Funzioni di Bickley-Naylor
# Funzioni di Bickley-Naylor

Le funzioni di Bickley-Naylor $\mathrm {Ki} _{n}(x)$, dove $n\in \mathbb {N}$ e $x\in \mathbb {R}$ sono definite come:

    $\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x\cosh u}}{\cosh ^{n}u}}\,du,$

dove $cosh$ è la funzione coseno iperbolico.

## Proprietà

Si ha:

    ${\frac {d}{dx}}\mathrm {Ki} _{n}(x)=-\mathrm {Ki} _{n-1}(x).$

Per $n=0$,

    $\mathrm {Ki} _{0}(x)=\mathrm {K} _{0}(x)$

dove $\mathrm {K} _{0}$ è una funzione di Bessel modificata.

Per $n=1$

    $\mathrm {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{\infty }\mathrm {K} _{0}(t)\,dt.$

La funzione $\mathrm {Ki} _{1}(x)$ è anche collegata con l'integrale di Sievert:

    $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi e^{-x/\cos \phi }=\mathrm {Ki} _{1}(x).$

Più generalmente,

    $\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi \cos ^{n-1}\phi e^{-x/\cos \phi }$.

## Applicazioni

Le funzioni di Bickley-Naylor si incontrano in problemi di diffusione dei neutroni e problemi di convezione.

