Gruppo semplice
# Gruppo semplice

In matematica, un gruppo semplice è un gruppo non banale i cui unici sottogruppi normali sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso.

In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali. I gruppi semplici sono importanti in teoria dei gruppi, specialmente nella teoria dei gruppi finiti, perché formano i "blocchi primari" per la costruzione di ogni gruppo finito.

## Esempi

* Un gruppo ciclico $G=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ è semplice se e solo se $m$ è primo: infatti tutti i sottogruppi di $G$ sono normali, e corrispondono ai divisori di $m$.
* Il gruppo dei numeri interi $\mathbb {Z}$ non è semplice, perché ad esempio i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un gruppo abeliano è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo.
* Il più piccolo esempio di gruppo semplice non abeliano è il gruppo alternante $A_{5}$ di ordine $60$. Più in generale, ogni gruppo alternante $A_{n}$ è semplice per $n>4$.
* Il secondo esempio è il gruppo lineare speciale proiettivo ${\rm {{PSL}(2,7)}}$, di ordine $168$.

## Classificazione

La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel 1982, grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui John G. Thompson.

