Operatore di Fredholm
# Operatore di Fredholm

In matematica, in particolare all'interno della teoria di Fredholm, un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach il cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita, e la sua immagine è chiusa, sebbene quest'ultima richiesta sia ridondante.

## Definizione

Un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita. In modo equivalente, un operatore $T:X\to Y$ è di Fredholm se esiste un operatore lineare limitato $S:Y\to X$ tale per cui gli operatori:

    $\mathrm {Id} _{X}-ST\qquad \mathrm {Id} _{Y}-TS$

sono compatti rispettivamente su $X$ e $Y$.

L'indice $\mathrm {ind} \,T$ di un operatore di Fredholm $T$ è definito come:

    $\mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T$

Se l'indice è $\pm \infty$ l'operatore è detto essere semi-Fredholm: si tratta di un operatore caratterizzato dal possedere nucleo oppure conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.

## Proprietà

L'insieme degli operatori di Fredholm da $X$ a $Y$ forma un insieme aperto nello spazio di Banach $L(X,Y)$ degli operatori lineari limitati (e dunque continui). Più precisamente, se $T_{0}:X\to Y$ è di Fredholm allora esiste $\epsilon >0$ tale che ogni $T\in L(X,Y)$ che soddisfa $\|T-T_{0}\|<\epsilon$ è di Fredholm e ha lo stesso indice di $T_{0}$.

Se $T$ è un operatore di Fredholm da $X$ a $Y$ e $U$ è di Fredholm da $Y$ a $Z$, allora la composizione $U\circ T$ è di Fredholm da $X$ a $Z$ e si ha:

    $\mathrm {ind} (U\circ T)=\mathrm {ind} (U)+\mathrm {ind} (T)$

Se $T:X\to Y$ è un operatore di Fredholm, il suo aggiunto $T':Y'\to X'$ è di Fredholm e $\mathrm {ind} \,T=-\mathrm {ind} (T')$, e ciò vale anche quando $X$ e $Y$ sono spazi di Hilbert (in cui la definizione di aggiunto si diversifica).

Se $T$ è un operatore di Fredholm e $K$ è un operatore compatto, allora $T*K$ è ancora di Fredholm e l'indice non cambia.

