Groupe opposé
# Groupe opposé

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe opposé est une manière de construire un groupe à partir d'un autre en renversant l'ordre de son opération interne.

Plus précisément, si (G,*) est un groupe, on peut définir une autre opération interne sur G en posant

    $g*_{\text{op}}g':=g'*g$

pour tous éléments g et g' de G. Cela définit un groupe $(G,*_{op})$ appelé groupe opposé du groupe G.

## Propriétés

* (G,*) et $(G,*_{op})$ ont le même élément neutre.
* Le symétrique d'un élément g de G est le même pour la loi * ou la loi $*_{op}.$
* Le groupe opposé du groupe opposé de G est G lui-même.
* Un groupe est égal à son groupe opposé si et seulement s'il est commutatif.
* G est toujours isomorphe à son groupe opposé via l'application g ↦ $g^{-1}$ qui est un antiautomorphisme.
* La notion de groupe opposé permet d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.
