Distribuzione congiunta
# Distribuzione congiunta

In probabilità, date due variabili aleatorie X e Y, definite sullo stesso spazio di probabilità, si definisce la loro distribuzione congiunta come la distribuzione di probabilità associata al vettore $(X,Y)$. Nel caso di due sole variabili, si parla di distribuzione bivariata, mentre nel caso di più variabili si parla di distribuzione multivariata.

## Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione di una distribuzione congiunta è definita come

    $F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y).$

o più generalmente

    $F(x_{1},...,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},...,X_{n}\leq x_{n}).$

## Funzione di densità

### Caso discreto

Nel caso di variabili aleatorie discrete, la densità discreta congiunta (o funzione di massa di probabilità congiunta) è data da

    $p_{X,Y}(x_{i},y_{j})=\mathrm {P} (X=x_{i},Y=y_{j})=\mathrm {P} (Y=y_{j}\mid X=x_{i})\cdot \mathrm {P} (X=x_{i})=\mathrm {P} (X=x_{i}\mid Y=y_{j})\cdot \mathrm {P} (Y=y_{j})$

Siccome la densità congiunta è anch'essa una densità, è soddisfatta la seguente equazione:

    $\sum _{x}\sum _{y}\mathrm {P} (X=x\ ,Y=y)=1.\;$
    È possibile ottenere le densità marginali dalla densità congiunta in questo modo: $p_{X}(x_{i})=\Sigma _{j}p(x_{i},y_{j})$e $p_{Y}(y_{i})=\Sigma _{j}p(x_{j},y_{i})$

### Caso continuo

Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità congiunta è data da

    $f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;$

dove $f_{Y|X}(y|x)$ e $f_{X|Y}(x|y)$ sono le distribuzioni condizionate di Y dato X=x e di X dato Y=y, mentre $f_X(x)$ e $f_Y(y)$ sono le distribuzioni marginali della densità congiunta, rispettivamente per X e Y. Anche in questo caso, è soddisfatto

    $\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.$
