Bicommutant
# Bicommutant

En algèbre, le bicommutant d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée $X'$, son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : $X''$.

## Propriétés

Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :

* le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
   * $X\subset X''$
   * $X\subset Y\Rightarrow X''\subset Y''$
   * $(X'')''=X''~$
* $X'''=X'~$, cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de

    $X\subset X''\Rightarrow (X'')'\subset X'$ et de $X'\subset (X')''$.

On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :

    $X\subset X''=X''''=X''''''=\ldots =X^{2n}=\ldots$
    $X'=X'''=X'''''=\ldots =X^{2n-1}=\ldots$

pour tout entier n ≥ 1.

## Note et référence

* ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.8.
