Anneau semi-primitif
# Anneau semi-primitif

En algèbre, un anneau est dit semi-primitif (ou Jacobson-semi-simple, ou J-semi-simple) si son radical de Jacobson est l'idéal nul.

C'est un type d'anneau plus général que celui d'anneau semi-simple, mais dont les modules simples fournissent suffisamment d'informations sur l'anneau.

## Propriétés

* Un anneau $R$ est semi-primitif si et seulement si pour tout $x\in R^{*}$, il existe $y\in R$ tel que $yx+1\notin R^{\times }$ (le groupe des inversibles de $R$) ou encore si pour tout idéal non nul $I$ de $R$, $1+I\not \subset R^{\times }$.
* Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il a un module à gauche semi-simple fidèle ou, ce qui est équivalent, s'il a un module à droite semi-simple fidèle.
* Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct (en) d'anneaux primitifs (en). Ces derniers sont décrits par le théorème de densité de Jacobson (en).
* En particulier :
   * un anneau commutatif est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct de corps ;
   * tout produit sous-direct d'anneaux unitaires simples est semi-primitif, mais la réciproque est fausse (voir infra).
* Un anneau est semi-simple si et seulement s'il est semi-primitif et artinien à gauche. De tels anneaux sont parfois dits « artiniens semi-simples ».

## Exemples

* Tout anneau intègre $R$ tel que $|R|>|R^{\times }|$ est semi-primitif. Par exemple : l'anneau des entiers et celui des entiers de Gauss sont semi-primitifs.
* L'anneau des entiers algébriques de tout corps de nombres est semi-primitif.
* Plus généralement, toute algèbre de type fini intègre sur un anneau semi-primitif intègre est semi-primitive.
* L'anneau des entiers algébriques est semi-primitif.
* L'anneau $C(X)$ des fonctions continues d'un espace topologique $X$ dans $\mathbb {R}$ est semi-primitif (car pour chaque point $x$ de $X$, l'idéal des fonctions nulles en $x$ est maximal). De même, l'anneau des fonctions entières est semi-primitif.
* Tout produit d'anneaux semi-primitifs est semi-primitif.
* L'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension dénombrable est semi-primitif mais n'est pas un produit sous-direct d'anneaux simples.
* Tout anneau régulier au sens de von Neumann (en) est semi-primitif.
