Catégorie des groupes abéliens
# Catégorie des groupes abéliens

En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.

## Définition

### Catégorie des groupes abéliens

La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :

* Les objets sont les groupes abéliens ;
* Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes.

C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.

La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur $\mathbb {Z}$ :

    $\mathrm {Ab} \simeq \mathbb {Z} {\text{-}}\mathrm {Mod}$.

### Catégories enrichies sur Ab

La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).

## Adjonctions

On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe $U:\mathrm {Ab} \to \mathrm {Set}$. Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre $F:\mathrm {Set} \to \mathrm {Ab}$ qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.

## Propriétés de la catégorie des groupes abéliens

### Propriétés catégoriques

* Ab est concrète ;
* Ab est une catégorie complète et cocomplète ;
* Ab est préadditive et additive ;
* Ab est une catégorie abélienne, en particulier on peut y définir une notion de suite exacte ;
* Ab est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel sur $\mathbb {Z}$ comme produit monoïdal, et une catégorie monoïdale pour la somme directe ;
* Ces deux structures sont compatibles sur Ab, c'est donc une catégorie bimonoïdale ;
* Ab n'est pas cartésienne fermée, ce n'est donc pas un topos ;
* Ab est une catégorie de Grothendieck (en) ;

### Objets

* L'objet initial, final et zéro de Ab est le groupe trivial 1 ;
* Les objets injectifs (en) de Ab sont les groupes divisibles ;
* Les objets projectifs sont les groupes abéliens libres ;
* Ab n'a pas d'objet exponentiel ;
* Le générateur projectif de Ab est $\mathbb {Z}$ ;
* Le cogénérateur injectif de Ab est $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ;

### Morphismes

* Les monomorphismes sont les morphismes de groupes injectifs ;
* Les épimorphismes sont les morphismes de groupes surjectifs ;
* Les isomorphismes sont les morphismes de groupes bijectifs ;

### Limites

* Le produit dans Ab est le produit direct de groupes ;
* Le coproduit dans Ab correspond à la somme directe de groupes ;
* Le noyau correspond au noyau au sens algébrique ;
* Le conoyau d'un morphisme f : A → B est le groupe quotient B/f(A).

## Note et référence

### Note

* ↑ C'est le critère de Baer sur les modules injectifs.

### Référence

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]

