Funzioni di Bourget-Giuliani
# Funzioni di Bourget-Giuliani

Le funzioni di Bourget-Giuliani furono introdotte nel 1861 dal matematico francese Bourget, in relazione ai problemi di astronomia. Sono definite dall'integrale:

$J_{n,k}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(\cos \theta )^{k}\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta$ dove $n\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {N}$.

Per $k=0$, le funzioni di Bourget-Giuliani si riducono alle funzioni di Bessel:

$J_{n,0}(z)=J_{n}(z)$.

Nel 1888, il matematico italiano Giuliani dimostrò che le funzioni di Bourget-Guiliani sono soluzione dell'equazione differenziale del quarto ordine:

$z^{2}{\frac {d^{4}}{dz^{4}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d^{3}}{dz^{3}}}J_{n,k}(z)+[2z^{2}+(k+2)^{2}-n^{2}]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d}{dz}}J_{n,k}(z)+(z^{2}+k+2-n^{2})J_{n,k}(z)=0$

La trasformata di Laplace delle funzioni di Bourget-Giuliani fu ottenuta nel 1935 dal matematico francese Humbert. Nel 1938, il matematico americano J. Rosen ha definito le funzioni di Bourget-Guiliani per ogni $n,k\in \mathbb {R}$ a partire dall'equazione di Giuliani.

