Sistema pi
# Sistema pi

In matematica, un sistema pi, o anche $\pi \;$-sistema, su un insieme $\Omega \;$ è una famiglia P non vuota di sottoinsiemi di $\Omega \;$ (ovvero $P\subseteq$ ${\mathcal {P}}(\Omega )$), tale che l'intersezione di due elementi (e quindi di un numero finito di elementi) di P è ancora in P; ovvero P è stabile per intersezioni finite.

## Proprietà

* Se A è un'algebra di insiemi (in particolare se è una σ-algebra), allora A è un $\pi \;$-sistema.
* Se A è un $\pi \;$-sistema che è anche un sistema Dynkin, allora A è una σ-algebra.

### Unicità dell'estensione

Una misura finita è determinata unicamente dai suoi valori su di un $\pi \;$-sistema, come afferma la seguente proposizione. Siano $\mu \;$ e $\nu \;$ misure su uno spazio misurabile $(X,\Sigma )\;$ e sia ${\mathcal {I}}$ un $\pi \;$-sistema che generi $\Sigma \;$. Se

* $\mu (X)=\nu (X)<\infty$
* $\mu |_{\mathcal {I}}=\nu |_{\mathcal {I}}$

allora $\mu =\nu \;$

