Constante d'Hermite
# Constante d'Hermite

En géométrie des nombres, la constante d'Hermite $γ_n,$ portant le nom du mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier n > 0. Étant donné un réseau L, on note $λ_1(L)$ la norme d'un plus court vecteur non nul de L. Alors $√γ_n$ est le maximum de $λ_1(L)$ sur tous les réseaux L de covolume 1 de l'espace euclidien $R^n.$

La constante d'Hermite est liée à la densité maximale $Δ_n$ d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation :

    $\gamma _{n}=4\left({\frac {\Delta _{n}}{V_{n}}}\right)^{2/n}$ où $V_{n}={\pi ^{n/2} \over \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}$ est le volume de l'hypersphère unité de dimension n, exprimé ici à l'aide de la fonction gamma.

La suite des $γ_n$ est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.

## Valeurs connues

La valeur exacte de $γ_n$ est connue seulement pour n ≤ 8 et n = $24^,.$

| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 24 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $γ_n^n$ | 1 | 4/3 | 2 | 4 | 8 | 64/3 | 64 | $2^8$ | $4^{24}$ |

La valeur $\gamma _{2}={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur $\gamma _{24}=4$ est atteinte par le réseau de Leech.

## Encadrement

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante $γ_n$ en fonction du volume $V_n$ de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et celui de Minkowski-Hlawka (en) pour la minoration :

    $V_{n}^{-2/n}<\left({\frac {2\zeta (n)}{V_{n}}}\right)^{2/n}\leqslant \gamma _{n}\leqslant 4V_{n}^{-2/n}$.

Le majorant $4V_{n}^{-2/n}$ est inférieur à n pour tout n et équivalent à ${\frac {2n}{\pi \mathrm {e} }}$ quand n tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de $V_n$ et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine :

    $\gamma _{n}\leq {\frac {1{,}744n}{2\pi \mathrm {e} }}+o(n)$.

La minoration (valide seulement pour n > 1) implique que $\gamma _{n}>{\frac {n}{2\pi \mathrm {e} }}$ pour n assez grand.

