Courbure moyenne
# Courbure moyenne

En mathématiques, on appelle courbure moyenne d'une surface la moyenne des courbures minimale et maximale. Elle est notée $\gamma$ (ou encore $K_m,$ ou parfois H). C'est un nombre réel, dont le signe dépend du choix fait pour orienter la surface.

S'il est relativement simple de définir le rayon de courbure d'une courbe plane, pour une surface les choses se compliquent. On définit alors un analogue comme suit : en un point, on définit un axe, le vecteur normal à la surface. On imagine ensuite un plan tournant sur cet axe. Ce plan intersecte la surface considérée en une courbe. Il permet donc de définir une infinité de rayons de courbure.

Ces rayons définissent des courbures (inverse du rayon) maximale et minimale (en tenant compte du signe, c’est-à-dire de l’orientation par rapport au vecteur normal). On les appelle les courbures principales, et les plans contenant ces courbures sont représentés ci-contre. Les courbures principales sont donc les courbures, au point considéré, des deux courbes rouges intersections de ces plans et de la surface. À partir de ces deux courbures, plusieurs notions de courbure totale peuvent être définies ; les plus importantes sont la courbure de Gauss et la courbure moyenne.

La courbure moyenne est définie comme la moyenne des deux courbures principales, soit

    $\gamma ={\frac {\gamma _{max}+\gamma _{min}}{2}}$.

La notion de courbure moyenne a été définie par Sophie Germain lors de son étude des vibrations d'une membrane.

## Calcul de la courbure moyenne

### Utilisation d'un paramétrage

Supposons que la surface soit donnée par une équation $z=f(x,y)$, où f est une fonction de classe ${\mathcal {C}}^{2}$. Notons en indice les variables par rapport auxquelles les dérivées sont calculées. Alors, la courbure moyenne au point de paramètre $(x,y)$ vaut :

    $\gamma ={\frac {(1+f_{y}'^{2})f_{xx}''+(1+f_{x}'^{2})f_{yy}''-2f_{x}'f_{y}'f_{xy}''}{2(1+f_{x}'^{2}+f_{y}'^{2})^{3/2}}}$

Soit $(x,y)\to P(x,y,z)={\begin{pmatrix}x\\y\\f(x,y)\end{pmatrix}}$ le paramétrage de la surface, supposée régulière. Une base du plan tangent est donnée par les deux vecteurs ${\frac {\partial P}{\partial x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\f_{x}'\end{pmatrix}}$ et ${\frac {\partial P}{\partial y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\f_{y}'\end{pmatrix}}$. Un vecteur normal à la surface est donné par le vecteur unitaire ${\vec {n}}$ colinéaire à ${\frac {\partial P}{\partial x}}\wedge {\frac {\partial P}{\partial y}}$, à savoir :

    ${\vec {n}}={\frac {1}{\sqrt {1+f_{x}'^{2}+f_{y}'^{2}}}}{\begin{pmatrix}-f_{x}'\\-f_{y}'\\1\end{pmatrix}}$.

Pour calculer la courbure, on utilise le fait qu'elle est égale à la demi-trace de l'endomorphisme de Weingarten, et que cet endomorphisme est celui qui envoie ${\frac {\partial P}{\partial x}}$ sur $-{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial x}}$, et ${\frac {\partial P}{\partial y}}$ sur $-{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial y}}$. On vérifiera alors que :

    $-{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial x}}={\frac {1}{(1+f_{x}'^{2}+f_{y}'^{2})^{3/2}}}\left((f_{xx}''+f_{y}'^{2}f_{xx}''-f_{x}'f_{y}'f_{xy}''){\frac {\partial P}{\partial x}}+(f_{xy}''+f_{x}'^{2}f_{xy}''-f_{x}'f_{y}'f_{xx}''){\frac {\partial P}{\partial y}}\right)$

On obtient un résultat comparable pour $-{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial y}}$ en permutant les indices x et y.

L'endomorphisme de Weingarten a donc pour matrice, dans la base $\left(-{\frac {\partial P}{\partial x}},-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)$ :

    ${\frac {1}{(1+f_{x}'^{2}+f_{y}'^{2})^{3/2}}}{\begin{pmatrix}f_{xx}''+f_{y}'^{2}f_{xx}''-f_{x}'f_{y}'f_{xy}''&f_{xy}''+f_{y}'^{2}f_{xy}''-f_{y}'f_{x}'f_{yy}''\\f_{xy}''+f_{x}'^{2}f_{xy}''-f_{x}'f_{y}'f_{xx}''&f_{yy}''+f_{x}'^{2}f_{yy}''-f_{x}'f_{y}'f_{xy}''\end{pmatrix}}$

La demi-trace de cette matrice donne la formule annoncée.

On reconnaît au numérateur l'expression utilisée dans l'équation aux dérivées partielles caractérisant les surfaces minimales, ces dernières étant de courbure moyenne nulle.

### Utilisation des formes fondamentales

Soit une surface paramétrée au moyen de deux paramètres u et v, et soit $\mathrm {I} =E\mathrm {d} u^{2}+2F\mathrm {d} u\mathrm {d} v+G\mathrm {d} v^{2}$ la première forme fondamentale, $\mathrm {II} =L\mathrm {d} u^{2}+2M\mathrm {d} u\mathrm {d} v+N\mathrm {d} v^{2}$ la seconde forme fondamentale. Alors la courbure moyenne vaut :

    $\gamma ={\frac {LG+EN-2FM}{2(EG-F^{2})}}$

Soit $(u,v)\to P(u,v)$ un paramétrage de la surface, supposée régulière. Une base du plan tangent est donnée par ${\frac {\partial P}{du}}$ et ${\frac {\partial P}{dv}}$. Soient ${\vec {x}}$ et ${\vec {y}}$ deux vecteurs du plan tangent en un point de la surface, et soit X et Y les composantes de ces deux vecteurs dans la base précédente. La première forme fondamentale donne l'expression dans cette base du produit scalaire des deux vecteurs :

    $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =^{t}X{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}Y$

La deuxième forme fondamentale est la forme quadratique associée à l'endomorphisme symétrique de Weingarten W, dont les deux valeurs propres sont les courbures principales de la surface au point considéré.

    $\langle {\vec {x}},W({\vec {y}})\rangle =^{t}X{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}Y$

Par conséquent, si ${\vec {y}}$ est un vecteur propre de l'endomorphisme de Weingarten, de valeur propre $\lambda$, on, a, pour tout ${\vec {x}}$ :

    $\langle {\vec {x}},W({\vec {y}})\rangle =^{t}X{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}Y=\lambda \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =\lambda^{t}X{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}Y$

Cette relation étant vraie pour tout ${\vec {x}}$, on a donc :

    ${\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}Y=\lambda {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}Y$

et donc, la matrice ${\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}-\lambda {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L-\lambda E&M-\lambda F\\M-\lambda F&N-\lambda G\end{pmatrix}}$ est non inversible, puisqu'elle admet la colonne Y non nulle comme élément de son noyau. Son déterminant donne l'équation vérifiée par les courbures principales, à savoir :

    $(EG-F^{2})\lambda ^{2}-(EN+GL-2MF)\lambda +LN-M^{2}=0$

On en tire la demi-somme des deux racines ${\frac {LG+EN-2FM}{2(EG-F^{2})}}$ qui n'est autre que la courbure moyenne cherchée.

