Lemma di Schwarz
# Lemma di Schwarz

In matematica, e in particolare in analisi complessa, il lemma di Schwarz descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Il lemma, che prende il nome da Hermann Amandus Schwarz, è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il teorema della mappa di Riemann. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzioni olomorfe, che non trova analogie nel comportamento delle funzioni reali.

## Enunciato

Sia $\displaystyle D=\{z:|z|<1\}$ il disco aperto unitario nel piano complesso $\mathbb {C}$ e sia $f\colon D\to {\overline {D}}$ una funzione olomorfa che fissa l'origine, cioè $\displaystyle f(0)=0$. Allora valgono le seguenti relazioni:

* $|f(z)|\leq |z|\,\forall z\in D;$
* $|f'(0)|\leq 1.$

Inoltre, se esiste $z_{0}\in D-\{0\}$ tale che

    $|f(z_{0})|=|z_{0}|,$

oppure

    $\displaystyle |f'(0)|=1,$

allora $f\$ è una rotazione nel piano complesso:

    $f(z)=az\quad (|a|=1).$

## Dimostrazione

La dimostrazione sfrutta essenzialmente il teorema del massimo modulo, applicandolo alla funzione

    $g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&{\text{se }}z\neq 0,\\f'(0)&{\text{se }}z=0,\end{cases}}$

che risulta essere analitica nel disco unitario. Considerando un arbitrario disco chiuso interno al disco unitario aperto

    $D_{r}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq r<1\},$

e applicando il teorema del massimo modulo si ha che per $z$ interno al $\displaystyle D_{r}$ e $z_{r}$ sulla frontiera vale

    $|g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.$

Dovendo questo valere per $r$ arbitrariamente vicino a $1$, risulta $|g(z)|\leq 1,$ che è la prima parte della tesi.

Se valesse poi $|f(z)|=|z|$ oppure $|f'(z)|=1$ in un punto $z_{0}\in D,$ allora la $g(z)$ assumerebbe massimo all'interno del disco, cioè sarebbe una costante $a$ di modulo $|a|=1$. Quindi $g(z)=a$ cioè $f(z)=az$ che è la tesi.

## Estensioni del teorema

Il teorema di Schwarz-Pick asserisce che, data una funzione olomorfa $f\colon D\to D$, valgono le seguenti relazioni (con $z_{1},z_{2},z\in D$):

* $\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}};$
* ${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.$

Usando la metrica di Poincaré, definita dalla funzione:

    $d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left({\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}\right),$

la funzione $f$ risulta essere una funzione contrattiva, in quanto accorcia le distanze tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).

Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora $f$ è un automorfismo analitico, espresso tramite una trasformazione di Möbius.

Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del teorema di de Branges.

