Approximation des régimes quasi stationnaires
# Approximation des régimes quasi stationnaires

En électromagnétisme, l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS, on parle aussi d'ARQP pour « permanents » au lieu de « stationnaires ») consiste à considérer comme négligeable le temps de propagation des ondes électromagnétiques (OEM) devant la période du signal.

Ainsi, pour une onde électromagnétique sinusoïdale de période temporelle T et de période spatiale $\lambda$, telle que $\lambda =c.T$ (où $c$ désigne la vitesse de l'onde), et pour un observateur situé à une distance $D$ d'un point quelconque du circuit, on est dans le cadre de l'ARQS si $D\ll \lambda .$

## Exemples

Soit un émetteur grandes ondes de fréquence $f=180\ \mathrm {kHz}$ ($T=5{,}6\ \mu \mathrm {s}$).

* Soit un récepteur situé à une distance $D=10\ \mathrm {cm}$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera $\Delta t=D/c=0{,}33\ \mathrm {ns}$. $\Delta t\ll T,$ donc l'approximation est valable.
* Soit un récepteur situé à une distance $D=1\ \mathrm {km}$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera $\Delta t=D/c=3{,}3\ \mu \mathrm {s}$. $\Delta t$ n'est plus du tout négligeable devant $T$, l'approximation n'est donc plus valable.

## Conséquence dans l'écriture des équations de Maxwell

L'équation de Maxwell-Ampère :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {B}}=\mu _{0}{\overrightarrow {j}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}$

en régime variable, donne le rotationnel du vecteur champ magnétique comme une somme de deux termes.

Or, dans l'ARQS (c'est-à-dire quand la fréquence est assez faible pour une dimension de circuit donnée), le second terme $\varepsilon _{0}\mu _{0}{\tfrac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}$ est en général négligeable devant le premier $\mu _{0}{\overrightarrow {j}}$ (l'exception la plus courante concerne l'espace inter-armatures d'un condensateur, dans lequel ${\overrightarrow {j}}$ est nul).

L'équation de Maxwell-Ampère devient

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {B}}=\mu _{0}{\overrightarrow {j}}$

## Conséquence pratique : loi des nœuds ou première loi de Kirchhoff

Si on applique l'opérateur divergence à l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

$\mathrm {div} {\bigl{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {B}}{\bigr )}=\mathrm {div} (\mu _{0}{\overrightarrow {j}})$

Ce qui, selon les règles de l'analyse vectorielle, donne :

$\mathrm {div} {\overrightarrow {j}}=0$

On applique ensuite le théorème de Green-Ostrogradski :

$\iiint _{V}\mathrm {div} {\overrightarrow {j}}\cdot \mathrm {d} \tau =\oiint _{S}{\overrightarrow {j}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}\ =I_{\text{à travers la surface fermée}}=0$

La somme algébrique des intensités passant par un nœud est donc nulle. Ainsi, la loi des nœuds reste valable dans l'approximation des régimes quasi stationnaires.

