Loi bêta décentrée
# Loi bêta décentrée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta décentrée est une loi de probabilité continue généralisant la loi bêta (sous-entendue centrée) en la décentrant grâce à un paramètre $\lambda$, c'est-à-dire en décalant sa moyenne.

## Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :

    $f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}$

où $B$ est la fonction bêta, $\alpha$ et $\beta$ sont les paramètres de forme et $\lambda$ est le paramètre de décentrement.

## Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :

    $F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)$

où $I_{x}$ est la fonction bêta incomplète régularisée, $a$ et $b$ sont les paramètres de forme et $\lambda$ est le paramètre de décentrement.

## Cas particuliers

Quand $\lambda =0$, la loi bêta décentrée est la loi bêta.

