Somme de Gauss
# Somme de Gauss

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs.

Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801.

Elles sont utilisées dans la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications. On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

## Définition

Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, $F_p$ le corps fini ℤ/pℤ et $F_p*$ le groupe multiplicatif de ses éléments non nuls.

   Soit ψ un caractère du groupe additif $(F_p,$ +) et χ un caractère du groupe multiplicatif $(F_p*,$ ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par :
   $G(\chi ,\psi )=\sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (x)\psi (x).$

En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe $G(χ^{−1},$ ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à $F_p$ par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe $G(χ^{−1},$ ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à $F_p*.$

## Propriétés

L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples.

   * Si m est un entier premier à p, alors$G(\chi ,\psi ^{m})={\frac {1}{\chi (m)}}G(\chi ,\psi ).$

   * Si les deux caractères χ et ψ sont non triviaux — c'est-à-dire non constamment égaux à 1 — alors$G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\chi (-1)p.$
* Si m est un entier premier à p, alors$G(\chi ,\psi ^{m})={\frac {1}{\chi (m)}}G(\chi ,\psi ).$En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :$G(\chi ,\psi ^{m})=\sum _{k\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (k)\psi (mk).$Par le changement de variable u = mk, on a donc bien :$G(\chi ,\psi ^{m})=\sum _{u\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (m)^{-1}\chi (u)\psi (u)={\frac {1}{\chi (m)}}G(\chi ,\psi ).$
* Si les deux caractères χ et ψ sont non triviaux, alors$G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\chi (-1)p.$En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :$G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\sum _{k,l\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (k)\psi (k)\chi (l)^{-1}\psi (l)=\sum _{k,l\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (kl^{-1})\psi (k+l).$Par le changement de variable u = $kl^{−1},$ on obtient :$G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\sum _{u\in F_{p}^{*}}\chi (u)\left(-1+\sum _{l\in \mathbb {F} _{p}}\psi ((u+1)l)\right).$Or la somme des valeurs du caractère additif l ↦ ψ((u + 1)l) est nulle sauf lorsque ce caractère est trivial, c'est-à-dire lorsque u = –1. On en déduit :$G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\left(-\sum _{u\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (u)\right)+\chi (-1)p.$De même, la somme des valeurs du caractère multiplicatif non trivial χ est nulle, ce qui termine la démonstration.

Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant :

   Si μ(a) désigne le symbole de Legendre (a/p) — égal à 1 si a est un carré dans $F_p*$ et à –1 sinon — alors, pour tout caractère ψ non trivial,
   $G(\mu ,\psi )^{2}=\left({\frac {-1}{p}}\right)p.$

## Applications

### Loi de réciprocité quadratique

La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair, distinct de p :

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}.$

Soit ψ un caractère additif non trivial de $F_p.$ Notons τ = G(μ, ψ) et ω = ψ(1). L'anneau ℤ[ω] contient τ ; calculons alors de deux façons la classe de $τ^{q–1}$ dans l'anneau quotient ℤ[ω]/qℤ[ω]. La formule du binôme de Newton et les diviseurs des coefficients binomiaux montrent que modulo q,

$\tau ^{q}\equiv \sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\mu (x)^{q}\psi (x)^{q}=\sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\mu (x)\psi ^{q}(x)=G(\mu ,\psi ^{q}).$

Or la première des deux propriétés des sommes de Gauss montre que

$G(\mu ,\psi ^{q})=\mu (q)^{-1}\tau =\left({\frac {q}{p}}\right)\tau$

et le corollaire de la seconde, joint aux propriétés du symbole de Legendre, que

$\tau ^{q-1}=\left(\tau ^{2}\right)^{\frac {q-1}{2}}=\left((-1)^{\frac {p-1}{2}}p\right)^{\frac {q-1}{2}}=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\equiv (-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}\left({\frac {p}{q}}\right){\pmod {q}}.$

On en déduit la congruence :

$(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}\left({\frac {p}{q}}\right)\equiv \left({\frac {q}{p}}\right){\pmod {q}}.$

Puisque les deux membres sont égaux à 1 ou –1 et que 2 est inversible mod q, cette congruence est une égalité.

### Somme quadratique de Gauss

   Pour toute racine p-ième de l'unité ω différente de 1, avec p premier
   $\left(\sum _{k=0}^{p-1}\omega ^{k^{2}}\right)^{2}=\left({\frac {-1}{p}}\right)p.$

Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif $F_p*$ composé des résidus quadratiques de $F_p*,$ $P_1$ la somme des valeurs de ψ sur H et $P_2$ la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans $F_p*.$ L'application de $F_p*$ dans H qui à tout élément associe son carré est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents ; en conséquence :

$\sum _{k=0}^{p-1}\omega ^{k^{2}}=1+\sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\psi (x^{2})=1+2P_{1}.$

Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du § « Propriétés » — la somme 1 + $P_1$ + $P_2$ de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure :

$\sum _{k=0}^{p-1}\omega ^{k^{2}}=1+2P_{1}=-P_{2}+P_{1}=G(\mu ,\psi ).$

Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration.

Plus généralement, Gauss a démontré en 1801 les égalités suivantes au signe près pour tout entier n > 0 :

$\sum _{k=0}^{n-1}\exp \left({\frac {2\pi {\rm {i}}k^{2}}{n}}\right)={\begin{cases}(1+{\rm {i}}){\sqrt {n}}&{\rm {si}}\ n\equiv 0\mod 4\\{\sqrt {n}}&{\rm {si}}\ n\equiv 1\mod 4\\0&{\rm {si}}\ n\equiv 2\mod 4\\{\rm {i}}{\sqrt {n}}&{\rm {si}}\ n\equiv 3\mod 4,\end{cases}}$

conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = exp(2πi/n), et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette $conjecture^,^,.$

