Série de Puiseux
# Série de Puiseux

En mathématiques, les séries de Puiseux sont une généralisation des séries formelles, introduites pour la première fois par Isaac Newton en 1676 et redécouvertes par Victor Puiseux en 1850, qui permet à l'exposant de l'indéterminée d'être négatif ou fractionnel (tout en étant, pour une série donnée, borné inférieurement et de dénominateur borné).

## Définition

Une série de Puiseux d'indéterminée T est une série formelle de Laurent en $T^{1/n}$ (où n est un entier strictement positif) ; elle peut donc s'écrire :

    $\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}T^{i/n},$ avec k entier relatif.

Le corps K⟪T⟫ des séries de Puiseux à coefficients dans un corps K est la réunion de la famille des corps de séries de Laurent $K((T^{1/n}))$ (indexée par les entiers n > 0), en considérant $K((T^{1/n}))$ comme inclus dans $K((T^{1/(kn)}))$ pour tout multiple kn de n, par l'identification de $T^{1/n}$ avec $(T^{1/(kn)})^k.$

Plus formellement, K⟪T⟫ est la limite inductive d'une famille de corps de séries de Laurent notés $K((T_n)),$ les indices n ∈ ℕ* étant ordonnés par la divisibilité et chaque morphisme (injectif) $K((T_n))$ → $K((T_{kn}))$ de ce système inductif étant donné par $T_n$ ↦ $(T_{kn})^k.$

