Loi de Dagum
# Loi de Dagum

En théorie des probabilités et statistique, la loi de Dagum, ou loi à deux types de Dagum-Bernstein-Rafeh-Raja-Spencer, est une loi de probabilité continue à support [0,+∞[. Son nom est issu de Camilo Dagum qui l'introduisit dans une série d'articles dans les années $1970^,.$ La loi de Dagum apparait dans plusieurs variantes de nouveaux modèles de revenus des ménages.

Il existe également une loi de Dagum de type I à trois paramètres et une loi de Dagum de type II à quatre paramètres ; un résumé de ces types sont détaillés dans des ouvrages tels que (Kleiber, 2008) ou (Kleiber, 2003).

Si X suit une loi de Dagum, on notera $X\sim D(a,b,p)$.

## Définition

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type I) est donnée par :

    $F(x;a,b,p)={\begin{cases}{\left(1+{\left({\dfrac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

et où $a,b,p>0$ .

La densité de probabilité correspondante est donnée par

    $f(x;a,b,p)={\begin{cases}{\dfrac {ap}{x}}\left({\frac {\left({\frac {x}{b}}\right)^{ap}}{\left(\left({\frac {x}{b}}\right)^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

La loi de Dagum peut être obtenue à partir de la loi bêta généralisée de type II (elle-même généralisation de la loi bêta prime). Il y a également un lien entre la loi de Dagum et la loi de Burr :

    $X\sim D(a,b,p)\iff {\frac {1}{X}}\sim SM(a,{\tfrac {1}{b}},p)$.

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type II) ajoute une masse à l'origine et suit une loi de Dagum de type I sur le reste du support :

    $F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta ){\left(1+{\left({\frac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}.$

## Propriétés

La variance de la loi de Dagum est donnée par :

    ${\text{Var}}(X)={\begin{cases}-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2a{\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {2}{a}}\right)\,\Gamma \left({\frac {2}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}+\left({\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {1}{a}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{a}}+p\right)}{\Gamma (p)}}\right)^{2}\right)&{\text{si}}\ a>2\\[5pt]{\text{indéterminé}}&{\text{ sinon}}\ \end{cases}}$

où Γ est la fonction Gamma.

