Dénombrement
# Dénombrement

En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble. Il s'obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l'aide de techniques combinatoires.

## Perception immédiate

Face à une collection d'au plus quatre objets, l'être humain, avant même l'acquisition du langage, et certains animaux semblent avoir une notion immédiate de la quantité présentée sans énumération. Ce phénomène est appelé subitisation.

Il peut être étendu au-delà de quatre dans certaines configurations, comme les points sur les faces d'un dé. Les nombres figurés peuvent être ainsi plus facilement repérables.

## Symbolisation par une même quantité

Les premières évaluations de quantités n'ont pas nécessairement été exprimées à l'aide d'un nombre ou d'une notation chiffrée. Or, de telles évaluations ont pu être utiles pour suivre l'évolution d'un troupeau, d'une production manufacturée, des récoltes ou d'une population humaine, notamment dans les corps d'armée. En l'absence de système de numération, il est possible de représenter chaque élément d'une collection, par exemple, à l'aide d'une encoche sur un morceau de bois ou un os. Un autre exemple est visible dans le film Ivan le Terrible de Sergueï Eisenstein, où avant un combat, les soldats jettent chacun à leur tour une pièce dans un sac.

## Comptage

L'évaluation d'une quantité d'objets à l'aide d'un terme particulier nécessite l'établissement d'une liste de termes qui puisse être apprise et transmise. Certains peuples océaniens parcourent ainsi une vingtaine de parties du corps selon un ordre fixe (mais dépendant de la localisation du peuple). Chaque langue a développé un système de désignation des premiers nombres entiers, éventuellement lié à un système de numération particulier.

Le dénombrement consiste alors à parcourir simultanément la chaine numérique et la collection d'objets de façon que chaque objet ne soit considéré qu'une seule fois. La compréhension de cette technique de dénombrement est décomposée en cinq principes :

* principe d'adéquation unique : chaque mot n'est associé qu'à un et un seul élément de la collection ;
* principe d'ordre stable : les mots-nombres sont toujours récités dans le même ordre ;
* principe du cardinal : pour désigner la taille d'une collection, il suffit d'énoncer le dernier mot-nombre utilisé ;
* principe d'abstraction : les objets peuvent être de natures différentes ;
* principe de non pertinence de l'ordre : les objets peuvent être parcourus dans n'importe quel ordre.

## Calcul

Pour des grandes quantités ou pour des ensembles abstraits et en particulier pour des ensembles mathématiques, le dénombrement se fait à l'aide d'opérations arithmétiques ou de considérations combinatoires.

## Propriétés fondamentales

* Principe des tiroirs : si l'on dispose de m ensemble(s) et que l'on y range n objet(s) avec n > m, alors au moins un de ces ensembles contiendra plusieurs objets. Exemple : dans une classe de 20 élèves, si tous sont nés la même année, alors plusieurs d'entre eux sont forcément nés le même mois.
* Cardinal d'un produit cartésien : si un arbre comporte n branche(s) et que celle(s)-ci comporte(nt) chacune p sous-branche(s), alors cet arbre comporte n × p sous-branche(s). Exemple en probabilités élémentaires : supposons qu'on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Si l'on tente d'en deviner la couleur (trèfle, carreau, cœur ou pique), on a 1 chance sur 4 de tomber juste. Par ailleurs, si l'on tente d'en deviner la valeur (as, roi, dame, valet, etc.), on a 1 chance sur 13 de tomber juste. Enfin, si l'on tente d'en deviner la couleur et la valeur, on a une chance sur 52 (4 × 13) de tomber juste.

## Dénombrement dans des ensembles finis

### Théorèmes fondamentaux

Dans cette section, si A est un ensemble fini, on note $\mathrm {card} (A)$ (lire « cardinal de A ») le nombre de ses éléments. Par exemple, $\mathrm {card} (\{e,f,g\})=3$.

Théorème 1 — Soit $A$ une partie d'un ensemble fini $E$.

Alors A est elle-même finie et $\mathrm {card} (A)$ ≤ $\mathrm {card} (E)$. Si en outre $\mathrm {card} (A)=\mathrm {card} (E)$, alors $A=E$.

Caractérisation des applications injectives — Soit $E$ un ensemble fini, $F$ un ensemble et $f$ une application de $E$ dans $F$. On a :

* $\mathrm {card} (f(E))$ ≤ $\mathrm {card} (E)$
* $f$ est injective $\Leftrightarrow$ $\mathrm {card} (f(E))=\mathrm {card} (E)$

Pour démontrer le point 1, on peut s'intéresser à l'ensemble des éléments de $E$ qui ont une image par $f$. Si on le note $A$, alors l'application induite par $f$ de $A$ dans $f(E)$ est une bijection. Comme $A$ est un sous-ensemble de $E$, il est fini et $\mathrm {card} (f(E))=\mathrm {card} (A)$ ≤ $\mathrm {card} (E)$. Le point 2 vient du fait que lorsque $f$ est injective, tous les éléments de $f(E)$ ont un antécédent unique, donc l'application induite de $E$ dans $f(E)$ est une bijection. Donc $\mathrm {card} (f(E))=\mathrm {card} (E)$. Réciproquement si $\mathrm {card} (f(E))=\mathrm {card} (E)$, alors $\mathrm {card} (A)=\mathrm {card} (E)$ puis il vient que $A=E$.

Corollaire — Soit $f$ une application injective d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$. si $f(E)$ est fini, alors $E$ est fini et $\mathrm {card} (E)=\mathrm {card} (f(E))$.

Ce corollaire n'est en fait que l'application de la caractérisation des applications injectives dans le cas particulier où l'ensemble d'arrivée de $f$ est $f(E)$.

Théorème — Soit E et F deux ensembles finis tels que $\mathrm {card} (E)=\mathrm {card} (F)$. Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ on a : $f$ est injective $\Leftrightarrow$ $f$ est surjective $\Leftrightarrow$ $f$ est bijective.

### Propriétés

Cardinal de l'union de deux ensembles finis disjoints —  Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis disjoints avec $\mathrm {card} (E)=k$ et $\mathrm {card} (F)=n$. Alors on a $\mathrm {card} (E\cup F)=\mathrm {card} (E)+\mathrm {card} (F)=n+k$.

En effet soient $f$ une bijection de $E$ dans $[\![1,k]\!]$ et $g$ une bijection de $F$ dans $[\![1+k,n+k]\!]$, alors on peut construire $h$ l'application de $E\cup F$ dans $[\![1,n+k]\!]$ dont la restriction à $E$ est $f$ et celle à $F$ est $g$. Comme $h$ est une bijection, c'est une injection et le corollaire de caractérisation conclut que $\mathrm {card} (h(E\cup F))=\mathrm {card} ([\![1,n+k]\!])=n+k$.

Par récurrence, on généralise cette propriété à une famille d'ensembles finis disjoints deux à deux :

Cardinal de l'union de $n$ ensembles finis deux à deux disjoints —  Soit $(E_{i})_{i=1}^{n}$ une famille de $n$ ensembles finis deux à deux disjoints. Alors on a $\mathrm {card} (\bigcup _{i=1}^{n}E_{i})=\sum _{i=1}^{n}(\mathrm {card} (E_{i}))$.

Cardinal du complémentaire —  Soit $E$ un ensemble fini, $A\subset E$, et ${\overline {A}}$ son complémentaire dans $E$. Alors on a $\mathrm {card} (A)+\mathrm {card({\overline {A}})} =\mathrm {card} (E)$.

Démonstration : $A$ et ${\overline {A}}$ sont deux ensembles finis d'intersection vide et $A\cup {\overline {A}}=E$. La première propriété permet de conclure.

Cardinal de l'union de deux ensembles finis —  Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis. Alors on a $\mathrm {card} (E\cup F)=\mathrm {card} (E)+\mathrm {card} (F)-\mathrm {card} (E\cap F)$.

Démonstration : Comme $A\cap B$ et $A-B$ sont complémentaires dans $A$, la propriété précédente s'applique et on a $\mathrm {card} (A\cap B)$ + $\mathrm {card} (A-B)=\mathrm {card} (A)$. Ce même raisonnement s'applique pour $B-A$ et $A\cap B$. Remarquons enfin que $A-B$,$A\cap B$ et $B-A$ forment une partition de $A\cup B$. L'identité se déduit des trois résultats précédents.

Cardinal de la réunion disjointe de deux ensembles finis — Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis de cardinaux respectifs $n$ et $k$. Alors $E\sqcup F$ est finie de cardinal $\mathrm {card} (E\sqcup F)=\mathrm {card} (E)+\mathrm {card} (F)=n+k$.

Ce résultat peut se généraliser à plus de deux ensembles.

Cardinal de la réunion disjointe de $n$ ensembles finis — Soit $E_{i}$ une famille d'ensembles finis. $\mathrm {card} (E_{1}\sqcup E_{2}\sqcup E_{3}\,\dots \,\sqcup E_{n})=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {card} (E_{i}).$

Cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis — Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis de cardinaux respectif $n$ et $k$. Alors $E\times F$ est fini de cardinal $\mathrm {card} (E\times F)=\mathrm {card} (E)\times \mathrm {card} (F)=nk$.

Plus généralement, pour une suite d'ensembles finis :

Cardinal du produit cartésien d'une suite d'ensembles finis — Soit $E_{i}$ une famille d'ensembles finis. Alors $\mathrm {card} (E_{1}\times E_{2}\times E_{3}\,\dots \,\times E_{n})=\prod _{i=1}^{n}\mathrm {card} (E_{i}).$

Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini — Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $k$. Comme ${\mathcal {P}}(E)$ est en correspondance biunivoque avec l'ensemble des applications de $E$ dans $\left\{0,1\right\}$, alors ${\mathcal {P}}(E)$ est un ensemble fini et on a $\mathrm {card} ({\mathcal {P}}(E))=2^{\mathrm {card} (E)}=2^{k}$.

Cardinal de l'ensemble des correspondances de $E$ dans $F$ — Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis. L'ensemble des correspondances de $E$ dans $F$, noté habituellement $\mathrm {Corr} (E,F)$, s'identifie à ${\mathcal {P}}(E\times F)$ donc est fini de cardinal $\ \mathrm {card} (\mathrm {Corr} (E,F))=2^{\mathrm {card} (E)\times \mathrm {card} (F)}=2^{nk}$.

Cardinal de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$ — Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis de cardinaux respectifs $k$ et $n$. L'ensemble des applications de $E$ dans $F$, souvent noté ${\mathcal {F}}(E,F)$, est fini de cardinal $\ \mathrm {card} ({\mathcal {F}}(E,F))=\mathrm {card} (F)^{\mathrm {card} (E)}=n^{k}$ avec la convention $0^0=1$ si $E$ et $F$ sont tous deux vides.

Cette propriété justifie la notation plus courante $F^{E}$.

Cardinal de l'ensemble des surjections de $E$ dans $F$ — Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis de cardinaux respectifs $k$ et $n$. L'ensemble des surjections de $E$ dans $F$, noté habituellement $\mathrm {Surj} (E,F)$, a pour cardinal la somme suivante: $\ \mathrm {card} (\mathrm {Surj} (E,F))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}(n-i)^{k}$. Cette somme est nulle si $\mathrm {card} (E)<\mathrm {card} (F)$.

Les applications injectives, qui jouent un rôle important en combinatoire, sont traitées de manière plus approfondie dans les paragraphes suivants.

