Constante de Gelfond
# Constante de Gelfond

En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant $e^π,$ c'est-à-dire e à la puissance π.

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres –1 (différent de 0 et 1) et –i (non rationnel) sont algébriques, or

    ${\rm {e}}^{\pi }=({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi })^{-{\rm {i}}}=(-1)^{-{\rm {i}}}$

(En considérant, la détermination principale de l'argument).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, $2^{√2}.$

## Valeur numérique

Sous forme décimale, la constante est égale à

    ${\rm {e}}^{\pi }\approx 23,140692632.$

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

    $k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}}}}}$

où $k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Après N itérations, l'approximation est donnée par

    $\left({\frac {k_{N}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{N}}}.$

## Développement décimal remarquable

Le nombre

    ${\rm {e}}^{\pi }-\pi =19,99909998\ldots$

est un nombre presque entier.

