Constante de Mills
# Constante de Mills

En mathématiques, la constante de Mills est définie comme étant le plus petit nombre réel A tel que la partie entière de A$$^{3^n}$$ soit un nombre premier, pour tout entier n strictement positif. Sous l'hypothèse de Riemann,

$A=1{,}30637788386\ldots$

## Théorème de Mills

   Il existe un nombre réel A, la constante de Mills, tel que, pour tout entier n > 0, la partie entière de $A^{3n}$ soit un nombre premier.

Ce théorème a été démontré en 1947 par le mathématicien William H. Mills ; par la suite, plusieurs mathématiciens ont calculé le plus petit A convenable en supposant qu’il y a toujours un nombre premier entre deux cubes consécutifs, ce qui est une conséquence de l'hypothèse de Riemann.

## Nombres premiers de Mills

Les nombres premiers générés par la constante de Mills sont appelés les nombres premiers de Mills. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, cette suite $(f_n)$ est :

    2, 11, 1 361, 2 521 008 887, 16 022 236 204 009 818 131 831 320 183, etc. (suite A051254 de l'OEIS),

ou encore : $f_{n+1}$ = $f_n^3$ + $b_n$ où la suite $(b_n)$ est :

    3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3 636, 70 756, 97 220, 66 768, 300 840, etc. (suite  A108739).

## Plancher et plafond

Une analogue de la formule de Mills peut être obtenue en remplaçant la fonction plancher par la fonction plafond. En effet, Tóth a montré en 2017 que la fonction définie par

    $\lceil A^{r^{n}}\rceil$

est également génératrice de nombres premiers pour $r>2,106\ldots$. Pour le cas $r=3$, la valeur de la constante $A$ commence par 1,24055470525201424067... Les nombres premiers générés sont alors:

    $2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots$
