Teorema di Borel-Carathéodory
# Teorema di Borel-Carathéodory

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Borel-Carathéodory è un'applicazione del teorema del massimo modulo che mostra che una funzione olomorfa può essere limitata dalla sua parte reale.

Il nome dell'enunciato è dovuto a Émile Borel e Constantin Carathéodory.

## Il teorema

Sia $f$ una funzione olomorfa su un cerchio di raggio $R$ centrato nell'origine. Dato $r<R$, vale la disuguaglianza:

    $\|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}\operatorname {Re} (f(z))+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|$

dove la norma al membro di destra è il massimo valore assunto da $f$ nel disco chiuso:

    $\|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}|f(z)|=\max _{|z|=r}|f(z)|$

L'ultima uguaglianza è dovuta al teorema del massimo modulo.

## Dimostrazione

Sia $A$ un numero definito come:

    $A=\sup _{|z|\leq R}\operatorname {Re} (f(z)),$

e si ponga $f(0)=0$. Dal momento che $\operatorname {Re} (f)$ è una funzione armonica si può considerare $A>0$. Si ha che $f$ mappa nel semipiano complesso $P$ alla sinistra della retta $x=A$. In pratica, si vuole mappare tale semipiano in un disco, dove si applica il lemma di Schwarz: se la funzione $w\mapsto w/A-1$ mappa $P$ nel semipiano a sinistra dell'origine, la funzione $w\mapsto R(w+1)/(w-1)$ manda il semipiano a sinistra dell'origine nel cerchio di raggio $R$ centrato nell'origine. La composizione delle due mappe:

    $w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}$

manda $0$ in $0$, ed è dunque la funzione cercata. Applicando il lemma di Schwarz a tale funzione e $f$ si ottiene:

    ${\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|.$

Prendendo $|z|\leq r$ la precedente equazione diventa:

    $R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar$

in modo che:

    $|f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}$

come si voleva mostrare.

Nel caso generale, si può semplicemente applicare il ragionamento alla funzione $f(z)-f(0)$:

    $|f(z)|-|f(0)|\leq |f(z)-f(0)|\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}\operatorname {Re} (f(w)-f(0))\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}\operatorname {Re} (f(w))+|f(0)|\right)$
