Équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
# Équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

L'équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff est l'équation de l'équilibre hydrostatique en relativité générale.

Elle s'écrit :

    ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-\left(\rho c^{2}+p\right){\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} r}}$,

avec :

    ${\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} r}}={\frac {G}{c^{2}}}\left(m(r)+{\frac {4\pi r^{3}p(r)}{c^{2}}}\right){\frac {1}{r\left({\dfrac {r-2Gm(r)}{c^{2}}}\right)}}$,

soit :

    ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {G}{c^{2}}}\left(\rho c^{2}+p\right)\left(m(r)+{\frac {4\pi r^{3}p(r)}{c^{2}}}\right){\frac {1}{r\left({\dfrac {r-2Gm(r)}{c^{2}}}\right)}}$.

## Limite newtonienne

À la limite newtonienne (c'est-à-dire avec $m\ll r$ et $p\ll \rho c^{2}$), l'équation se réduit à :

    ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=--{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho$.

## Approximation post-newtonienne

À l'approximation post-newtonienne, l'équation $s'écrit^,$ :

    ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {p}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}p}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)$.

## Histoire

Les éponymes de l'équation sont Richard C. Tolman (1881-1948) de l'Institut de technologie de Californie, d'une part, et J. Robert Oppenheimer (1904-1967) et George M. Volkoff (1914-2000) de l'université de Californie à Berkeley, d'autre part : ils ont adressé leurs articles $respectifs^,$ à la Physical Review qui les a reçus le même jour, 3 janvier 1939, et les a publiés dans son même numéro du 15 février 1939.

