Teorema di Caristi
# Teorema di Caristi

In matematica, il teorema di Caristi o teorema di Caristi-Kirk è un teorema di punto fisso che generalizza il teorema delle contrazioni per applicazioni di uno spazio metrico completo in sé. Si tratta di una variante dell'ε-principio variazionale di Ekeland (1974, 1979). Inoltre, la conclusione del teorema di Caristi è equivalente alla completezza metrica, come dimostrato da Weston (1977). Il risultato originale è dovuto ai matematici James Caristi e William Arthur Kirk.

## Enunciato

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo, $T:X\to X$ una funzione da $X$ in sé e sia $f:X\to [0,+\infty )$ una funzione semicontinua inferiormente da $X$ in $[0,+\infty )$. Si supponga inoltre che per tutti i punti $x\in X$ valga:

    $d{\bigx,T(x){\big )}\leq f(x)-f{\bigT(x){\big )}$

Allora $T$ ha un punto fisso in $X$, ossia esiste un punto $x_{0}$ tale che $T(x_{0})=x_{0}$.

