Tau de Kendall
# Tau de Kendall

En statistique, le tau de Kendall (ou $\tau$ de Kendall) est une statistique qui mesure l'association entre deux variables. Plus spécifiquement, le tau de Kendall mesure la corrélation de rang entre deux variables. Elle est nommée ainsi en hommage à Maurice Kendall qui en a développé l'idée dans un article de 1938 bien que Gustav Fechner ait proposé une idée similaire appliquée aux séries temporelles dès 1897.

## Définition

Soit $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$ un ensemble d'observations des variables jointes $X$ et $Y$ tel que les valeurs des $(x_{i})$ et $(y_{i})$ sont uniques. Les paires d'observations $(x_{i},y_{i})$ et $(x_{j},y_{j})$ sont dites concordantes si $x_{i}<x_{j}$ et $y_{i}<y_{j}$ ou si $x_{i}>x_{j}$ et $y_{i}>y_{j}$. Elles sont dites discordantes si $x_{i}<x_{j}$ et $y_{i}>y_{j}$ ou si $x_{i}>x_{j}$ et $y_{i}<y_{j}$. Dans le cas où $x_{i}=x_{j}$ ou $y_{i}=y_{j}$, la paire n'est ni concordante ni discordante.

Le tau de Kendall est alors défini comme :

    $\tau ={\frac {({\text{nombre de paires concordantes}})-({\text{nombre de paires discordantes}})}{{\frac {1}{2}}\cdot n\cdot (n-1)}}.$

### Propriétés

Le dénominateur étant le nombre total de paires, la valeur de $\tau$ est comprise entre -1 et 1. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, il est attendu que la valeur de tau soit approximativement égale à zéro.

