Congettura di Bunyakovsky
# Congettura di Bunyakovsky

La congettura di Bunyakovsky, formulata nel 1857 dal matematico russo Viktor Bunyakovsky, afferma che per ogni polinomio a coefficienti interi p tale per cui:

* p è irriducibile
* p è di grado 2 o maggiore
* gli infiniti valori p(n) generati al variare dell'argomento nei naturali sono coprimi (ovvero hanno massimo comun divisore pari a uno)

la sequenza p(n) contiene infiniti numeri primi. I polinomi che soddisfano le summenzionate condizioni sono anche noti come polinomi di Bunyakovsky.

La seconda condizione esclude i polinomi irriducibili di primo grado, per i quali l'asserto era già stato dimostrato nel 1835 da Dirichlet (teorema di Dirichlet).

La terza condizione esclude invece i polinomi per i quali l'asserto è banalmente falso: se i p(n) sono tutti multipli di un comune divisore d maggiore di 1, l'insieme può contenere al più un unico numero primo. Un esempio è il polinomio $p(n)=n^{2}+n+4$, i cui valori generati sono tutti pari.

La congettura di Bunyakovsky è una generalizzazione della quinta congettura di Hardy-Littlewood, la quale afferma che la sequenza $p(n)=n^{2}+1$ contiene infiniti numeri primi:

| n | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 14 | 16 | 20 | 24 | 26 | 36 | ... |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $n^2$ + 1 | 2 | 5 | 17 | 37 | 101 | 197 | 257 | 401 | 577 | 677 | 1297 | ... |

Allo stato attuale non solo non è noto se i polinomi di Bunyakovsky generino infiniti numeri primi, ma non è nemmeno provato che tali polinomi generino sempre almeno un numero primo.

