Déterminant par blocs
# Déterminant par blocs

En algèbre linéaire, la formule de déterminant par blocs généralise à la fois les formules de Laplace de calcul du déterminant d'une matrice carrée par développement selon une ligne ou une colonne ou le calcul du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

## Formule

Si $A$ est une matrice carrée de taille $n$, on forme un procédé d'extraction de $k\leq n$ colonnes, noté $\varphi$, c'est-à-dire une application strictement croissante de $[\![1,k]\!]$ dans $[\![1,n]\!]$, et un procédé d'extraction de $k\leq n$ lignes, noté $\varphi '$.

On note $D_{\varphi ,\varphi '}$ le déterminant de la matrice extraite de $A$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices $\varphi ([\![1,k]\!])$ et les lignes d'indices $\varphi '([\![1,k]\!])$.

On note $D'_{\varphi ,\varphi '}$ le déterminant de la matrice extraite de $A$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices qui ne sont pas dans $\varphi ([\![1,k]\!])$ et les lignes d'indices qui ne sont pas dans $\varphi '([\![1,k]\!])$.

On note $\Phi$ l'ensemble des applications strictement croissantes de $[\![1,k]\!]$ dans $[\![1,n]\!]$ et l'on fixe $\varphi \in \Phi$.

On note $\varepsilon (\varphi )$ la signature de $\varphi$, définie comme la signature de l'unique permutation de $[\![1,n]\!]$ prolongeant de $\varphi$ et dont la restriction à $[\![k+1,n]\!]$ est également croissante.

On obtient alors $\det A=\varepsilon (\varphi )\sum _{\varphi '\in \Phi }\varepsilon (\varphi ')D_{\varphi ,\varphi '}D'_{\varphi ,\varphi '}$.

## Cas particulier

Si $n=4$ et $k=2$, cette formule donne un déterminant 4×4 comme la somme de 6 produits de déterminants 2×2. En notant, comme pour les coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes,

* $p_{i,j}$ le déterminant des lignes $i,j$ des deux premières colonnes et
* $q_{i,j}$ le déterminant des lignes $i,j$ des deux dernières colonnes,

on obtient par exemple :

    $\det A=p_{1,2}q_{3,4}+p_{1,3}q_{4,2}+p_{1,4}q_{2,3}+q_{1,2}p_{3,4}+q_{1,3}p_{4,2}+q_{1,4}p_{2,3}$.
