Irréductibilité
# Irréductibilité

En mathématiques, les termes « irréductibilité » et « irréductible » ont de multiples sens.

* Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
* En algèbre générale, « un irréductible » peut être une expression abrégée pour « un élément irréductible », comme un polynôme irréductible. Le théorème d'irréductibilité de Hilbert assure que pour tout ensemble fini de polynômes irréductibles dans $ℚ[X_1,$ … , $X_r,$ $Y_1,$ … , $Y_s],$ il existe des valeurs rationnelles par lesquelles on peut remplacer $X_1,$ … , $X_r$ tout en préservant l'irréductibilité de tous ces polynômes.
* En théorie des représentations, une représentation irréductible est une représentation non nulle dont toute sous-représentation propre est nulle. De même, « module irréductible » est un autre nom pour : module simple.
* Un espace irréductible est un espace topologique non vide X qui n'est pas réunion de deux fermés strictement inclus dans X. Cette notion est bien plus utilisée en géométrie algébrique – les variétés algébriques étant munies de la topologie de Zariski – qu'en topologie générale, car les seuls espaces séparés irréductibles sont les singletons.
* Absolument irréductible (en) signifie, pour une représentation ou pour une variété algébrique : irréductible même après avoir remplacé le corps des coefficients par une extension finie ou, ce qui est équivalent, irréductible quand on remplace le corps par sa clôture algébrique.
* En algèbre commutative, un anneau irréductible est un anneau commutatif dont le spectre est un espace topologique irréductible.
* Une matrice irréductible est une matrice qui n'est pas conjuguée par permutation à une matrice triangulaire par blocs avec au moins deux blocs diagonaux.
* Un graphe orienté irréductible est un graphe fortement connexe, ce qui équivaut à ce que sa matrice d'adjacence soit irréductible.
* Une chaîne de Markov est dite irréductible si tous ses états communiquent.
* Une variété de dimension n (PL (en) ou différentielle) est dite irréductible si toute (n – 1)-sphère plongée y borde une n-boule plongée. (Ce vocabulaire, cher aux spécialistes des 3-variétés – cf. Théorème de décomposition de Milnor – peut prêter à confusion quand on le confronte à celui des algébristes. En effet, une variété de dimension n est dite indécomposable (en) – en anglais : prime – si elle n'est ni la sphère $S^n,$ ni une somme connexe de deux variétés différentes de $S^n.$ Ainsi, toute variété irréductible est indécomposable mais la réciproque est fausse, alors qu'en algèbre c'est « l'inverse » : tout élément premier d'un anneau intègre est irréductible et la réciproque est fausse.) Une 3-variété M est dite $P^2-irréductible$ si elle est irréductible et s'il n'existe aucun plongement bilatère (en) du plan projectif réel dans M.
* En algèbre universelle, une variété irréductible est une structure algébrique qui n'est pas produit de structures plus simples.
