Primo teorema di Euclide
# Primo teorema di Euclide

In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema attinente al triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

* mediante l'equiestensione tra figure:

    In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.
* mediante relazioni tra segmenti:

    In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

## Enunciato con l'equivalenza

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

Dimostrazione

Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo $ABC$. Sul cateto $BC$ si costruisca il quadrato $BDEC$ e sia $CH$ la proiezione del cateto $BC$ sull'ipotenusa $CA$. Si costruisca il rettangolo $HCLM$ avente $CL$ congruente a $CA$. Si prolunghi il lato $ED$ dalla parte di $D$ fino ad incontrare in $F$ la retta contenente il segmento $CL$ e in $G$ la retta contenente il segmento $MH$. Si vuole dimostrare che il quadrato $BDEC$ è equivalente al rettangolo $HCLM$.

Si considerino ora i triangoli $ABC$ e $CFE$. Essi hanno:

* $BC$ è congruente a $CE$ per costruzione,
* l'angolo $ABC$ congruente all'angolo $FEC$ perché retti.
* l'angolo $BCA$ è congruente all'angolo $ECF$ perché entrambi complementari dello stesso angolo $FCB$.

Dunque, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli $ABC$ e $CFE$ sono congruenti, e in particolare si ha che $CA$ è congruente a $CF$.

Si considerino il quadrato $BDEC$ e il parallelogramma $FCBG$. Essi hanno la stessa base $CB$ e la stessa altezza $DB$ (se consideriamo $CB$ come la base l'altezza relativa ad essa è $DB$, perché $DE$ e $GF$ appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.

Si considerino il parallelogramma $FCBG$ e il rettangolo $HCLM$. Essi hanno basi congruenti (infatti $FC$ è congruente a $CA$ per dimostrazione precedente, e $CA$ è congruente a $CL$ per costruzione, quindi $FC$ è congruente a $CL$ per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti $FC$ e $CL$ appartengono alla stessa retta, e così pure $BG$ e $MH$), quindi sono equivalenti.

Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato $BDEC$ è equivalente al rettangolo $HCLM$.

## Enunciato con la proporzione

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura: $AC:BC=BC:CH$. In modo equivalente: $BC^{2}=AC$·$CH$.

### Dimostrazione

Si considerino i triangoli $ABC$ e $BCH$. Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in $C$ in comune), e quindi sono simili per il primo criterio di similitudine. Da ciò si ricava: $AC:BC=BC:CH$.

