Bialgèbre
# Bialgèbre

En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.

## Définition

Si $k$ est un corps, une bialgèbre est un $k$-espace vectoriel $B$ muni de quatre applications linéaires :

* un produit $\mu :B\otimes B\longrightarrow B$,
* une unité $\eta :k\longrightarrow B$,
* un coproduit $\Delta :B\longrightarrow B\otimes B$,
* une counité $\epsilon :B\longrightarrow k$.

telles que $(B,\mu ,\eta )$ soit une algèbre et $(B,\Delta ,\epsilon )$ une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

* $\Delta$ et $\epsilon$ sont des morphismes d'algèbres.
* $\mu$ et $\eta$ sont des morphismes de coalgèbres.

## Motivations

La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.

