Onda d'urto
# Onda d'urto

In fluidodinamica e aerodinamica con il termine onda d'urto si indica un sottile strato di forte variazione dei campi di pressione, temperatura, densità e velocità del fluido. Tale sottile spessore, dell'ordine di 10 nm, viene modellato matematicamente come una discontinuità.

## Tipologie

Un'onda d'urto può essere normale oppure obliqua alla direzione della velocità relativa tra onda e corrente, e può altresì essere stazionaria oppure spostarsi rispetto a un corpo che la genera. Le onde sonore, essendo identificabili come piccoli disturbi di pressione e di velocità, in quanto queste ultime grandezze sono legate nelle equazioni che governano il fenomeno, rappresentano delle onde d'urto che, per la loro bassa intensità, possono essere considerate isoentropiche, cioè onde che non modificano sensibilmente l'entropia del flusso che le attraversa o che attraversano (sono anche dette onde di Mach). Il meccanismo delle onde d'urto oblique è in grado di deviare un flusso supersonico.

Di particolare interesse sono anche le onde d'urto adiabatiche, cioè quelle che si possono verificare in una corrente di fluido animata da moto omoenergetico.

## Onda d'urto normale

Si consideri la figura a destra. Si immagini un serbatoio a monte del condotto di figura che per qualche motivo si svuoti generando un flusso di fluido (che considereremo gas perfetto) all'interno del condotto. Dette 1 e 2 le due sezioni di controllo, detta $T_{0}$ la temperatura totale nel serbatoio, e $p_{0}$ la pressione totale, detto $\tau$ il volume di controllo, e siano le variazioni di sezione fra 1 e 2 trascurabili, individuando con ${\vec {n}}_{1}$ la normale alla sezione 1 e con ${\vec {n}}_{2}$ alla sezione 2, si immagini che, a causa delle condizioni di pressione a valle del condotto, o delle condizioni di raccordo del condotto stesso, il fluido sia costretto a cambiare repentinamente le sue proprietà di pressione, velocità e temperatura all'interno di un piccolo volume (indicato appunto con $\tau$).

Chiameremo questa zona di discontinuità onda d'urto normale.

Supponendo il flusso stazionario, e cioè nulle le derivate delle quantità rispetto al tempo, facciamo il bilancio della massa e della quantità di moto. Ipotizzando un flusso all'ingresso del volume di controllo supersonico unidimensionale, indicheremo con ρ la densità del fluido, con u la velocità e con A la sezione.

Bilancio di massa:

    $\rho _{1}u_{1}A_{1}=\rho _{2}u_{2}A_{2}$.

Coincidendo $A_{1}$ con $A_{2}$ il bilancio diviene

    $\rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}=G$

dove G è una costante invariante a monte e a valle del volume di controllo.

Bilancio della quantità di moto:

    $A_{2}(p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}){\vec {n}}_{2}-A_{1}(p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}){\vec {n}}_{1}={\vec {R}}+M{\vec {g}}$

Abbiamo indicato con ${\vec {R}}$ la risultante delle azioni del condotto sul fluido, con M la massa di fluido, e con ${\vec {g}}$ l'accelerazione di gravità.

Trascuriamo ora il peso del fluido e l'azione del condotto sul fluido stesso, agendo essa sull'area laterale del volume, di ordine inferiore rispetto alle aree frontali. Dunque poiché $A_{1}=A_{2}$ e ${\vec {n}}_{1}={\vec {n}}_{2}$ allora il bilancio della quantità di moto diviene semplicemente $p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}=p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=I$ invariante a monte e a valle del volume di controllo.

Facciamo ora il bilancio dell'energia:

    $\rho _{2}A_{2}u_{2}h_{02}-\rho _{1}A_{1}u_{1}h_{01}=M{\dot {q}}$ dove $h_{0}$ è l'entalpia totale e ${\dot {q}}$ la derivata temporale del calore introdotto. Essendo ${\dot {q}}=0$ (condotto adiabatico) semplicemente $h_{02}=h_{01}=h_{0}$.

Abbiamo dunque tre invarianti: G, I, e $h_{0}$. Ricordiamo la definizione di velocità del suono critica $a_{c}$:

    $((\gamma -1)/2)u^{2}=a_{0}^{2}=((\gamma +1)/2)a_{c}^{2}.$

Si è indicata con $a_{0}$ la velocità del suono ad entalpia totale e $\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$.

Inoltre $a^{2}=\gamma rT=\gamma {\frac {u}{G}}(I-Gu)$ e dunque giungiamo all'equazione che regola le onde d'urto normali:

    $u^{2}-{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}{\frac {I}{G}}u+a_{c}^{2}=0.$

Chiamiamo $u_{1}$ e $u_{2}$ le due soluzioni dell'equazione (reali e distinte oppure reali e coincidenti), poiché per la nota proprietà delle equazioni di secondo grado $u_{1}u_{2}=a_{c}^{2}$, allora in un urto normale è $M_{1}cM_{2}c=1$, dove con $M_{c}$ abbiamo indicato il numero di Mach critico, definito come $M_{c}={\frac {u}{a_{c}}}$. Da questa relazione notiamo subito che un flusso attraverso un'onda d'urto normale passa da supersonico a subsonico o viceversa (ma quest'ultima alternativa è impossibile perché viola il 2º principio della termodinamica).

### Urto normale

La relazione che lega i numeri di Mach "veri" è la seguente:

    $M_{2}^{2}={\dfrac {1+{\dfrac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{\gamma M_{1}^{2}-{\dfrac {\gamma -1}{2}}}}.$

Osservando tale relazione si nota che per $M_{1}\to \ 1$ allora anche $M_{2}\to \ 1$ (in questo caso avremo una zona di debole discontinuità, fenomeno quasi isoentropico chiamato "onda di Mach"). Se invece $M_{1}\to \ \infty$ allora $M_{2}\to \ \left({\dfrac {\gamma -1}{2\gamma }}\right)^{\frac {1}{2}}$.

Per quanto riguarda le velocità:

    ${\dfrac {u_{1}}{u_{2}}}={\dfrac {\gamma +1}{2}}{\dfrac {M_{1}^{2}}{1+{\dfrac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}}$

La velocità dunque attraverso un urto normale diminuisce.

Per le pressioni:

    ${\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}={\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1).$

La pressione aumenta, dunque, attraverso l'onda.

Dalle leggi di Poisson si ricava poi:

    ${\frac {p_{01}}{p_{02}}}=\left[1+{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1)\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}\left[{\frac {(\gamma -1)M_{1}^{2}+2}{(\gamma +1)M_{1}^{2}}}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}$

Se $M_{1}>1$ allora anche $p_{01}>p_{02}$ e viceversa se $M_{1}<1$. Indicando con $\sigma$ l'entropia, poiché $\Delta \sigma =\sigma _{2}-\sigma _{1}=r\ln \left({\frac {p_{01}}{p_{02}}}\right)$ e che $\Delta \sigma >0$ per il secondo principio della termodinamica, allora è che $p_{02}<p_{01}$ e dunque $M_{1}>1$. Sono dunque possibili onde d'urto normali solo con flusso in ingresso supersonico.

Per quanto riguarda la temperatura:

    $p_{1}u_{1}-p_{2}u_{2}=Gr(T_{1}-T_{2})$

Da cui $T_{1}<T_{2}$ perché il primo membro dell'equazione detta è negativo. Dunque la temperatura aumenta attraverso l'onda.

## Onde d'urto oblique

Le onde d'urto oblique sono zone di discontinuità del campo fluidodinamico poste con un angolo diverso da 90° rispetto al flusso. Considerando la figura a destra, si chiami v la velocità di un sistema di riferimento che trasli senza accelerare rispetto ad un'onda d'urto normale. Chiamo $u_{1}$ la velocità del fluido in ingresso rispetto ad un riferimento fermo, mentre $w_{1}$ la velocità vista secondo il sistema di riferimento traslante. L'osservatore solidale con il sistema di riferimento traslante vede entrare un flusso con angolo $\beta$ rispetto all'onda, e lo vede uscire deviato di un angolo $\theta$. Rispetto alla trattazione fatta nel paragrafo precedente, cambieranno le quantità relative alle velocità, ma non quelle relative all'entalpia o all'entropia. Chiamo $h_{0}=h+{\frac {w_{1}^{2}}{2}}$ la nuova entalpia totale, sempre invariante, mentre individuo in $h_{0n}=h+{\frac {u_{1}^{2}}{2}}$ l'entalpia totale relativa alla parte normale della velocità del fluido. Poiché energeticamente non è cambiato nulla rispetto alla situazione precedente, il salto di entropia sarà lo stesso.

### Relazioni per le onde d'urto oblique

Dunque la relazione che lega il numero di Mach d'entrata e uscita nel sistema di riferimento mobile sarà:

    $M_{2}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta -\theta )={\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )}{\gamma M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )-{\frac {\gamma -1}{2}}}}$
    $M_{1n}>1$ implica che $M_{1}\mathrm {sen} (\beta )>1\Rightarrow \ \mathrm {sen} (\beta )\geq \ {\frac {1}{M_{1}}}=\mathrm {sen} (\mu _{1})\Rightarrow \ \beta \geq \ \mu _{1}$ dove $\mu _{1}$ è l'angolo del cono di Mach a monte dell'onda.

Il salto di densità è dato da:

    ${\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac {{\frac {\gamma +1}{2}}M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )}}$

La pressione varia secondo la relazione:

    ${\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}={\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )-1)$

**Relazione fra angolo di deviazione del flusso e angolo di inclinazione dell'onda obliqua**

La relazione tra $\theta$ e $\beta$ è la seguente:

    $\tan(\theta )=2\cot(\beta ){\frac {M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )-1}{M_{1}^{2}(\gamma +\cos 2(\beta ))+2}}$

Fissato un certo Mach in ingresso, come si vede dal grafico data la svolta $\theta$ esistono due possibili soluzioni: una con il flusso in uscita supersonico ed una con flusso in uscita subsonico (una con $\beta$ maggiore, ed una con $\beta$ minore). Inoltre si individua un angolo di svolta massimo, indicato nel grafico come $\theta _{max}$. Il significato fisico di questo angolo massimo è molto importante e si intuisce immediatamente che un flusso supersonico deviato da un'onda obliqua non potrà effettuare svolte superiori al $\theta _{max}$ indicato in figura.

