Ensemble Fσ
# Ensemble Fσ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble $F_σ$ (lire « F sigma ») est une union dénombrable d'ensembles fermés.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient du français, le F désignant un fermé et le σ désignant une somme ou une union. La notation $F_σ$ est équivalente à celle de $\Sigma _{2}^{0}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

## Propriétés

* L'union dénombrable d'ensembles $F_σ$ est un ensemble $F_σ$ et l'intersection finie d'ensembles $F_σ$ est un ensemble $F_σ.$
* Le complémentaire d'un ensemble $F_σ$ est un ensemble $G_δ.$

## Exemples

* Chaque ensemble fermé est un ensemble $F_σ.$
* L'ensemble $\mathbb {Q}$ des rationnels est un ensemble $F_σ$ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En revanche, l'ensemble $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ des irrationnels n'est pas un ensemble $F_σ$ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle.
* Dans un espace métrisable, chaque ensemble ouvert est un ensemble $F_σ.$
* Dans un espace $T_1,$ chaque ensemble dénombrable est un $F_σ$ car un point ${x}$ constitue un ensemble fermé.
* L'ensemble $A$ de tous les points $(x,y)$ du plan cartésien tels que $x/y$ est rationnel est un ensemble $F_σ$ parce qu'il peut s'exprimer comme l'union dénombrable de toutes les droites passant par l'origine avec une pente rationnelle :

    $A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \},$ où $\mathbb {Q}$ est l'ensemble des rationnels, qui est un ensemble dénombrable.
