Forma di Killing
# Forma di Killing

In matematica, la forma di Killing è una forma bilineare simmetrica che svolge un ruolo fondamentale nella teoria delle algebre di Lie e in quella dei gruppi di Lie. Prende il nome da Wilhelm Killing, che per primo ne diede menzione. Il primo a introdurla nella teoria delle algebre di Lie è stato Élie Cartan.

## Definizione

Sia ${\mathfrak {g}}$ un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo $K$. Ogni elemento $x$ di ${\mathfrak {g}}$ definisce l'endomorfismo aggiunto ${\textrm {ad}}(x)$, definito come

    ${\textrm {ad}}(x)(y):=[x,y].$

Poiché ${\mathfrak {g}}$ è di dimensione finita, la traccia della composizione di due endomorfismi è una forma bilineare simmetrica. La forma di killing $B(x,y)$ su ${\mathfrak {g}}$ è quindi definita come

    $B(x,y):={\textrm {Tr}}({\textrm {ad}}(x){\textrm {ad}}(y)).$
