Application transposée
# Application transposée

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire u : E → F entre deux espaces vectoriels est l'application $^tu$ : F* → E* entre leurs duals définie par :

$\forall \ell \in F^{*},\qquad ^{\operatorname {t} }\!u(\ell )=\ell \circ u$

ou encore, si $\langle \;,\ \rangle$ est le crochet de dualité de E :

$\forall x\in E,\forall \ell \in F^{*},\qquad \langle ^{\operatorname {t} }\!u(\ell ),x\rangle =\langle \ell ,u(x)\rangle .$

La forme linéaire résultante $^{\operatorname {t} }\!u(\ell )\in E^{*}$ est nommée application transposée de $\ell$ le long de $u$.

Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encore un module à droite sur l'anneau opposé $K^{op}.$

## Propriétés

* L'application $^tu$ ainsi associée à u est, comme elle, linéaire.
* L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaire, de L(E, F) dans L(F*, E*).
* $ker(^tu)$ = (im $u)^⊥$ (donc $^tu$ est injective si et seulement si u est surjective) et $im(^tu)$ = (ker $u)^⊥$ (donc $^tu$ est surjective si et seulement si u est injective).
* L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G,$^{\operatorname {t} }\!(v\circ u)=^{\operatorname {t} }\!u\circ ^{\operatorname {t} }\!v.$(Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.)
* Pour toutes parties A de E et B de F, on a $[u(A)]^⊥$ = $(^tu)^{−1}(A^⊥),$ et u(A) ⊂ B ⇒ $^tu(B^⊥)$ ⊂ $A^⊥.$
* Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif, de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C :$mat_{C^{*},B^{*}}(^{\operatorname {t} }\!u)=^{\operatorname {t} }\!(mat_{B,C}(u)).$En effet, si B = $(e_1,$ …, $e_n)$ et C = $(f_1,$ …, $f_m),$ l'élément d'indices i,k de la matrice $mat_{C*,B*}(^tu)$ est $〈^tu(f_k*),$ $e_i〉$ et l'élément d'indices k,i de la matrice $mat_{B,C}(u)$ est $〈f_k*,$ $u(e_i)〉.$
* Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule $^t(AB)$ = $^tB.^tA.$

## Application transposée en général

La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application $f$ entre deux ensembles :

$f:X\rightarrow Y$.

On en déduit pour tout ensemble $Z$ une application $f^{*}$ :

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Ensemble}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Ensemble}(X,Z)$

définie par $f^{*}(g)=g\circ f$ où $\mathrm {Hom} _{Ensemble}(A,B)$ désigne l'ensemble $B^{A}$ des applications de $A$ dans $B$.

Si $X$, $Y$ et $Z$ sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Groupe}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Groupe}(X,Z)$

où cette fois $\mathrm {Hom} _{Groupe}(A,B)$ désigne l'ensemble des morphismes de groupes de $A$ dans $B$.

On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espaces topologiques, d'espaces vectoriels topologiques, etc.

Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories.

Si ${\mathfrak {C}}$ est une catégorie $X$, $Y$ sont des objets de ${\mathfrak {C}}$ et $f$ est un élément de $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Y)$. Alors pour tout objet $Z$ de ${\mathfrak {C}}$, il existe une application $f^{*}$ appelée transposée de $f$ :

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Z)$.

C'est l'image $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(f,Z)$ de $f$ par le foncteur Hom contravariant $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(\cdot ,Z)$ de ${\mathfrak {C}}$ dans la catégorie $\mathrm {Ens}$ des ensembles.

