Effet Ferranti
# Effet Ferranti

L’effet Ferranti désigne l'apparition d'une surtension lorsqu'une longue ligne électrique est alimentée à une extrémité et sans charge à l'autre extrémité. Il tire son nom de l'inventeur Sebastian Ziani de Ferranti.

## Expression mathématique et ordre de grandeur

En négligeant les pertes, cette surtension est donnée par :

    ${\frac {Us}{Ue}}={\frac {1}{cos({\sqrt {LC}}\omega )}}$.

Pour des longueurs courtes de ligne (quelques centaines de km à 50 Hz), on peut aussi approximer par :

    ${\frac {Us}{Ue}}={\frac {1}{1-{\frac {LC\omega ^{2}}{2}}}}$.

Avec L l'inductance totale de la ligne, C sa capacité totale, Us et Ue les tensions à l'extrémité ouverte et à l'entrée de la ligne et $\omega$ la pulsation de la tension d'entrée, à savoir $2\pi$ fois la fréquence f.

Effet Ferranti sur une ligne à 380 kV à 50 Hz (avec L = 1,01 mH/km et C = 11,48 nF/km) :

| Longueur | Surtension |
| - | - |
| 100 km | 0,6 % |
| 200 km | 2,3 % |
| 300 km | 5,4 % |
| 400 km | 9,9 % |

Ce phénomène peut sembler paradoxal : les lignes électriques sont habituellement connues pour leur « chute de tension » lorsqu'elles sont parcourues par un courant — mais lorsqu'elles ne sont parcourues par aucun courant, le phénomène est inversé : l'extrémité ouverte de la ligne est à un potentiel plus élevé que celle connectée au réseau.

Ce phénomène est potentiellement très destructeur pour les équipements des réseaux. On utilise des réactances shunt pour s'en prémunir.

## Cas de la ligne quart d'onde

En reprenant l'expression non approximée ci-dessus, on s'aperçoit que $Us/Ue$ peut prendre une valeur infinie si $\omega ={\frac {\pi }{2{\sqrt {LC}}}}$ ou encore $f={\frac {1}{4{\sqrt {LC}}}}$.

Si on note $L'$ l'inductance par kilomètre de la ligne, $C'$ sa capacité par kilomètre de la ligne, et $l$ sa longueur, on s'aperçoit que $Us/Ue$ est infini si $l={\frac {1}{4f{\sqrt {L'C'}}}}$.

On peut montrer que ${\frac {1}{\sqrt {L'C'}}}$ est la vitesse de propagation de l'onde électrique sur une ligne et que cette vitesse est proche de la vitesse de la lumière c.

On peut aussi écrire que ${\frac {1}{f{\sqrt {L'C'}}}}$ correspond à la longueur d'onde de la propagation de l'onde électrique à la fréquence f. On obtient donc que l'effet Ferranti est infini si la longueur de la ligne est le quart de la longueur d'onde à la fréquence donnée, d'où l'expression de ligne quart d'onde.

Une application numérique en supposant que ${\frac {1}{\sqrt {L'C'}}}=c=$ 300 000 km/s nous montre qu'une ligne dont la longueur serait de 1 500 km aurait un effet Ferranti infini à 50 Hz. En pratique un tel phénomène est fortement atténué par les pertes. Il n'en reste pas moins qu'une ligne d'une telle longueur nécessite l'utilisation de réactances shunt pour limiter les surtensions à un niveau raisonnable, typiquement $Us/Ue<1,05$.

