Capacité thermique isochore
# Capacité thermique isochore

La capacité thermique isochore, que l'on note le plus souvent $C_{V}~$, se définit par la dérivée partielle de l'énergie interne U par rapport à la température T calculée à volume V constant, soit :

* $C_{V}\ =\ \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$

Comme l'énergie interne, c'est une grandeur extensive, qui s'exprime en joules par kelvin. Elle dépend en général de la température T et du volume V.

## Exemple

Pour n moles d'un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne se calcule explicitement :

* $U(T)\ =\ {\frac {3}{2}}\ n\ R\ T$

où R est la constante des gaz parfaits. L'énergie interne est ici indépendante du volume V, et la capacité thermique isochore est dans ce cas particulier égale à une constante :

* $C_{V}\ =\ {\frac {3}{2}}\ n\ R$

## Propriété

L'énergie interne U(T,V) étant en général une fonction de la température T et du volume V, la capacité thermique isochore s'introduit naturellement dans la forme différentielle :

* $dU\ =\ C_{V}\ dT\ +\ (l-p)\ dV$

où l est un coefficient calorimétrique.

### Variation avec le volume

L'énergie interne U étant une fonction d'état, la forme différentielle précédente est une différentielle exacte, et on en déduit la relation :

* $\left({\frac {\partial C_{V}}{\partial V}}\right)_{T}\ =\ \left({\frac {\partial (l-p)}{\partial T}}\right)_{V}\ =\ \left({\frac {\partial l}{\partial T}}\right)_{V}\ -\ \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$

La thermodynamique permet de montrer par ailleurs que le coefficient calorimétrique l est égal à :

* $l\ =\ T\ \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$

On en déduit la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport au volume à température constante :

* $\left({\frac {\partial C_{V}}{\partial V}}\right)_{T}\ =\ T\ \left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial T^{2}}}\right)_{V}$

Si l'on connait l'équation d'état du système étudié, on peut donc calculer cette dérivée partielle.

### Variation avec la température

La thermodynamique ne permet pas de calculer la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport à la température à volume constant :

* $\left({\frac {\partial C_{V}}{\partial T}}\right)_{V}\ =\ \mathrm {?}$

Cette variation doit donc être mesurée expérimentalement pour chaque système.

