Fattorione
# Fattorione

In teoria dei numeri, un fattorione in una data base numerica $b$ è un numero naturale che è uguale alla somma dei fattoriali delle sue cifre. Il nome fattorione è stato coniato da Clifford A. Pickover.

## Definizione

Sia $n$ un numero naturale. Definiamo la somma del fattoriale delle cifre di $n$ in una base $b>1$ come la funzione $SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ data da:

    $SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.$

dove $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ è il numero di cifre nel numero in base $b$, $n!$ è il fattoriale di $n$ e

    $d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}$

è il valore di ogni cifra del numero. Un numero naturale $n$ è un $b$-fattorione se è un punto fisso per $SFD_{b}$, cioè se $SFD_{b}(n)=n$. $1$ e $2$ sono punti fissi per tutte le basi $b$, e quindi sono fattorioni banali in ogni base; tutti gli altri eventuali fattorioni sono fattorioni non banali.

Ad esempio, il numero 145 in base $b=10$ è un fattorione perché $145=1!+4!+5!.$

Similmente a quanto si ha con la fattorizzazione, un numero naturale $n$ è un fattorione socievole se è un punto periodico per $SFD_{b}$, cioè $SFD_{b}^{k}(n)=n$ per un numero intero positivo $k$ e pertanto $n$ forma un ciclo di periodo $k$. Un fattorione è un fattorione socievole con $k=1$, e un fattorione amichevole è un fattorione socievole con $k=2$.

### Tabella dei fattorioni e dei cicli di $SFD_b$

Tutti i numeri sono rappresentati in base $b$.

| Base $b$ | Fattorioni non banali ( $n\neq 1$, $n\neq 2$ ) | Cicli |
| - | - | - |
| 2 | $\varnothing$ | $\varnothing$ |
| 3 | $\varnothing$ | $\varnothing$ |
| 4 | 13 | 3 → 12 → 3 |
| 5 | 144 | $\varnothing$ |
| 6 | 41, 42 | $\varnothing$ |
| 7 | $\varnothing$ | 36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36 |
| 8 | $\varnothing$ | 3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175 |
| 9 | 62558 | |
| 10 | 145, 40585 | 871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872 |
