Riflessione (geometria)
# Riflessione (geometria)

In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).

## Definizione

Sia π un iperpiano in uno spazio euclideo di dimensione n passante per l'origine. In altre parole, π è un sottospazio vettoriale di dimensione n − 1.

Una riflessione rispetto a π è la trasformazione lineare data da

    $\mathrm {Ref} _{a}({\vec {v}})={\vec {v}}-2{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}$

dove a è un qualsiasi vettore ortogonale a π, e v·a è il prodotto scalare fra v ed a.

Sia p un punto nello spazio euclideo. Una riflessione rispetto a p è la trasformazione lineare data da

    $\mathrm {Ref} _{p}({\vec {v}})=2{\vec {p}}-{\vec {v}}$

## Proprietà

* La matrice associata ad una riflessione rispetto ad una base ortonormale i cui primi n − 1 elementi sono contenuti nell'iperpiano è molto semplice: è una matrice diagonale aventi tutti i valori 1 sulla diagonale tranne l'ultimo, che è -1.
* La composizione di due riflessioni lungo lo stesso iperpiano p è la funzione identità.
* La composizione di due riflessioni del piano lungo rette distinte può essere una rotazione o una traslazione.
* Ogni matrice associata ad una riflessione rispetto ad una qualsiasi base è una matrice ortogonale con determinante uguale a − 1.
* Utilizzando la definizione di matrice di Householder, si possono ricavare molto facilmente le equazioni relative a questo tipo di trasformazione.

## Geometria euclidea piana

Nel piano euclideo, due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto a una retta r (cui non appartengono) quando r è l'asse del segmento [AA']. Il punto A' è il simmetrico di A rispetto ad r e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto A che non appartiene ad r il punto A' suo simmetrico, e ad ogni punto C in r associa il punto C stesso, è detta simmetria assiale di asse r nel piano considerato.

La simmetria assiale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione $\eta _{r}$ per indicare la simmetria assiale di asse r; il simmetrico di A si scrive quindi ${\rm {A}}'=\eta _{r}({\rm {A}})$.

La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria assiale è un'isometria di tipo inverso, cioè inverte l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)

### Definizione di simmetria assiale

Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione geometrica che lascia invariata la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto Q in modo tale che il segmento PQ sia perpendicolare alla retta r e abbia come punto medio H, piede della perpendicolare condotta da P a r.

### Simmetria assiale in geometria analitica

Data l'equazione dell'asse di simmetria $y=mx+q$ e il segmento di estremi $P(x;y)$ e $Q(x';y')$, la retta passante per P e Q è perpendicolare all'asse di simmetria (pertanto $m_{PQ}=-{\frac {1}{m}}$) e lo interseca nel punto medio H di coordinate

$\left({\frac {x+x'}{2}};{\frac {y+y'}{2}}\right)$

Poiché H appartiene all'asse, vale la seguente equazione:

${\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q$

Il coefficiente angolare della retta passante per P e Q si può scrivere come

$m_{PQ}={\frac {y-y'}{x-x'}}$

Pertanto,

${\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}$

Per determinare le coordinate del punto Q, simmetrico di P, si ricorre al sistema di equazioni

${\begin{cases}{\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q\\{\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}\end{cases}}$

Da cui si ricava

${\begin{cases}x'={\frac {-2mq+x-m^{2}x+2my}{m^{2}+1}}\\y'={\frac {2q+2mx-y+m^{2}y}{m^{2}+1}}\end{cases}}$

**Casi particolari**

* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=x$, bisettrice del primo e del terzo quadrante

${\begin{cases}x'=y\\y'=x\end{cases}}$

* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=-x$, bisettrice del secondo e del quarto quadrante

${\begin{cases}x'=-y\\y'=-x\end{cases}}$

* Simmetria assiale rispetto alla retta $x=k$, parallela all'asse y

${\begin{cases}x'=2k-x\\y'=y\end{cases}}$

* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=k$, parallela all'asse x

${\begin{cases}x'=x\\y'=2k-y\end{cases}}$

* Simmetria assiale rispetto alla retta $x=0$, asse delle ordinate

${\begin{cases}x'=-x\\y'=y\end{cases}}$

* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=0$, asse delle ascisse

${\begin{cases}x'=x\\y'=-y\end{cases}}$

## In geometria descrittiva

La riflessione è un tipo di corrispondenza biunivoca detta affinità che può essere ortogonale, quando il piano di riflesso (specchio) è ortogonale al piano della figura oggettiva, altrimenti obliqua.

