Centre d'un groupe
# Centre d'un groupe

En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres.

## Définition

Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre $Z_G$ est

$Z_{G}=\left\{z\in G\mid \forall g\in G\quad gz=zg\right\}$

## Propriétés

* Dans G, $Z_G$ est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique.
* Tout sous-groupe de $Z_G$ est sous-groupe normal de G.
* $Z_G$ est abélien.

## Exemples

* Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : $Z_G$ = G.
* Le centre du groupe alterné $A_n$ est trivial pour n ≥ 4.
* Le centre du groupe linéaire $GL_n(R)$ est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles, pour tout anneau commutatif R.

## Application

L'action par conjugaison de G sur lui-même est le morphisme de G dans le groupe des automorphismes de G $\iota :G\to Aut(G),\,g\mapsto \iota _{g},$

où $ι_g$ est l'automorphisme intérieur défini par $\iota _{g}:G\to G,h\mapsto ghg^{-1}.$

Son noyau et son image sont

$\ker(\iota )=Z_{G}\quad {\text{ et }}{\mbox{im}}(\iota )={\mbox{Int}}(G).$

Le sous-groupe Int(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

$G/Z_{G}\simeq {\mbox{Int}}(G).$

