Identità sui logaritmi
# Identità sui logaritmi

In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.

## Identità algebriche

### Le identità più semplici

| $\log _{b}(1)=0\!\,$ | deriva da | $b^{0}=1\!\,$ |
| - | - | - |
| $\log _{b}(b)=1\!\,$ | deriva da | $b^{1}=b\!\,$ |
| $\log _{1/b}(b)=-1\!\,$ | deriva da | $b^{-1}=1/b\!\,$ |

### Semplificazione di calcoli numerici

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

| $\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$ | deriva da | $b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}$ |
| - | - | - |
| $\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\dfrac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$ | deriva da | ${\begin{matrix}{\dfrac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$ |
| $\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$ | deriva da | $(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$ |
| $\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\dfrac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$ | deriva da | ${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$ |

### Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.

| $b^{\log _{b}(x)}=x$ | deriva da | $\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$ |
| - | - | - |
| $\log _{b}(b^{x})=x\!\,$ | deriva da | $\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$ |

### Cambiamento della base

    $\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di $log_{10},$ ma nessuno che permetta il calcolo diretto di $log_2.$ Per ottenere il valore di un numero come $log_2(3),$ si può calcolare $log_{10}(3)$ / $log_{10}(2)$ (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

    $\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$
    $\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b$
    $a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

## Identità utili al calcolo infinitesimale

### Limiti

    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1$
    $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}a>1$
    $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$
    $\lim _{x\to +\infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile $x$".

### Derivata delle funzioni logaritmiche

    ${d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}$

### Integrali di funzioni logaritmiche

    $\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

    $x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

dove $\,H_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:

    $x^{\left[0\right]}=\log x$
    $x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$
    $x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$
    $x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{4}}\end{matrix}}\,x^{3}$

Di conseguenza

    ${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$
    $\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$
