Catégorie des anneaux
# Catégorie des anneaux

En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire.

## Définition

### Catégorie des anneaux

La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi :

* Les objets sont les anneaux ;
* Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné.

### Catégorie des anneaux commutatifs

La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une sous-catégorie réflexive (en) : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur

    $\mathrm {Ring} \to \mathrm {CRing}$

qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion

    $\mathrm {CRing} \hookrightarrow \mathrm {Ring}$

La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites).

En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec :

    $\mathrm {Spec} :\mathrm {Aff} \to \mathrm {CRing}$.

## Adjonctions

Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli

    $A:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Ab}$ (oubli de la structure multiplicative)
    $M:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Mon}$ (oubli de la structure additive)

Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G). Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde $\mathbb {Z} [N]$.

En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli

    $U:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Set}$

dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble.

## Propriétés de la catégorie des anneaux

### Propriétés catégoriques

* Ring est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
* Ring est une catégorie concrète ;
* Ring est une catégorie complète et cocomplète ;
* Ring est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel $\otimes _{\mathbb {Z} }$ comme produit monoïdal et $\mathbb {Z}$ comme unité ;
* Ring n'est ni préadditive, ni additive, ni abélienne car elle n'admet pas d'objet zéro ;
* Un monoïde sur Ring est un anneau commutatif, c'est le théorème d'Eckmann-Hilton (en) ;

### Objets

* L'objet initial est l'anneau des entiers relatifs $\mathbb {Z}$ ;
* L'objet injectif (en) et l'objet terminal est l'anneau trivial 1 ;
* Ring n'a pas d'objet zéro.

### Morphismes

* Les isomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneaux bijectifs ;
* Les monomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneau injectifs ;
* Les épimorphismes réguliers correspondent aux épimorphismes extrémaux, qui sont dans Ring les morphismes d'anneaux surjectifs. Tout morphisme d'anneaux surjectif est donc un épimorphisme, mais la réciproque n'est pas vraie ;
* Les bimorphismes de Ring sont les épimorphismes injectifs, et ne coïncident donc pas avec les isomorphismes ;

### Limites

* Les foncteurs d'oubli vers Ab, Mon ou Set créent et préservent les limites et les colimites filtrées (mais pas les coproduits ou coégaliseurs en général)
* Le produit dans Ring est le produit d'anneaux ;
* Le coproduit dans Ring est le produit libre d'anneaux ;
* L'égaliseur correspond à l'égaliseur dans la catégorie des ensembles ;
* Le coégaliseur de deux morphismes d'anneaux f, g : R → S est le quotient R/I où I est l'idéal engendré par les éléments de la forme f(r) - g(r), où r est un élément de R.
* La limite projective dans Ring des anneaux d'entiers modulo $p^{n}$ correspond à l'anneau des nombres p-adiques
