-a)\tan {\frac {\alpha }{2}}=(p-b)\tan {\frac {\beta }{2}}=(p-c)\tan {\frac {\gamma }{2}}$

