Funzione zeta di Hurwitz
# Funzione zeta di Hurwitz

In matematica, in particolare in teoria analitica dei numeri, la funzione zeta di Hurwitz è una funzione zeta che deve il suo nome al matematico tedesco Adolf Hurwitz. La funzione è definita attraverso la serie

    $\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}},$

se $\operatorname {Re} (s)>1$ e $\operatorname {Re} (q)>0$. Chiaramente, se $q=1$ la funzione zeta di Hurwitz coincide con la funzione zeta di Riemann, cioè $\zeta (s,1)=\zeta (s)$.

Allo stesso modo della funzione zeta di Riemann, $\zeta (s,q)$ può essere prolungata analiticamente a una funzione olomorfa sull'intero piano complesso, ad eccezione di $s=1$.

## Prolungamento analitico

Se $\mathrm {Re} (s)\leq 1$, si può definire la funzione per mezzo della seguente equazione

    $\zeta (s,q)=\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {z^{s-1}e^{qz}}{1-e^{z}}}dz$

dove il contorno $C$ è una linea chiusa attorno all'asse reale negativo.

Si può essere quindi prolungare analiticamente a una funzione meromorfa, con il punto $s=1$ come unico polo semplice e di residuo $1$. Il termine costante è dato da

    $\lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)$

dove $\Gamma$ è la funzione Gamma e $\psi$ la funzione digamma.

## Rappresentazioni

### Rappresentazione in serie

Nel 1930, Helmut Hasse fornì una rappresentazione in serie di Newton convergente definita per $q>0$ reale e $s\neq 1$:

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.$

Questa serie converge uniformemente in ogni sottoinsieme compatto del semipiano di $s$ a una funzione intera. SI comprende che la somma interna è la $n$-esima differenza in avanti di $q^{1-s}$, cioè

    $\Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}$

dove $\Delta$ è l'operatore di differenza in avanti. Quindi, si può scrivere

    ${\begin{aligned}\zeta (s,q)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}\end{aligned}}$

Altre serie globalmente convergenti sono le seguenti

    $\zeta (s,v-1)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{1-s}$
    $\zeta (s,v)={\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{l=0}^{n+k-1}\!(-1)^{l}{\binom {n+k-1}{l}}(l+v)^{k-s},\quad k=1,2,3,\ldots$
    $\zeta (s,v)={\frac {v^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }|G_{n+1}|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}$
    $\zeta (s,v)={\frac {(v-1)^{1-s}}{s-1}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}$
    $\zeta (s,v){\bigv-{\tfrac {1}{2}}{\big )}={\frac {s-2}{s-1}}\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}$
    $\zeta (s,v)=-\sum _{l=1}^{k-1}{\frac {(k-l+1)_{l}}{(s-l)_{l}}}\zeta (s-l,v)+\sum _{l=1}^{k}{\frac {(k-l+1)_{l}}{(s-l)_{l}}}v^{l-s}+k\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+1}^{(k)}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}$

dove $H_{n}$ sono i numeri armonici, $\left[{\cdot \atop \cdot }\right]$ sono i numeri di Stirling del primo tipo, $(\ldots )_{\ldots }$ è il simbolo di Pochhammer, $G_{n}$ sono i coefficienti di Gregory, $G_{n}^{(k)}$ sono i coefficienti di Gregory di ordine superiore e $C_{n}$ sono i numeri di Cauchy del secondo tipo ($C_{1}=1/2$, $C_{2}=5/12$, $C_{3}=3/8$,...), vedere l'articolo di Blagouchine.

### Rappresentazione integrale

La funzione ha una rappresentazione integrale in termine della trasformata di Mellin,

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt$

per $\mathrm {Re} (s)>1$ e $\mathrm {Re} (q)>0.$

## Proprietà

### Formula di Hurwitz

La formula di Hurwitz afferma che

    $\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]$

dove

    $\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})$

è la rappresentazione della funzione valida per $0\leq x\leq 1$ e $s>1$, e inoltre ${\text{Li}}_{s}(z)$ indica il polilogaritmo.

### Equazione funzionale

L'equazione funzionale mette in relazioni i valori della funzione di Hurwitz sulla parte destra e sinistra del piano complesso. Per $1\leq m\leq n$ interi, per ogni valore di $s$ si ha

    $\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right].$

### Alcune somme finite

Le seguenti somme finite sono strettamente collegate all'equazione funzionale, alcune delle quali possono essere valutate in forma chiusa

    $\sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)$
    $\sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}$
    $\sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\bigm^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)$

dove $m$ è un intero positivo maggiore di $2$ e $s$ è un numero complesso..

### Trasformata di Fourier

La trasformata discreta di Fourier della funzione zeta di Hurwitz rispetto all'ordine $s$ è la funzione chi di Legendre.

### Valori razionali

La funzione zeta di Hurwitz calcolata nei numeri razionali compare in molte identità impressionanti. In particolare, in termini dei polinomi di Eulero $E_{n}(x)$:

    $E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}$

e

    $E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}$

Inoltre,

    $\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]$

vale per ogni $1\leq p\leq q$. $C_{\nu }(x)$ e $S_{\nu }(x)$ sono definite per mezzo della funzione chi di Legendre $\chi _{\nu }$,

    $C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})$

e

    $S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).$

Per valori interi di $\nu$, possono essere espressi in termini dei polinomi di Eulero. Si possono derivare queste relazioni utilizzando l'equazione funzionale insieme alla formula di Hurwitz.

## Espansioni in serie

### Serie di Taylor

La derivata della funzione zeta di Hurwitz rispetto alla seconda variabile è una traslazione:

    ${\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

Perciò, la serie di Taylor ha la caratteristica forma umbrale:

    $\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).$

Alternativamente,

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),$

con $|q|<1$.

Strettamente connessa è la formula di Stark–Keiper:

    $\zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)$

che vale per $N$ intero e $s$ arbitrario. Vedere la formula di Faulhaber per una relazione simile sulle somme finite di potenze di interi.

### Serie di Laurent

L'espansione in serie di Laurent può essere utilizzata per definire le costanti di Stieltjes che compaiono nella serie

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.$

In particolare, $\gamma _{0}(q)=-\psi (q)$ e$\gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma$.

## Legami con altre funzioni

### Legame con i polinomi di Bernoulli

La funzione $\beta$ definita precedentemente generalizza i polinomi di Bernoulli:

    $B_{n}(x)=-\Re \left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]$

dove $\Re (z)$ indica la parte reale di $z$. Alternativamente,

    $\zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.$

In particolare, la relazione vale per $n=0$ e si ha

    $\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.$

### Legame con la funzione theta di Jacobi

Se $\vartheta (z,\tau )$ è la funzione theta di Jacobi, allora

    $\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]$

vale per $\operatorname {Re} (s)>0$ e $z$ complesso, ma non intero. Per $z$ intero , la formula diventa

    $\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).$

dove $\zeta$ è la funzione zeta di Riemann. Si noti che questa ultima forma è l'equazione funzionale della funzione zeta di Riemann, come scritta in origine da Riemann. La distinzione tra $z$ intero e non tiene conto del fatto che la funzione theta di Jacobi converge alla funzione delta di Dirac in $z$ se $t\rightarrow 0$.

### Legame con le funzioni L di Dirichlet

Se l'argomento è un numero razionale, si può esprimere la funzione zeta di Hurwitz come combinazione lineare di funzioni L di Dirichlet e vice versa: La Zeta di Hurwitz coincide con la Zeta di Riemann $\zeta (s)$ quando $q=1$, se $q=1/2$ è uguale a $(2^{s}-1)\zeta (s)$, e se $q=n/k$ con $k>2$, $(n,k)>1$ e $0<n<k$, allora

    $\zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),$

dove la somma è sui caratteri di Dirichlet mod $k$. Nella direzione opposta si ha la combinazione lineare

    $L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).$

Esiste anche il teorema di moltiplicazione

    $k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),$

di cui una utile generalizzazione è la relazione di distribuzione

    $\sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).$

(Questa ultima forma è valida solo se $q$ è un numero naturale e $1-qa$ non lo è.)

## Zeri

Se $q=1$, la funzione zeta di Hurwitz si riduce alla funzione zeta di Riemann; se $q=1/2$ si riduce alla funzione zeta di Riemann moltiplicata per una semplice funzione di variabile complessa $s$ (vide supra), riconducendosi in ogni caso al difficile studio degli zeri della Zeta di Riemann. In particolare, non esistono zeri con parte reale maggiore o uguale a 1. Tuttavia, se $0<q<1$ e $q\neq 1/2$, allora esistono degli zeri della funzione zeta di Hurwitz nella fascia $1<\operatorname {Re} (s)<1+\epsilon$ per ogni $\epsilon$ reale positivo. Questo fatto fu dimostrato da Davenport e Heilbronn per $q$ razionale o trascendente, e da Cassels per gli irrazionali algebrici.

## Applicazioni

La funzione zeta di Hurwitz compare in svariate discipline. Più comunemente, si presenta nella teoria dei numeri, dove il suo studio è il più profondo e sviluppata. Tuttavia, compare anche nello studio dei frattali e dei sistemi dinamici. Nella statistica applicata, è presente nella legge di Zipf e in quella di Zipf–Mandelbrot. Nella fisica delle particelle, compare in una formula di Julian Schwinger, fornendo un risultato esatto della velocità di produzione di coppia di un elettrone di Dirac.

## Casi speciali e generalizzazioni

La funzione zeta di Hurwitz con $m$ un intero positivo è collegata alla funzione poligamma:

    $\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .$

Per interi negativi $-n$, i valori sono collegati ai polinomi di Bernoulli:

    $\zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .$

La funzione zeta di Barnes generalizza la Zeta di Hurwitz come

    $\zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}$

dove $w$ e $a_{j}$ hanno parte reale positiva e $\operatorname {Re} (s)>N$.

Un'ulteriore generalizzazione viene dalla funzione trascendente di Lerch:

    $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$

e quindi

    $\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,$

Infine compaiono la funzione ipergeometrica

    $\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)$ dove $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{, }}a\notin \mathbb {N} {\text{ e }}s\in \mathbb {N} ^{+}.$

e la funzione G di Meijer

    $\zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.$
