Groupe résoluble
# Groupe résoluble

En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions.

## Histoire

La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, , etc.).

## Définition

Un groupe G est résoluble lorsqu'il existe une suite finie $G_0,$ $G_1,$ …, $G_n$ de sous-groupes de G telle que :

    $\{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \ldots \triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_{n}=G$

où la notation $\triangleleft$ signifie que pour tout i ∈ [0,n–1], $G_i$ est un sous-groupe normal de $G_{i+1},$ et le groupe quotient $G_{i+1}/G_i$ est abélien ($\{e\}$ est le sous-groupe trivial de G).

$G_0,$ $G_1,$ …, $G_n$ est donc une chaîne normale (en) dont tous les facteurs sont abéliens.

La suite $G_0,$ $G_1,$ …, $G_n$ est dite suite de résolubilité de G. Si pour tout i∈[0,n–1], $G_i$ ≠ $G_{i+1}$ (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.

Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à {e}. Le plus petit entier naturel n tel que $D^n(G)$ = {e} est alors appelé la classe de résolubilité de G. Un groupe non trivial G est donc résoluble de classe n (≥ 1) si et seulement si son groupe dérivé D(G) est résoluble de classe n – 1.

## Propriétés

* Les groupes résolubles de classe ≤ 1 sont les groupes abéliens.
* Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.
* Tout groupe quotient d'un groupe résoluble (par un sous-groupe normal) est résoluble (ce qu'on peut reformuler en : s'il existe un morphisme de groupes surjectif d'un groupe résoluble sur G, alors G est résoluble).
* Si H est distingué dans G et est résoluble de classe q et G/H est résoluble de classe p, alors G est résoluble de classe inférieure ou égale à p + q.
* Un groupe simple est résoluble si et seulement s'il est commutatif, ce qui a lieu si et seulement si c'est un groupe d'ordre premier (donc cyclique fini).
* Un groupe fini est résoluble si et seulement si, dans « sa » suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient est d'ordre premier (puisque pour un groupe résoluble, les quotients d'une suite de Jordan-Hölder sont à la fois simples et résolubles).
* Un groupe d'ordre n est résoluble si et seulement s'il vérifie la « réciproque » partielle suivante du théorème de Lagrange : pour tout diviseur d de n tel que d et n/d soient premiers entre eux, G possède un sous-groupe (de Hall) d'ordre d.
* Le théorème de Chafarevich, démontré en 1954, énonce que tout groupe résoluble est groupe de Galois d'un corps de nombres.

## Exemples

* Tout groupe d'ordre strictement inférieur à 60 est résoluble.
* Pour n ≥ 5, le groupe alterné $A_n$ est simple et non abélien, donc non résoluble.
* Le groupe symétrique $S_n$ n'est donc résoluble que si n ≤ 4.
* Tous les groupes nilpotents sont résolubles.
* Le groupe des matrices n×n triangulaires supérieures inversibles à coefficients dans un anneau commutatif A est résoluble, comme extension du groupe abélien $(A^×)^n$ par le groupe nilpotent $H_n(A).$
* Si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est résoluble (c'est le théorème de Schmidt).

## Théorème de Feit-Thompson

Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

