Diagonale
# Diagonale

In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.

Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di $n>2$ vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno $n-3$ diagonali.

Il numero totale delle diagonali di un poligono di $n>2$ vertici è dato dalla formula

    $d={\frac {n(n-3)}{2}}$

## Dimostrazioni

### Dimostrazione 1

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli $n$ punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti $n-1$ (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale $n-1$ diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:

    da $A_{1}$ partono $n-1$ diagonali;
    da $A_{2}$ partono $n-2$ diagonali (si toglie quella proveniente da $A_{1}$);
    da $A_{3}$ partono $n-3$ diagonali (si tolgono quelle provenienti da $A_{1}$ e $A_{2}$);
    da $A_{n}$ partono $n-n=0$ diagonali (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale).

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

    $0+1+2+...+(n-1)={\frac {n(n-1)}{2}},$

da cui però bisogna togliere gli $n$ lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

    ${\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.$

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

### Dimostrazione 2

Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento ${\overline {A_{1}A_{4}}}$ e il segmento ${\overline {A_{4}A_{1}}}$ rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con $n$ oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di $n$ oggetti di classe 2

    $C_{n,2}={n \choose 2}={\frac {n!}{2!(n-2)!}}={\frac {n(n-1)}{2}}.$

A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero $n$ dei vertici del poligono

    $d={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-1)-2n}{2}},$

da cui $d={\frac {n(n-3)}{2}}.$

## Analisi empirica

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

| Lati | Diagonali |
| - | - |
| 3 | 0 |
| 4 | 2 |
| 5 | 5 |
| 6 | 9 |
| 7 | 14 |
| 8 | 20 |
| 9 | 27 |
| 10 | 35 |
| Lati | Diagonali |
| 11 | 44 |
| 12 | 54 |
| 13 | 65 |
| 14 | 77 |
| 15 | 90 |
| 16 | 104 |
| 17 | 119 |
| 18 | 135 |
| Lati | Diagonali |
| 19 | 152 |
| 20 | 170 |
| 21 | 189 |
| 22 | 209 |
| 23 | 230 |
| 24 | 252 |
| 25 | 275 |
| 26 | 299 |
| Lati | Diagonali |
| 27 | 324 |
| 28 | 350 |
| 29 | 377 |
| 30 | 406 |
| 31 | 434 |
| 32 | 464 |
| 33 | 495 |
| 34 | 527 |
| Lati | Diagonali |
| 35 | 560 |
| 36 | 594 |
| 37 | 629 |
| 38 | 665 |
| 39 | 702 |
| 40 | 740 |
| 41 | 779 |
| 42 | 819 |

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni

${\begin{cases}an_{1}^{2}+bn_{1}+c=d_{1}\\an_{2}^{2}+bn_{2}+c=d_{2}\\an_{3}^{2}+bn_{3}+c=d_{3}\end{cases}}$

dove $n_{i}$ è il numero dei lati e $d_{i}$ è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia $n_{i}$ che $d_{i}$ sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono $a,b,c$. Sostituendo, ad esempio, $n_{1}=3,n_{2}=4,n_{3}=5$ e i corrispondenti valori di $d_{i}$ si ha

${\begin{cases}9a+3b+c=0\\16a+4b+c=2\\25a+5b+c=5\end{cases}}$

e risolvendo il sistema si ottiene $a={\frac {1}{2}},b=-{\frac {3}{2}},c=0$.

Quindi la formula risolutiva è $d={\frac {n(n-3)}{2}}$ che sul piano cartesiano assume la forma della conica $x^{2}-3x-2y=0$ con $x=n$ e $y=d$.

