Teorema di Carmichael
# Teorema di Carmichael

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il teorema di Carmichael esprime una relazione tra un numero di Fibonacci e i divisori dei termini ad esso precedenti. Più precisamente:

    per ogni numero naturale $n>12$, esiste un fattore primo del numero di Fibonacci $F_{n}$ che non divide $F_{k}$, per ogni $k<n$.

Per $n\leq 12$ si hanno le seguenti eccezioni:

* $F_{1}=1$ non ha fattori primi;
* $F_{2}=1$ non ha fattori primi;
* $F_{6}=8$ ha solo il fattore primo 2 e $F_{3}=2$;
* $F_{12}=144$ ha solo i fattori primi 2 e 3, e $F_{3}=2$ e $F_{4}=3$.

I fattori primi di un numero di Fibonacci $F_{n}$ che non dividono $F_{k}$, per ogni $k<n$, sono detti fattori caratteristici o divisori primi primitivi. Quindi il teorema di Carmichael dice che ogni numero di Fibonacci, a parte le precedenti eccezioni, ammette almeno un fattore caratteristico.

Si noti che questo teorema non implica che se $p$ è un numero primo allora $F_{p}$ deve essere un numero primo. Ad esempio $F_{19}=4.181=37\times 113$, dove 19 è un numero primo, ma $F_{19}$ no.

Il teorema di Carmichael può essere generalizzato dai numeri di Fibonacci alle successioni di Lucas.

