Funzioni di Anger
# Funzioni di Anger

In matematica, le funzioni di Anger sono funzioni speciali introdotte da C. T. Anger nel 1855. Si tratta di soluzioni dell'equazione di Bessel:

    $z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=(z-\nu )\sin(\pi z)/\pi$

## Definizione

Le funzioni di Anger $\mathbf {J} _{\nu }(z)$ sono definite dall'integrale:

    $\mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )$

Per $\nu \in \mathbb {Z}$ la funzione di Anger è semplicemente la funzione di Bessel $J_{n}(z)$.

Le funzioni di Anger sono soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine non omogenea (equazione di Bessel):

    $z^{2}{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+z{\frac {dw}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})w={\frac {(z-\nu )\sin(\nu \pi )}{\pi }}$

Si possono esprimere le funzioni di Anger con le funzioni di Lommel:

    $\mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}s_{0,\nu }(z)-{\frac {\nu \sin(\pi \nu )}{\pi }}s_{-1,\nu }(z)$

e con le funzioni di Weber:

    $\sin(\nu \pi )\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos(\nu \pi )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)$
