Canonique (mathématiques)
# Canonique (mathématiques)

En mathématiques, l'adjectif « canonique » a principalement deux emplois spécifiques :

* il qualifie des formes d'expressions algébriques censément plus simples et en tout cas auxquelles se ramènent toutes les expressions d'un certain type, ce qui permet de les distinguer et de les classifier ;
* il désigne un élément classiquement choisi parmi un ensemble d'éléments aux propriétés analogues.

L'existence d'une forme canonique, et d'une méthode générale pour mettre sous cette forme tous les éléments d'un ensemble donné, est une propriété essentielle, et même nécessaire, à la « calculabilité » sur cet ensemble.

## Formes canoniques

### En arithmétique

* L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers premiers entre eux.
* La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles.
* Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers (voir « Décomposition en produit de facteurs premiers »).

### En algèbre

* La forme canonique d'un polynôme du second degré est une combinaison linéaire avec le carré d'un polynôme unitaire du premier degré et une constante. La méthode pour mettre un trinôme de degré deux sous forme canonique est la complétion du carré.

### En algèbre linéaire

* Dans la théorie de la réduction d'opérateurs est invoquée la forme canonique de Jordan d'une matrice carrée (voir « réduction de Jordan »).
* Une quadrique a une forme canonique.

## Éléments de référence

### En algèbre linéaire

* La base canonique de $R^n$ est la suite des vecteurs dont les composantes sont toutes nulles sauf une qui vaut 1.
* Il existe une injection linéaire canonique d'un espace vectoriel dans son bidual.

### En théorie des ensembles

* L'injection canonique est l'injection définie par un sous-ensemble d'un ensemble.
* La surjection canonique ou projection canonique est la surjection associée à une relation d'équivalence sur un ensemble.
* La décomposition canonique d'une application est son écriture comme composée d'une surjection et d'une injection.

## Informatique et autres applications

Dans le domaine de l'écologie des populations, certains modélisateurs ou expérimentateurs et certains logiciels utilisent la notion de communautés canoniques (simplifiées ou non).

