Mathématiques et mathématiciens/Chp 4 - Section : Algèbre
# Mathématiques et mathématiciens/Chp 4 - Section : Algèbre

### ALGÈBRE

Passant, sous ce tombeau repose Diophante, Et quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort ; Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance ; Le douzième fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie une encore s’écoula, Puis, s’étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère, Reçut de jours, hélas ! deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut : Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Représente par x le nombre en question Et, sans rien oublier, pose une équation Où dans le premier membre on trouve le sixième, Puis le douzième d’x, augmentés du septième. Ajoutes-y neuf ans : le tout égalera La moitié d’x. Transpose, ajoute… et cætera. Tu verras aisément, sans qu’on puisse en rabattre, Que l’âge du bonhomme est bien quatre-vingt-quatre.

Un mulet et un âne portent des charges de quelques quintaux. L’âne se plaint de la sienne et dit au mulet : il ne me manque que de porter encore un quintal de ta charge pour que la mienne soit le double de la tienne. Le mulet répond : et moi, si je prends un quintal de ta charge, la mienne sera triple de la tienne. On demande combien de quintaux ils portent chacun.

En supposant qu’il faille 24 clous, pour ferrer un cheval, et que le maréchal prenne un centime pour le 1ᵉʳ clou, 2 centimes pour le 2ᵉ, 4 centimes pour le 3ᵉ, etc., en doublant toujours. À combien reviendront le 24ᵉ clou et tous les clous ensemble ?

Réponse : 83 886 fr. 08 et 167 772 fr. 15.

Quelqu’un a un vase de douze litres plein de vin : il veut faire un cadeau de six litres ou de la moitié, mais il n’a pour mesurer les six litres que deux vases, l’un de huit litres, l’autre de cinq. Comment s’y prendre pour mettre les six litres dans le vase de huit ?

Un gentilhomme fait faire deux habits, l’un bleu et l’autre écarlate, mais il n’en fait garnir qu’un en or. Le bleu vaut 84 fr., sans le galon. Si l’on pose le galon sur le bleu, son prix est double de celui de l’autre. Si, au contraire, le galon est mis sur l’habit écarlate, le prix de celui-ci sera triple de celui du bleu. Calculer séparément le prix de l’habit écarlate et le prix du galon.

Il y a actuellement près d’un milliard trois cents millions d’hommes et l’augmentation annuelle de la population est d’environ 1/200. Combien y a-t-il d’années que vivaient Adam et Ève ?

Réponse : 4 100 ans.

﻿Bacchus, ayant vu Silène ﻿Auprès de sa cave endormi, ﻿Se mit à boire sans gêne ﻿Au dépens de son ami. Ce jeu dura pendant le triple du cinquième Du temps qu’à boire seul Silène eut employé : Il s’éveille bientôt, et son chagrin extrême Dans le reste du vin est aussitôt noyé. ﻿S’il eût bu près de Bacchus même, ﻿Ils auraient, suivant le problème, ﻿Achevé six heures plus tôt ; Alors Bacchus eût bu, pour son écot, ﻿Deux tiers de ce qu’à l’autre il laisse. ﻿Ce qui maintenant m’intéresse, ﻿Est de savoir exactement, Le temps qu’à chaque drôle il faut séparément ﻿Pour vider la cuve entière, Sans le secours de son digne confrère.

Voici la réponse, par un élève du lycée Charlemagne :

Dans cette occasion Silène eut tout l’honneur. En quinze heures, Bacchus acheva la besogne ;

Il n’en fallut que dix au digne précepteur : J’en conclus qu’il était de moitié plus ivrogne !

Un maître promet à son valet 360 fr. par an et une livrée ; il le renvoie au bout de 10 mois et en lui donnant 290 fr. et la livrée. Combien valait cette livrée ?

Combien doit-on à un maçon qui s’était engagé à creuser un puits de 20 mètres de profondeur et qui tombe malade après avoir creusé le dixième mètre ?

Réponse : 125 francs, si l’on suppose qu’on paye cinq francs pour creuser une profondeur d’un mètre et pour emporter la terre.

Construire avec un carton carré, la boîte de capacité maximum. — Cas où le carton est rectangulaire.

Construire avec une toile carrée la tente régulière carrée de capacité maximum.

À quelle distance du pied de la colonne Vendôme, un vieux soldat doit-il se placer pour voir son Empereur sous le plus grand angle possible ?

Une dame, ayant laissé tomber un bijou dans le lac de Genève, promet 100 fr. aux plongeurs qui le lui rapporteront. Trois sociétés de bateliers se présentent, l’une de Genève, la 2ᵉ de Suisse et la 3ᵉ de Savoie. Les bateliers de la société qui fera la découverte recevront 5 fr. par tête et le reste sera partagé également entre les autres. Si les Genevois réussissent, les autres auront 2ᶠ 1/4 ; si ce sont les Suisses, les autres auront 1ᶠ 2/3 ; enfin si ce sont les Savoisiens, les autres auront 1 fr. par tête. On demande de combien de bateliers se compose chaque société.

Deux horloges A et B sonnent l’heure en même temps ; A avance de 3 secondes sur B. Les coups de l’horloge A se succèdent à 5 secondes d’intervalle, ceux de B à 4 secondes, d’ailleurs lorsque l’intervalle qui sépare deux coups ne surpasse pas une seconde, l’oreille ne perçoit qu’un son. On a entendu 14 coups ; quelle heure est-il ?

Réponse : 10 heures.

Comment deviner un nombre pensé ?

1ᵒ Du carré du nombre immédiatement supérieur, faites retrancher le carré du nombre ; on vous dit la différence, vous retrancherez un, puis vous prenez la moitié.

2ᵒ Vous pouvez aussi faire multiplier le nombre immédiatement supérieur par le nombre immédiatement inférieur ; on vous dit le produit, vous ajoutez un, puis vous prenez la racine carrée.

3ᵒ Autrement : faites tripler le nombre pensé, retranchez ensuite un, tripler le nouveau résultat et ajouter ensuite le nombre pensé ; demandez ce qu’on a ainsi obtenu, ajoutez 3 au résultat et prenez les dizaines du nombre obtenu.

4ᵒ On peut encore faire tripler le nombre, prendre la moitié du triple, tripler cette moitié et enfin prendre le neuvième du résultat : en doublant ce neuvième, on aura le nombre primitif.

Dans une cage de lapins et de faisans, il y a en tout 35 têtes et 94 pattes.

Combien y a-t-il d’animaux de chaque espèce ?

Lorsqu’un ouvrier travaille tous les jours, même le lundi, il économise 5 francs par semaine ; mais quand il ne travaille pas le lundi, il se met en retard de 3 fr. Au bout de 12 semaines il a épargné 36 fr. ; combien a-t-il eu de bonnes semaines ?

Combien un piéton fait-il de kilomètres à l’heure, sachant qu’ayant fait 24 kilomètres, s’étant reposé une heure et ayant fait ensuite 15 kilomètres en marchant deux fois moins vite, son voyage a duré 14 heures et demie ?

Archimède, voulant connaître la composition en or et en argent de la couronne du roi Hiéron, constata qu’elle pesait 20 livres dans l’air et qu’elle perdait une livre 1/4, lorsqu’on la pesait dans l’eau. Les densités de l’argent et de l’or sont 10,5 et 19. Quelle était la composition de la couronne ?

(On sait qu’un corps plongé dans un liquide perd une partie de son poids égale à celui du liquide qu’il déplace.)

C’est Vitruve qui nous a fait connaître l’expérience d’Archimède.

Deux localités A et B étant distantes de 225 kilomètres, le quintal de charbon coûte 3 fr. 75 en A et 4 fr. 25 en B et le transport 0 fr. 08 par tonne et par kilomètre. On demande le point entre A et B où le charbon revient au même prix, qu’on le fasse venir de A ou de B. — Montrer que c’est en ce point que le charbon revient le plus cher.

On vous nomme un nombre, faites écrire à la suite le nombre renversé et diviser le nombre total successivement par 7, par 11 et par 13. Deviner le dernier quotient.

Un vieillard, fin spéculateur, qui a ses trente-deux dents, fait le marché suivant : les sommes qu’il touchera pour chaque dent extraite de sa bouche seront en progression géométrique de premier terme et de raison 2. Mais pour chaque dent non extraite de la même bouche, les sommes à payer au dentiste seront en progression géométrique de premier terme et de raison 3. Contrairement à ses prévisions, le vieillard se trouve mal après l’extraction de la dix-neuvième dent et renonce à continuer. Calculez : 1ᵒ la somme qui eût été gagnée si l’extraction des trente-deux dents avait été complète, 2ᵒ la somme à payer au dentiste par suite des treize dents non arrachées.

(Ce problème de dentiste est baroque.)

18 bœufs ont mangé en 2 jours l’herbe contenue dans 55 ares de terrain, plus l’herbe qui y a poussé ces 5 jours. — 15 bœufs ont mangé en 8 jours l’herbe contenue dans 70 ares de terrain, plus l’herbe qui y a poussé pendant ces 8 jours. — Combien faudra-t-il de bœufs pour manger en 20 jours l’herbe contenue dans 385 ares de pré, plus l’herbe qui y pousserait pendant ces 20 jours ?

Réponse : 39 bœufs.

Un banquier qui fait pour 10 millions d’affaires par an, veut savoir ce qu’il gagne à renouveler le placement de ses capitaux 2 fois, 3 fois, 4 fois, etc., par an et enfin en les replaçant à chaque instant (Les intérêts se composent à 6 %.)

Réponse : Au lieu de 10 600 000 fr., le banquier a au bout de l’année 10 612 080 fr., etc., etc., et enfin 10 618 365 fr.

Trouver entre 1000 et 2000 deux nombres consécutifs dont la différence des cubes soit un carré ?

M. L. Thomas trouve 1455 et 1456.

Un marchand de bestiaux achète 40 moutons à 32 fr. pièce ; il en perd un certain nombre et revend les autres en augmentant par tête le prix d’achat d’autant de francs qu’il a perdu de moutons. Il gagne ainsi 15 fr. sur son marché. Combien avait-il perdu de moutons ?

Même question, en supposant que le marchand ne gagne ni ne perd sur son marché.

Même question encore, en supposant que le marchand perd 20 fr. sur son marché.

Un voyageur, d’une taille de 1ᵐ,80, s’avance vers un phare allumé ; au début son ombre est de 3ᵐ et, lorsqu’il a avancé de 100 mètres, son ombre est de 2ᵐ,20 ; à quelle distance est-il du phare dans sa seconde position et quelle est la hauteur du phare ? — Même question lorsqu’on ne donne pas la taille de l’homme et qu’on ne demande pas la hauteur du phare.

Trouver l’âge, en 1892, d’une personne, sachant qu’il est égal à la somme des chiffres de l’année de la naissance.

Réponse : 19 ans.

Une montre à trois aiguilles marque deux heures ; à quelle heure l’aiguille des secondes sera-t-elle bissectrice de l’angle des deux autres ? … Les pointes des trois aiguilles peuvent-elles former un triangle équilatéral ?

D’après l’article 757 du Code civil, le droit de l’enfant naturel est d’un tiers de la portion héréditaire qu’il aurait eue s’il eût été légitime. Partager en conséquence la succession d’une personne qui laisse l enfants légitimes et n enfants naturels.

Réponse. — En prenant l’héritage pour unité, M. Catalan trouve pour la part d’un enfant légitime :

1/l−n/(3l(l+1))+(n(n+1))/(3²l(l+1)(l+2))−⋯± n(n−1)⋯3.2.1/(3ⁿl(l+1)⋯(l+n))

Un renard poursuivi par un lévrier a 60 sauts d’avance ; le renard fait 9 sauts pendant que le lévrier en fait 6, mais trois sauts du lévrier en valent 7 du renard. Après combien de sauts le lévrier atteindra-t-il le renard ?

Un lévrier vient d’atteindre un lièvre qui avait 77 sauts d’avance. On sait que 12 sauts du lévrier en valent 17 du lièvre et que pendant que le lévrier aurait fait autant de sauts qu’en a fait le lièvre, celui-ci en aurait fait 216 de plus. Combien le lièvre avait-il fait de sauts avant d’être atteint ?

Un père a 49 ans et son fils en a 10. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le quadruple de celui du fils ?

À quel prix un bouquiniste avait-il acheté un vieux livre, sachant que, l’ayant revendu 171 fr., il a gagné autant pour cent que le livre lui avait coûté ?

Deux bureaux de bienfaisance ont distribué chacun 1200 francs à des pauvres ; le second en a secouru 40 de plus que le premier, mais il a donné 5 francs de moins à chacun. Combien chaque bureau a-t-il secouru de pauvres ?

Quand les deux orifices sont ouverts, un réservoir est vidé en 18 heures ; le petit étant seul ouvert, met 16 heures de plus que le grand pour vider le bassin. Combien de temps chaque orifice met-il seul pour vider le bassin ?

Le roi des Perses ayant demandé à Sessa, l’inventeur du jeu des échecs, quelle récompense il désirait, Sessa répondit qu’il désirait un grain de blé pour la première case, deux pour la seconde, quatre pour la troisième, huit pour la quatrième et ainsi de suite, en doublant toujours jusqu’à la soixante-quatrième case.

Le roi sourit ; or, en faisant le calcul, on trouve 2⁶⁴−1= 18446744073709551615 grains de blé, huit fois plus que la terre ne produirait en un an, si toute sa surface était ensemencée en blé

Un tonneau contient cinquante litres de vin pur ; on en retire deux litres qu’on remplace par de l’eau ; du nouveau vin on retire encore deux litres qu’on remplace par de l’eau ; on agit de même une troisième fois, on demande la composition en vin et en eau du mélange final.

Combien a-t-on eu de mètres d’étoffe pour 180 fr. ; sachant que si, pour ce prix on avait eu 2 mètres de plus, chaque mètre aurait coûté 3 francs de moins ?

Combien une horloge, sonnant les heures, les quarts, les demies, les trois quarts, frappe-t-elle de coups pendant le tour du cadran ?

Déterminer sur la droite qui joint deux lumières le point également éclairé.

Trouver un triangle ayant pour côtés trois nombres entiers consécutifs et dont le plus grand angle soit double du plus petit.

Un arpenteur, après avoir mesuré un terrain rectangulaire, en a oublié les dimensions, mais il sait que leur somme est 650 mètres et que la superficie du terrain est de 10 hectares 46 ares 45 centiares. Calculer les deux dimensions du champ.

Des singes s’amusaient : de la troupe bruyante Un huitième au carré gambadait dans le bois ;

﻿Douze criaient tous à la fois Au haut de la colline verdoyante. ﻿Combien étaient-ils au total ?

﻿D’un essaim de mouches à miel ﻿Prends la moitié, puis la racine ; Dans un champ de jasmin, cette troupe butine. Huit neuvièmes du tout voltigent dans le ciel. ﻿Une abeille solitaire Entend, dans un lotus, son mari bourdonner : Attiré par le miel, pendant la nuit dernière, ﻿Il s’était fait emprisonner. De combien est l’essaim, le saurais-tu, ma chère ?

Ce problème et le précédent sont traduits par M. L. Rodet du Lilawâti, recueil mathématique en vers que l’hindou Bhâscara, vivant au XIIᵉ siècle, dédia à sa fille.

Trouver les rayons d’un cylindre et d’un cône, de même hauteur connue, sachant qu’ils sont équivalents en volume et en surface.

Le prix du diamant étant proportionnel au carré de son poids, un diamant cassé en deux morceaux quelconques perd de sa valeur ; dans quel cas la dépréciation est-elle la plus grande possible ?

Quelle annuité faut-il payer pour réduire de moitié, au bout d’un temps donné, une dette contractée à intérêts composés à un certain taux ?

Dans le trajet d’une voiture, on a remarqué que la roue du devant, qui a 2ᵐ,20 de tour, a fait 2000 tours de plus que la roue de derrière, qui a 4 mètres de tour. Quelle est la longueur du trajet ?

On fait une première saignée et on pèse la partie solide du sang coulé ; on injecte un poids connu d’eau distillée : on fait une seconde saignée de même poids que la première et on pèse encore la partie solide. Calculer d’après ces expériences, le poids du sang circulant dans le corps.

À l’aide de données numériques que nous omettons, on trouve 14 kilogrammes, nombre un peu trop fort parce qu’on néglige l’eau transsudée pendant les cinq minutes nécessaires pour que l’eau se répartisse dans tout le sang.

Pour calculer la profondeur d’un puits, on peut noter, avec une montre à secondes, combien de temps il s’écoule entre l’instant où on laisse tomber une pierre à l’ouverture du puits et l’instant où l’on entend le choc contre le fond.

Calculer la vitesse propre d’un bateau, sachant que pour descendre 24 kilomètres sur une rivière dont le courant est de 3 kilomètres par heure et pour remonter ensuite 13 kilomètres, il a fallu en tout 7 heures au bateau.

Trouver un nombre de deux chiffres égal au produit de la somme de ses chiffres par leur différence.

Sur le bord d’une rivière s’élève une colonne surmontée d’une statue ; un observateur, placé sur la rive opposée, voit sous un même angle la statue et un soldat placé au pied de la colonne : on demande, connaissant les hauteurs de la colonne, de la statue et du soldat, de calculer la largeur de la rivière.

Voici un joli tour : il s’agit de deviner une carte pensée.

On prend au hasard 21 cartes que l’on range en 3 paquets de 7 cartes, en en plaçant d’abord 3 cartes à côté l’une de l’autre, puis les 3 cartes suivantes successivement sur les 3 premières et ainsi de suite. On demande à une personne de penser une des cartes qu’elle voit ainsi ranger et on lui demande dans quel paquet se trouve la carte pensée. On met alors les 3 paquets l’un au-dessus de l’autre, en ayant soin de placer au milieu le paquet contenant la carte pensée, les rectos des cartes étant tous du même côté. On range de nouveau les cartes en 3 paquets de 7 cartes en procédant comme tout à l’heure, on demande encore dans quel paquet se trouve la carte pensée, on place ce paquet entre les deux autres et on recommence une troisième fois la même manœuvre. — Finalement, la carte pensée se trouve être la onzième !

