Centre (algèbre)
# Centre (algèbre)

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, le centre d'une structure algébrique est l'ensemble des éléments de cette structure qui commutent avec tous les autres éléments.

## Groupes

Le centre d'un groupe G est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de G. On le note Z(G) :

    $Z(G)=\left\{g\in G/\forall x\in G,gx=xg\right\}$

Z(G) est un sous-groupe abélien de G, normal et même caractéristique.

## Anneaux

Soit ( A , + , · ) un anneau .

Le centre de ( A , + , · ) est le sous-ensemble de A formé par tous les éléments x de A tels que x · r = r · x pour tout r de A .

Le centre de A est un sous-anneau de A, et est commutatif. Si, de plus, ce centre est un corps, alors A est une algèbre sur son propre centre.

## Corps

Soit ( K , + , · ) un corps gauche.

Le centre de ( K , + , · ) est le sous-ensemble de K formé par tous les éléments x de K tels que x · r = r · x pour tout r de K .

Le centre de K est un sous-corps commutatif de K . Par conséquent K est une algèbre sur son propre centre.

## Algèbres

Le centre d'une algèbre E est constitué de tous les éléments x de E tels que x · a = a · x pour tout a de E.

Le centre d'une algèbre de Lie L est formé de tous les éléments x de L tels que [x,a] = 0 pour tout a de L. Il s'agit également d'un idéal de L.

