Funzione K
# Funzione K

In matematica la funzione K, è una funzione speciale che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione di interi chiamata iperfattoriale da Neil Sloane e Simon Plouffe, così come la funzione Gamma è una estensione complessa della successione dei fattoriali.

La funzione $K$ si può definire come

    $K(z):=(2\pi )^{\frac {-z+1}{2}}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}dt\,\ln(t!)\right].$

essa si può anche esprimere in forma chiusa come:

    $K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]$

mediante derivate della funzione zeta di Riemann $\zeta '(z)$ e della funzione zeta di Hurwitz $\zeta (a,z)$; qui si intende precisamente che sia

    $\zeta ^{\prime }(a,z)\equiv \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.$

La funzione $K$ è collegata strettamente alla funzione Gamma e alla funzione G di Barnes; per argomenti $n$ interi naturali si ha

    $K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.$

Più concretamente possiamo scrivere

    $K(n)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.$

La successione di questi valori, cioè la successione degli iperfattoriali, costituisce la sequenza A002109 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. I valori di questa successione relativi a $n=0,1,\ldots ,10$ sono

    1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000,
    55696437941726556979200000, 21577941222941856209168026828800000,
    215779412229418562091680268288000000000000000

Benoit Cloitre nel 2003 ha dimostrato che

    ${\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}{\mbox{det}}{\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 8}&\cdots &{1 \over 2^{n}}\\-{1 \over 3}&-{1 \over 9}&-{1 \over 27}&\cdots &-{1 \over 3^{n}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{(-1)^{n} \over n}&{(-1)^{n} \over n^{2}}&{(-1)^{n} \over n^{3}}&\cdots &{(-1)^{n} \over n^{n}}\\\end{vmatrix}}$
