Teorema di Kummer
# Teorema di Kummer

In matematica, il teorema di Kummer per coefficienti binomiali fornisce la valutazione p-adica di un coefficiente binomiale, ovvero l'esponente della maggiore potenza di un numero primo $p$ che divide questo coefficiente binomiale. Il teorema prende nome da Ernst Kummer, che lo dimostrò nel 1852.

## Il teorema

Il teorema di Kummer afferma che per dati numeri interi n≥m≥0{\textstyle n\geq m\geq 0} ed un numero primo p{\textstyle p}, la valutazione p-adica $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$è pari al numero di riporti quando si addiziona $m$ ad $n-m$ in base-p.

Può essere dimostrato scrivendo (n/m){\textstyle {\tbinom {n}{m}}} come n!/m!(n−m)! {\textstyle {\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}} ed usando quindi l'identità di Legendre.

## Generalizzazione a coefficienti multinomiali

Il teorema di Kummer può essere generalizzato a coefficienti multinomiali ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}:={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$come segue: scrivendo l'espansione in base-p di un numero intero $n$ come ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$ e indicando con ${\displaystyle S_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$ la somma delle cifre dell'espansione in base-p, allora ${\displaystyle \nu _{p}\left({\dbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})-S_{p}(n)\right)}.$

