Espace à bases dénombrables de voisinages
# Espace à bases dénombrables de voisinages

En mathématiques, un espace topologique X est à bases dénombrables de voisinages si tout point x de X possède une base de voisinages dénombrable, c'est-à-dire s'il existe une suite $V_0,$ $V_1,$ $V_2,$ … de voisinages de x telle que tout voisinage de x contienne l'un des $V_n.$ Cette notion a été introduite en 1914 par Felix Hausdorff.

## Exemples

Tout espace métrique (donc aussi tout espace métrisable) est à bases dénombrables de voisinages (prendre par exemple $V_n$ = une boule (ouverte ou fermée) de centre x et de rayon $2^{–n}).$

Tout espace discret est à bases dénombrables de voisinages.

Tout espace à base dénombrable est à bases dénombrables de voisinages mais la réciproque est fausse :

* l'espace vectoriel normé (donc métrique) $ℓ^∞$ des suites bornées n'est pas à base dénombrable, ni même séparable ;
* un ensemble non dénombrable (comme l'ensemble des réels), muni de la topologie discrète, non plus.

Tout espace parfaitement normal dénombrablement compact est à bases dénombrables de voisinages.

## Contre-exemples

La topologie cofinie sur un ensemble non dénombrable n'est pas à bases dénombrables de voisinages.

Un autre contre-exemple est l'espace compact [0, $ω_1]$ = $ω_1$ + 1 (muni de la topologie de l'ordre) où $ω_1$ désigne le premier ordinal non dénombrable. L'élément $ω_1$ est un point limite du sous-ensemble [0, $ω_1[$ mais aucune suite d'éléments de ce sous-ensemble ne converge vers $ω_1.$ En particulier, le point $ω_1$ dans l'espace [0, $ω_1]$ = $ω_1$ + 1 n'a pas de base dénombrable de voisinages. Comme $ω_1$ est le seul point de [0, $ω_1]$ qui n'a pas de telle base, le sous-espace [0, $ω_1[,$ lui, est à bases dénombrables de voisinages.

Le bouquet de cercles ℝ/ℤ, où la droite réelle ℝ est munie de sa topologie usuelle et tous les entiers relatifs sont identifiés à 0, n'est pas à bases dénombrables de voisinages mais seulement « de Fréchet-Urysohn » (cf. ci-dessous).

## Propriétés

Tout espace à bases dénombrables de voisinages est un espace de Fréchet-Urysohn, c'est-à-dire que tout point adhérent à une partie A de cet espace X est limite d'une suite à valeurs dans A, ce qui fournit pour cet espace une « caractérisation séquentielle » de la notion de limite (donc aussi de celle de continuité) : pour que la limite en un point x d'une application f : X → Y existe et soit égale à y, (il faut et) il suffit que, pour toute suite de points $(x_n)$ dans X convergeant vers x, la suite $(f(x_n))$ converge vers y.

Dans un espace à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes.

Un espace à bases dénombrables de voisinages est séquentiellement compact si et seulement s'il est dénombrablement compact.

Un espace de Lindelöf séparé (en particulier un espace compact) à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.

Tout espace séparé X à bases dénombrables de voisinages est un espace de Kelley, c'est-à-dire qu'une partie de X est fermée si et seulement si son intersection avec tout compact de X est fermée.

La propriété d'être à bases dénombrables de voisinages est préservée par sous-espaces et par produits dénombrables, tandis qu'un produit infini non dénombrable d'espaces non grossiers n'est jamais à bases dénombrables de voisinages, ni même séquentiel.

