Uplet
# Uplet

En mathématiques, un uplet (désigné aussi par liste , famille finie, ou suite finie) est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si n est un entier naturel, alors un n-uplet, ou n-uple, ou n-liste est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet.

En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).

Note : l'utilisation du terme anglais tuple, suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français.

## Définitions et propriétés

* Pour n > 0, si nous notons $a_1$ le premier élément, $a_2$ le deuxième élément, …, $a_n$ le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : $(a_1,a_2,…,a_n).$
* Le 0-uplet s'écrit $$.
* Un n-uplet ne peut être égal à un p-uplet qu'à la condition que n et p soient égaux.
* L'égalité des n-uplets se définit par

    $(a_1,a_2,…,a_n)$ = $(b_1,$ $b_2,…,b_n)$ si et seulement si $a_1$ = $b_1$ et $a_2$ = $b_2$ … et $a_n$ = $b_n.$

En résumé, un n-uplet dont les composantes sont dans un ensemble E est un élément du produit cartésien $E^{n}$.

* Si E est fini, l'ensemble $E^{n}$ des n-uplets dont les composantes sont dans E est fini. L'ensemble $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E^{n}$des uplets dont les composantes sont dans E est dénombrable.

## Cas particuliers

* un 2-uplet est appelé couple (ou doublet) ;
* un 3-uplet est appelé triplet ;
* un 4-uplet est appelé quadruplet ;
* un 5-uplet est appelé quintuplet ;
* un 6-uplet est appelé sextuplet ;
* etc.

## Exemples

* (1, 2) ≠ (2, 1).
* Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
* Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
* La n-ième puissance cartésienne $E^n$ d'un ensemble E est l'ensemble des n-uplets d'éléments de E.
* Plus généralement, le produit cartésien $E_1$ × … × $E_n$ de n ensembles $E_1,$ …, $E_n$ est l'ensemble des n-uplets $(a_1,a_2,…,a_n)$ où $a_1$ appartient à $E_1,$ …, $a_n$ appartient à $E_n.$
* De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
* Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
* Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
* En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, etc. de nombres premiers.
* En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets.
* Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.

## Formalisation

D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :

    $(a_1,$ $a_2,$ … $,a_n)$ = ((… $((a_1,$ $a_2),$ $a_3),$ … , $a_{n–1}),$ $a_n)$

(c'est-à-dire qu'un (n + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet). Autrement dit :

* ∅ est un 0-uplet
* si x = $(a_1,$ $a_2,$ … $,a_n)$ est un n-uplet, alors $(x,a_{n+1})$ est un (n+1)-uplet, et $(a_1,$ $a_2,$ … $,a_n,$ $a_{n+1})$ = (x, $a_{n+1}).$

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, …, n – 1} ou {1, …, n}.

