Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 11/Analise transcendante, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 11/Analise transcendante, article 3

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Démonstration du théorème d’analise transcendante, énoncé à la page 388 du X.ᵉ volume des Annales ;

M. Sarrus attaque la question d’une manière tout-à-fait synthétique. Il remarque d’abord que l’on a, par les théories connues,

Sin.z=2Sin.z/2 Cos.z/2, Sin.z/2 =2Sin.z/4 Cos.z/4,

Sin.z/4 =2Sin.z/8 Cos.z/8, ……………………Sin.z/2ⁿ⁻² =2Sin.z/2ⁿ⁻¹ Cos.z/2ⁿ⁻¹, Sin.z/2ⁿ⁻¹ =2Sin.z/2ⁿ Cos.z/2ⁿ ;

d’où, en multipliant et réduisant,

Sin.z=2ⁿSin.z/2ⁿ Cos.z/2 Cos.z/4 Cos.z/8 …Cos.z/2ⁿ.

Mais comme, à mesure que n augmente, Sin.z/2ⁿ tend sans cesse à devenir z/2ⁿ ; il s’ensuit que, dans le même cas, 2ⁿSin.z/2ⁿ tend sans cesse à se confondre avec l’arc z; de sorte qu’en faisant n infini, on a rigoureusement

Sin.z=zCos.z/2 Cos.z/4 Cos.z/8.Cos.z/16.Cos.z/32 …;

formule dont le second membre a une infinité de facteurs tendant sans cesse vers l’unité, quel que soit l’arc z, ce qui en garantit la convergence.

En prenant les différentielles logarithmiques des deux membres, on tire de là, en transposant,

1/z=Cot.z+1/2 Tang.z/2+1/4 Tang.z/4+1/8 Tang.z/8+…

Si l’on pose ensuite z=ϖ/2, ϖ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, en observant que Cot.ϖ/2=0 et divisant par 2, on aura

1/ϖ=1/4 Tang.ϖ/4+1/8 Tang.ϖ/8+1/16 Tang.ϖ/16+…,

qui est précisément la formule à démontrer.

M. Sarrus observe que ces deux séries, l’une et l’autre très-régulières, convergent rapidement toutes deux vers des progressions décroissantes par quotiens ayant 4 pour raison ; de sorte qu’en prenant pour n un très-grand nombre, la dernière, par exemple, pourra être sensiblement remplacée par cette formule finie

1/ϖ=1/4 Tang.ϖ/4+1/8 Tang.ϖ/8+…+1/2ⁿ Tang.ϖ/2ⁿ+2/3.2ⁿ Tang.ϖ/(2ⁿ⁺¹).

L’anonyme, au contraire, parvient à son but par un procédé tout-à-fait analitique, et conséquemment inverse de celui de M. Sarrus. Il cherche généralement quelle fonction, finie peut être équivalente à la série infinie

1/4 Tang.x/4+1/8 Tang.x/8+1/16 Tang.x/16+…,

où x désigne un arc quelconque. Posant donc cette série égale une certaine variable y, multipliant par d⁡x et intégrant, il obtient

∫yd⁡x=C−{Log.Cos.x/4+Log.Cos.x/8+Log.Cos.x/16+…};

ou bien

∫yd⁡x=C−Log.(Cos.x/4 Cos.x/8 Cos.x/16 Cos.x/32 …);

observant ensuite que

Cos.x/4 Cos.x/8 Cos.x/16 Cos.x/32 …=Sin.x/xCos.x/2 ,

il en conclut que

∫yd⁡x=C−Log.Sin.x/xCos.x/2 =C−Log.Sin.x+Log.Cos.x/2−Log.x;

d’où, en différentiant et divisant par d⁡x,

y=1/x−1/2 Tang.x/2−Cot.x=1/x−1/2 Cot.x/2 ;

ce qui donne, en remettant pour y sa valeur et transposant,

1/x−1/2 Cot.x/2=1/4 Tang.x/4+1/8 Tang.x/8+1/16 Tang.x/16+…;

formule qui est générale quel que soit l’arc x.

Si ensuite on suppose x=ϖ/2, on tombe précisément sur la formule proposée à démontrer.

