Numero di Kaprekar
# Numero di Kaprekar

In matematica, un numero di Kaprekar in una data base è un numero intero non-negativo, il cui quadrato (nella stessa base) può essere suddiviso in due parti che, sommate tra loro, forniscono nuovamente il numero di partenza.

Per esempio, 297 è un numero di Kaprekar nel sistema numerico decimale, perché $297^2$ = 88209, che si può suddividere in 88 e 209, e 88 + 209 = 297. La seconda parte può iniziare con uno zero, ma deve essere un numero positivo. Per esempio, 999 è un numero di Kaprekar in base 10, poiché $999^2$ = 998001, che si può dividere in 998 e 001, e 998 + 001 = 999 mentre il numero 100 non lo è poiché anche se $100^2$ = 10000 e 100 + 00 = 100, il secondo addendo non è un numero positivo.

La riformulazione dei concetti esposti in termini più rigorosi può essere così espressa: Si consideri un numero X che sia intero e non negativo. X è un numero di Kaprekar in base b se esistono dei numeri interi non negativi n, A e B che soddisfino le tre condizioni seguenti:

    0 < B < $b^n$
    X² = $Ab^n$ + B
    X = A + B

I primi numeri di Kaprekar in base 10 sono:

    1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Nella numerazione binaria, tutti i numeri perfetti pari sono numeri di Kaprekar.

Per ogni base esistono infiniti numeri di Kaprekar; in particolare, per una data base b tutti i numeri di forma $b^n$ - 1 sono numeri di Kaprekar.

I numeri di Kaprekar prendono il nome da D. R. Kaprekar.

