Martingala locale
# Martingala locale

In teoria della probabilità, una martingala locale è un tipo di processo stocastico che soddisfa una versione locale della proprietà delle martingale. I due concetti non coincidono: ogni martingala è una martingala locale, ma non vale il viceversa, anche se ogni martingala locale limitata è una martingala.

## Definizione

Un processo stocastico reale e adattato X definito su uno spazio di probabilità filtrato $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ è detto martingala locale se esiste una successione $\tau _{n}:\Omega \to [0,+\infty )$ di ${\mathcal {F}}_{t}$-tempi di arresto tale che:

* $\tau _{n}$ è quasi certamente crescente, ovvero $\mathbb {P} (\tau _{n}\leq \tau _{n+1})=1$
* la successione $\tau _{n}$ diverge quasi certamente.
* Il processo

    $X_{t}^{\tau _{n}}:=X_{\min\{t,\tau _{n}\}}$

è una ${\mathcal {F}}_{t}$-martingala per ogni n.

