Operatore di Weingarten
# Operatore di Weingarten

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, l'operatore di Weingarten è una trasformazione lineare costruita a partire da una superficie contenuta nello spazio tridimensionale.

## Definizione

Se $\Sigma$ è una superficie regolare ed ${\hat {n}}$ un campo di versori normali su questa superficie, l'operatore forma o di Weingarten è un'applicazione lineare in un punto P:

    $W_{P}:T(\Sigma )\longrightarrow T(\Sigma )$

tale che ad ogni curva u nel punto P sulla superficie sia associato un operatore:

    $W_{P}(u)=-{\frac {\partial {\hat {n}}}{\partial u}}$

Esso è in verità un endomorfismo del piano tangente ed è autoaggiunto, cioè:

    $W_{P}(u)\cdot v=u\cdot W_{P}(v)$

esso dunque è rappresentato da una matrice: gli invarianti di questa matrice (e quindi dell'operatore di Weingarten) hanno un significato geometrico notevole per le caratteristiche delle superfici.

## Curvatura delle superfici

Grazie all'operatore di Weingarten possiamo esprimere la seconda forma differenziale di Gauss come:

    $II_{G}=W_{P}(u)\cdot v$

A questo punto è possibile definire le curvature principali della superficie in un punto P come gli autovalori dell'operatore di Weingarten e, in corrispondenza di essi si trovano le direzioni principali della superficie che sono gli autovettori.

Inoltre la traccia dell'operatore di Weingarten è esattamente la curvatura media della superficie in quel punto:

    $H(P)={\frac {1}{2}}\cdot tr(W_{P})$

e il suo determinante è proprio la curvatura gaussiana della superficie:

    $K(P)=det(W_{P})=|W_{P}|$

## Operatore forma

L'operatore di Weingarten è un operatore forma dato per definizione:

    $W_{P}=I_{G}^{-1}\cdot II_{G}$

in modo che il problema agli autovalori:

    $(II_{G}-k\cdot I_{G}){\vec {w}}=0$

dove $I_{G}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}$ e $II_{G}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}$, k è l'autovalore e ${\vec {w}}$ l'autovettore corrispondente; abbia soluzioni se si annulla il determinante:

    $det(S-k\cdot \mathbb {I} )=det(I_{G}^{-1}\cdot II_{G}-k\cdot I_{G}^{-1}\cdot I_{G})=det(I_{G}^{-1})\cdot det(II_{G}-k\cdot I_{G})$

I due autovalori di questo determinante sono esattamente le curvature principali massima e minima della superficie in un punto P.

Il determinante di questo operatore è la curvatura di Gauss:

    $det(I_{G}^{-1}\cdot II_{G})={\frac {det(II_{G})}{det(I_{G})}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}$

La traccia di questo operatore è la curvatura media:

    $Tr(I_{G}^{-1}\cdot II_{G})=Tr{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}={\frac {LG-2MF+EN}{EG-F^{2}}}$
