Limite inverso
# Limite inverso

In matematica, il limite inverso (anche chiamato limite proiettivo) è una costruzione che, dati degli oggetti relazionati tra loro attraverso dei morfismi, fornisce un nuovo oggetto. Il limite inverso può essere definito in ogni categoria.

## Definizione formale

### Limite inverso di gruppi

Iniziamo con la definizione di un sistema inverso (o proiettivo) di gruppi e omomorfismi. Siano (I, ≤) un insieme parzialmente ordinato e diretto (non tutti gli autori richiedono che I sia diretto) e ( $A_i$ $)_{i∈I}$ una famiglia di gruppi. Sia poi $f_{ij}:$ $A_j$ → $A_i$ per i ≤ j (si noti l'ordine) una famiglia di omomorfismi con le seguenti proprietà:

* $f_{ii}$ è l'identità in $A_i$ per ogni i,
* $f_{ik}$ = $f_{ij}$ o $f_{jk}$ per ogni i ≤ j ≤ k.

Allora l'insieme delle coppie ( $A_i,$ $f_{ij}$ ) è chiamato un sistema inverso di gruppi e morfismi su I.

Definiamo il limite inverso del sistema inverso ( $A_i,$ $f_{ij}$ ) come il sottogruppo del prodotto diretto degli $A_i$

    $\varprojlim A_{i}:={\Big \(a_{i})\in \prod _{i\in I}A_{i}\;{\Big |}\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\mbox{ per ogni }}i\leq j{\Big \}}.$

Il limite inverso, che per comodità indicheremo con A, è fornito di proiezioni naturali $π_i:$ A → $A_i$ che selezionano l'i-esima componente del prodotto diretto. Inoltre, il limite inverso gode della proprietà universale descritta nella sezione seguente. Infine, se i vari gruppi $A_i$ sono gruppi topologici (e i morfismi sono omomorfismi continui), allora anche A è un gruppo topologico rispetto alla topologia ereditata dal prodotto diretto.

La stessa costruzione può essere effettuata anche se gli $A_i$ al posto di essere gruppi sono insiemi, anelli, moduli (su un anello fissato), algebre (su un campo fissato), etc., e gli omomorfismi sono omomorfismi per le corrispondenti categorie. Il limite inverso apparterrà anch'esso a quella categoria.

### Definizione generale

Il limite inverso può essere definito in modo astratto in una qualsiasi categoria attraverso una proprietà universale. Sia $(X_i,$ $f_{ij})$ un sistema inverso di oggetti e morfismi in una categoria C. Il limite inverso di questo sistema è un oggetto X in C insieme con dei morfismi $π_i:$ X → $X_i$ (chiamate proiezioni) soddisfacenti a $π_i$ = $f_{ij}$ o $π_j$ per ogni i ≤ j. La coppia (X, $π_i)$ deve essere universale nel senso che per ogni altra coppia (Y, $ψ_i)$ esiste un unico morfismo u: Y → X tale che il seguente diagramma commuti:

per ogni i ≤ j. Il limite inverso è in genere denotato come

    $X=\varprojlim X_{i},$

lasciando sottinteso il sistema inverso $(X_i,$ $f_{ij}).$

Al contrario di ciò che accade per gli oggetti algebrici, in alcuni casi il limite inverso può non esistere. Tuttavia, se esiste esso è unico, nel senso che tutti i limiti inversi di un sistema inverso sono isomorfi tra loro. In altre parole, se X e X′ sono due limiti inversi di uno stesso sistema, allora esiste un unico isomorfismo X′ → X che commuta con le proiezioni.

## Esempi

* L'anello degli interi p-adici si può definire come il limite inverso degli anelli $Z/p^nZ$ (vedi aritmetica modulare) dove l'insieme degli indici I è l'insieme dei numeri naturali, con il consueto ordinamento, ed il morfismo da $Z/p^nZ$ a $Z/p^mZ$ è definito come la riduzione modulo $p^m$ per ogni m ≤ n. La topologia naturale sugli interi p-adici coincide con quella ereditata dal limite inverso se si pone la topologia discreta sui tutti gli anelli $Z/p^nZ.$
* L'anello R [t ] delle serie formali di potenze su un anello commutativo R può essere pensato come il limite inverso degli anelli R [t ] / $t^nR$ [t ], indicizzati dai numeri naturali con l'ordinamento canonico e con il morfismo da R [t ] / $t^nR$ [t ] a R [t ] / $t^mR$ [t ] dato dalla proiezione naturale, per ogni m ≤ n.
* I gruppi profiniti si possono definire come limiti inversi di gruppi finiti muniti della topologia discreta.
* Se l'insieme degli indici I di un sistema inverso $(X_i,$ $f_{ij})$ ha un massimo m allora la proiezione naturale $π_m:$ X → $X_m$ è un isomorfismo.
* Se (I, =) è l'ordine banale, allora il limite inverso del corrispondente sistema inverso non è altro che il prodotto.
