Gruppo ciclico
# Gruppo ciclico

In matematica, più precisamente nella teoria dei gruppi, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un unico elemento.

Un tale gruppo è isomorfo al gruppo $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ delle classi di resto modulo $n$, oppure al gruppo $\mathbb {Z}$ dei numeri interi. Quindi i gruppi ciclici sono fra i più semplici, e sono completamente classificati.

## Definizione

Un gruppo $G$ è ciclico se esiste un elemento $g$ del gruppo (detto generatore) tale che $G$ è l'insieme delle potenze di $g$ ad esponente intero, in simboli

    $G=\{g^{n}:n\in \mathbb {Z} \}.$

Stiamo qui usando la notazione moltiplicativa. Quando si usa la notazione additiva, invece che di potenze si parla di multipli, dunque in simboli

    $G=\{ng:n\in \mathbb {Z} \}.$

Ad esempio, se

    $G=\{e,g^{1},g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}\},$

allora $G$ è ciclico.

In altre parole, $G$ coincide con il sottogruppo $\left\langle g\right\rangle$ generato da $g$. Si usa quindi scrivere $G=\left\langle g\right\rangle$ oppure $G=[g]$.

## Esempi

### Classi di resto

L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale.

Poiché $n\mathbb {Z}$ è un sottogruppo normale di $\mathbb {Z}$ di indice $n$, il gruppo quoziente $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ è un gruppo commutativo finito con $n$ elementi, che possiamo scrivere $\{0,1,2,\dots ,n-1\}$. La somma fra due elementi $a$ e $b$ è il resto della divisione di $a+b$ per $n$. Poiché ogni elemento si scrive come $n=1+\dots +1$ (sommato $n$ volte), il numero $1$ è generatore del gruppo. Quindi $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ è un gruppo ciclico.

Quando non si crea confusione con i numeri p-adici, si usa la notazione più stringata $\mathbb {Z} _{n}$ invece di $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$.

### Altri esempi

* I numeri interi $\mathbb {Z}$ sono un gruppo ciclico di ordine infinito.
* Le rotazioni del piano cartesiano che sono simmetrie di un poligono regolare con $n$ lati centrato nell'origine formano un gruppo ciclico di ordine $n$.
* Le radici n-esime dell'unità nel piano complesso formano un gruppo ciclico di ordine $n$ tramite moltiplicazione.
* Il gruppo di Galois di ogni estensione finita di un campo finito è finito e ciclico.
* Dato un gruppo $G$ ed un elemento $g$ di $G$, il sottogruppo $\langle g\rangle$ generato da $g$ è un gruppo ciclico.

## Proprietà dei gruppi ciclici

### Gruppo abeliano

Un gruppo ciclico è abeliano.

### Classificazione

Un gruppo ciclico $G$ con $n$ elementi è isomorfo al gruppo $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ delle classi di resto modulo $n$ se $n$ è finito, ed isomorfo al gruppo $\mathbb {Z}$ dei numeri interi se $n$ è infinito.

L'isomorfismo può essere costruito nel modo seguente. La funzione $\mathbb {Z} \to G$ che manda l'intero $i$ nella potenza $g^{i}$ del generatore $g$ di $G$ è un omomorfismo di gruppi suriettivo. Se $G$ è infinito, la funzione è anche iniettiva, dunque un isomorfismo. Se invece $G$ è finito, di ordine $n$, il nucleo della funzione è $n\mathbb {Z}$ ed il primo teorema d'isomorfismo fornisce un isomorfismo $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to G$.

### Ordine

Per quanto scritto sopra, un gruppo ciclico è identificato, a meno di isomorfismo, dal suo ordine $n$.

Sia $G$ un gruppo ciclico finito, con generatore $a$. In questo caso, l'ordine è il minimo intero positivo $n$ tale che $a^{n}=e$. Più in generale, $a^{m}=e$ se e solo se $m$ è un multiplo di $n$.

Per ogni altro elemento $b$ del gruppo, vale comunque la relazione $b^{n}=e$.

### Generatori

L'elemento $m$ è generatore di $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ se e solo se $m$ è coprimo con $n$. Quindi ci sono $\varphi (n)$ generatori distinti in un gruppo ciclico con $n$ elementi, dove $\varphi$ è la funzione φ di Eulero.

### Sottogruppi

Ogni sottogruppo ed ogni gruppo quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.

Se $G$ è ciclico di ordine $n$ ed $m$ divide $n$ allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine $m$.

## Prodotti di gruppi ciclici

Il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine $p$ e $q$ ha ordine $pq$ ed è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi.

D'altra parte, il teorema fondamentale per i gruppi abeliani finitamente generati asserisce che ogni gruppo abeliano finitamente generato è prodotto di gruppi ciclici.

## Gruppi con un numero primo di elementi

Se $p$ è un numero primo, ogni gruppo $G$ con $p$ elementi è isomorfo a $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. In altre parole, ogni gruppo con $p$ elementi è isomorfo ad un gruppo ciclico.

Un tale gruppo possiede solo i due sottogruppi banali $\{e\}$ e $G$ stesso.

## Struttura di anello di Z/n Z

### Anello

Il sottogruppo $n\mathbb {Z}$ è anche un ideale nell'anello commutativo $\mathbb {Z}$, e quindi $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ eredita anche una struttura di anello commutativo. In altre parole, si può fare il prodotto fra due numeri: il prodotto fra $a$ e $b$ è il resto della divisione di $ab$ per $n$.

Se $n$ è primo, l'anello $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ è in verità un campo. Se $n$ non è primo, abbiamo $n=ab$ per qualche $a,b<n$. Questa relazione nel gruppo diventa $ab=0$: quindi l'anello non è un dominio di integrità, e quindi a maggior ragione non può essere un campo.

### Gruppo delle unità

Le unità dell'anello $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ sono i numeri primi con $n$, ovvero i generatori del gruppo. Formano un gruppo con la moltiplicazione, di $\varphi (n)$ elementi (vedi sopra), indicato generalmente come $\mathbb {Z} _{n}^{*}$.

Ad esempio, i gruppi $\mathbb {Z} _{6}^{*}=\{1,5\}$ e $\mathbb {Z} _{8}^{*}=\{1,3,5,7\}$ sono isomorfi rispettivamente a $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

In generale, $\mathbb {Z} _{n}^{*}$ è ciclico se e solo se $n$ è $2$, $4$, $p^{k}$ o $2p^{k}$ dove $p$ è un primo dispari e $k\geq 1$.

In particolare, il gruppo $\mathbb {Z} _{p}^{*}$ è ciclico con $p-1$ elementi per ogni primo $p$. Più in generale, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.

