E6 (mathématiques)
# E6 (mathématiques)

En mathématiques, $E_6$ est le nom d'un groupe de Lie ; son algèbre de Lie est notée ${\mathfrak {e}}_{6}$. Il s'agit de l'un des cinq groupes de Lie complexes de type exceptionnel. $E_6$ est de rang 6 et de dimension 78. Le groupe fondamental de sa forme compacte est le groupe cyclique $Z_3$ et son groupe d'automorphismes est le groupe cyclique $Z_2.$ Sa représentation fondamentale est de dimension complexe 27. Sa représentation duale est également de dimension 27.

Une certaine forme non compacte réelle de $E_6$ est le groupe des collinéations du plan projectif octonionique $OP^2,$ ou plan de Cayley. La forme compacte réelle de $E_6$ est le groupe des isométries d'une variété riemannienne de dimension 32, connu également sous le nom de plan projectif bioctonionique.

En physique des particules, $E_6$ joue un rôle dans certaines théories de grande unification.

## Matrice de Cartan

    ${\begin{pmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{pmatrix}}$
