Drapeau (mathématiques)
# Drapeau (mathématiques)

En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :

$\{0\}=E_{0}\subsetneq E_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq E_{k-1}\subsetneq E_{k}=E.$

Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces $E_i$ forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :

$0=d_{0}<d_{1}<\dots <d_{k-1}<d_{k}=n.$

Si $d_i$ = i pour tout i (donc entre autres si k = n), alors le drapeau est dit total ou complet.

## Base adaptée à un drapeau

À toute base $(e_1,$ …, $e_n)$ de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total dont les termes sont constitués des espaces successivement engendrés : $E_{1}={\rm {Vect}}(e_{1}),\ E_{2}={\rm {Vect}}(e_{1},e_{2}),\ldots$

Exemple : si E est l'espace $ℝ_m[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, $X^2,$ …, $X^m)$ et sa dimension est n = m + 1. L'espace $E_0$ = {0} et les espaces $E_{i+1}$ = $ℝ_i[X]$ successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs $e_i$ tels que $e_i$ appartient à $E_i$ mais pas à $E_{i–1}.$

## Drapeau stable par un endomorphisme

Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque $E_i$ est stable par u : $\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\,u(E_{i})\subset E_{i}.$

Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace $ℝ_m[X]$ et le drapeau formé des espaces $ℝ_i[X]$ successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X + 1)), de différence finie (P donne P(X + 1) - P), etc.

## Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

## Les drapeaux dans le cadre euclidien

Lorsque E est un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.

