Algebra di Lie nilpotente
# Algebra di Lie nilpotente

In matematica, un'algebra di Lie ${\mathfrak {g}}$ si dice nilpotente se la sua serie centrale discendente, definita come

    ${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots$

diviene 0 dopo un certo numero finito di passaggi. Equivalentemente, ${\mathfrak {g}}$ si dice nilpotente se

    $\operatorname {ad} (x_{1})\operatorname {ad} (x_{2})\operatorname {ad} (x_{3})...\operatorname {ad} (x_{r})=0,$

per ogni sequenza di elementi $x_{i}\in {\mathfrak {g}}$ abbastanza lunga, dove $\operatorname {ad} (x_{i})$ indica l'endomorfismo aggiunto associato a $x_{i}$.

Conseguenza di questo è che $\operatorname {ad} (x)$ è nilpotente (come operatore lineare) per ogni $x\in {\mathfrak {g}}$. Il teorema di Engel dimostra che è vero anche il viceversa. Inoltre, la forma di Killing di un'algebra di Lie nilpotente è identicamente nulla.

Ogni algebra nilpotente è risolubile. Questo fatto è spesso usato per dimostrare che una certa algebra sia risolubile, in quanto dimostrare la nilpotenza è più semplice. Il viceversa non è in generale vero.

Un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se il suo quoziente rispetto ad un ideale contenente il centro di ${\mathfrak {g}}$ è anch'esso nilpotente.

