Teorema di Bendixson-Dulac
# Teorema di Bendixson-Dulac

In matematica, teorema di Bendixson-Dulac è un teorema che consente di stabilire se per un sistema autonomo esistono o meno soluzioni periodiche.

Il teorema fu proposto dal matematico svedese Ivar Bendixson nel 1901 ed è stato successivamente perfezionato dal francese Henri Dulac nel 1933 usando il teorema di Green.

## Il teorema

Se esiste una funzione $\varphi (x,y)$ tale che:

    ${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}$

abbia lo stesso segno ($\neq 0$) quasi ovunque (eccetto un insieme di misura nulla) in una regione semplicemente connessa, allora il sistema autonomo:

    ${\frac {dx}{dt}}=f(x,y)$
    ${\frac {dy}{dt}}=g(x,y)$

non ha soluzioni periodiche.

## Dimostrazione

Senza perdere di generalità si può considerare una funzione $\varphi (x,y)$ tale che:

    ${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0$

in un dominio semplicemente connesso di $R$. Si supponga che esiste una soluzione $C$ del sistema in $R$ che è una curva chiusa, e sia $D$ la regione delimitata da $C$. Per il teorema di Green:

    $\iint _{D}^{\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}^{-\varphi gdx+\varphi fdy}=\oint _{C}^{\varphi \left(-{\dot {y}}dx+{\dot {x}}dy\right)}$

Dal momento che lungo $C$ si ha $dx={\dot {x}}dt$ e $dy={\dot {y}}dt$, l'integrando si annulla: essendo una contraddizione, non esiste alcuna curva chiusa $C$.

