Antilimite
# Antilimite

En analyse, l'antilimite désigne la limite (finie) qu'on peut associer à une suite divergente. On peut la calculer par une méthode de sommation, une technique d'accélération de convergence ou par prolongement analytique. Le terme a été introduit par Daniel Shanks en 1955.

## Définition

Dans son article de 1955, Daniel Shanks s'intéresse aux transformations de suites de la forme

    $s_{n}=s+\sum _{i=0}^{k}c_{i}g_{i}(n),\ \forall n\in \mathbb {N} .$

avec s, $c_0,$ ..., $c_k,$ des constantes et $g_0,$ ..., $g_k,$ des fonctions. Dans le cas où $(s_n)$ ne converge pas, Shanks désigne s comme l'antilimite de la suite et dit que « $(s_n)$ diverge de s ».

### Par prolongement analytique

On se place dans le cas où la suite $(s_n)$ est une série divergente :

    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\longrightarrow +\infty$

On considère la série génératrice liée :

    $s_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$

Si cette série de fonctions converge sur un disque de convergence de rayon 0 < ρ ≤ 1, il existe une fonction S telle :

    $\forall x\in [0,\rho [,\,\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=S(x).$

Cette fonction S peut être définie hors du disque de convergence, notamment en x = 1 et y avoir une valeur finie. Cette valeur s = S(1) est alors appelée antilimite de la série $∑a_n.$

## Exemples

* Une série divergente peut se voir associer des valeurs finies par des procédés de sommation, comme la série de Grandi

    $\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}={\frac {1}{2}}$

ou la série alternée des entiers

    $\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}n={\frac {1}{4}}$
* La suite de sommes partielles

    $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-2)^{k-1}}{k}}$

est grossièrement divergente, cependant, on peut reconnaitre le développement en série entière du logarithme naturel :

    $-{\frac {1}{x}}\ln(1-x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n-1}}{n}}$

pris en x = -2, qui est hors du disque de convergence (le rayon de convergence de cette série vaut 1). Ainsi, 1/2ln(3) est l'antilimite de la série :

    $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n-1}}{n}}={\frac {1}{2}}\ln(3).$
