Operatore ipoellittico
# Operatore ipoellittico

In matematica, in particolare nell'ambito dello studio delle equazioni alle derivate parziali, un operatore differenziale parziale $P$ definito su un aperto $U\subset {\mathbb {R} }^{n}$ è un operatore ipoellittico se, per ogni distribuzione $u$ definita su un aperto $V\subset U$ tale per cui $Pu$ è di classe $C^{\infty }$ (cioè una funzione liscia), si verifica che anche $u$ deve essere di classe $C^{\infty }$.

Se tale richiesta è soddisfatta quando, invece che funzioni di classe $C^{\infty }$, si richiede che $Pu$ e $u$ siano una funzione analitica reale, allora $P$ è detto "ipoellittico analitico" (analytically hypoelliptic).

Ogni operatore ellittico con coefficienti di classe $C^{\infty }$ è ipoellittico. In particolare, l'operatore di Laplace è un esempio di operatore ipoellittico (e ipoellittico analitico). L'equazione del calore:

    $P(u)=u_{t}-k\Delta u\qquad k>0$

è ipoellittica ma non ellittica, mentre l'equazione delle onde:

    $P(u)=u_{tt}-c^{2}\Delta u\qquad c\neq 0$

non è ipoellittica.

