L’Encyclopédie/1re édition/TRIANGLE
# L’Encyclopédie/1re édition/TRIANGLE

TRIANGLE, s. m. en terme de Géométrie, c’est une figure comprise entre trois lignes ou côtés, & qui par conséquent a trois angles. Voyez Figure & Angle.

Si les trois lignes ou côtés d’un triangle sont des lignes droites, on l’appelle triangle rectiligne. Voyez Rectiligne.

Si les trois côtés du triangle ABC, Planche de Géométrie, fig. 68. sont égaux, on l’appelle triangle équilatéral. Voyez Equilatéral.

S’il n’y a que deux de ses côtés égaux, comme DEF, fig. 69. on l’appelle triangle isoscele ou équicrural. Voyez Isoscele.

Si tous les côtés sont inégaux entr’eux, comme ACB, fig. 70. on l’appelle triangle scalene. Voyez Scalene.

Si un des angles K d’un triangle KML, fig. 71. est droit, on dit que le triangle est rectangle. Voyez Rectangle.

Si un des angles N, fig. 72. est obtus, on dit que le triangle est obtusangle, ou amblygone. Voyez Amblygone.

Si les trois angles sont aigus, comme ACB, fig. 68. le triangle s’appelle acutangle ou oxygone. Voyez Acutangle, &c.

Si les trois lignes du triangle sont courbes, on l’appelle curviligne. Voyez Curviligne.

Si quelque côté du triangle est droit & les autres courbes, on l’appelle triangle mixtiligne.

Si tous les côtés sont des arcs de grands cercles ou de sphere, le triangle s’appelle sphérique. Voyez Sphérique.

| Triangles semblables, | } voyez { | Semblables. |
| - | - | - |
| Base d’un triangle, | } voyez { | Base. |
| Canon d’un triangle, | } voyez { | Canon. |
| Jambes d’un triangle, | } voyez { | Jambes. |

Constructions de triangles. 1°. Deux côtés AB, AC, fig. 73. ayant été donnés en nombres ou autrement, aussi-bien que la quantité de l’angle A compris entre ces côtés. Pour en construire un triangle, prenez AB pour la base ; & en A, formez l’angle donné pour l’autre jambe, tracez l’autre ligne donnée AC, enfin tirez la ligne BC, & pour-lors ABC sera le triangle que l’on cherche.

D’où il suit qu’ayant déterminé deux côtés avec l’angle compris entr’eux, vous avez déterminé tout le triangle ; par conséquent si en deux angles ACB & acb, a = A, & que l’on ait ab : ac ∷ AB : AC, alors les triangles sont déterminés de la même maniere, & par conséquent ils sont semblables ; ainsi c = C ; b = B, & ab : bc ∷ AB : BC. &c.

2°. Trois côtés AB, BC & CA, fig. 68. étant donnés, dont deux, comme AC & AB pris ensemble, sont plus grands que le troisieme ; si vous voulez en construire un triangle, prenez AB pour la base, & du point A avec l’intervalle AC, décrivez un arc y ; & du point B avec l’intervalle BC, décrivez un autre arc x : tirez les lignes droites AC & BC, vous aurez le triangle.

Il ne faut pas s’imaginer que ce problème soit toujours possible ; dès là que la somme des deux côtés est plus grande que le côté pris pour base, ainsi que tous les auteurs qui ont écrit sur la Géométrie paroissent en être persuadés ; car, prenant toujours AB pour base, si le côté AC, par exemple, surpassoit cette base d’une quantité égale ou plus grande que l’autre côté BC, l’intersection ne pourroit pas se faire, & par conséquent la construction ne seroit pas possible. Il est donc nécessaire, quand on propose ce probleme, d’y mettre plus de condition qu’on n’a de coutume, de peur que l’on ne tombe dans une construction absurde, comme je l’ai vu arriver.

C’est pourquoi, comme on ne peut construire qu’un triangle avec trois lignes droites données, il s’ensuit qu’en déterminant les trois côtés, tout le triangle est déterminé.

Ainsi si en deux triangles ACB & acb, fig. 73. l’on a AC ; AB ∷ ac : ab ; AC : CB ∷ ac : bc ; alors les triangles sont déterminés de la même maniere, par conséquent ils sont semblables & équiangles.

3°. Une ligne droite comme AB, & les deux angles A & B adjacens, lesquels pris ensemble sont moindres que deux angles droits, étant donnés ; pour décrire le triangle ABC aux extrémités de la ligne donnée AB, formez les deux angles donnés A & B : continuez les côtés AC & BC, jusqu’à ce qu’ils se rencontrent en C. alors vous aurez le triangle ABC que vous cherchiez.

De sorte qu’un côté & deux angles étant donnés, on a tout le triangle ; par conséquent, si deux triangles A = a & B = b ; alors ces triangles seront déterminés de la même maniere, & par conséquent semblables.

Maniere de mesurer les triangles. Pour trouver la superficie d’un triangle, multipliez la base AB, fig. 74. par la hauteur Cd, la moitié du produit est la superficie du triangle ABC.

Ou de cette autre maniere : multipliez la moitié de la base AB par la hauteur Cd, ou toute la base par la moitié de la hauteur, le produit vous donnera la superficie du triangle.

Par exemple,

| AB = 342 | | AB = 342 | AB = 171 |
| - | - | - | - |
| Cd = 234 | 1/2 | CD = 117 | Cd = 234 |
| 1368 | | 2394 | 684 |
| 1026 | | 342 | 513 |
| 684 | | 342 | 342 |
| 2) 80028 | | superficie 40014 | superficie 40014 |
| superficie 40014. |

Ou bien on trouve la superficie d’un triangle en joignant ensemble les trois côtés, & prenant la moitié de la somme, & de cette moitié on soustrait chaque côté séparément ; après quoi on multiplie la moitié de cette somme par le produit des trois restes, & l’on tire la racine quarrée de ce dernier produit ; d’où il suit, 1°. que si entre la base & la moitié de la hauteur, ou entre la hauteur & la moitié de la base, on trouve une moyenne proportionnelle, ce sera le côté d’un quarré égal au triangle. 2°. Si la superficie d’un triangle est divisée par la moitié de la base, le quotient est la hauteur.

Propriétés des triangles plans. 1°. Si en deux triangles ABC, abc, fig. 73. l’angle A = a les côtés AB = ab & AC = ac, alors le côté BC = bc & les angles C = c & B = b, & par conséquent ces triangles seront égaux & semblables.

2°. Si un côté du triangle ABC, fig. 75. est continué jusqu’à D, l’angle extérieur DAB sera plus grand qu’aucun des deux angles intérieurs opposés B ou C.

3°. Dans chaque triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle, & le plus petit côté au plus petit angle.

4°. Dans tous les triangles, deux côtés tels qu’ils soient, sont plus grands que le troisieme.

5°. Si en deux triangles les différens côtés de l’un sont respectivement égaux aux côtés de l’autre, les angles seront aussi respectivement égaux, & par conséquent les triangles seront entierement égaux & semblables.

6°. Si quelque côté, comme B C, fig. 76. d’un triangle A C B, est continué jusqu’à D, l’angle extérieur DOA sera égal aux deux angles intérieurs opposés, y & z pris ensemble.

7°. En tout triangle, comme ABC, les trois angles A, B, C, pris ensemble, sont égaux à deux angles droits, ou à 180ᵈ. d’où il s’ensuit, 1°. que si le triangle est rectangle, comme MKL, fig. 71. les deux angles obliques M & L pris ensemble, font un angle droit ou 90ᵈ. & par conséquent ce sont des demi-angles droits, si le triangle est isoscele. 2°. Si un angle d’un triangle est oblique, les deux autres pris ensemble sont pareillement obliques. 3°. Dans un triangle équilatéral, chaque angle est de 60 degrés. 4°. Si un angle d’un triangle est soustrait de 180ᵈ. le restant est la somme des deux autres ; & si la somme de deux angles est soustraite de 180ᵈ. le restant est le troisieme angle. 5°. Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, soit conjointement, soit séparement, le troisieme angle de l’un est égal au troisieme angle de l’autre. 6°. Comme dans un triangle isoscele DFE, fig. 69. les angles de la base y & u sent égaux ; si l’angle d’en-haut est soustrait de 180ᵈ. & que le restant soit divisé par 2, le quotient est la quantité de chacun des angles égaux : de même si le double d’un des angles de la base y est soustrait de 180ᵈ. le restant est la quantité de l’angle d’en-haut.

8°. Si en deux triangles ABC & abc, fig. 73. AB. = ab., A = a, & B = b, alors AC. = ac. BC. = bc. C = c & le triangle ACB = acb. d’où il s’ensuit que si en deux triangles ACB. & acb, A = a, B = b, & BC = bc ; alors C = c, par conséquent AC = ac, AB = ab & le triangle ACB = acb.

9°. Si dans un triangle DFE les angles de la base y & u, fig. 69. sont égaux, le triangle est isoscele : par conséquent si les trois angles sont égaux, le triangle est équilatéral.

10°. Si dans un triangle ABC une ligne droite est tirée parallelement à la base, elle coupe les côtés proportionnellement, & forme un petit triangle semblable au grand.

11°. Tout triangle peut être inscrit dans un cercle. Voyez Cercle.

12°. Le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, est en puissance triple du rayon. Voyez Rayon.

13°. Les triangles de même base & même hauteur, c’est-à-dire, qui se trouvent entre les mêmes lignes paralleles, sont égaux. Voyez Parallele.

14°. Tout triangle, comme CFD, (fig. 41.) est la moitié d’un parallélogramme ACDB, de même ou d’égale base CD, & de même hauteur, ou entre les mêmes paralleles : ou bien un triangle est égal à un parallélogramme qui est sur la même base, mais qui n’a que la moitié de la hauteur, ou qui n’ayant que la moitié de la base, a la même hauteur que le triangle. Voyez Parallélogramme.

15°. Dans tous les triangles tant plans que sphériques, les côtés sont proportionels aux sinus des angles opposés.

16°. Dans tous les triangles plans, la somme des deux côtés est à leur différence, comme la tangente de la moitié de la somme des angles opposés est à la tangente de la moitié de leur différence.

17°. Si l’on fait tomber une perpendiculaire sur la base d’un triangle obliquangle, la différence des quarrés des côtés est égale au double du rectangle sous la base & la distance qu’il y a de la perpendiculaire au milieu de la base.

18°. Les côtés d’un triangle sont coupés proportionnellement, par une ligne qu’on tire parallélement à la base.

19°. Un triangle entier est à un triangle coupé par une ligne droite, comme le rectangle sous les côtés coupés est au rectangle des deux autres côtés.

20°. Dans un triangle rectiligne une ligne de l’angle droit perpendiculairement sur l’hypothenuse, divise le triangle en deux autres triangles rectilignes, lesquels sont semblables au premier triangle, & l’un à l’autre.

21°. En tout triangle rectangle le quarré de l’hypothenuse est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés. Voyez Hypothenuse.

22°. Si quelqu’angle d’un triangle est coupé en deux parties égales, la ligne qui le coupe divisera le côté opposé proportionellement aux côtés qui forment cet angle. Voyez Bissection.

23°. Si l’angle du sommet de quelque triangle est coupé en deux parties égales, la différence des rectangles faits par les côtés & par les segmens de la base, est égale au quarré de la ligne qui coupe l’angle en deux.

24°. Si une ligne droite BE (fig. 78.) coupe en deux un angle ABC d’un triangle, le quarré de ladite ligne BE=AB+BC−AE+EC. Newton, arith. univers.

Pour diviser un triangle dans un certain nombre donné de parties égales, divisez la base CD (fig. 77.) en autant de parties égales qu’il s’agit de diviser la figure, & tirez les lignes A 1, A 2, &c.

Sur les propriétés des triangles sphériques. Voyez Sphérique.

Triangle, en terme de Trigonométrie. La solution ou analyse des triangles est du ressort de la trigonométrie. Voyez les figures de Trigonométrie.

Les différens cas peuvent être réduits aux problèmes suivans.

Solution des triangles plans. 1°. Deux angles A & C (tabl. trigon. fig. 26.) étant donnés conjointement avec le côté AB, opposé à l’un de ces deux angles C ; pour trouver le côté BC, opposé à l’autre angle A, en voici la regle : le sinus de l’angle C est au côté donné AB, qui lui est opposé, comme le sinus de l’autre angle A est au côté que l’on cherche.

C’est pourquoi le côté BC se trouve aisément par les logarithmes ou par la regle de trois ou de proportion. Voyez Logarithme.

Car par exemple, supposez C = 48ᵈ. 35′. A = 57ᵈ. 28′. AB = 74′. l’opération se fait de cette maniere.

| Log. du sinus de C, | 9. 8750142 |
| - | - |
| Log. de AB, | 1. 8692317 |
| Log. du sinus de A, | 9. 9258681 |
| Total du log. de AB & du sinus de A, | 11. 7950998 |
| Log. de BC, | 1. 9200856 |

Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 83, qui est la quantité du côté que l’on cherchoit.

2°. Deux côtés AB & BC, ayant été donnés conjointement avec l’angle C, opposé à l’un des deux, pour trouver les autres angles A & B, voici la regle : un côté AB est au sinus de l’angle donné C, & opposé à ce côté, comme l’autre côté BC est au sinus de l’angle opposé que l’on cherche.

| | Par exemple, |
| - | - |
| Supposez | AB = 94′, BC = 69′, C = 72ᵈ. 15′. | AB = 94′, BC = 69′, C = 72ᵈ. 15′. |
| | Log. de AB, | 1. 9731279 |
| | Log. du sinus de C, | 9. 9788175 |
| | Log. de BC, | 1. 8388491 |
| | Somme des logarith. du sinus de C & de BD, | 11. 8176666 |
| Log. du sinus de A, | Log. du sinus de A, | 9. 9444387 |

Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 61ᵈ. 37′. & comme l’angle donné C est de 72°. 15′. la somme des deux autres 133°. 52′. étant soustraite de 180, total des trois, vous aurez 46°. 8. pour l’autre angle B que vous cherchiez.

De même supposez que dans un triangle rectangle (fig. 28.) outre l’angle droit A on ait donné l’hypothenuse BC = 49, & la cathete AC = 36 pour trouver l’angle B, voici comme on opere.

| Log. de BC, | 1. 6901961 |
| - | - |
| Log. de tout le sinus, | 10. 0000000 |
| Log. de AC, | 1. 5563025 |
| Log. du sinus de B | 9. 8661064 |

Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 47°. 16. par conséquent C = 42°. 44′.

3°. Deux côtés BA & AC, & l’angle A compris entre ces côtés étant donnés, pour trouver les deux autres angles.

I. Si le triangle ABC est rectangle, prenez un des côtés, qui forment l’angle droit, comme AB, pour rayon, pour lors CA sera la tangente de l’angle opposé B, en ce cas la regle est qu’un côté AB est à l’autre AC, comme le sinus total est à la tangente de l’angle B.

| Par exemple, |
| - |
| Supposé BA = 79 & AC = 54 ||
| Logarithme de BA, | 18976291 |
| Log. de AC, | 17323938 |
| Log. du sinus total, | 100000000 |
| Log. de la tang. de B, | 9. 8347667 |

Le nombre qui répond à cela, dans la table des logarithmes, est 34°. 21′. par conséquent l’angle C est de 55°. 39′.

II. Si l’angle A est oblique (fig. 26.), il faut faire cette proportion, la somme des côtés donnés AB & AC est à leur différence, comme la tangente de la moitié de la somme des angles cherchés C & B est à la tangente de la moitié de leur différence : c’est pourquoi en ajoutant la moitié de la différence à la moitié de la somme, ce total donnera le plus grand angle C, & en ôtant la moitié de la différence de la moitié de la somme, le restant sera le plus petit angle B.

xxxxxxPar exemple, :

| Supposez | AB=75′. | AC 58′.A 108^{∘}. 24′. | alors |
| - | - | - | - |
| xxxAB 75 | AB 75′. | A+B+C 179^{∘}. 60′. |
| xxxAC 58 | AC 58 | A 108 24 | |
| xxxSomme 133. diff. 17 | xxxSomme 133. diff. 17 | B + C 71 36 |
| | | 1/2 (B + C) 35 48 |
| xxxLog. de AB + AC | xxxLog. de AB + AC | 2.1238516 |
| xxx Log. de AB-AC | xxx Log. de AB-AC | 1. 2304489 |
| Log. de la tang. 1/2 (B + C) | Log. de la tang. 1/2 (B + C) | 9. 8580694 | |
| xxxxxSomme des log. | xxxxxSomme des log. | 12. 0885183 |
| xxxLog. de la tang. 1/2 (C-B) 8. 6946667 le nombre qui répond à cela est 5°. 16′. ||||
| xx 1/2 (B + C) = 35°. 48′. | xx 1/2 (B + C) = 35°. 48′. | 1/2 (B + C) = 35°. 48′. |
| xx 1/2 (C-B) = 5°. 16′. | xx 1/2 (C-B) = 5°. 16′. | 1/2 (C-B) = 5°. 16′. | 1/2 (C-B) = 5°. 16′. |
| | C = 41, 4 | B = 30, 32 |

4°. Les 3 côtés AB, CD, & CA, fig. 28. étant donnés, pour trouver les angles A, B, & C, du sommet de l’angle A avec l’étendue du plus petit côté AB, décrivez un cercle : alors CD sera AC & AB ; & CF sera leur différence. La regle est donc que la base BC, est la somme des côtés CD, comme la différence des côtés CF est au segment de la base CG.

Ce segment ainsi trouvé étant soustrait de la base CB, le restant est la corde GB. Ensuite du point A abaissez la perpendiculaire AE sur la corde BG, pour lors BE = EG = 1/2 GB.

Ainsi dans un triangle rectangle AEB, les côtés AB & BE étant donnés ; ou dans un triangle obliquangle ACE, les côtés AC & CE étant donnés : les angles B & A sont trouvés.

| xxxxPar exemple, |
| - |
| Supposé AB = 36, AC = 45, BC = 40 |||
| Supposé AC = 45 AC = 45 |||
| Supposé AB = 36 AB = 36 |||
| Supposé AC + AB | = | 81, FC = 9 |
| xxLog. de BC | = | 1. 6020600 |
| xx Log. de AC + AB | xx Log. de AC + AB | 1. 9084850 |
| xxLog. de FC | = | 0. 9542425 |
| Somme des log. | = | 2. 8627275 |
| xxLog. de CG | = | 1. 2606675. le nombre qui y répond dans les tables est 18. |
| xxLog. deBC | = | 4000 EG = 1089 |
| xxLog. deCG | = | 1822 CG = 1822 |
| xxLog. deBG | = | 2178 CE = 2911 |
| xxLog. deBE | = | 1089 |
| xxLog. de AB | = | 3. 5563025 |
| Log. du sinus total | = | 10. 0000000 |
| xxLog. de EB | = | 3. 0370279 |
| Log. du sinus de EAB = 9. 4807254, le nombre qui y répond dans les tables est 17°. 36′. par conséquent l’angle ABE est de 72°. 14′. |||
| xxLog. de AC | = | 3. 6532125 |
| xxLog. du sinus total | xxLog. du sinus total | 10. 0000000 |
| xxxLog. de CE | = | 3. 4640422 |
| Log. du sinus total | Log. du sinus total | 9. 8108297 le nombre qui y répond dans les tables, est 40°. 18′. par conséquent ACE est de 49°. 42. & CAB est de 57°. 54. |

Solution des triangles rectangles sphériques par les regles communes. I. Dans un triangle rectangle sphérique deux parties quelconques étant données, outre l’angle droit, pour trouver le reste,

1°. il faut considérer si les parties dont il est question sont conjointes ou disjointes. Si les parties disjointes sont opposées l’une à l’autre, comme si l’hypothenuse BC & l’angle C, fig. 29. sont donnés ; pour trouver le côté opposé AB, voici quelle est la regle ; le sinus total est au sinus de l’hypothénuse BC, comme le sinus de l’angle C est au sinus du côté opposé AB.

2°. Si les parties disjointes ne sont point opposées l’une à l’autre, comme si AB & l’angle adjacent B sont donnés ; pour avoir l’angle opposé C, les côtés du triangle doivent être continués du même côté, jusqu’à ce qu’ils fassent des quarts de cercle, afin que par ce moyen vous ayez un nouveau triangle, dans lequel les parties dont il est question soient opposées mutuellement les unes aux autres ; comme dans le cas présent le triangle EBF, où nous avons le côté BF donné, qui est le complément du côté AB, & l’angle B pour EF, complément de l’angle C : voici donc la regles qu’il faut suivre. Le sinus total est au sinus de BF, comme le sinus de l’angle B est au sinus EF, ou co-sinus de C.

3°. Si l’hypothénuse ne se trouve point parmi les parties conjointes, comme lorsque les côtés AB & AC sont donnés, pour avoir un angle opposé à l’un des deux ; il faut dire le sinus de AC est au sinus total, comme la tangente de AB est à la tangente de C.

4°. Mais si l’hypothénuse se trouve parmi les parties conjointes, comme si l’hypothénuse BC & l’angle C sont donnés, pour trouver le côté adjacent AC ; les côtés du triangle doivent être continués du même côté, jusqu’à ce qu’ils fassent des quarts de cercle, afin que l’on ait un nouveau triangle, dans lequel l’hypothénuse ne se trouve point parmi les parties dont il est question ; par exemple, dans le cas présent EBF dans lequel sont donnés le complément EB de l’hypothénuse BC, le complément de l’angle C, & l’angle F complément du côté AC. Puis donc que dans le triangle E F B, l’hypothénuse n’entre pas dans la question, la regie est la même que ci-dessus : c’est-à-dire, que le sinus de EF ou co-sinus de C, est au sinus total, comme la tangente de EB, ou co-tangente de BC est la tangente de F ou co-tangente de AC.

5°. Quand les côtés d’un triangle doivent être continués, il n’importe de quel côté que ce soit, pourvu qu’il ne soit pas question d’un angle aigu, autrement les côtés doivent être continués par l’autre angle oblique : si les deux côtés sont dans la connexion, ils doivent être continués par l’angle adjacent au côté en question.

C’est ainsi qu’on peut toujours former un triangle, où l’on trouve par la regle des sinus ou des tangentes les parties que l’on cherche.

Solution des triangles rectangles sphériques par une regle universelle. Considérez, comme ci-dessus, si les parties dont il est question sont conjointes ou disjointes.

Si l’un des deux côtés, qui forment l’angle droit, ou même si ces deux côtés entrent dans la question, en leur place, il faut mettre parmi les données leur complément à un quart de cercle : alors, puisque, suivant la regle universelle, si connue dans cette Trigonométrie, le sinus total avec le sinus du complément de la partie moyenne, est égal aux sinus des parties disjointes, & aux co-tangentes des parties conjointes ; ôtez du total de ces choses données, la troisieme partie donnée, le reste sera quelque sinus ou tangente, & le côté ou l’angle qui y répond dans la table des logarithmes, est le côté ou l’angle que vous cherchez.

Comme la regle universelle ou générale est d’un grand secours dans la Trigonométrie, nous en ferons l’application à différens cas, & nous en apporterons des exemples qui dans les cas des parties conjointes & disjointes répandront aussi de la lumiere sur la méthode commune : mais dans les cas des parties contiguës, il faudra avoir recours à d’autres solutions.

1°. L’hypothénuse BC = 60ᵈ, & l’angle C = 23ᵈ. 30′. étant donnés ; trouver le côté opposé AB, fig. 22. puisque AB est la partie moyenne, C & BC sont parties disjointes, voyez Parties ; le sinus total, avec le co-sinus du complément AB, c’est-à-dire, avec le sinus même de AB, est égal aux sinus de C, & BC.

| C’est pourquoi si du sinus de C | 96006997 |
| - | - |
| & du sinus de BC | 99375306 |
| & du sinusSomme | 195382303 |
| Vous ôtez le sinus total | 100000000 |
| Reste le sinus de AB | 95382303 |

Le nombre qui y répond dans la table est 20ᵈ. 12′. 6″.

2°. L’hypothénuse BC = 60ᵈ. & la jambe A = 20ᵈ. 12′. 6″. étant données, trouver l’angle opposé C.

Il paroît par le problème précédent que de la somme du sinus total, & du sinus du côté AB, il faut ôter le sinus de l’hypothénuse BC. le reste est le sinus de l’angle C. de sorte qu’il est aisé de transformer le cas précédent en celui-ci.

3°. Le côté AB = 20ᵈ. 12′. 6″. & l’angle opposé C = 23ᵈ. 30′. étant donnés, trouver l’hypothénuse BC.

Il paroît par le premier exemple que de la somme du sinus total, & du sinus de AB, il faut ôter le sinus de l’angle C. le reste est le sinus de l’hypothénuse BC.

4°. L’hypothénuse BC = 60ᵈ. & un côté AB = 20ᵈ. 12′. 16″. étant donnés ; trouver l’autre côté.

Puisque BC est une partie moyenne, & que AB & AC sont des parties disjointes, le sinus total avec le co-sinus de l’hypothénuse B, sont égaux aux sinus des complémens, c’est-à-dire, aux co-sinus des côtés AB & AC.

| & C’est pourquoi du sinus total | 100000000 |
| - | - |
| & du co-sinus de BC | 96989700 |
| & du sinusSomme | 196989700 |
| soustrayez le co-sinus de AB | 99724279 |
| Reste le co-sinus de AC | 97265421 |

Le nombre qui y répond dans la table, est 32ᵈ. 11′. 34″. par conséquent AC est de 57ᵈ. 48′. 26″.

5°. Les côtés AC = 57ᵈ. 48′. 26″. & AB = 20ᵈ. 12′. 6″. étant donnés, trouver l’hypothénuse BC.

Il paroît, par l’exemple précédent, que le sinus total doit être ôté de la somme des co-sinus des côtés AB & AC ; le reste est le co-sinus de l’hypothénuse BC. par conséquent l’exemple ci-dessus s’applique aisément à celui-ci.

6°. Le côté AC = 57ᵈ. 48′. 26″. & l’angle adjacent C = 23ᵈ. 30′. étant donnés, trouver l’angle opposé B.

Puisque B est une partie moyenne, & que A & C sont des parties disjointes, le sinus total avec le co-sinus de B, est égal au sinus de C, & au sinus du complément, c’est-à-dire au co-sinus de AC.

| & C’est pourquoi du sinus de C = | 96006697 |
| - | - |
| & du co-sinus AC | 97265421 |
| & du sinusSomme | 193272418 |
| Otez le sinus total | 100000000 |
| Reste le co-sinus de B | 93272418 |

Le nombre qui y répond, dans la table, est 12ᵈ. 15′. 56″. par conséquent B est de 77ᵈ. 44′. 4″.

7°. Le côté AC = 57ᵈ. 48′. 26″. & l’angle opposé B = 77ᵈ. 44′. 4″. étant donnés, trouver l’angle adjacent C. Il paroît par l’exemple précédent que le co-sinus de AC, doit être soustrait de la somme du sinus total, & du co-sinus de B, le reste est le sinus de C, de sorte que l’exemple précédent s’applique aisément à celui-ci.

8°. Les angles obliques B = 77ᵈ. 44′. 4″. & C = 23ᵈ. 30′. étant donnés, trouver le côté AC adjacent à l’autre angle.

Il paroît par le sixiéme problème que le sinus de C, doit être ôté de la somme du sinus total, & du co-sinus de B, le reste est le co-sinus de AC. Le cas du sixieme problème s’applique aisément à celui-ci.

9°. Le côté AC = 57ᵈ. 48′. 26″. & l’angle adjacent C = 23ᵈ. 30′. étant donnés, trouver le côté opposé AB.

Puisque AC est une partie moyenne, & que C & AB sont des parties conjointes, le sinus total, avec le sinus de AC, est égal à la co-tangente de C, & à la tangente de AB.

| & C’est pourquoi du sinus total | 100000000 |
| - | - |
| & du sinus de AC | 99275039 |
| & du sinusSomme | 199275039 |
| Otez la cotangente de C | 103616981 |
| Reste la tangente de AB | 95658058 |

Le nombre qui y répond dans la table est 20ᵈ. 12′. 6″.

10°. Le côté AB = 20ᵈ. 12′. 6″. & l’angle opposé C = 23ᵈ. 30′. étant donnés, trouver le côté adjacent AC.

De la somme de la co-tangente de C & de la tangente de AB, ôtez le sinus total, le reste est le sinus de AC.

11°. Les côtés AB = 20ᵈ. 12′. 6″. & AC = 57ᵈ. 48′. 26″. étant donnés, trouver l’angle C, opposé à l’un des deux.

De la somme du sinus total & du sinus de AC, ôtez la tangente de BA, le reste est la co-tangente de C.

12°. L’hypothénuse BC = 60ᵈ. & l’angle oblique C = 23ᵈ. 30′. étant donnés, trouver le côté adjacent AC.

Puisque C est une partie moyenne, & que AB & AC sont des parties conjointes, le sinus total avec le co-sinus de C, sera égal à la co-tangente de AC.

| & C’est pourquoi du sinus total | 100000000 |
| - | - |
| & du co-sinus de C | 99623978 |
| & du sinusSomme | 199623978 |
| Otez la co-tangente de BC | 97614394 |
| Reste la tangente de AC | 102009584 |

Le nombre qui y répond dans les tables est 57ᵈ. 48′. 26″.

13°. Le côté AC = 57ᵈ. 48′. 26″. & l’angle adjacent C = 23ᵈ. 30′. étant donnés, trouver l’hypothénuse BC.

De la somme du sinus total & du co-sinus de C, ôtez la tangente de AC, le reste est la co-tangente de BC.

14°. L’hypothénuse BC = 60ᵈ. & le côté AC = 57ᵈ. 48′ 26″ étant donnés ; trouver l’angle adjacent C.

De la somme de la co-tangente de BC, & de la tangente de AC, ôtez le sinus total, le reste est le co-sinus de C.

15°. L’hypothénuse BC = 60ᵈ. & un angle C = 23ᵈ, 30′étant donnés, trouver l’autre angle B.

Puisque BC est la partie moyenne, & que B & e sont des parties disjointes, le sinus total avec le cosinus de BC sera égal aux co-tangentes de B & de C.

| & C’est pourquoi du sinus total. | 100000000 |
| - | - |
| Et du co-sinus de BC | 96989700 |
| & du sinusSomme | 196989700 |
| Otez la co-tangente de C | 103616981 |
| Reste de la co-tangente de B | 93372719 |

Le nombre qui y répond dans les tables est 12ᵈ. 15′ 56″, par conséquent B est de 77°. 44′ 4″.

16°. Les angles obliques B = 77ᵈ. 44′ 4″, & C = 23ᵈ. 30′étant donnés, trouver l’hypothénuse BC.

De la somme des co-tangentes de C & de B, soustrayez le sinus total ; le reste est le co-sinus de BC.

Solution des triangles obliquangles sphériques. 1°. Dans un triangle obliquangle sphérique ABC (Pl. Trigonom. fig. 30.) deux côtés AB & BC étant donnés conjointement avec un angle A opposé à l’un des deux ; trouver l’autre angle C. Voici la regle, le sinus du côté BC est au sinus de l’angle opposé A, comme le sinus du côté BA est au sinus de l’angle opposé C.

Supposez, par exemple, BC = 39ᵈ. 29.′. A = 43ᵈ. 20′. BA = 66ᵈ. 45′. Pour-lors on trouvera

| que le sinus de BC est | 98033572 |
| - | - |
| xxxxLe sinus de A | 98364771 |
| xxxxLe sinus de BA | 99632168 |
| | 197796936 |
| xxxxLe sinus de C | 99963367 |

Le nombre qui y répond dans les tables est 82ᵈ. 34′ 7″.

2°. Deux angles C = 82ᵈ. 34′ 7″ & A = 43ᵈ. 20′ avec le côté AB = 60ᵈ. 45′ opposé à l’un d’eux C étant donnés, trouver le côté BC opposé à l’autre angle A.

Il faut dire : le sinus de l’angle C est au sinus du côté opposé B, comme le sinus de l’angle A est au sinus du côté opposé BC. L’exemple précédent suffit pour l’intelligence de celui-ci.

3°. Deux côtés AB = 66ᵈ. 45 m. & BC = 39ᵈ. 29′ avec un angle opposé à l’un des deux A = 45ᵈ. 20′ étant donnés ; trouver l’angle B compris entre ces côtés ; supposez que l’angle C est aigu ; puisque l’autre angle A est pareillement aigu, la perpendiculaire BE tombe dans le triangle ; c’est pourquoi dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle A, & du côté AB donnés, on trouve l’angle ABE. Puisque BE sert comme de partie latérale dans le triangle AEB, l’angle EBC est une partie moyenne, & le côté BC est une partie conjointe.

Ce co-sinus de l’angle EBC se trouvera en ôtant la co-tangente de AB de la somme du co-sinus de l’angle ABE, & de la co-tangente de BC. Ainsi, en joignant ensemble les angles ABE & EBC, ou si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l’un de l’autre, vous trouverez l’angle en question.

| Par exemple, sinus total | 100000000 |
| - | - |
| Par Co-sinus de AB | 95963154 |
| Par exempleSomme | 195963154 |
| Par Co-tangente de A | 100252805 |
| Par Co-tangente de ABE | 95710349 |

Le nombre qui y répond dans les tables est 20ᵈ. 25′ 35″ par conséquent AB est de 69ᵈ. 34′ 25″.

| Par Co-sinus de ABE | 95428300 |
| - | - |
| Par Co-tangente de BC | 100141529 |
| Par exemple Somme | 196269829 |
| Par Co-tangente de AB | 96330085 |
| Par Co-sinus de EBC | 99938544 |

Le nombre qui y répond dans les tables est 80ᵈ. 24′ 26″ par conséquent ABC est de 79ᵈ. 9′ 57″.

4°. Deux angles A = 43ᵈ. 20′& B = 79ᵈ. 9′ 59″ avec le côté adjacent AB = 66ᵈ. 45′ étant donnés, trouver le côté B opposé à l’un des deux angles.

De l’un des angles donnés B, abaissez une perpendiculaire EB sur le côté inconnu AC ; &, dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle donné A & de l’hypoténuse AB, cherchez l’angle ABE ; lequel étant ôté de l’angle ABC, il reste l’angle EBC. Mais si la perpendiculaire tomboit au-dehors du triangle, en ce cas, il faudroit soustraire l’angle ABC de l’angle ABE ; parce que la perpendiculaire BE étant prise pour une des parties latérales, la partie moyenne dans le triangle A B E est l’angle B, & la partie conjointe est AB ; dans le triangle E B C, la partie moyenne est l’angle B, & la partie conjointe BC ; la co-tangente du côté BC se trouve en ôtant le cosinus de EBA de la somme de co-tangente de AB & du co-sinus de EBC. L’exemple du cas précédent s’applique aisément à celui-ci.

5°. Deux côtés AB = 66ᵈ. 45′& BC = 39ᵈ. 29′ avec l’angle A opposé à l’un ou à l’autre = 43ᵈ. 20′étant donnés, trouver le troisieme côté AC, abaissant, comme ci-dessus, la perpendiculaire BE, dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle donné, & de l’hypothénuse AB, vous trouverez le côté AE ; puisqu’en prenant B E pour une partie latérale dans le triangle AEB, AB est la partie moyenne, & AE la partie disjointe, & que dans le triangle BEC, BC est la partie moyenne, & EC la partie disjointe ; le cosinus de EC se trouve en ôtant le co-sinus de AB de la somme des co-sinus de AE & CB, de sorte qu’en joignant ensemble les segmens AE & EC, ou en cas que la perpendiculaire tombe hors le triangle en les ôtant l’un de l’autre, on trouvera le côté AC.

6°. Deux côtés AC = 65ᵈ. 30′ 46″ & AB = 66ᵈ. 45′ avec l’angle A = 43ᵈ. 20′ compris entre ces côtés, étant donnés, trouver le troisieme côté BC opposé à cet angle.

Abaissez la perpendiculaire BE, cherchez dans le triangle rectangle le segment AE, lequel étant ôté de AC, il vous reste EC. Si la perpendiculaire tombe au-dehors du triangle, il faut ôter AC de AE.

Puisqu’en prenant la perpendiculaire BE pour une partie latérale dans le triangle AEB, AB devient la partie moyenne, & AE la partie disjointe : & que dans le triangle E B C, C B est la partie moyenne, & EC la partie disjointe ; le co-sinus de BC se trouve en ôtant le co-sinus de AE, de la somme des co-sinus de AB & EC.

7°. Deux angles A = 43ᵈ. 20′& B = 79ᵈ. 9′ 59″ avec le côté CB = 39ᵈ. 29′ opposé à l’un ou l’autre de ces angles, étant donnés, trouver le côté AB adjacent à l’un & l’autre.

Abbaissez la perpendiculaire CD de l’angle inconnu C sur le côté opposé AB, & si cette perpendiculaire tombe dans le triangle, par le moyen de l’angle donné B, & de l’hypothénuse BC, cherchez dans le triangle rectangle BCD, le segment BD. Puisqu’en prenant la perpendiculaire CD pour une partie latérale dans le triangle C D B, D B est la partie moyenne, & l’angle B une partie conjointe ; & que dans le triangle C D A, A D est la partie moyenne, & l’angle A une partie conjointe ; le sinus du segment AD se trouve en ôtant la co-tangente de l’angle B de la somme du sinus de DB & de la co-tangente de l’angle A ; de sorte qu’en joinant ensemble les segmens AD & DB, ou, si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l’un de l’autre, le résultat sera du côté AB que vous cherchiez.

8°. Deux côtés AB = 66ᵈ. 45′. & BC = 39ᵈ. 29′. avec l’angle compris entre ces côtés = 79ᵈ. 9′. 59″. étant donnés, trouver l’angle A opposé à l’un ou à l’autre de ces côtés.

En abaissant la perpendiculaire CD, vous trouverez le segment BD, comme dans le problème précédent : ôtez ce segment de AB, reste AD. Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, AB doit être joint à DB : & comme en prenant la perpendiculaire CD pour une partie latérale dans le triangle CDB, BD est la partie moyenne, & l’angle B la partie conjointe ; & que dans le triangle CDA, AD est la partie moyenne, & l’angle A la partie conjointe ; la co-tangente de l’angle A se trouve en ôtant le sinus de DB de la somme de la co-tangente de l’angle B & du sinus AD.

9°. Deux angles A = 43ᵈ. 20′. & B = 79ᵈ. 9′. 59″. avec le côté adjacent AB = 76ᵈ. 45′. étant donnés, trouver l’angle C opposé à ce côté.

De l’un des angles donnés B abaisser la perpendiculaire BE, sur le côté opposé AC : dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle A donné, & de l’hypothenuse AB, vous trouverez l’angle ABE, lequel étant ôté de ABC, reste l’angle EBC.

Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, il faut ôter ABC de ABE. Puisqu’en prenant BE pour une partie latérale dans le triangle C E B, l’angle C est la partie moyenne, & l’angle CBE, la partie disjointe ; & que dans le triangle ABE, l’angle A est la partie moyenne & l’angle ABE la partie disjointe : le co-sinus de l’angle C se trouve en soustrayant le sinus de l’angle ABE de la somme du cosinus de l’angle A & du sinus de EBC.

10°. Deux angles A = 42ᵈ. 20′. & C = 82ᵈ. 34′. avec le côté BA = 66ᵈ. 45′. opposé à l’un de ces deux, étant donnés, trouver l’autre angle.

De l’angle cherché B, abaissez une perpendiculaire BE ; & dans le triangle rectangle AEB, par le moyen de l’angle donné A, & de l’hypothenuse BA, vous trouverez l’angle ABE, puisqu’en prenant la perpendiculaire EB pour une partie latérale dans le triangle ECB, l’angle C est la partie moyenne, & l’angle CEB la partie disjointe ; & que dans le triangle ABE, l’angle A est la partie moyenne, & l’angle ABE la partie disjointe : le sinus de l’angle EBC se trouve en soustrayant le co-sinus de A de la somme du co-sinus de C & du sinus de ABE, de-sorte qu’en joignant ensemble ABE & EBC ; ou si la perpendiculaire hors le triangle, en ôtant l’un de l’autre vous aurez pour résultat l’angle cherché ABC.

11°. Les trois côtés étant donnés, trouver un angle opposé à l’un de ces côtés.

I. Si un côté A C, fig. 16. est un quart de cercle, & que le côté AB soit plus petit qu’un quart de cercle, vous trouverez l’angle A ; prolongez AB jusqu’en F, & jusqu’à ce que AF soit égal à un demi-cercle ; du pole A tirez l’arc CF, qui coupe l’arc BF à angles droits en F. Puisque dans le triangle rectangle CBF, l’hypothénuse BC est donnée, & le côté FB, ou son complément AB, à un demi-cercle, vous trouverez la perpendiculaire CF, laquelle étant la mesure de l’angle CAB, donne par conséquent l’angle que vous cherchez.

II. Si l’un des côtés AC est un quart de cercle, & que l’autre côté AB soit plus grand qu’un quart de cercle, cherchez l’angle A : de AB ôtez le quart de cercle AD ; & du pole A décrivez l’arc CD, coupant l’arc AB à angles droits en D. Comme dans le triangle rectangle CDB, l’hypothénuse BC, & le côté DB, ou l’excès du côté AB sur le quart de cercle sont donnés, la perpendiculaire CD sera trouvée, comme ci-dessus, & cette perpendiculaire est la mesure de l’angle cherché A.

III. Si le triangle est isoscele, que BC = CF & l’angle ACF celui qu’on cherche ; coupez AF en deux parties égales au point D ; & par D & C faites passer l’arc de cercle DC. Puisque DC est perpendiculaire à AF, les angles A & F, ACD & DCF sont égaux ; par le moyen de l’hyothénuse AC & du côté AD donnés dans le triangle rectangle ACD, vous trouverez l’angle ACD, dont le double est l’angle cherché ACF ; & par les mêmes parties données on peut trouver l’angle A ou l’angle F.

IV. Si le triangle est scalène, & que vous cherchiez l’angle A, fig. 30. de C, abaissez la perpendiculaire CD, & cherchez la demi-différence des segmens AD & DB, en disant, la tangente de la moitié de la base AB est à la tangente de la moitié de la somme des côtés AC & CB, comme la tangente de leur demi-différence est à la tangente de la demi-différence des segmens AD & DB : ajoutez ensuite la demi-différence des segmens à la moitié de la base pour trouver le grand segment, & ôtez cette même demi-différence de la même moitié de la base pour trouver le petit segment, pour lors ayant trouvé dans le triangle rectangle CAD, l’hypothénuse AC & le côté AD, vous avez aussi l’angle cherché A. De la même maniere, dans l’autre triangle C D B, vous trouverez B par les parties données CB & DB.

12°. Les trois angles A, B & C étant donnés, trouver un des côtés quelconque.

Comme, au-lieu du triangle donné on peut en prendre un autre, dont les côtés soient égaux aux angles donnés, & les angles égaux aux côtés donnés, ce probleme se résout de la même maniere que le précédent. Chambers & Wolf. (E)

Triangle, s. m. en Astronomie, c’est un nom commun à deux constellations, l’une dans l’hémisphere septentrional, appellé simplement triangle ou triangle céleste, & l’autre dans l’hémisphere méridional, que l’on appelle triangle austral. Voyez Constellation.

Les étoiles qui composent le triangle septentrional, sont au nombre de quatre, suivant le catalogue de Ptolomée, autant dans celui de Tycho ; 24 dans le catalogue britannique.

Triangle différentiel d’une courbe, dans la haute Géométrie, c’est un triangle rectiligne rectangle, dont l’hypothénuse est une partie de la courbe, qui ne differe qu’infiniment peu d’une ligne droite. Voyez Courbe.

Supposons, par exemple, la demi-ordonnée pm, Pl. d’analyse, fig. 18. & une autre demi-ordonnée PM, qui en soit infiniment proche ; alors Pp sera la différentielle de l’abscisse, & abaissant une perpendiculaire MR = Pp, Rm sera la différentielle de la demi-ordonnée. Tirez donc une tangente T M, & l’arc infiniment petit Mm ne sera pas différent d’une ligne droite ; par conséquent MmR est un triangle rectiligne rectangle, & constitue le triangle différentiel de cette courbe. Voyez Tangente & Soutangente. Chambers. (O)

Triangle, (Arithmétique.) on appelle ainsi un triangle formé de la maniere suivante.

| 1 | 1 |
| - | - |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 |
| 1 | 6 | 15 | 20 |
| 1 | 7 | 21 |
| 1 | 8 | &c. |
| 1 | 9 |

La premiere colonne verticale renferme l’unité ; la seconde la suite des nombres naturels 2, 3, 4, 5, &c. la troisieme la suite des nombres triangulaires, 1, 3, 6, 10, &c. la quatrieme la suite des nombres pyramidaux, &c. Sur quoi voyez l’article Figuré ; voyez aussi Triangulaire, Pyramidal, &c. M. Pascal a fait un traité de ce triangle arithmétique. Les bandes horisontales sont les coefficiens des différentes puissances du binome. Sur quoi voyez Binome. (O)

Triangle, (Littérat.) cette figure géométrique a depuis long-temps servi de signe, de marque, ou de symbole à bien des choses différentes. Plutarque nous apprend que le philosophe Xénocrates comparoit la divinité à un triangle équilatéral, les génies au triangle isoscele, & les hommes au scalene. Les Chrétiens à leur tour employerent le triangle pour représenter la Trinité ; d’abord ils se servirent du simple triangle, mais dans la suite ils ajouterent au triangle quelques lignes, qui formoient une croix : c’est ainsi qu’on trouve des triangles diversement combinés sur les médailles des papes publiées par Bonanni. Au commencement de la découverte de l’Imprimerie, rien n’étoit plus commun que de graver ces sortes de figures au frontispice des livres ; ensuite elles devinrent de simples marques de correcteur d’Imprimerie, ou des symboles distinctifs dans le commerce. Enfin, elles ont passé aux emballeurs, qui marquent ainsi avec leur pinceau, toutes les balles de marchandises qui sont envoyées dans les provinces, ou qui doivent passer à l’étranger. (D. J.)

Triangle, (Fortification.) ouvrage dont les trois angles sont formés par des bastions coupés, ou des demi-bastions. (D. J.)

Triangle, (Marine.) sorte d’échafaud, qui sert à travailler sur les côtés du vaisseau. Il est composé de trois pieces ; d’un traversin ; d’une acore, qui pend de travers sur le traversin, & qui va s’appuyer sur le côté du vaisseau ; & d’un arcboutant, qui est attaché par une extrémité au bout du traversin, & qui, s’élevant par l’autre en-haut du vaisseau, est cloué à son côté.

Triangle, (Marine.) c’est le nom qu’on donne à trois barres de cabestan, qu’on suspend autour des grands mâts, quand on veut le racler.

Triangle, (Instrument d’ouvriers.) les Menuisiers, les Charpentiers, & quelques autres ouvriers, ont des instrumens à qui ils donnent le nom de triangle, & les spécifient néanmoins par quelque terme qui dénote leur usage. Le triangle onglé ou à onglet, n’est qu’une regle de bois de deux lignes d’épais, d’un pié de long, & de trois piés de large, dont l’une des extrémités, qui est coupée en angle de quarante-cinq degrés, est emboîtée dans un autre morceau de bois plus épais, qu’on nomme la joue. Il sert à tracer des angles réguliers, en appuyant la piece de bois contre la joue de l’instrument, & en tirant une ligne le long de la regle. Le triangle quarré est une vraie équerre, dont une des branches qu’on appelle la joue, qui est du triple plus épaisse que l’autre, a dans le milieu & tout le long de son épaisseur, une espece de languette. Il sert à tracer les pieces quarrées, en les appuyant sur la languette le long de la joue, & en tirant les lignes paralleles à l’autre branche. Pour éviter la multiplicité des instrumens, le sieur Hulin en a inventé un qui contient non-seulement ces deux triangles, mais encore une équerre, & ce qu’on appelle la piece quarrée ; mais les Anglois ont imaginé un autre instrument encore plus simple & plus parfait.

