Tetraedro
# Tetraedro

In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha 4 vertici e 6 spigoli.

Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.

Il tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, cioè uno dei poliedri regolari e le sue facce sono triangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di circa 70° 31′ 43,606″ o più precisamente di angolo diedro $\textstyle \arccos {\frac {1}{3}}$.

## Parametri metrici

Alcuni parametri metrici del tetraedro regolare con spigoli di lunghezza $a$ sono i seguenti:

| Altezza (cioè distanza fra vertice e faccia opposta) | $\,{\frac {{\sqrt {6}}a}{3}}$ |
| - | - |
| Angolo diedrale | $\,\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)$ (circa 71°) |
| Area della superficie totale | $\,a^{2}{\sqrt {3}}$ |
| Volume | $\,{\frac {1}{12}}a^{3}{\sqrt {2}}$ |

## La costruzione di Euclide

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia $AB$ (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto $D$ in modo che $AD$ sia il doppio di $DB$. Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da $D$ e si denoti con $C$ il punto di intersezione tra tale perpendicolare e la circonferenza. Infine, si congiungano i punti $AC$.

Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per $AB$, con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti $CE$, $CF$ ed $EF$.

È chiaro che i vertici $A$, $C$, $E$ e $F$ si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro $AB$, quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli $AC$, $AE$ ed $AF$ sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli $CE$, $CF$ ed $EF$ (questi ultimi determinano il triangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.

Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per il secondo teorema di Euclide, il segmento $x$ è medio proporzionale fra i segmenti $AD$ e $DB$. Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:

    $AD:x=x:DB,$
    ${\frac {2}{3}}:x=x:{\frac {1}{3}},$
    $x^{2}={\frac {2}{9}}.$

Grazie al teorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento $AC$ o, per praticità, il suo quadrato:

    $AC^{2}=x^{2}+AD^{2}={\frac {2}{9}}+\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {2}{9}}+{\frac {4}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}.$

La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento $CF$ è cateto del triangolo $HCF$ rettangolo in $F$, quindi:

    $CF^{2}=HC^{2}-HF^{2}=(2x)^{2}-x^{2}=3x^{2}=3{\frac {2}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}.$

Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice $A$, hanno tutti la stessa lunghezza $s=AC=CF={\sqrt {\frac {2}{3}}}$ e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ del quadrato del diametro $AB$.

## Poliedro duale

Il poliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei cinque solidi platonici che è duale di sé stesso: gli altri quattro sono accoppiati dalla relazione di dualità.

## Simmetrie

Il tetraedro ha $24$ simmetrie: ogni permutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Il gruppo di simmetria è quindi il gruppo $S_{4}$ di permutazioni di $4$ elementi, di cardinalità $4!=24$. Tra queste, $12$ sono rotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre $12$ invertono l'orientazione dello spazio.

Le $12$ simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano un sottogruppo, isomorfo al gruppo alternante $A_{4}$. L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto ($4$ possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti ($3$ possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi $2\cdot 4+3=11$ rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le $12$ simmetrie rotatorie.

Numerando i vertici del tetraedro con $1$, $2$, $3$ e $4$, le rotazioni di 120° e 240° corrispondono alle permutazioni

    $(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)$

ovvero ai cicli di ordine $3$. Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni

    $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$

ottenute come prodotto di $2$-cicli indipendenti.

Delle $12$ simmetrie che non preservano l'orientazione, $6$ sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine $2$

    $(12),(13),(14),(23),(24),(34)$

Infine, le altre $6$ simmetrie sono composizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine $4$

    $(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432).$

## Generalizzazioni

Il simplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unico politopo $n$-dimensionale avente $n+1$ vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per $n=1,2,3$ il simplesso è rispettivamente un segmento, un triangolo e un tetraedro.

## Einstein e il tetraedro

Esiste un curioso aneddoto riguardo Albert Einstein: ad un convegno di fisici, subissato dalle critiche per la sua balzana concezione di uno spaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:

    Dati sei stuzzicadenti, costruire quattro triangoli equilateri.

Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:

    Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?
