Coomologia di De Rham
# Coomologia di De Rham

In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham.

Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi $k$-dimensionali".

## Definizione

### Preliminari

Sia $M$ una varietà differenziabile di dimensione $n$ e $k$ un intero con

    $0\leq k\leq n.$

Tutte le $k$-forme differenziali su $M$ formano uno spazio vettoriale reale che viene indicato con

    $\Omega ^{k}(M).$

Questo spazio ha dimensione finita. In particolare, per $k=0$ questo spazio è lo spazio delle funzioni differenziabili a valori in $\mathbb {R}$.

Il differenziale esterno di una forma differenziale $\omega$ è una $(k+1)$-forma, indicata con il simbolo $d\omega$. Il differenziale definisce quindi una mappa

    $d:\Omega ^{k}(M)\longrightarrow \Omega ^{k+1}(M)$

che risulta essere una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali.

### Complesso di cocatene

Il complesso di De Rham è il complesso di cocatene seguente:

    $0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \cdots {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{n-1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{n}(M).$

Poiché ogni forma esatta è anche chiusa, vale $d(d\omega )=0$ per ogni forma $\omega$, ovvero

    $d^{2}=d\circ d=0.$

D'altra parte, una forma chiusa può non essere esatta, e la coomologia di De Rham misura proprio questo fenomeno; la coomologia è definita come l'omologia del complesso di De Rham nel modo seguente. Siano

    $C^{k}(M),Z^{k}(M)\subset \Omega ^{k}(M)$

i sottospazi formati rispettivamente dalle $k$-forme chiuse ed il sottospazio delle $k$-forme esatte. Poiché ogni forma esatta è chiusa, vale l'inclusione

    $Z^{k}(M)\subset C^{k}(M).$

Il $k$-esimo gruppo di coomologia di De Rham è definito come il quoziente di questi due spazi:

    $H^{k}(M)=C^{k}(M)/{Z^{k}(M)}$
