Quadrigradiente
# Quadrigradiente

In fisica, il quadrigradiente è un operatore differenziale che generalizza il concetto di gradiente ai quadrivettori. Si tratta di un operatore vettoriale che applicato a una funzione scalare genera un quadrivettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione rispetto alle quattro coordinate.

## Definizione

Il quadrigradiente è il quadrivettore definito come:

    $\partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=_{,\alpha }$

Detto $g^{\alpha \beta }$ il tensore metrico, nello spaziotempo piatto esso è $(+,-,-,-)$, e si ha:

    $\partial ^{\alpha }\ =g^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)$

Il quadrato del quadrigradiente è il quadrilaplaciano, chiamato anche operatore di d'Alembert:

    $\Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$.

ed è il prodotto scalare di due quadrivettori. L'operatore di d'Alembert è un operatore scalare Lorentz invariante.

