Critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov
# Critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov

Le critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov est un théorème de topologie qui affirme qu'un espace topologique est métrisable si (et seulement si) il est régulier et a une base dénombrablement localement finie. Il a été démontré indépendamment par Jun-iti Nagata (1950), Yu. M. Smirnov (de) (1951) et R. H. Bing (1951).

(Tout espace métrique E possède bien une base réunion dénombrable de familles $F_n$ localement finies, chaque $F_n$ étant obtenue en raffinant (par paracompacité) le recouvrement de E par toutes les boules ouvertes de rayon 1/n.)

On peut en déduire le théorème de métrisabilité de Smirnov : un espace est métrisable si (et seulement si) il est paracompact et localement métrisable. En effet, tout espace paracompact X est normal donc régulier, et s'il est de plus recouvert par des ouverts $U_i$ admettant chacun une base $B_i$ dénombrablement localement finie alors, en se ramenant (par raffinement) au cas où le recouvrement $(U_i)$ est localement fini, la réunion des $B_i$ est une base dénombrablement localement finie de X.

