Constante de Foias
# Constante de Foias

En analyse mathématique, la constante de Foias est l'unique réel α > 0 tel que la suite définie par récurrence par

    $x_{1}=\alpha \quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}$

ait pour limite l'infini.

## Précisions

Une démonstration de l'existence et de l'unicité de ce réel a été proposée dans l'énoncé du concours général 2020 de mathématiques.

Ce réel, pour lequel on ne connaît pas de formule explicite, admet pour valeur approchée $1{,}187$.

La suite $(x_{n})$ correspondante est équivalente à $\left({\frac {n}{\ln n}}\right)$ donc aussi (mais c'est un hasard) à $\left(\pi (n)\right)$, où π est la fonction de compte des nombres premiers.

## Anecdote

On peut considérer que cette constante a été obtenue par sérendipité. En effet, l'étude de cette question vient d'une coquille dans un énoncé plus simple : une suite $(x_{n})$ telle que

    $x_{1}>0\quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{x_{n}}$

peut-elle tendre vers l'infini ?

La réponse est « non », car toutes les suites de cette forme convergent vers la racine (qui vaut approximativement $2{,}293$) de l'équation $x=\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$. Un autre argument consiste à remarquer que $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\mathrm {e} \neq +\infty$.

