Série de Lambert
# Série de Lambert

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de $(a_n)$ avec la fonction constante 1(n) = 1 :

$b_{m}=(a*{\mathbf {1} })(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}$

## Exemples

La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :

* la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératrice ordinaire de μ ✻ 1 = $δ_1$ :$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q$ ;
* celle de 1 est la série ordinaire de la fonction 1 ✻ 1 = $σ_0$ = d (nombre de diviseurs) :$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)$ ;
* plus généralement, celle de la fonction puissance $Id_a(n)$ = $n^a$ (où a est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction $Id_a$ ✻ 1 = $σ_a$ (somme des puissances a-ièmes des diviseurs) :$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)$ ;
* de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }m^{k}q^{m}$. En particulier,

    la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler φ = $J_1$ est : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }mq^{m}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}$

Les séries de Lambert dans lesquelles les $a_n$ sont des fonctions trigonométriques, par exemple, $a_n$ = sin(2nx), peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.

