Polinomio di Legendre
# Polinomio di Legendre

In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.

## Definizione

L'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per $|x|<1$. Si hanno soluzioni convergenti anche per $x=\pm 1$ purché $n$ sia un intero non negativo. In tal caso le soluzioni al variare di $n$ formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre $P_{n}(x)$ ha grado $n$ e può essere espresso mediante la formula di Rodriguez:

    $P_{n}(x)=(2^{n}n!)^{-1}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo $-1\leq x\leq 1$ rispetto al prodotto interno $L^2:$

    $\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\mathop \!\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}.$

Qui $\delta _{mn}~$ denota la delta di Kronecker, uguale a $1$ se $m=n$ e uguale a $0$ in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram-Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale $\left\{1,x,x^{2},\ldots \right\}$ e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per $(2n)! \over {2^{n}(n!)^{2}}$ con $n=0,1,\ldots$ che indica l'$n$-esimo polinomio di Legendre.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

    ${\begin{aligned}P_{0}(x)&=1;\\P_{1}(x)&=x;\\P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1);\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x);\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3);\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x);\\P_{6}(x)&={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5).\end{aligned}}$
