Graphe bannière
# Graphe bannière

Le graphe bannière est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 5 arêtes.

Le nom de graphe bannière est employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Classes and their Inclusions). Le même terme découlant de la ressemblance du graphe avec un drapeau est également employé lors de l'étude des graphes sans-bannière.

## Propriétés

### Propriétés générales

Le diamètre du graphe bannière, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 1-sommet-connexe et d'un graphe 1-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté suffit de le priver d'un sommet ou d'une arête.

### Coloration

Le nombre chromatique du graphe bannière est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe bannière est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe bannière, en fonction du nombre de couleurs autorisé. Cela donne une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifié de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 5 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2. Il est égal à : $(x-1)^{2}x(x^{2}-3x+3)$.

### Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe bannière est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe bannière est : $-x(x^{4}-5x^{2}+2)$.

