Interpolation d'Hermite
# Interpolation d'Hermite

En analyse numérique, l'interpolation d'Hermite, nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est une extension de l'interpolation de Lagrange, qui consiste, pour une fonction dérivable donnée et un nombre fini de points donnés, à construire un polynôme qui est à la fois interpolateur (c'est-à-dire dont les valeurs aux points donnés coïncident avec celles de la fonction) et osculateur (c'est-à-dire dont les valeurs de la dérivée aux points donnés coïncident avec celles de la dérivée de la fonction). Cette méthode d'interpolation permet d'éviter les phénomènes de Runge dans l'interpolation numérique ou, plus simplement, de manipuler des polynômes ayant des propriétés proches de celles de la fonction interpolée.

## Définition du problème à l'ordre 1

Soit f une fonction de classe $C^1$ d'une variable définie sur un segment [a, b] et à valeurs réelles et soient n + 1 points $(x_0,$ $x_1,$ ... , $x_n)$ de [a, b] distincts deux à deux. L'objectif est de construire un polynôme P de degré minimal tel que :

    $\forall i\in \{0,\ldots ,n\}\qquad P(x_{i})=f(x_{i})\quad {\text{et}}\quad P^{\prime }(x_{i})=f'(x_{i})$.

Puisque l'on impose 2n + 2 valeurs pour déterminer le polynôme P, celui-ci sera donc de degré au plus 2n + 1.

### Construction

Une méthode de construction de P consiste à prendre les carrés des polynômes de Lagrange associés aux points $x_0,$ $x_1,$ ... , $x_n$ :

    $q_{i}(X)=(L_{i}(X))^{2}=\prod _{j=0,\,j\neq i}^{n}\left({\frac {X-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right)^{2}$,

de degré 2n et vérifiant :

    $q_{i}(x_{i})=1,\quad q_{i}^{\prime }(x_{i})=\sum _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {2}{x_{i}-x_{j}}}\quad {\rm {et}}\quad \forall j\neq i\quad q_{i}^{\prime }(x_{j})=q_{i}(x_{j})=0$.

Un polynôme P de la forme

    $P(X)=\sum _{i=0}^{n}q_{i}(X)P_{i}(X)$

satisfait donc les 2n + 2 conditions si et seulement si les polynômes $P_i$ vérifient :

    $f(x_{i})=P_{i}(x_{i})\quad {\rm {et}}\quad f'(x_{i})=P'_{i}(x_{i})+q'_{i}(x_{i})P_{i}(x_{i})$,

ce qui équivaut à :

    $P_{i}(x_{i})=f(x_{i})\quad {\rm {et}}\quad P'_{i}(x_{i})=f'(x_{i})-q'_{i}(x_{i})f(x_{i})$.

La solution la plus simple est de choisir

    $P_{i}(X)=f(x_{i})+(X-x_{i})\left(f'(x_{i})-q'_{i}(x_{i})f(x_{i})\right)$

et P est alors de degré au plus 2n + 1.

### Unicité

L'unicité du polynôme interpolateur d'Hermite se montre de façon similaire à celle du polynôme interpolateur de Lagrange : soient deux polynômes P et R vérifiant les hypothèses voulues. On a donc deux polynômes de degré au plus 2n + 1 dont les valeurs et les dérivées coïncident en n + 1 points. Ainsi, P – R est divisible par (X – $x_0)^2(X$ – $x_1)^2…(X$ – $x_n)^2$ qui est un polynôme de degré 2n + 2. Puisque P – R est de degré au plus 2n + 1, il est forcément nul.

### Majoration de l'erreur

L'erreur d'approximation causée par l'interpolation d'Hermite est donnée par le résultat suivant :

   Si f est de classe $C^{2n+2},$ alors pour tout x dans [a, b], il existe ξ dans ]a, b[ tel que
       $f(x)-P(x)={\frac {f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}}\prod _{j=0}^{n}(x-x_{j})^{2},\quad a\leqslant \min\{x,x_{0},\ldots ,x_{n}\}<\xi <\max\{x,x_{0},\ldots ,x_{n}\}\leqslant b$.

Si x est un des points $x_0,$ $x_1,$ ... , $x_n,$ le résultat est évident. Sinon, posons

    $w(t)=f(t)-P(t)-(f(x)-P(x))\prod _{j=0}^{n}\left({\frac {t-x_{j}}{x-x_{j}}}\right)^{2}$.

On a alors w(x) = 0 et pour tout entier i entre 0 et n, $w(x_i)$ = 0.

En appliquant le théorème de Rolle à w, on montre l'existence de $α_0$ < $α_1$ < ... < $α_n$ (avec $α_i$ différent de $x_j$ pour tout i différent de j) tels que w' $(α_i)$ = 0 pour tout i. De plus, on a w' $(x_i)$ = 0 pour tout i. Il existe donc 2n + 2 points de [a, b] deux à deux distincts annulant w.

Par applications successives du théorème de Rolle sur w et ses dérivées, on finit par prouver l'existence d'un ξ comme annoncé.

Ainsi, l'interpolation d'Hermite est d'un ordre très supérieur à celui de l'interpolation lagrangienne (d'ordre n + 1).

## Extension aux ordres supérieurs

L'interpolation d'Hermite peut être étendue à l'interpolation des valeurs des dérivées supérieures, en cherchant, pour une fonction f de classe $C^m$ sur [a, b], un polynôme interpolateur P vérifiant :

    $\forall k\in \{0,\dots ,n\}\quad \forall l\in \{0,\dots ,m\}\quad P^{(l)}(x_{k})=f^{(l)}(x_{k})$.

Le polynôme à construire est donc de degré minimal (n + 1)(m + 1) – 1. Une méthode pour le définir consiste à introduire les polynômes

    $H_{k,l}(X)=(X-x_{k})^{l}\times Q_{k,l}(X)\times L_{k}^{m+1}(X)$

où les $L_k$ sont les polynômes de Lagrange définis précédemment et les $Q_{k,l}$ sont des polynômes de degré m – l tels que

    $H_{k,l}^{(l)}(x_{k})=1$ et pour tout q tel que $l+1\leq q\leq m,\,H_{k,l}^{(q)}(x_{k})=0$.

Ainsi, par construction, on a :

    $\forall {i,k}\in \{0,\dots ,n\}\quad \forall {j,l}\in \{0,\dots ,m\}\quad H_{k,l}^{(j)}(x_{i})=\delta _{i,k}\delta _{j,l}$.

Le polynôme P recherché s'écrit alors :

    $P=\sum _{k=0}^{n}\sum _{l=0}^{m}f^{(l)}(x_{k})H_{k,l}$.

Cette méthode apporte plus de régularité à l'interpolation. Elle reste cependant d'un faible intérêt pratique au regard des calculs qu'elle implique.

## Applications

L'interpolation d'Hermite en deux points est la base des splines cubiques. Voir également l'article Spline cubique d'Hermite.

L'interpolation d'Hermite peut également être utilisée dans la résolution de problèmes aux limites non linéaires.

