Teorema di Hopf-Rinow
# Teorema di Hopf-Rinow

In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo all’equivalenza fra alcune condizioni di completezza in una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow.

## Il teorema

L'enunciato del teorema di Hopf-Rinow è il seguente.

Sia $M$ una varietà riemanniana connessa per archi. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

* $M$ è uno spazio metrico completo.
* I sottoinsiemi chiusi e limitati in $M$ sono compatti.
* Ogni geodetica in $M$ può essere prolungata indefinitamente. In altre parole, per ogni punto $p$ di $M$ la relativa mappa esponenziale è definita sull'intero spazio tangente $T_{p}(M)$ in $p$.

## Esempi

### Spazio euclideo

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ con l'usuale metrica euclidea è completo. Questo perché la retta reale è uno spazio completo e il prodotto di spazi completi è completo.

### Varietà compatte

Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero il viceversa: ad esempio lo spazio euclideo non è compatto.

### Rimozione di un punto

Rimuovendo un punto $p$ da una varietà riemanniana $M$ qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana $N$ non completa. Nessuna delle tre ipotesi elencate è infatti verificata:

* Una successione di punti in $N$ convergente a $p$ è di Cauchy in $N$ ma non converge.
* Sia $D$ una palla chiusa di raggio $r$ centrata in $p$. L'insieme $D\setminus \{p\}$ è chiuso e limitato in $N$, ma non compatto.
* Se $g$ è una geodetica in $M$ attraversante $p$, viene tagliata in due geodetiche in $N$, ciascuna delle quali non può essere estesa indefinitivamente nella direzione di $p$.

## Dipendenza dalla metrica

La completezza di una varietà riemanniana dipende fortemente dalla metrica presente, e cioè dal suo tensore metrico. La stessa varietà differenziale può infatti essere completa o non completa, a seconda della metrica di cui è dotata.

Ad esempio, la palla unitaria

    $B=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}$

non è completa se dotata dell'usuale metrica, indotta da quella di $\mathbb {R} ^{n}$, ma risulta completa se dotata della metrica di Poincaré.

