Dipôle électrostatique d'une boule
# Dipôle électrostatique d'une boule

Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme, donc de moment dipolaire ${\vec {p}}=Vol\cdot {\vec {P}}$. Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d'une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution $\sigma (\theta )=Pcos\theta$.

## Champ et potentiel créés

Comme la distribution est à support compact, le champ au loin (r>>R) comme celui créé par le dipôle p.

Il est extraordinaire de constater que cela est vrai pour tout r > R !

    ${\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\cdot {\bigl2\cos \theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}={\frac {P}{3\epsilon _{0}}}{\frac {R^{3}}{r^{3}}}\cdot {\bigl2\cos \theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}$

ou encore :

    ${\vec {E}}(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}\cdot r^{3}}}\cdot {\bigl3{\vec {u_{r}}}({\vec {p}}\cdot {\vec {u_{r}}})-{\vec {p}}{\bigr )}={\frac {R^{3}}{\epsilon _{0}\cdot r^{3}}}\cdot {\bigl{\vec {u_{r}}}({\vec {P}}\cdot {\vec {u_{r}}})-{\frac {1}{3}}{\vec {P}}{\bigr )}$

Pour r < R, le champ est uniforme :

    ${\vec {E_{0}}}=-{\vec {P}}/3\epsilon _{o}={\frac {P}{3\epsilon _{0}}}\cdot {\bigl-cos\theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}$

Le diagramme électrique est donc évident à tracer.

On obtient donc les potentiels suivants :

(r>R) :$V(M)={\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}={\frac {R^{3}}{r^{3}}}{\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {r}}}{3\varepsilon _{0}}}$

(r<R) :$V(M)={\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {r}}}{3\epsilon _{o}}}$

## Démonstration

On peut faire le calcul ; mais la démonstration la plus rapide est "bluffante" : la solution existe et est unique ; il suffit donc de vérifier que div E = 0 et rot E = 0, et que les conditions limite à l'infini sont réalisées (c'est exact) et sur la sphère aussi :

    $E_{ext}-E_{int}={\frac {Pcos(\theta )}{\epsilon _{o}}}.{\vec {u_{r}}}={\frac {\sigma (P)}{\epsilon _{o}}}.{\vec {n}}(P)$(c'est exact aussi).

## Cas-limite R tendant vers zéro

On a, à ce moment-là, pour le petit volume V, où l'intégrale du champ vaut Vol.Eo = - P/3$\epsilon _{o}$ par -4$\pi /3$.p. $\delta (r)$.

Au total ${\vec {E}}(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}[{\frac {1}{r^{3}}}(3({\vec {p}}{\vec {u}}){\vec {u}}-{\vec {p}})-{\frac {4\pi }{3}}{\vec {p}}\cdot \delta (r)$]

