D-module
# D-module

En mathématiques, un D-module est un module sur un anneau D d'opérateurs différentiels. L'intérêt principal des D-modules réside en son utilisation dans l'étude d'équations aux dérivées partielles.

## D-modules sur des variétés algébriques

La théorie générale des D-modules nécessite une variété algébrique lisse X définie sur un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle, par exemple K = C. Le faisceau des opérateurs différentiels $D_X$ est défini comme la $O_X-algèbre$ générée par les champs de vecteurs sur X, interprétés comme des dérivations. Un $D_X-module$ (à gauche) M est un $O_X-module$ avec une action de groupe (à gauche) de $D_X.$ Se donner une telle action est équivalent à avoir une application K-linéaire

    $\nabla :D_{X}\rightarrow End_{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}$

satisfaisant :

    $\nabla _{fv}(m)=f\nabla _{v}(m)$
    $\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\nabla _{v}(m)$ (c'est la règle de Leibniz)
    $\nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)$

Où f est une application régulière sur X, v et w sont des champs de vecteurs, m une section locale de M et où [−, −] désigne le commutateur.

