Singolarità
# Singolarità

Il concetto di singolarità caratterizza una grande varietà di fenomeni nei campi più diversi: scienza, tecnologia, matematica, sociologia, psicologia, ecc. I fenomeni considerati "singolari" hanno in comune il fatto che piccole variazioni di una grandezza che caratterizza il fenomeno possono causare variazioni illimitatamente grandi o anche vere e proprie discontinuità in altre grandezze caratteristiche. Nella descrizione matematica di tali fenomeni compaiono caratteristiche simili: in particolare avvicinandosi al punto singolare il comportamento del sistema non può più essere descritto accuratamente con equazioni lineari e spesso nelle soluzioni delle equazioni linearizzate compare a denominatore un termine che si avvicina sempre più a zero, facendo perciò crescere illimitatamente il valore di una o più grandezze in gioco.

Già nel 1873 James Clerk Maxwell osservò che in molti sistemi fisici o sociali esiste una grande quantità di "energia potenziale" (in senso proprio per i sistemi fisici e metaforico per i sistemi sociali), che può liberarsi solo quando un certo parametro raggiunge un valore di soglia. A questo proposito Maxwell (e analogamente pochi anni dopo Poincaré) fa l'esempio molto semplice di una roccia spinta molto lentamente oltre l'orlo di un burrone: una situazione quasi-statica che viene trasformata in una molto dinamica a seguito di un cambiamento impercettibile. Nei sistemi dinamici il verificarsi di una singolarità coincide con la perdita della stabilità del sistema. Esempi di singolarità in diversi settori sono forniti nel seguito.

Maxwell, inoltre, osserva che nei sistemi di qualunque tipo (fisici, sociologici, economici, ecc.) l'esistenza di singolarità mette in evidenza i limiti associati a una descrizione deterministica dei fenomeni, in quanto nei pressi della singolarità diventa impossibile predire accuratamente l'evoluzione del sistema. Anche se, infatti, continua a valere il principio di causalità per cui stesse cause devono produrre identici effetti, nei pressi di un punto singolare non è più vero che cause simili diano effetti simili. In altre parole microscopiche e impercettibili variazioni delle condizioni di partenza possono provocare enormi differenze negli eventi successivi, le cui conseguenze sono generalmente irreversibili.

Benché la perdita di stabilità di un sistema possa molto spesso essere schematizzata come un fenomeno improvviso (si pensi al carico di punta di una trave), in alcuni sistemi reali l'avvicinarsi graduale al punto singolare può essere segnalato dal manifestarsi di fenomeni ampi, in cui il comportamento del sistema è governato da leggi nonlineari. Un esempio è fornito dalla instabilità meccanica di lamine sottili caricate assialmente (piastre, gusci, volte, tubi, ecc.). Per alcune geometrie il carico critico a cui dovrebbe corrispondere la singolarità può essere calcolato matematicamente, ma la descrizione matematica resta un modello ideale che, pur essendo concettualmente utile, non fornisce il vero valore del carico critico, perché i termini nonlineari amplificano le imperfezioni della forma geometrica o della posizione del carico determinando il sopravvenire di deformazioni significative e spesso irreversibili molto prima che il limite teorico della singolarità venga raggiunto.

L'esistenza di singolarità è alla radice di alcune importanti discipline sviluppate nella seconda metà del XX secolo come la teoria delle catastrofi e la teoria del caos o, più in generale, lo studio della complessità.

## Matematica

Il termine singolarità ha origine in matematica, dove indica in generale un punto in cui un ente matematico, per esempio una funzione o una superficie, "degenera", cioè perde parte delle proprietà di cui gode negli altri punti generici, i quali per contrapposizione sono detti “regolari”. In un punto singolare, per esempio, una funzione o le sue derivate possono non essere definite e nell'intorno del punto stesso "tendere ad infinito". Nei vari campi specifici ci sono dei significati più precisi:

* In analisi matematica è a volte usato come sinonimo di punto di discontinuità
* In analisi complessa si parla di singolarità isolata di una funzione in un punto se la funzione è olomorfa in un intorno bucato del punto, ma non lo è nell'intorno pieno. Se la singolarità non è eliminabile, deve essere un polo, cioè un punto in cui la funzione tende all'infinito, oppure una singolarità essenziale, cioè un punto di estrema discontinuità in quanto avvicinandosi alla singolarità la funzione può tendere a qualsiasi valore, finito o infinito, pur di scegliere opportunamente il percorso di avvicinamento.
* In algebra lineare si parla di matrice singolare per intendere una matrice con determinante pari a zero e quindi non invertibile. Nella formula della matrice inversa, infatti, il determinante della matrice compare a denominatore.
* In geometria algebrica si parla di punto singolare di una varietà algebrica, quando la matrice Jacobiana delle derivate parziali del primo ordine in quel punto ha rango inferiore a quello nei punti regolari

## Fisica

In fisica, i punti singolari sono quelli in cui si verifica una singolarità matematica delle equazioni di campo, dovuta per esempio ad una discontinuità geometrica del dominio oppure al raggiungimento di un valore limite di un parametro. Benché le soluzioni singolari delle equazioni di campo restino molto utili per descrivere il comportamento fisico fuori della singolarità, esse perdono di significato fisico nei pressi del punto singolare. In pratica il comportamento fisico in tali intorni può essere descritto solo tramite teorie fisiche più complesse in cui la singolarità non si verifica. In particolare, per esempio:

* Nella teoria dell'elasticità sono punti singolari i vertici di ogni angolo rientrante di un continuo omogeneo. Esempi di angoli rientranti sono gli intagli acuti e le punte delle fessure, anche se in pratica lo spigolo rientrante o la punta della fessura non possono essere perfettamente acuti per motivi tecnologici e presentano sempre un raggio di curvatura, sia pur piccolissimo. In tali punti tensioni e deformazioni sono teoricamente infinite e anche nella pratica possono essere molto elevate, se il raggio di curvatura è piccolo, superando il valore limite di resistenza del materiale. In pratica, perciò, se il mezzo materiale è duttile esso si deforma plasticamente nell'intorno del punto singolare e, invece, se esso è fragile, si microfessura localmente.
* Nella teoria della Relatività una singolarità gravitazionale è un punto nel cui intorno l'attrazione gravitazionale tende ad infinito (cfr. Big Bang e buchi neri). Avvicinandosi a tali punti occorrerebbe utilizzare una teoria quantistica della gravitazione al posto della relatività generale di Einstein.
* In fluidodinamica la singolarità di Prandtl-Glauert si verifica quando un aeromobile raggiunge la velocità del suono del fluido in cui procede. In quell'istante secondo le equazioni linearizzate di moto dei fluidi si dovrebbero verificare pressioni infinite e perciò ancora agli inizi del XX secolo gli studiosi credevano che la velocità del suono non potesse essere superata. In realtà quando si supera il 70% della velocità del suono i termini nonlineari delle equazioni di moto cessano di essere trascurabili e, diventando sempre più dominanti, sono la causa dell'onda d'urto che si crea al raggiungimento della singolarità.
* In meccanica dei solidi il raggiungimento di un carico critico determina l'instabilità del sistema causando spostamenti trasversali alla direzione del carico che, nell'ambito di una teoria lineare, risultano illimitati. Il comportamento reale della struttura deve allora essere studiato utilizzando le equazioni nonlineari che governano i grandi spostamenti.

## Sistemi dinamici

Le considerazioni qualitative di Maxwell, trovarono un primo approfondimento matematico nei lavori di Henri Poincaré, che identificò quattro diversi tipi di punti singolari presenti nelle equazioni differenziali con cui può essere descritta l'evoluzione nel tempo di un sistema complesso.

Le singolarità sono un ingrediente sottostante la formulazione di teorie applicabili alla descrizione di sistemi dinamici di natura molto diversa, come la teoria del caos o la teoria delle catastrofi.

## Scienze naturali

Lo sviluppo evolutivo della vita in tutte le sue fasi fino anche ai processi di sviluppo dell'uomo non sembra essere avvenuto in modo continuo ma per salti, attraverso mutazioni che possono essere considerate vere e proprie singolarità e che sono state probabilmente influenzate pesantemente da disastri naturali che creando spazio per nuove forme di vita devono essere considerate singolarità produttive e non soltanto distruttive.

## Scienze sociali

Sia Maxwell sia Poincaré considerano esempi di "singolarità" presenti nella vita degli individui e degli organismi sociali. Per esempio Maxwell osserva che una parola può far scoppiare una guerra. Le società sono normalmente protette dal fatto che i loro membri sono coscienti dei possibili sviluppi negativi e possono contribuire a stabilizzare il sistema sociale. Tuttavia, il formarsi di aggregazioni sociali sempre più complesse rende sempre meno lineare e meno prevedibile il sistema e, per esempio, il verificarsi di interazioni impreviste fra sottosistemi può produrre eventi imprevedibili.

In futurologia, per esempio, e talora in sociologia viene congetturato il possibile sviluppo di una singolarità tecnologica, un punto nello sviluppo di una civiltà, in cui il progresso tecnologico accelera oltre la capacità di comprendere e prevedere degli esseri umani.

### Singolarità e complessità

La presenza di situazioni singolari è tanto più probabile quanto più complesso è il sistema. Affrontare il verificarsi di una singolarità in un sistema complesso, inoltre, è molto difficile perché risultano meno evidenti le cause da rimuovere per stabilizzare nuovamente il sistema e la percezione del caos si diffonde facilmente contribuendo a ingigantirlo. Lo studio del collasso delle civiltà antiche ha indicato che la difficoltà di trovare soluzioni in un sistema complesso è stata una causa determinante della loro caduta.

Anche la crisi finanziaria degli anni 2007-2008 ha messo in evidenza i rischi creati dalla diffusione incontrollata di strumenti finanziari complessi. La robustezza e l'adattabilità di un sistema è un valore da difendere anche a prezzo di sacrificare una possibile eccessiva ottimizzazione del sistema per ridurne la complessità.

