Groupe profini
# Groupe profini

En théorie des groupes, un groupe profini est un groupe topologique obtenu comme limite projective de groupes finis discrets. La notion de groupe profini est particulièrement utile en théorie de Galois, pour pouvoir travailler avec des extensions infinies.

Comme plus généralement en théorie des catégories, cette limite projective est uniquement définie à unique isomorphisme près. Elle peut être interprétée comme objet final d'une bonne catégorie.

## Exemples

Pour tout nombre premier p, le groupe additif de l'anneau $\mathbb {Z} _{p}=\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ des entiers p-adiques est profini, comme limite projective de groupes cycliques finis. Ce groupe est en fait le pro-p-complété du groupe des entiers relatifs.

En particulier, les entiers relatifs peuvent être vus comme des éléments de ce groupe profini : tout entier peut s'écrire comme une somme finie $\alpha =\sum _{i}a_{i}p^{i},$ avec $a_i$ inférieur à p. On pose alors $\alpha _{n}=\sum _{i\leq n}a_{i}p^{i}$.

On peut de même construire le complété profini ${\hat {\mathbb {Z} }}$ du groupe des entiers relatifs en considérant le système projectif formé à partir de tous les $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$.

## Topologie

Par le théorème de Tychonov, on constate qu'un groupe profini est compact pour la topologie initiale, chacun des groupes finis du système projectif étant muni de la topologie discrète.

On a en fait la caractérisation suivante :

   Les groupes profinis sont les groupes compacts totalement discontinus, ou encore : les groupes compacts de dimension zéro.

## Théorie de Sylow

Les groupes profinis ont une structure suffisamment proche de celle des groupes finis pour que la théorie de Sylow s'y énonce de manière analogue au cas classique ; la démonstration se faisant par un simple passage à la limite.

## Théorie de Galois

Le groupe de Galois d'une extension de corps infinie admet une structure naturelle de groupe profini: en effet, ses quotients finis (qui correspondent via la correspondance de Galois aux sous-extensions finies de l'extension considérée) munis de leur topologie discrète forment, avec les morphismes canoniques entre eux, un système projectif de groupes topologiques, dont ledit groupe est isomorphe à celui sous-jacent à la limite.

Le cas du pro-p-complété $\mathbb {Z} _{p}$ de $\mathbb {Z}$ apparaît notamment en théorie d'Iwasawa.

