Développement limité
# Développement limité

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

* d'une fonction polynomiale ;
* d'un reste négligeable au voisinage du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

## Définitions

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I, et $x_0$ ∈ I. On dit que f admet un développement limité d'ordre n (abrégé par $DL_n)$ en $x_0,$ s'il existe n + 1 réels $a_0,$ $a_1,$ ..., $a_n$ tels que la fonction $R:I\to \mathbb {R}$ définie par :

$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+R(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{0})^{i}+R(x)$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {R(x)}{(x-x_{0})^{n}}}=0.$

Les fonctions R vérifiant ceci sont notées o((x – $x_0)^n)$ (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

$f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{0})^{i}+o((x-x_{0})^{n}).$

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x = $x_0$ + h :

$f(x_{0}+h)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}h^{i}+o(h^{n}).$

### Conséquences immédiates

   * Si f admet un $DL_0$ en $x_0,$ alors $a_0$ = f $(x_0).$

   * Si f admet un $DL_n$ en $x_0,$ alors elle admet un $DL_k$ en $x_0$ pour tout entier k < n.

   * Une condition nécessaire et suffisante pour que f admette un $DL_n$ en $x_0$ est l'existence d'un polynôme P tel que f(x) = P(x) + o((x – $x_0)^n).$ S'il existe un tel polynôme P, alors il en existe une infinité d'autres, mais un seul d'entre eux est de degré inférieur ou égal à n : le reste de la division euclidienne de P(X) par (X – $x_0)^{n+1}.$ On l'appelle la partie régulière, ou partie principale, du $DL_n$ de f en $x_0.$ On identifie parfois, par abus de langage, le $DL_n$ avec sa partie régulière.

## Opérations sur les développements limités

### Somme

    Si f et g admettent deux $DL_n$ en $x_0,$ alors f + g admet un $DL_n$ en $x_0,$ dont la partie régulière s'obtient en sommant les deux parties régulières des $DL_n$ de f et g.

### Multiplication par un scalaire

    Si f admet un $DL_n$ en $x_0,$ alors λf admet un $DL_n$ en $x_0,$ dont la partie régulière s'obtient en multipliant la partie régulière du $DL_n$ de f par λ.

### Produit

    Si f et g admettent deux $DL_n$ en $x_0,$ de parties régulières respectives P et Q, alors fg et PQ admettent un $DL_n$ en $x_0,$ de même partie régulière.
    Si $x_0$ = 0, cette partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par $X^{n+1}.$

### Inverse

    Si $u(x_0)$ = 0 et si u admet un $DL_n$ en $x_0,$ alors 1/1 – u admet un $DL_n.$ La partie régulière de ce développement limité est celle du $DL_n$ de $\sum _{k=0}^{n}u^{k}$ en $x_0.$

### Quotient

    On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.

### Composition

    Si u admet un $DL_n$ en $x_0$ de partie régulière P et si v admet un $DL_n$ en $u(x_0)$ de partie régulière Q, alors v ∘ u et Q ∘ P possèdent un $DL_n$ en $x_0,$ de même partie régulière.

### « Intégration »

    Si f admet un $DL_n$ en $x_0,$ $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{0})^{i}+o((x-x_{0})^{n})$, alors toute primitive F de f admet un $DL_{n+1}$ en $x_0$ qui est
    $F(x)=F(x_{0})+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{i+1}}(x-x_{0})^{i+1}+o((x-x_{0})^{n+1}).$

### Dérivation

    Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un $DL_n$ en $x_0$ pour la dérivée d'une fonction admettant un $DL_{n+1}$ en $x_0.$
    Par exemple, en 0, la fonction x ↦ $x^3sin(1/x)$ – prolongée par 0 ↦ 0 – admet un $DL_2$ (il s'agit de 0 + $o(x^2))$ mais sa dérivée n'admet pas de $DL_1.$
    Par contre, comme déjà dit, si F ' admet un $DL_n$ en $x_0,$ alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du $DL_{n+1}$ de F en $x_0.$

## Développement limité et fonctions dérivables

Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction f dérivable n fois au point $x_0$ (avec $n\geq 1$) admet un $DL_n$ en ce point : $f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})$ soit en écriture abrégée $f(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}(x-x_{0})^{i}+o((x-x_{0})^{n})$.

On le démontre par récurrence sur n, grâce au théorème ci-dessus d'« intégration » terme à terme d'un DL.

L'existence d'un $DL_0$ en $x_0$ équivaut à la continuité en $x_0,$ et l'existence d'un $DL_1$ en $x_0$ équivaut à la dérivabilité en $x_0.$ En revanche, pour $n\geq 2$, l'existence d'un $DL_n$ en $x_0$ n'implique pas que la fonction soit $n$ fois dérivable en $x_0$ (par exemple x ↦ $x^3sin(1/x)$ — prolongée par continuité en 0 — admet, en 0, un $DL_2$ mais pas de dérivée seconde).

## Quelques utilisations

Le développement d'ordre 0 en $x_0$ revient à écrire que f est continue en $x_0$ : $f(x)=f(x_{0})+o((x-x_{0})^{0})=f(x_{0})+o(1)$

Le développement limité d'ordre 1 en $x_0$ revient à approcher une courbe par sa tangente en $x_0$ ; on parle aussi d'approximation affine : $f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})$. Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en $x_0.$

Le développement limité d'ordre 2 en $x_0$ revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique, en $x_0.$ Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de $x_0,$ pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable h = 1/x permet, à l'aide d'un $DL_0$ en 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un $DL_1$ en 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le $DL_2$ permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

## Quelques exemples

Les fonctions suivantes possèdent des $DL_n$ en 0 pour tout entier n.

* ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{i=0}^{n}x^{i}+{\frac {x^{n+1}}{1-x}}=\sum _{i=0}^{n}x^{i}+o(x^{n})$ (la première égalité se déduit du terme général de la série géométrique).
* ln(1 + x) $=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}+o(x^{m})$ par intégration de la formule précédente pour n = m – 1, changement de x en –x et changement d'indice k = i + 1
* $e^x$ $=\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}x^{i}+o(x^{n})$ (en utilisant la formule de Taylor)
* sin $x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}+o(x^{2n+2})$ à l'ordre 2n + 2. La partie principale du DL à l'ordre 2n + 1 est la même car le terme en $x^{2n+2}$ est nul (comme tous les termes d'exposant pair) et $o(x^{2n+2})$ = $o(x^{2n+1}).$
* cos $x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}+o(x^{2n+1})$ à l'ordre 2n + 1. La partie principale du DL à l'ordre 2n est la même, car le terme en $x^{2n+1}$ est nul (comme tous les termes d'exposant impair) et $o(x^{2n+1})$ = $o(x^{2n}).$
* (1 + $x)^a$ $=1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i!}}\left(\prod \limits _{j=0}^{i-1}(a-j)\right)x^{i}+o(x^{n}).$

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

### Formulaire

Plusieurs fonctions usuelles admettent un développement limité en 0, qui peuvent être utilisés pour développer des fonctions spéciales :

* (1 + $x)^a$ $=1+ax+{\frac {a(a-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +{\frac {a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}}x^{n}+o(x^{n})$
* ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{n}+o(x^{n})$
* ${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots +(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})$
* ln $(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}+o(x^{n})$
* ln $(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+o(x^{n})$
* $e^x$ $=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+o(x^{n})$
* cos $x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+o(x^{2n+1})$
* sin $x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+2})$
* tan $x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots +{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}+o(x^{2n})$, où les $B_{n}$ sont les nombres de Bernoulli.
* cosh $x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots +{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+o(x^{2n+1})$
* sinh $x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+2})$
* tanh $x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots +{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}+o(x^{2n})$
* arcsin $x=x+{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 3\cdot x^{5}}{2\cdot 4\cdot 5}}+\cdots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}}+o(x^{2n+2})$
* arccos $x={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}-{\frac {1\cdot 3\cdot x^{5}}{2\cdot 4\cdot 5}}-\cdots -{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}}+o(x^{2n+2})$
* arctan $x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+o(x^{2n+2})$
* arsinh $x=x-{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}}+o(x^{2n+2})$
* artanh $x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+o(x^{2n+2})$

### Approximations affines : développements limités d'ordre 1

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 (encore appelés « approximations affines », ou « approximations affines tangentes »), qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision ; ils sont donnés, au point $x_0,$ par :

$f(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0})+o(x-x_{0})$

(on retrouve l'équation de la tangente au graphe de f).

En particulier, on a, au point 0 :

* $(1+x)^{a}=1+ax+o(x)$ et donc
   * ${\frac {1}{1+x}}=1-x+o(x)$ et
   * ${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}+o(x)~;$
* $\ln {(1+x)}=x+o(x)~;$
* ${\rm {e}}^{x}=1+x+o(x).$

### Développements usuels en 0 de fonctions trigonométriques

* À l'ordre 2 :
   * $\sin x=x+o(x^{2})$, $\arcsin x=x+o(x^{2})$,
   * $\tan x=x+o(x^{2})$, $\arctan x=x+o(x^{2})$,ces formules étant souvent connues sous le nom d'approximations des petits angles, et
* à l'ordre 3 :$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+o(x^{3})$.
