Série de Bell
# Série de Bell

En théorie des nombres, les séries de Bell sont des séries formelles utilisées pour étudier les propriétés des fonctions arithmétiques. Elles ont été introduites et développées par Eric Temple Bell.

## Définition

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell d'indice p de f :

$f_{p}(X)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})X^{n}.$

## Propriétés

* Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si (et seulement si), pour tout entier premier p, on a : $f_{p}(X)=g_{p}(X)$.
* Pour deux fonctions arithmétiques f et g,$f_{p}(X)g_{p}(X)=h_{p}(X),$où h est le produit de convolution de Dirichlet de f et de g.
* Si f est complètement multiplicative, alors :$f_{p}(X)={\frac {1}{1-f(p)X}}.$

## Exemples

Voici quelques fonctions arithmétiques usuelles et leurs séries de Bell :

* le neutre $δ_1$ pour la convolution de Dirichlet, i.e. la fonction caractéristique du singleton {1} : $(δ_1)_p(X)$ = 1,
* la fonction puissance k-ième $I_k$ (qui est complètement multiplicative) : $(I_{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-p^{k}X}},$
* la fonction de Möbius μ : $μ_p(X)$ = 1 – X,
* la fonction de Liouville λ : $λ_p(X)$ = 1/(1 + X),
* la fonction φ d'Euler : $\varphi _{p}(X)={\frac {1-X}{1-pX}},$
* la Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs $σ_k$ : $(\sigma _{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)X+p^{k}X^{2}}}.$
