Lemma di Slutsky
# Lemma di Slutsky

Il lemma di Slutsky è una delle applicazioni del teorema di Slutsky, utilizzato in particolare per dimostrare che la continuità di una funzione $g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ è condizione necessaria e sufficiente per la conservazione della convergenza in probabilità.

## Lemma

### Enunciato

Siano $X_{n}$ e $X$ variabili casuali k-dimensionali; considero $g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ continua e ipotizzo che $X_{n}{\stackrel {p}{\rightarrow }}X$. Allora:

$g(X_{n}){\stackrel {p}{\rightarrow }}g(X)$

### Dimostrazione (caso unidimensionale)

Fisso $\varepsilon >0$. Considero un compatto $S$ t.c. $P(X\notin S)\leq {\frac {1}{2}}\varepsilon$. Dunque: $P(X\in S)\geq 1-{\frac {1}{2}}\varepsilon$. Dal teorema di Heine-Cantor, so che una funzione continua su un compatto è anche uniformemente continua, cioè

    $\forall \eta >0,\exists \delta >0$ t.c. se $\{X\in S,|X-Y|\leq \delta \}$ allora $\{|g(X)-g(Y)|<\eta \}$.

Per ipotesi so che $X_{n}{\stackrel {p}{\rightarrow }}X$, cioè

    $\exists n_{0}$ t.c. $\forall n\geq n_{0}$, $P(|X_{n}-X|<\delta )\geq 1-{\frac {1}{2}}\varepsilon$

Ora

    $P(|X_{n}-X|<\delta )=P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)+P(|X_{n}-X|<\delta ,X\notin S)\leq$
    $\leq P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)+P(X\notin S)\leq P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)+{\frac {1}{2}}\varepsilon$

Dunque

    $P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)\geq 1-\varepsilon$

e quindi, per l'uniforme continuità

    $P(|g(X_{n})-g(X)|<\eta )\geq 1-\varepsilon$

cioè

    $g(X_{n}){\stackrel {p}{\rightarrow }}g(X)$

che è la tesi.

