Courbe tracée sur une surface
# Courbe tracée sur une surface

En géométrie différentielle, une courbe tracée sur une surface Σ est une application différentiable $c:I\to \mathbb {R} ^{3}$ d'image $c(I)$ contenue dans Σ.

## Exemples remarquables

* Sur la sphère unité $S^2$ de $ℝ^3,$ un grand cercle est la trace sur $S^2$ d'un plan vectoriel. C'est la courbe tracée sur $S^2$ donnée par$c:\theta \mapsto (\cos \theta )~V+(\sin \theta )~W$où V et W sont deux vecteurs unitaires orthogonaux.
* Sur une surface Σ, une géodésique est une courbe c tracée sur Σ dont l'accélération $c''(t)$ est orthogonale à Σ. Les grands cercles sur les sphères sont des géodésiques. Ce sont les seules.
* À Pâques, les artistes dessinent sur des œufs. Les motifs dorés ci-contre sont des courbes tracées sur la coquille.
* Plus généralement, les dessins sur les objets consistent en des remplissages de domaines délimités par des courbes tracées sur la surface de l'objet.

## Propriétés métriques

L'utilisation de courbes tracées sur une surface Σ permet de faire le lien entre courbure d'une courbe et seconde forme fondamentale II de Σ, objet mathématique permettant le calcul des courbures principales de Σ.

   Si c est une courbe tracée sur la surface, $P=c(0)$ et $V=c'(0)$, alors $\mathrm {II} _{P}(V)$ est la composante normale à Σ de l'accélération $c''(0)$ :
   $\mathrm {II} _{P}(V)=\langle c''(0)|\nu (P)\rangle .$

Introduisons $v(t)$ le projeté orthogonal de $c(t)-P$ sur le plan vectoriel $T_{P}\Sigma$. Localement, Σ est le graphe d'une fonction f définie sur le plan tangent $T_{P}\Sigma$. Pour t proche de 0, il vient : $P+v(t)+f(v(t))\nu (P)=c(t)=P+tV+{\frac {t^{2}}{2}}c''(0)+o(t^{2})$ donc $f(v(t))={\frac {t^{2}}{2}}\langle c''(0)|\nu (P)\rangle +o(t^{2}){\text{ et }}v(t)=tV+o(t).$ Or par définition de la seconde forme fondamentale, $\mathrm {II} _{P}$ est le double de la partie principale du développement limité de f en 0 à l'ordre 2. De ce fait, il vient : ${\frac {t^{2}}{2}}\langle c''(0)|\nu (P)\rangle +o(t^{2})=f(v(t))={\frac {t^{2}}{2}}~\mathrm {II} _{P}(V)+o(t^{2}),$ d'où le résultat annoncé.

