Réciprocité cubique
# Réciprocité cubique

En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.

## Notations

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

$z=a+b\omega$

où a et b sont des entiers relatifs et

$\omega ={\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}/3}$

est une racine cubique de l'unité complexe.

Si π est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et α un élément premier avec π, on définit le symbole résidu cubique $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\,$ comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de ω) satisfaisant

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\equiv \alpha ^{(P-1)/3}{\pmod {\pi }}.$

De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.

## Énoncé

Pour des nombres premiers primaires non associés π et θ, la loi de réciprocité cubique est :

$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}$

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier 1 – ω de norme 3 qui, pour π = 1 + 3(m + nω), sont :

$\left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{-m-n},\quad \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m}\quad {\rm {et}}\quad \left({\frac {3}{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{n}.$

