Diffeomorfismo locale
# Diffeomorfismo locale

In matematica, un diffeomorfismo locale è una funzione che risulta essere un diffeomorfismo su aperti sufficientemente piccoli.

Un diffeomorfismo locale è un particolare omeomorfismo locale, spesso causato dall'invertibilità del differenziale di una funzione differenziabile, grazie al teorema di invertibilità locale.

## Definizione

Sia

    $f:M\to N$

una funzione differenziabile fra due varietà differenziabili della stessa dimensione $n$ (ad esempio, due aperti di $\mathbb {R} ^{n}$). La funzione è un diffeomorfismo locale in un punto $x$ di $M$ se esiste un aperto $U$ contenente $x$ tale che $f(U)$ è aperto in $N$ e la restrizione

    $f|_{U}:U\to f(U)\,\!$

è un diffeomorfismo.

La funzione $f$ è un diffeomorfismo locale (senza specificare $x$) se è tale per ogni $x$ in $M$.

## Proprietà

Un diffeomorfismo locale è in particolare un omeomorfismo locale. Quindi è una funzione aperta.

Un diffeomorfismo locale che è anche biiettivo è un diffeomorfismo.

