Espace localement convexe
# Espace localement convexe

En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé.

## Définition

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

* il existe une famille de semi-normes ${\mathcal {P}}$ telle que la topologie de E est initiale pour l'ensemble d'applications $\{x\mapsto p(x-y)\mid y\in E,p\in {\mathcal {P}}\}$ ;
* le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.

Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante.

* (1) ⇒ (2) En effet toute semi-norme p sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0, l'ensemble des x de E vérifiant p(x) < R est convexe.
* (2) ⇒ (1) Soient T la topologie de E, supposée vérifier (2), et T ' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T. Il s'agit de prouver qu'inversement, T ⊂ T '. Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T '-voisinage de 0. Or pour un tel V, par continuité de l'application (λ, v) ↦ λv, il existe un réel α > 0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après (2), tels que$|\lambda |<\alpha$ et $v\in W\;\Rightarrow \lambda v\in V.$V contient alors l'ensemble Ω défini par$\Omega =\bigcup _{|\lambda |<\alpha }\lambda W.$De plus, Ω est voisinage de 0 (donc absorbant), convexe, et équilibré. sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon $^1⁄_2$ est par conséquent un T '-voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V.

## Exemples

* Tout espace vectoriel normé est localement convexe (topologie définie par une seule semi-norme : la norme).
* La topologie faible d'un espace vectoriel topologique est localement convexe. On utilise les formes linéaires continues en module comme famille de semi-normes.
* Sur son dual topologique, les topologies forte et faible-* sont, elles aussi, définies chacune par une famille de semi-normes.

### Contre-exemples

* Pour 0 < p < 1, les espaces métriques de suites $ℓ^p$ et les espaces métriques de fonctions $L^p$ ne sont pas des espaces localement convexes.

## Critère de séparation

Théorème — Pour qu'un espace localement convexe $E$ défini par une famille $(p_{i})_{i\in I}$ de semi-normes soit séparé, il faut et il suffit que pour tout vecteur non nul $v\in E$ il existe une semi-norme $p_{i}$ telle que $p_{i}(v)\neq 0$.

En effet, un espace vectoriel topologique est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de 0 est réduite au singleton {0}, autrement dit si et seulement si pour tout vecteur v non nul, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas v.

## Continuité d'une fonction

Soient $(E,{\mathcal {P}}),(F,{\mathcal {Q}})$ deux espaces localement convexes, dont les topologies sont respectivement définies par des familles de semi-normes ${\mathcal {P}}$ (supposée filtrante) et ${\mathcal {Q}}$ (quelconque), et f une application du premier espace dans le second. La proposition suivante résulte des définitions.

Proposition —

* f est continue en un point v de E si et seulement si

$\forall q\in {\mathcal {Q}}\quad \forall \epsilon >0\quad \exists p\in {\mathcal {P}}\quad \exists \alpha >0\quad \forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha \quad \Rightarrow \quad q(f(w)-f(v))<\epsilon \$.

* f est uniformément continue sur E si et seulement si

$\forall q\in {\mathcal {Q}}\quad \forall \epsilon >0\quad \exists p\in {\mathcal {P}}\quad \exists \alpha >0\quad \forall v\in E\quad \forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha \quad \Rightarrow \quad q(f(w)-f(v))<\epsilon \$.

Par exemple (en prenant $F=\mathbb {R}$ et ${\mathcal {Q}}=(|\ |)$), toutes les semi-normes appartenant à ${\mathcal {P}}$ sont uniformément continues sur E (car 1-lipschitziennes). Une semi-norme q sur E est en fait uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui équivaut à l'existence d'une semi-norme p ∈ ${\mathcal {P}}$ et d'une constante C > 0 telles que q ≤ Cp. On en déduit un analogue pour les applications linéaires :

Proposition — Une application linéaire $T:E\to F$ est uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui se traduit par : $\forall q\in {\mathcal {Q}}\quad \exists p\in {\mathcal {P}}\quad \exists C>0\quad \forall v\in E\quad q(T(v))\leq C\ p(v)\$.

## Métrisabilité

Théorème — Soit E un espace localement convexe séparé, dont la topologie est définie par une famille ${\mathcal {P}}$ de semi-normes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

* E est métrisable.
* Tout point de E possède une base dénombrable de voisinages.
* La topologie de E peut être définie par une sous-famille dénombrable ${\mathcal {D}}\subset {\mathcal {P}}$ de semi-normes.
* La topologie de E peut être définie par une famille dénombrable filtrante de semi-normes.
* La topologie de E peut être définie par une distance invariante par translation.

L'équivalence entre 1, 2 et 5 est un cas particulier du théorème de Birkhoff-Kakutani sur les groupes topologiques. Montrons que 3 et 4 sont aussi équivalents à 2.

* 2 ⇒ 3 : soit $(V_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une base de voisinages de 0. Chaque $V_{n}$ contient une boule de la forme $B_{q_{n}}(0,r_{n})$, où $r_{n}>0$ et $q_{n}=\max _{p\in {\mathcal {D}}_{n}}p$ pour une certaine partie finie ${\mathcal {D}}_{n}\subset {\mathcal {P}}$. La topologie définie par la sous-famille dénombrable ${\mathcal {D}}=\cup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}$ est évidemment moins fine que celle de E, mais également plus fine, par construction.
* 3 ⇒ 4 : soit $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de semi-normes définissant la topologie de E. En posant $q_{n}=\max _{k\leq n}p_{k}$, on obtient une suite filtrante de semi-normes définissant la même topologie.
* 4 ⇒ 2 : soit $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite filtrante de semi-normes définissant la topologie de E, alors chaque point x a une base dénombrable de voisinages, de la forme $V(x,n)=\{y\in E\mid q_{n}(y-x)<2^{-n}\}$.

Les analogues pour p < 1 des espaces $L^p$ avec p ≥ 1 sont métrisables par une distance invariante, mais ne sont pas localement convexes.

Pour tout ouvert non vide $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ l'espace ${\mathcal {D}}(\Omega )$ des fonctions $C^∞$ à support compact de $\Omega$ dans $\mathbb {R}$ est naturellement muni d'une structure localement convexe non métrisable.

Remarquons que tout espace vectoriel topologique normable est localement convexe et métrisable. Cependant la réciproque n'est pas vraie : par exemple l'espace de Schwartz est de Fréchet, en particulier localement convexe et métrisable, mais nucléaire et de dimension infinie, donc non normable. Un autre exemple d'espace localement convexe métrisable mais non normable est $R^N.$

Critère de normabilité de Kolmogorov (1934) —

* Un espace localement convexe est semi-normable si et seulement s'il est localement borné, c'est-à-dire si 0 possède un voisinage borné.
* Un espace vectoriel topologique est donc normable si et seulement s'il est séparé, localement convexe et localement borné.

## Espace de Fréchet

Un espace de Fréchet est un espace localement convexe qui est à la fois métrisable et complet au sens des espaces uniformes, ou plus simplement : un espace localement convexe complètement métrisable (c'est-à-dire dont la topologie est induite par une distance complète).

