Kernel di Szegő
# Kernel di Szegő

Nello studio matematico di diverse variabili complesse, il kernel di Szegő è un trasformata integrale che dà origine a una kernel che si riproduce su uno spazio di Hilbert naturale di funzioni olomorfe . Prende il nome dal suo scopritore, il matematico ungherese Gábor Szegő.

Sia Ω un dominio limitato in $C^n$ con $C^2$ di confine, e A(Ω) denota lo spazio di tutte le funzioni olomorfe in Ω che sono continui su ${\overline {\Omega }}$. Definito lo spazio di Hardy $H^2(∂Ω)$ come la chiusura in $L^2(∂Ω)$ delle restrizioni degli elementi di A(Ω) al bordo. L'integrale di Poisson implica che ogni elemento ƒ di $H^2(∂Ω)$ si estende a una funzione olomorfa Pƒ in Ω. Inoltre, per ogni z ∈ Ω, la mappa

    $f\mapsto Pf(z)$

definisce un funzionale lineare continuo su $H^2(∂Ω).$ Per il teorema di rappresentazione di Riesz, questo funzionale lineare è rappresentato da un kernel $k_z,$ vale a dire

    $Pf(z)=\int _{\partial \Omega }f(\zeta ){\overline {k_{z}(\zeta )}}\,d\sigma (\zeta ).$

Il kernel di Szegő è definito da

    $S(z,\zeta )={\overline {k_{z}(\zeta )}},\quad z\in \Omega ,\zeta \in \partial \Omega .$

Come il kernel di Bergman, il kernel di Szeg è olomorfo in z. Infatti, se $φ_i$ è una base ortonormale di $H^2(∂Ω)$ costituita interamente dalle restrizioni delle funzioni in A(Ω), allora un argomento del teorema di Riesz-Fischer mostra che

    $S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\infty }\phi _{i}(z){\overline {\phi _{i}(\zeta )}}.$
