Minimum saillant
# Minimum saillant

Un minimum saillant (sharp minimum en anglais) d'un fonction convexe $f$ définie sur un espace normé $\mathbb {E}$ à valeurs dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est un point ${\bar {x}}\in \mathbb {E}$ tel que

$\exists \,\alpha >0,\quad \forall \,x\in \mathbb {E} :\qquad f(x)\geqslant f({\bar {x}})+\alpha \|x-{\bar {x}}\|.$

On appellera $\alpha$ la saille de $f$. Un minimum saillant est bien sûr l'unique minimiseur de $f$ sur $\mathbb {E}$ et on peut utiliser ce concept pour caractériser l'unicité du minimiseur d'une fonction convexe polyédrique. Lorsqu'on s'éloigne d'un minimum saillant, $f$ croît avec une pente strictement positive (voir ci-dessous pour d'autres caractérisations de ce concept), si bien que cette notion est propre aux fonctions convexes non lisses.

Ce concept a été introduit par B.T. Polyak (1979) et a été étendu pour décrire un ensemble saillant de minimiseurs (qui n'est donc plus un singleton) par Burke et Ferris (1993).

## Caractérisation

La caractérisation suivante est reprise de Polyak (1987).

Caractérisation d'un minimum saillant — Soient $\mathbb {E}$ un espace euclidien, $f:\mathbb {E} \to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ une fonction convexe propre, $B$ la boule unité fermée de $\mathbb {E}$, ${\bar {x}}\in \mathbb {E}$, $\partial f({\bar {x}})$ le sous-différentiel de $f$ en ${\bar {x}}$ et $\alpha >0$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

* ${\bar {x}}$ est un minimum saillant de $f$, de saille $\alpha$,
* $\forall \,d\in \mathbb {E}$: $f'({\bar {x}};d)\geqslant \alpha \|d\|$,
* $\alpha B\subset \partial f({\bar {x}})$.
