Groupes de Conway
# Groupes de Conway

En mathématiques, les groupes de Conway $Co_1,$ $Co_2$ et $Co_3$ sont trois groupes sporadiques découverts par John Horton Conway en 1968. Tous sont intimement liés au réseau de Leech Λ.

Le plus grand, $Co_1,$ d'ordre 4 157 776 806 543 360 000, est obtenu en quotientant le groupe des automorphismes de Λ par son centre, qui est constitué des matrices scalaires ±1.

Les groupes $Co_2$ (d'ordre 42 305 421 312 000) et $Co_3$ (d'ordre 495 766 656 000) sont constitués des automorphismes de Λ fixant un vecteur de réseau de type 2 et un vecteur de type 3 respectivement. (Le type d'un vecteur est égal à la moitié du carré de sa norme vˑv). Comme le scalaire –1 ne fixe aucun vecteur non nul, ces deux groupes peuvent être considérés comme des sous-groupes de $Co_1.$

## Autres groupes sporadiques

Les groupes $Co_2$ et $Co_3$ sont contenus tous deux dans le groupe de McLaughlin McL (en) (d'ordre 898 128 000) et le groupe de Higman-Sims (d'ordre 44 352 000), qui peuvent être décrits comme les stabilisateurs d'un triangle de type 2-2-3 et 2-3-3, respectivement.

En identifiant $ℝ^{24}$ avec $ℂ^{12}$ et Λ avec $(ℤ[e^{2iπ/3}])^{12},$ le groupe d'automorphisme résultant, i.e., le groupe des automorphismes du réseau de Leech conservant la structure complexe, a pour quotient, par le groupe à 6 éléments des matrices scalaires complexes, le groupe de Suzuki (en) Suz (d'ordre 448 345 497 600). Suz (en) est le seul sous-quotient sporadique propre de $Co_1$ d'ordre divisible par 13.

Une construction similaire donne le groupe de Hall-Janko $J_2$ (d'ordre 604 800) comme le quotient du groupe des automorphismes quaternioniques de Λ par le groupe ±1 de scalaires.

Les 7 groupes simples décrits ci-dessus comprennent ce que Robert Griess appelle la deuxième génération de la famille heureuse, ces derniers étant les groupes sporadiques simples trouvés dans le groupe Monstre. Plusieurs de ces 7 groupes contiennent au moins certains des 5 groupes de Mathieu, qui forment la première génération.

