Congettura di Agoh-Giuga
# Congettura di Agoh-Giuga

In teoria dei numeri, la congettura di Agoh-Giuga, correlata ai numeri di Bernoulli $B_k,$ afferma che p è un numero primo se e solo se

    $pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$

Questa formulazione della congettura è dovuta a Takashi Agoh (1990); una formulazione che (come è stato dimostrato) è ad essa equivalente fu formulata nel 1950 da Giuseppe Giuga, e afferma che p è primo se e solo se

    $1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$

È una semplice conseguenza del Teorema di Eulero-Fermat che un numero primo $p$ soddisfa quest'ultima eguaglianza. Un eventuale controesempio alla congettura sarebbe dunque un numero $n$, non primo, per cui valga

    $1^{n-1}+2^{n-1}+\cdots +(n-1)^{n-1}\equiv -1{\pmod {n}}.$

Giuga dimostrò che un eventuale controesempio $n$ dovrebbe essere necessariamente un numero di Carmichael, divisibile per almeno 8 fattori primi distinti, e maggiore di $10^{1000}.$ Lavori successivi di Bedocchi, Borwein e altri, e Sorini hanno verificato la congettura per gli n minori di $10^{36067}.$

