Commutateur (théorie des groupes)
# Commutateur (théorie des groupes)

En théorie des groupes (mathématiques), le commutateur d'un couple (x,y) d'éléments d'un groupe G est, chez la plupart des auteurs, défini par

$\ [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy.$

Certains auteurs prennent pour définition

$\ [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}.$

Quelle que soit la définition adoptée, il est clair que x et y commutent si et seulement si [x, y] = 1.

Si A et B sont deux sous-groupes de G, on désigne par [A, B] le sous-groupe de G engendré par les commutateurs [a, b], a parcourant A et b parcourant B. Puisque les inverses des éléments de A sont exactement les éléments de A et que les inverses des éléments de B sont exactement les éléments de B, [A, B] ne dépend pas de la définition choisie pour les commutateurs.

Quelle que soit la définition choisie pour les commutateurs, [b, a] est l'inverse de [a,b], donc si A et B sont deux sous-groupes de G, [A, B] = [B, A].

Le sous-groupe [G, G] de G, autrement dit le sous-groupe de G engendré par les commutateurs d'éléments de G, est le groupe dérivé de G.

## Quelques faits

Dans ce qui suit, on adoptera la définition

$\ [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$

et, pour tous éléments x, y d'un groupe G, on notera

$\ x^{y}=y^{-1}xy.$

Donc $\ x^{y}$ est un conjugué de x et on a toujours

$\ (xy)^{z}=x^{z}y^{z}$

$\ x^{yz}=(x^{y})^{z}.$

$\ x^{yz}=(x^{z})^{y}.$

* Si A et B sont deux sous-groupes de G, alors [A, B] = 1 si et seulement si tout élément de A commute avec tout élément de B.
* Si f est un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe,$f([x,y])=[f(x),f(y)]$et$f([A,B])=[f(A),f(B)]$pour tous éléments x, y et tous sous-groupes A, B de G.
* En appliquant ceci à l'automorphisme intérieur $t\mapsto t^{z}$ de G, on obtient$\ [x,y]^{z}=[x^{z},y^{z}]$et$\ [A,B]^{z}=[A^{z},B^{z}]$pour tous éléments x, y et z et tous sous-groupes A, B de G. Il en résulte que si A et B sont deux sous-groupes distingués de G, [A, B] est lui aussi un sous-groupe distingué de G.
* Le même argument, appliqué à un automorphisme quelconque (non forcément intérieur) de G montre que si A et B sont des sous-groupes caractéristiques de G, alors [A, B] est lui aussi un sous-groupe caractéristique de G.
* Soient A et B deux sous-groupes de G. Pour que [A, B] soit contenu dans B, il faut et il suffit que A normalise B (c'est-à-dire soit contenu dans le normalisateur de B).
* Donc, si A et B se normalisent mutuellement (et en particulier s'ils sont tous deux distingués dans G), [A, B] est contenu dans $A\cap B$.
* En particulier, si A et B sont deux sous-groupes de G qui se normalisent mutuellement et dont l'intersection se réduit à l'élément neutre, alors tout élément de A commute avec tout élément de B.
* On vérifie par calcul que$\ [xy,z]=[x,z]^{y}[y,z]$et (par calcul ou par passage aux inverses dans la formule précédente, en notant que l'inverse de [a, b] est [b, a])$\ [z,xy]=[z,y][z,x]^{y}$
* La propriété précédente donne $\ [x,z]^{y}=[xy,z][y,z]^{-1},$ ce qui permet de prouver que si A et B sont deux sous-groupes de G, alors A et B normalisent tous deux [A, B], ce qui revient à dire que [A, B] est sous-groupe normal du sous-groupe <A, B> de G engendré par A et B.
* Soient H, K et L des sous-groupes normaux d'un groupe G. De la propriété $\ [xy,z]=[x,z]^{y}[y,z]$ et du fait que [H, L] est normal dans G, on tire [HK, L] = [H, L] [K, L], ce qui peut encore s'écrire [L, HK] = [L, H] [L,K].
* Identité de Hall-Witt :$\ [\ [x,y^{-1}],z]^{y}\ \ [\ [y,z^{-1}],x]^{z}\ \ [\ [z,x^{-1}],y]^{x}=1.$Cela se vérifie par un calcul mécanique. On peut abréger les calculs en notant que le premier facteur de l'identité peut s'écrire

    $\ [\ [x,y^{-1}],z]^{y}\ =T(x,z,y)^{-1}T(y,x,z),$où on pose:$\ T(a,b,c)=aba^{-1}ca.$Des expressions analogues des deux autres facteurs de l'identité de Hall-Witt s'obtiennent à partir de celle-ci par une permutation circulaire des variables et quand on multiplie les trois résultats membre à membre, chaque facteur T est détruit par le facteur $T^{-1}$ qui suit.
* Autre forme de l'identité de Hall-Witt. Dans l'identité de Hall-Witt ci-dessus, le premier facteur peut s'écrire:$\ [\ [x,y^{-1}],z]^{y}\ =[\ [y,x],z^{y}],$et par permutation circulaire des variables, on obtient des expressions analogues pour les deux autres facteurs. En faisant les remplacements dans l'identité de Hall-Witt puis en passant aux inverses en tenant compte que l'inverse de [a, b] est [b, a], et enfin en échangeant x et y, on trouve cette formule équivalente à l'identité de Hall-Wit :$\ [x^{y},[y,z]\ ]\ [y^{z},[z,x]\ ]\ [z^{x},[x,y]\ ]=1.$
* Si H, K et L sont des sous-groupes de G, le sous-groupe [ [H, K], L] de G n'est pas forcément engendré par les commutateurs [ [h,k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.
* En revanche, si chacun de ces commutateurs [ [h,k], l] est égal à 1, alors [ [H, K], L] = 1. (En effet, chaque commutateur [h, k] avec h dans H et k dans K appartient alors au centralisateur de L, donc le sous-groupe [H, K] de G engendré par ces commutateurs est contenu dans le centralisateur de L.)
* Lemme des trois sous-groupes (forme particulière) Si H, K et L sont des sous-groupes de G, si [ [H,K], L] = 1 et [ [K, L], H] = 1, alors [ [L, H], K] = 1. Cela se déduit de l'identité de Hall-Witt et de la remarque précédente.
* Lemme des trois sous-groupes (forme générale) Si H, K et L sont des sous-groupes de G, si N est un sous-groupe distingué de G, si $[[H,K],L]\leq N$ et $[[K,L],H]\leq N$, alors $[[L,H],K]\leq N$.

On déduit cette forme générale de la forme particulière en passant (dans les hypothèses de la présente forme générale) aux images par l'homomorphisme canonique de G sur G/N et en se rappelant que, comme noté plus haut, f([A,B]) = [f(A), f(B)] pour tous sous-groupes A, B de G et pour tout homomorphisme f partant de G.

* Corollaire du lemme des trois sous-groupes. Si H, K et L sont des sous-groupes distingués de G, alors$\ [\ [L,H],K]\leq [\ [H,K],L]\ [\ [K,L],H].$En effet, $\ [\ [H,K],L]\ [\ [K,L],H]$ est alors un sous-groupe distingué de G et on obtient facilement l'énoncé en posant $\ N=[\ [H,K],L]\ [\ [K,L],H]$ dans la forme générale du lemme des trois sous-groupes.
* Ce corollaire du lemme des trois sous-groupes permet de démontrer certaines propriétés de la suite centrale descendante d'un groupe.

## Exemple

Dans le groupe du cube de Rubik, un commutateur échange deux cubes par exemple. Si maintenant on veut échanger deux cubes à un autre endroit, on prendra le conjugué d'un tel commutateur. Par exemple, les cubeurs connaissent bien l'algorithme FRUR'U'F' = $[R,U]^F.$

