Forma canonica di Jordan
# Forma canonica di Jordan

In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata $A$ è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se $A$ è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).

Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.

## Definizione

Un blocco di Jordan di ordine $k$ è una matrice triangolare superiore con $k$ righe costituita nel seguente modo:

    $J_{k}(\lambda ):={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\vdots &&\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

in cui ogni elemento della diagonale è uguale a $\lambda$ ed in ogni posizione $(i,i+1)$ si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è $(x-\lambda )^{k}$, e quindi ha $\lambda$ come unico autovalore con la molteplicità algebrica $k$. D'altra parte, l'autospazio relativo a $\lambda$ è:

    $\ker(J_{k}(\lambda )-\lambda I)=\ker {\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\vdots &&\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}={\text{Span}}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se $k>1$ il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.

Una matrice in forma canonica di Jordan o matrice di Jordan è una matrice diagonale a blocchi di Jordan, cioè del tipo:

    $J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}$

dove $J_{i}$ è un blocco di Jordan con autovalore $\lambda _{i}$. Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a $\lambda _{i}$.

La molteplicità geometrica di $\lambda _{i}$, definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore $\lambda _{i}$. D'altra parte, la molteplicità algebrica di $\lambda _{i}$, definita come la molteplicità della radice $\lambda _{i}$ nel polinomio caratteristico di $J$, è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore $\lambda _{i}$.

In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che $J$ è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, $J$ è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.

## Teorema di Jordan

Si dice che una matrice quadrata $A$ con elementi in un campo $K$ ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di $A$. Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se $K$ è algebricamente chiuso, ad esempio se $K$ è il campo dei numeri complessi.

Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:

* Sia $A$ una matrice quadrata con elementi in $K$ avente tutti gli autovalori nel campo. Allora $A$ è simile ad una matrice di Jordan.
* Due matrici di Jordan $J$ e $J'$ sono simili se e solo se si ottengono l'una dall'altra permutando i blocchi.

## Esempi

Si vuole calcolare la forma canonica di Jordan della matrice

    $A={\begin{pmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\\\end{pmatrix}}$

Il suo polinomio caratteristico è $(x-4)^{2}(x-2)(x-1)$, quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Si ricorda che, se si indica con $m_{\text{alg}}(\lambda )$ e $m_{\text{geo}}(\lambda )$ le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore $\lambda$, valgono sempre le seguenti disuguaglianze:

    $1\leq m_{\text{geo}}(\lambda )\leq m_{\text{alg}}(\lambda )$

Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di Jordan presenti relativi a quell'autovalore. Si vede che:

    $\dim \ker(A-4I)=1$

Segue quindi che $A$ non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati in possesso sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:

    $J={\begin{pmatrix}4&1&0&0\\0&4&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

## Polinomio minimo

Il polinomio minimo $m(x)$ di una matrice $A$ è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan $J$. Infatti si decompone come:

    $m(x)=(x-\lambda _{1})^{j_{1}}\cdots (x-\lambda _{k})^{j_{k}}$

dove $\lambda _{1}\dots \lambda _{k}$ sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di $A$, e $j_{i}$ è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore $\lambda _{i}$.

Ad esempio, la seguente matrice:

    $J={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

ha $(x-3)^{4}$ come polinomio caratteristico e $(x-3)^{3}$ come polinomio minimo.

Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici

    $A={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
    hanno gli stessi polinomi caratteristici (e quindi anche lo stesso determinante, la stessa traccia e gli stessi autovalori), gli stessi polinomi minimi, ma non sono simili.
