Identità vettoriali
# Identità vettoriali

Qui di seguito verranno presentate alcune identità vettoriali, cioè delle uguaglianze riguardanti campi vettoriali e campi scalari che risultano verificate indipendentemente dalle variabili scelte.

Queste relazioni risultano utili nei problemi di calcolo vettoriale, ad esempio nella derivazione delle onde elettromagnetiche a partire dalle equazioni di Maxwell.

Nel testo indicheremo con f, g i campi scalari e con A, B, C i campi vettoriali.

## Identità vettoriali generiche

### Triplo prodotto

    $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )$
    $\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )$

da cui si ha

    $(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )$

ed in particolare

    $|\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=|\mathbf {A} |^{2}|\mathbf {B} |^{2}-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}$

## Proprietà degli operatori vettoriali

### Proprietà distributiva

    $\nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g$
    $\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B}$
    $\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B}$

### Proprietà del prodotto scalare

    $\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$

### Proprietà del prodotto vettoriale

    $\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot \nabla \times \mathbf {B}$
    $\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$

### Prodotto tra scalari e vettori

    $\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f$
    $\nabla \cdot (f\mathbf {A} )=\nabla f\cdot \mathbf {A} +f\nabla \cdot \mathbf {A}$
    $\nabla \times (f\mathbf {A} )=\nabla f\times \mathbf {A} +f\nabla \times \mathbf {A}$

## Combinazione di operatori vettoriali

### Divergenza del gradiente

    $\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$

L'operatore $\nabla ^{2}$ viene detto operatore di Laplace (o laplaciano) e viene anche indicato con $\Delta$.

### Rotore del gradiente

    $\nabla \times \nabla f=0$

### Divergenza del rotore

    $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} =0$

### Rotore del rotore

    $\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-{\nabla }^{2}\mathbf {F}$

### Altre identità

    ${\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {A} ^{2}=\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )$
