Viscosité élongationnelle
# Viscosité élongationnelle

La viscosité élongationnelle est la viscosité apparaissant lorsqu’une contrainte élongationnelle est appliquée au fluide.

## Définition

Soit le champ de vitesse : ${\begin{cases}v_{x}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}x\\v_{y}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}y\\v_{z}={\dot {\epsilon }}z\end{cases}}$

Ce champ satisfait bien la condition d'incompressibilité ${\textrm {div}}{\vec {v}}=0$.

Le tenseur des déformations s'écrit :

$e={\dot {\epsilon }}{\begin{bmatrix}-1/2&0&0\\0&-1/2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

et le tenseur des contraintes est de la forme :

$\sigma =-p\delta +d$

où p est la pression et d le tenseur déviateur. Dans le cas d'un fluide newtonien, on a $d=2\eta e$, d'où

$\sigma ={\begin{bmatrix}-p-\eta {\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-p-\eta {\dot {\epsilon }}&0\\0&0&-p+2\eta {\dot {\epsilon }}\end{bmatrix}}$.

Pour un fluide quelconque, on définit la viscosité élongationnelle $\eta _{e}$ par :

$\eta _{e}={\frac {d_{zz}-d_{xx}}{\dot {\epsilon }}}$.

## Loi de Trouton

Pour un fluide newtonien, on montre que la viscosité élongationnelle vaut :

$\eta _{e}=3\eta$

où $\eta$ est la viscosité de cisaillement.

