J (nombre complexe)
# J (nombre complexe)

En mathématiques, on définit le nombre complexe j comme l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est strictement positive.

${\rm {j}}=\exp \left({\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}\right)=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}},$ où exp désigne l'exponentielle complexe.

Le nombre j ne doit pas être confondu avec l'unité imaginaire i qui est souvent notée j en physique (pour mieux la distinguer de l'intensité électrique dont le symbole est i).

## Propriétés

Le nombre j possède certaines propriétés remarquables :

* comme toute racine de l'unité, son module vaut 1, autrement dit : son conjugué est égal à son inverse (donc à $j^2)$ ;
* les racines cubiques de l'unité sont 1, j et $j^2$ ; leur somme est nulle car j est racine du polynôme $X^3$ – 1 = (X – $1)(X^2$ + X + 1) ;
* dans le plan complexe, les trois points d'affixes 1, j et $j^2$ forment un triangle équilatéral ;
* le calcul de $j^3$ ramène par définition à $j^3$ = 1.

## Application au calcul des racines cubiques

Tout nombre complexe non nul possède exactement trois racines cubiques. Si z est l'une d'entre elles, alors les deux autres sont j z et $j^2z.$

