Coordonnées de Painlevé-Gullstrand
# Coordonnées de Painlevé-Gullstrand

Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour étudier la métrique de Schwarzschild.

## Coordonnées

Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont notées cT, r, θ, φ.

La coordonnées de temps (T) est le temps propre mesuré par un observateur en chute libre radiale depuis l'infini et sans vitesse initiale. Elle est reliée à la coordonnée de temps (t) de Schwarzschild par :

    $cT=ct+2R_{\mathrm {S} }\left[{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}+{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}-1}{{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}+1}}\right)\right]$,

où :

* $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
* $R_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$ est le rayon de Schwarzschild, où $G$ et $M$ sont respectivement la constante de Newton et la masse ;
* $\ln$ est le logarithme naturel.

Les trois coordonnées d'espace (r, θ, φ) sont celles (r, θ, φ) de Schwarzschild.

## Métrique

En coordonnées de Painlevé-Gullstrand, la métrique de Schwarzschild s'écrit :

    $\mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} T^{2}+\left(\mathrm {d} r+{\sqrt {\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}}c\mathrm {d} T\right)^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$,

où :

* $R_{\mathrm {S} }$ est le rayon de Schwarzschild ;
* $\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}$

En unités géométriques, elle s'écrit :

    $\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\left(\mathrm {d} r+{\sqrt {\frac {2m}{r}}}\mathrm {d} T\right)^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$,

où, par définition, $c=1$, $G=1$ et $m=GMc^{-2}$

## Histoire

Les éponymes des coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont le mathématicien et homme politique français Paul Painlevé (1863-1933) et le physicien et ophtalmologue suédois Allvar Gullstrand (1862-1930).

Leur intérêt est qu'historiquement, il s'agit du premier système de coordonnées découvert grâce auquel la métrique de Schwarzschild n'est pas singulière en $r=2GMc^{-2}$.

