Gruppo residualmente finito
# Gruppo residualmente finito

In algebra, un gruppo $G$ è residualmente finito se per ogni elemento non banale $g$ esiste un omomorfismo di gruppi

    $f:G\to H$

a valori in un gruppo finito, tale che

    $f(g)\neq 1.$

Questa condizione può essere espressa in vari modi equivalenti. I sottogruppi residualmente finiti contengono "molti" sottogruppi normali. Esempi di gruppi residualmente finiti sono i gruppi finiti, i gruppi liberi, i gruppi nilpotenti finitamente generati e i sottogruppi di $Gl_{n}(\mathbb {C} )$ finitamente generati.

## Definizioni alternative

Le definizioni seguenti sono equivalenti a quella data.

* $G$ è residualmente finito se per ogni elemento $g$ esiste un sottogruppo normale $H$ di indice finito non contenente $g$,
* $G$ è residualmente finito se l'intersezione di tutti i sottogruppi di indice finito è il sottogruppo banale $\{e\}$.
* $G$ è residualmente finito se l'intersezione di tutti i sottogruppi normali di indice finito è $\{e\}$.
