Loi de Gauss-Kuzmin
# Loi de Gauss-Kuzmin

En théorie des probabilités, la loi de Gauss-Kuzmin est une loi de probabilité discrète à support infini qui apparaît comme loi de probabilité asymptotique des coefficients dans le développement en fraction continue d'une variable aléatoire uniforme sur $]0,1[$. Le nom provient de Carl Friedrich Gauss qui considéra cette loi en 1800, et de Rodion Kuzmin qui donna une borne pour la vitesse de convergence en $1929^,$ par l'intermédiaire de la fonction de masse :

    $p(k):=\mathbb {P} (X=k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.$

## Théorème de Gauss-Kuzmin

Soit $U$ une variable aléatoire uniforme sur $]0,1[$ et

    $U={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}$

son développement en fraction continue. Alors

    $\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.$

Ou de manière équivalente, en notant $U_{n}=1/(k_{n+1}+1/(k_{n+2}+\cdots ))~;$ alors

    $\Delta _{n}(s):=\mathbb {P} \left\{U_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)$

converge vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.

## Vitesse de convergence

En 1928, Kuzmin donne la borne

    $|\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})$.

En 1929, Paul Lévy l'améliore en majorant

    $|\Delta _{n}(s)|\leq C\,0{,}7^{n}$.

Plus tard, Eduard Wirsing (de) $montre^,$ que pour $\lambda =0{,}30366\dots$ (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing), la limite

    $\Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}$

existe pour tout $s\in [0,1]$, et la fonction $\Psi$ est analytique et satisfait $\Psi (0)=\Psi (1)=0$. D'autres bornes ont été établies par K. I. Babenko.

## Article connexe

* Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing
