Evoluta
# Evoluta

In geometria differenziale delle curve, l'evoluta di una curva piana $\gamma$ è un'altra curva piana $E$ che si ottiene come luogo geometrico dei centri di curvatura di $\gamma$ (ovvero i centri dei cerchi osculatori, che meglio approssimano la curva nei punti). Per esempio, l'evoluta di un cerchio è il suo centro stesso. In questo modo $\gamma$ viene detta involuta o evolvente di $E$.

## Definizione

Sia la curva piana $\gamma (s)$ parametrizzata dal parametro lunghezza d'arco. Il raggio di curvatura (raggio del cerchio osculatore) è definito come:

    $R(s)={\frac {1}{k(s)}}$.

Il centro di curvatura si trova sulla linea normale a $\gamma (s)$ ed è posto ad una distanza di $R$ da $\gamma (s)$, nella direzione determinata dal segno di $k$, ovvero:

    $E(s)=\gamma (s)+R(s){\bf {N}}(s)=\gamma (s)+{\frac {1}{k(s)}}{\bf {N}}(s)$.

Al variare di $s$, quindi, tale centro definisce una curva piana detta evoluta di $\gamma$.

