Transgression (mathématiques)
# Transgression (mathématiques)

La transgression, en mathématiques, est un outil de la théorie de l'homologie, permettant de transférer les classes de cohomologie d’un espace à un autre même en l’absence de morphisme entre eux. Elle intervient, par exemple, dans la suite exacte de restriction-inflation en cohomologie des groupes et dans l'intégration le long des fibres d’un espace fibré. Elle apparaît aussi naturellement dans l’étude de la suite spectrale d'un groupe différentiel à filtration croissante.

## Suite exacte de restriction-inflation

La transgression apparait dans l'étude de la suite exacte de restriction-inflation, qui est une suite exacte en cohomologie des groupes.

Soit G un groupe, N un sous-groupe normal, et A un groupe abélien sur lequel G opère ; c'est-à-dire qu’il existe un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de A. Le groupe quotient G/N agit alors sur $A^N$ = { a ∈ A | ga = a pour tout g ∈ N}. La suite exacte de restriction-inflation est :

       0 → $H^1(G/N,$ $A^N)$ → $H^1(G,$ A) → $H^1(N,$ $A)^{G/N}$ → $H^2(G/N,$ $A^N)$ → $H^2(G,$ A).

La transgression est l'application $H^1(N,$ $A)^{G/N}$ → $H^2(G/N,$ $A^N).$

La transgression n'est définie pour un n donné supérieur à 1 :

    $H^n(N,$ $A)^{G/N}$ → $H^{n+1}(G/N,$ $A^N)$

que si $H^i(N,$ $A)^{G/N}$ = 0 pour i ≤ n – 1.

