Versore
# Versore

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore $\mathbf {v}$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

    ${\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}.$

## Esempi

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

* I versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
   * ${\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}};$
   * $\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z};$
   * $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3};$
   * ${\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }},{\hat {\mathbf {z} }};$
   * $\mathbf {x} _{0},\mathbf {y} _{0},\mathbf {z} _{0};$
   * ${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.$
* I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).
* I versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:
   * ${\hat {r}},{\hat {\theta }};$
   * ${\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\boldsymbol {\theta }}};$
   * $\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta };$
   * $\mathbf {r} _{0},{\boldsymbol {\theta }}_{0}.$
* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:
   * ${\hat {t}},{\hat {n}};$
   * ${\hat {\mathbf {t} }},{\hat {\mathbf {n} }};$
   * $\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{n}.$

## Derivata di un versore

Sia ${\hat {\mathbf {v} }}(t)$ un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

    ${\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=\left|{\hat {\mathbf {v} }}\right|^{2}$

e ricordando che i versori hanno modulo unitario si ha

    ${\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=1.$

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

    ${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}+{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}'=0.$

Data la commutatività del prodotto scalare

    $2\left({\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}\right)=0$
    ${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=0.$

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di ${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}$, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

    ${\hat {\mathbf {v} }}(t)=\theta (t),{\hat {\theta }}+1\,{\hat {r}},$

che in coordinate cartesiane diviene:

    ${\hat {\mathbf {v} }}(t)=\cos \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\imath }}+\sin \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\jmath }}.$

Derivando rispetto a $t$ si ottiene:

    ${\hat {\mathbf {v} }}'(t)=\theta '(t)(-\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}),$

dove il termine

    $-\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}$

è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine

    $\theta '(t)$

è in generale diverso dall'unità.

