Transformation d'Aluthge
# Transformation d'Aluthge

En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, la transformation d’Aluthge est une opération définie sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert ; c'est un outil important pour étudier certaines classes d'opérateurs linéaires.

Soit $H$ un espace de Hilbert. On note $B(H)$ l'algèbre des opérateurs linéaires continus de $H$ dans lui-même.

## Théorème de la décomposition polaire

    Soient $T\in B(H)$, $T^{*}$ son opérateur adjoint et $|T|$ la racine carrée de l'opérateur $T^{*}T$. Il existe une unique isométrie partielle $U$ telle que $T=U|T|$ et $\ker(U)\supset \ker(T)$.

## Définition

Soient $T\in B(H)$ et $T=U|T|$ sa décomposition polaire. La transformation d'Aluthge de $T$ est l'opérateur $\Delta (T)$ défini par :

$\Delta (T)=|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}$

Plus généralement, pour tout nombre réel $\lambda \in [0,1]$, on appelle $\lambda$-transformation d'Aluthge de $T$ l'opérateur $\Delta _{\lambda }(T):=|T|^{\lambda }U|T|^{1-\lambda }\in B(H)$.

## Exemple

Pour deux vecteurs $x,y\in H$, on note $x\otimes y$ l'opérateur défini par : $\forall z\in H\quad x\otimes y(z)=\langle z,y\rangle x$. Un calcul élémentaire montre que si $y\neq 0$ alors $\Delta _{\lambda }(x\otimes y)=\Delta (x\otimes y)={\frac {\langle x,y\rangle }{\lVert y\rVert ^{2}}}y\otimes y$.

