Groupe ax + b
# Groupe ax + b

En mathématiques, le groupe a x + b est le groupe $G$ ainsi défini :

* ses éléments sont les couples de réels $(a,b)$ avec $a$ non nul
* la loi de composition interne est :

    $(a,b)(a',b')=(aa',ab'+b)$

Il est alors facile de voir que $(1,0)$ est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de $(a,b)$ est $(1/a,-b/a)$.

Ce groupe peut également se représenter comme :

* le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
* le sous-groupe du groupe linéaire $GL_2(ℝ)$ constitué des éléments de la forme :

    $\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)$

## Fonction modulaire

Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.

Une mesure de Haar à gauche est $\mathrm {d} g={\frac {1}{|a|^{2}}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b$. Une mesure de Haar à droite est $\mathrm {d} g={\frac {1}{|a|}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b$.

Nous obtenons donc une fonction modulaire :

$\Delta (a,b)={\frac {1}{|a|}}.$

## Représentations unitaires irréductibles

Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition $a>0$, les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes :

* les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif;
* l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ par

$(a\cdot f)(x)=a^{1/2}f(ax)$

et

$(b\cdot f)(x)=f(x+b)$

