Teorema di Borsuk
# Teorema di Borsuk

Il teorema di Borsuk è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia algebrica. Ha come conseguenza importante il teorema di Borsuk-Ulam.

## Enunciato

Il teorema di Borsuk asserisce il fatto seguente.

Non esistono applicazioni continue $f:S^{2}\to S^{1}$ dalla sfera in sé tali che $f(-x)=-f(x)$ per ogni punto $x$ della sfera.

## Dimostrazione

Sia $f:S^{2}\to S^{1}$ un'applicazione continua, vogliamo dimostrare che esiste $x_0$ ∈ $S^2$ tale che $f(-x_{0})$ diverso da - $f(x_{0})$.

Consideriamo il rivestimento universale $e:\mathbb {R} \to S^{1}$; per un corollario relativo al teorema del sollevamento dell'omotopia esiste un'applicazione continua $g:S^{2}\to \mathbb {R}$ che solleva $\,f\;$, ossia tale che $e|g=f$.

Per un lemma della teoria topologica esiste un punto $x_0$ appartenente a $S^2$ tale che $\,g(x_{0})=\,g(-x_{0})\;$ e di conseguenza: $\,f(x_{0})=f(-x_{0})\;$; in particolare $\,f(-x_{0})\neq f(x_{0})\;$, c.v.d.

## Applicazioni

Il Teorema di Borsuk-Ulam è una applicazione importante del teorema. Asserisce che per ogni applicazione continua $\,g\;$ : $S^2$ → $R^2$ esiste un punto $\,x\;$ appartenente a $S^2$ tale che $\,g(x)\;$ = $\,g(-x)\;$.

