Mesure image
# Mesure image

En théorie de la mesure, la mesure image est une mesure définie sur un espace mesurable et transférée sur un autre espace mesurable via une fonction mesurable.

## Définition

On se donne deux espaces mesurables $\textstyle (X_{1},\Sigma _{1})$ et $\textstyle (X_{2},\Sigma _{2})$, une application mesurable $\textstyle f\colon X_{1}\rightarrow X_{2}$ et une mesure $\textstyle \mu \colon \Sigma _{1}\rightarrow [0,+\infty ]$. La mesure image de μ par f est une mesure sur $\textstyle \Sigma _{2}$ notée $\textstyle f_{\ast }\mu$ et définie par :

    $(f_{\ast }\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right){\text{ pour tout }}B\in \Sigma _{2}.$

Cette définition s'applique également aux mesures complexes signées.

## Formule de changement de variables

La formule de changement de variables est l'une des principales propriétés : Une fonction g sur $X_2$ est intégrable par rapport à la mesure image $f_*μ$ si et seulement si la fonction composée g∘ f est intégrable par rapport à la mesure μ. Dans ce cas les deux intégrales coïncident :

    $\int _{X_{2}}g~\mathrm {d} (f_{\ast }\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f~\mathrm {d} \mu .$

## Exemples et applications

* La mesure de Lebesgue naturelle sur le cercle unité $S^1,$ vu ici comme sous ensemble du plan complexe ℂ, n'est pas définie comme la mesure image de la mesure de Lebesgue λ sur l'ensemble des réels ℝ, mais de sa restriction, que nous noterons également λ, à l'intervalle [0, 2π[. Soit f : [0, 2π[ → $S^1$ la bijection naturelle définie par f(t) = $e^{it}.$ La mesure de Lebesgue sur $S^1$ est alors la mesure image $f_*λ.$ Cette mesure $f_*λ$ peut également être appelée mesure de longueur d'arc ou mesure d'angle, puisque la $f_*λ-mesure$ de l'arc $S^1$ est précisément la longueur de l'arc.
* L'exemple précédent s'étend pour définir la mesure de Lebesgue sur le tore n-dimensionnel $T^n.$ La mesure de Lebesgue sur $T^n$ est, à renormalisation près, la mesure de Haar sur le groupe de Lie compact connexe $T^n.$
* Une variable aléatoire est une application mesurable entre un espace probabilisé $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ et ℝ. La mesure de probabilité d'une variable aléatoire est la mesure image de ℙ par la variable aléatoire X :

    $\mathbb {P} _{X}=X_{\ast }\mathbb {P} =\mathbb {P} (X^{-1}(\cdot )).$
* Considérons la fonction mesurable f : X → X et la composition de f par elle-même n fois :

    $f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n{\text{ fois}}}\colon X\to X.$

Cette fonction itérative forme un système dynamique. Il est souvent utile de trouver une mesure μ sur X que l'application f laisse inchangée, ou mesure invariante (en), i.e. qui vérifie : $f_*μ$ = μ.

## Référence

* ↑ (en) V. I. Bogachev, Measure Theory, Springer, 2007, sections 3.6-3.7
