Coupe pentagonale de la pyramide régulière à base carrée
# Coupe pentagonale de la pyramide régulière à base carrée

En géométrie, il est possible d'opérer une coupe pentagonale régulière de la pyramide régulière à base carrée. Une telle coupe est représentée sur la figure ci-contre.

## Problématique

Dans l'espace euclidien, on considère une pyramide régulière (toutes ses arêtes sont de même longueur) à base carrée. Il existe alors un plan dont l'intersection avec la pyramide est un pentagone régulier, c'est-à-dire dont tous les côtés sont de même longueur.

## Propriétés de la coupe pentagonale

On note ABCDO la pyramide dont le sommet est O. Le pentagone est noté PQRST où P est situé sur [OC], Q sur [OB], R sur [AB], S sur [AD] et T sur [OD].

Si $a$ est la longueur des arêtes de la pyramide, alors :

* le pentagone a pour côtés (en turquoise sur la figure) : $PQ=QR=RS=ST=TP=(3-{\sqrt {5}})a{\sqrt {2}}/2$ ;
* les cinq sommets du pentagone (en rouge sur la figure) sont situés à la même distance du sommet de la pyramide le plus proche, à savoir $AR=AS=OP=BQ=TD=PQ/{\sqrt {2}}=(3-{\sqrt {5}})a/2$.

## Généralisation de la propriété

Une propriété similaire existe pour le tétraèdre régulier, dont une section est un carré. En revanche, il n'existe pas de coupe hexagonale régulière de la pyramide régulière à base pentagonale.

Plus généralement, si l'on considère une pyramide régulière dont la base est un polygone régulier à n côtés et qu'il existe une section plane (n + 1)-gonale régulière, alors

* soit n = 3 (tétraèdre) ;
* soit n = 4 (pyramide à base carrée).
