Algorithme de Jaumain
# Algorithme de Jaumain

L'algorithme de Jaumain (ou algorithme des échéances moyennes) a pour but de calculer le taux de rentabilité interne (TRI), c’est-à-dire le taux d'actualisation qui annule la valeur actuelle nette (VAN) d'une série de flux financiers. Dans le cas particulier où les échéances sont équidistantes, le problème n’est pas susceptible d’une solution algébrique dès que le nombre de ces échéances est supérieur à 5, c’est-à-dire dès que le degré de l’équation est supérieur à 4. C’est donc à des méthodes d’itération qu’il convient de faire appel, comme la méthode de Newton-Raphson. La méthode présentée ici, conçue en 1979 par Christian Jaumain, est a priori spécifique aux opérations financières ; elle s’applique à toute série de flux, quels qu’en soient les montants, le nombre et l’époque des échéances.

## Échéance moyenne

On note (F , t) le flux financier F échéant à la date t. On appelle échéance moyenne des flux $(F_1$ , $t_1),$ ..., $(F_n$ , $t_n)$ avec $F_k$ ≥ 0 la date τ telle que :

    $(F_{1},t_{1})+...+(F_{n},t_{n})=(F,\tau )$ où $F=F_{1}+...+F_{n}$

La valeur τ est par exemple la date à laquelle un débiteur pourrait s’acquitter des dettes $F_1,$ ..., $F_n$ échéant respectivement aux dates $t_1,$ ..., $t_n$ par un paiement unique F égal à la somme arithmétique des dettes.

En égalant les valeurs actuelles, on obtient :

    $Fv^{\tau }=\sum _{k=1}^{n}F_{k}v^{t_{k}}=F_{1}v^{t_{1}}+...+F_{n}v^{t_{n}}$

d'où : $\tau ={\frac {1}{\ln v}}\ln \left({\frac {F_{1}v^{t_{1}}+...+F_{n}v^{t_{n}}}{F}}\right)={\frac {\ln \left(F_{1}v^{t_{1}}+...+F_{n}v^{t_{n}}\right)-\ln F}{\ln v}}$

L’échéance moyenne dépend du taux d’actualisation adopté pour le calcul des valeurs actuelles. De manière plus précise, on note τ(i) l’échéance moyenne au taux d’actualisation i des flux $(F_1,$ $t_1),$ ..., $(F_n,$ $t_n).$

## Étude de l’échéance moyenne en fonction du taux d’actualisation

Pour i=0, c’est-à-dire pour v = 1, la fonction τ(i) prend la forme indéterminée 0/0. En appliquant le théorème de l'Hospital, on obtient la vraie valeur :

    $\tau (i=0)={\frac {F_{1}t_{1}+...+F_{n}t_{n}}{F}}$

La valeur τ(i = 0) est donc l’échéance moyenne à intérêt simple des flux $(F_1$ , $t_1),$ ..., $(F_n$ , $t_n).$ C’est le barycentre des points $t_1,$ ... $t_n$ de masse respective $F_1,$ …, $F_n$ c’est-à-dire la moyenne pondérée des échéances des flux.

Ce résultat fournit une interprétation financière remarquable du concept mathématique de vraie valeur.

Si i=0, l’égalité $Fv^{\tau }=F_{1}v^{t_{1}}+...+F_{n}v^{t_{n}}$ est vérifiée quel que soit τ : l’emprunteur peut s’acquitter à n’importe quelle date des dettes $F_1,$ ..., $F_n$ par le paiement unique F = $F_1$ + ... + $F_n.$ Dans ce cas on peut donc, du point de vue financier, assigner à τ n’importe quelle valeur. La vraie valeur est, parmi cette infinité de valeurs qui toutes conviennent financièrement, la seule qui rende la fonction τ(i) continue quand i=0.

On démontre par ailleurs que τ est compris entre le plus petit et le plus grand des $t_k$ et que, lorsque i→∞, τ tend vers le plus petit des $t_k.$

En effet, si $t_1$ < $t_2$ < … < $t_n$ alors :

    ${\frac {F_{1}t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {F_{2}t_{2}}{F_{2}}}<...<{\frac {F_{n}t_{n}}{F_{n}}}$

Il en résulte que : ${\frac {F_{1}t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {F_{1}t_{1}+F_{2}t_{2}}{F_{1}+F_{2}}}<{\frac {F_{2}t_{2}}{F_{2}}}$

    ${\frac {F_{1}t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {F_{1}t_{1}+F_{2}t_{2}+F_{3}t_{3}}{F_{1}+F_{2}+F_{3}}}<{\frac {F_{3}t_{3}}{F_{3}}}$

et ainsi de suite. Finalement : ${\frac {F_{1}t_{1}}{F_{1}}}<{\frac {\sum _{k}F_{k}t_{k}}{\sum _{k}F_{k}}}<{\frac {F_{n}t_{n}}{F_{n}}}$

c’est-à-dire : $t_{1}<\tau (i=0)<t_{n}$

Pour i = ∞, c’est-à-dire pour v=0, la fonction τ(i) prend la forme indéterminée ∞/∞. En appliquant le théorème de l'Hospital, on obtient la vraie valeur :

    $\tau (\infty )=t_{1}$

On démontre enfin que la dérivée de τ(v) par rapport à v est nulle pour v=1 c’est-à-dire pour i=0 et est positive pour v<1, de sorte que τ est une fonction croissante de v<1 donc décroissante de i>0.

La dérivée de τ(v) vaut :

    $\tau '(v)={\frac {-1}{v\ln ^{2}v}}{\frac {\sum _{k}F_{k}v^{t_{k}}}{\sum _{k}F_{k}}}+{\frac {1}{\ln v}}{\frac {\sum _{k}F_{k}t_{k}v^{t_{k}-1}}{\sum _{k}F_{k}v^{t_{k}}}}={\frac {1}{v\ln ^{2}v}}\left(\ln v{\frac {\sum _{k}F_{k}t_{k}v^{t_{k}}}{\sum _{k}F_{k}v^{t_{k}}}}-{\frac {\sum _{k}F_{k}v^{t_{k}}}{\sum _{k}F_{k}}}\right)$

est du signe de

    $z(v)={\frac {\sum _{k}F_{k}t_{k}v^{t_{k}}}{\sum _{k}F_{k}v^{t_{k}}}}\ln v-{\frac {\sum _{k}F_{k}v^{t_{k}}}{\sum _{k}F_{k}}}$

qui est nul pour v = 1. La dérivée de z(v) est du signe de

    $\left(\sum _{k}F_{k}t_{k}v^{t_{k}}\right)\left(\sum _{k}F_{k}t_{k}v^{t_{k}-1}\right)-\left(\sum _{k}F_{k}t_{k}^{2}v^{t_{k}-1}\right)\left(\sum _{k}F_{k}v^{t_{k}}\right)$

Or, on démontre que :

    $\left(\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}B_{k}C_{k}\right)-\left(\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}B_{k}\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}C_{k}\right)=\sum _{h=0}^{n-2}\sum _{l=1,l>h}^{n-1}A_{h}A_{l}(B_{h}-B_{l})(C_{h}-C_{l})$

On a en effet

    $\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}\sum _{j=0}^{n-1}A_{j}B_{j}C_{j}-\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}B_{i}\sum _{j=0}^{n-1}A_{j}C_{j}=\sum _{h=0}^{n-2}\sum _{l=1,l>h}^{n-1}A_{h}A_{l}(B_{h}-B_{l})(C_{h}-C_{l})$

Le premier membre peut s'écrire :

    ${\begin{aligned}\sum _{h=0}^{n-1}A_{h}\sum _{l=0}^{n-1}A_{l}B_{l}C_{l}&-\sum _{h=0}^{n-1}A_{h}B_{h}\sum _{l=0}^{n-1}A_{l}C_{l}\\&=(\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l>h}^{n-1}+\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l<h}^{n-1})(A_{h}A_{l}B_{l}C_{l}-A_{h}B_{h}A_{l}C_{l})\\&=(\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l>h}^{n-1}+\sum _{h=0}^{n-1}\sum _{l=0,l<h}^{n-1})(A_{h}A_{l}B_{l}C_{l}-A_{h}B_{h}A_{l}C_{l}+A_{l}A_{h}B_{h}C_{h}-A_{l}B_{l}A_{h}C_{h})\\&=\sum _{h=0}^{n-2}\sum _{l=1,l>h}^{n-1}A_{h}A_{l}(B_{l}C_{l}-B_{h}C_{l}+B_{h}C_{h}-B_{l}C_{h})\end{aligned}}$

d'où la relation annoncée.

Si $A_{k}=F_{k}v^{t_{k}},\ B_{k}=t_{k},\ C_{k}=t_{k}/v$, on voit que z’(v) est du signe de :

    $-\sum _{h=1}^{n-1}\sum _{l=2,l>h}^{n}F_{h}F_{l}v^{t_{h}+t_{l}-1}(t_{h}-t_{l})^{2}$

qui est négatif puisque les $F_k$ sont positifs. z(v) est donc une fonction décroissante de v. Or z(1) = 0. Par conséquent z(v) > 0 pour v < 1.

La dérivée de τ(v) par rapport à v est donc bien positive pour v < 1, c'est-à-dire pour i > 0, de sorte que τ est une fonction croissante de v < 1 donc décroissante de i > 0.

## Algorithme de Jaumain (ou algorithme des échéances moyennes)

Cet algorithme a été proposé par Christian $Jaumain^,^,^,^,^,.$ La méthode a été reprise dans H.U. Gerber.

Soit les deux séries de flux financiers $(C_1,$ $r_1)$ + ... + $(C_n,$ $r_n)$ et $(D_1,$ $s_1)$ + ...+ $(D_n,$ $s_n),$ telles que :

    $\sum _{k=1}^{n}(C_{k},r_{k})=\sum _{k=1}^{n}(D_{k},s_{k})$

Cette relation signifie qu’il revient au même de posséder – ou d’être redevable – des capitaux $C_1,$ …, $C_n$ aux dates respectives $r_1,$ ..., $r_n$ et de posséder – ou d’être redevable – des capitaux $D_1,$ …, $D_n$ aux dates respectives $s_1,$ ..., $s_n.$

Ainsi par exemple, si i est l’intérêt annuel payable à terme échu d’un capital unitaire :

    (1 ; 0) = (i ; 1) + (i ; 2) + … + (i ; n–1) + (1+i ; n)

Sans nuire à la généralité on peut, quel que soit k, supposer :

* les $C_k$ et $D_k$ sont positifs, quitte à transposer des termes de l’égalité d’un membre dans l’autre.
* le nombre des $C_k$ égal à celui des $D_k,$ certains d’entre eux pouvant être nuls.

L’équilibre financier entre les deux séries $(C_1$ , $r_1)$ + ... + $(C_n$ , $r_n)$ et $(D_1$ , $s_1)$ + ... + $(D_n$ , $s_n)$ est réalisé pour zéro, un ou plusieurs taux d’actualisation particuliers qui sont les TRI.

On démontre qu’il existe un TRI unique positif si :

* il n’y a qu’un seul changement de signe dans la séquence des flux (TRI unique) ;
* la somme arithmétique des flux précédant le changement de signe est inférieure en valeur absolue à la somme arithmétique des flux suivants (TRI positif).

La méthode qui suit permet de calculer le TRI s’il est unique, ou un des TRI s’ils sont multiples.

Au taux d’actualisation i=0, soit respectivement $ρ_0$ et $σ_0$ l’échéance moyenne des flux $(C_1,$ $r_1),$ ..., $(C_n,$ $r_n)$ et $(D_1,$ $s_1),$ ..., $(D_n,$ $s_n)$ :

    $\rho _{0}={\frac {\sum _{k=1}^{n}C_{k}r_{k}}{\sum _{k=1}^{n}C_{k}}}\ ,\ \sigma _{0}={\frac {\sum _{k=1}^{n}D_{k}s_{k}}{\sum _{k=1}^{n}D_{k}}}$

L’équation à résoudre devient : (C , $ρ_0)$ = (D , $σ_0).$

Le taux d’actualisation résultant de cette équation est :

    $i_{0}=\left[{\frac {D}{C}}\right]^{1/(\sigma _{0}-\rho _{0})}-1$

Au taux d’actualisation $i=i_0,$ soit respectivement $ρ_1$ et $σ_1$ l’échéance moyenne des flux $(C_1$ , $r_1),$ ..., $(C_n$ , $r_n)$ et $(D_1$ , $s_1),$ ..., $(D_n$ , $s_n)$ :

    $\rho _{1}={\frac {1}{\ln v_{0}}}\ln {\frac {C_{1}v_{0}^{r_{1}}+...+C_{n}v_{0}^{r_{n}}}{C}}$
    $\sigma _{1}={\frac {1}{\ln v_{0}}}\ln {\frac {D_{1}v_{0}^{s_{1}}+...+D_{n}v_{0}^{s_{n}}}{D}}$

L’équation à résoudre devient : (C , $ρ_1)$ = (D , $σ_1).$

Le taux d’actualisation résultant de cette équation est :

    $i_{1}=\left[{\frac {D}{C}}\right]^{1/(\sigma _{1}-\rho _{1})}-1$

et ainsi de suite. Si la suite ${i_0,$ $i_1,$ … } converge, alors la limite est solution de l’équation à résoudre, donc un TRI.

Remarque. Le premier itéré de l’algorithme de Jaumain fournit une valeur de départ qui peut s’avérer très utile aux autres méthodes.

### Démonstration de la convergence

La démonstration est due à F. De Vylder (1979)

Soit à résoudre l’équation :

    $\sum _{k}C_{k}v^{r_{k}}=\sum _{k}D_{k}v^{s_{k}}$

où v est l’inconnue. On la remplace par le système :

    $\sum _{k}C_{k}v^{r_{k}}=Cv^{\rho }$(A)
    $\sum _{k}D_{k}v^{s_{k}}=Dv^{\sigma }$(B)
    $Cv^{\rho }=Dv^{\sigma }$(C)

où ρ et σ sont des inconnues auxiliaires, et où on a posé $Σ_k$ $C_k$ = C et $Σ_k$ $D_k$ = D.

Procédant par approximations successives, supposons qu’on ait déterminé les approximations $ρ_h,$ $σ_h$ et $v_h$ de ρ, σ et v respectivement. Les approximations $ρ_{h+1},$ $σ_{h+1}$ et $v_{h+1}$ résultent alors des équations suivantes, par définition même de la méthode :

pour $ρ_{h+1}$ :

    $\sum _{k}C_{k}v_{h}^{r_{k}}=Cv_{h}^{\rho _{h+1}}$(A')

pour $σ_{h+1}$ :

    $\sum _{k}D_{k}v_{h}^{s_{k}}=Dv_{h}^{\sigma _{h+1}}$(B')

puis pour $v_{h+1}$ :

    $C(v_{h+1})^{\rho _{h+1}}=D(v_{h+1})^{\sigma _{h+1}}$(C')

Supposons maintenant que $ρ_h$ → ρ, $σ_h$ → σ et $v_h$ → v, où ρ, σ et v sont des quantités finies. Alors ρ, σ et v sont bien solutions de (A), (B) et (C). Car avec les hypothèses, il suffit de faire h → ∞ dans (A’), (B’) et (C’) pour obtenir (A), (B) et (C).

## Exemple

On reprend l'exemple d'application de l'algorithme de Newton-Raphson :

| Date k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| - | - | - | - | - | - |
| Flux $F_k$ | –1 | –5 | –4,5 | 5,5 | 7 |

On a : C = 1 + 5 + 4,5 = 10,5 et D = 5,5 + 7 = 12,5

Le calcul du premier itéré donne :

    $\rho _{0}={\frac {1\times 0+5\times 1+4,5\times 2}{10,5}}=1,333333$
    $\sigma _{0}={\frac {5,5\times 3+7\times 4}{12,5}}=3,560000$

d’où : $i_0$ = $(12,5/10,5)^{1/(3,560000-1,333333)}$ – 1 = 8,144966%

Calcul du 2e itéré :

    $ρ_1$ = 1,317059
    $σ_1$ = 3,550325

d’où : $i_1$ = $(12,5/10,5)^{1/(3,550325-1,317059)}$ – 1 = 8,111995%

et ainsi de suite. Le tableau suivant résume le calcul des itérés successifs :

| k | $ρ_k$ | $σ_k$ | $i_k$ |
| - | - | - | - |
| 0 | 1,333333 | 3,560000 | 8,144966% |
| 1 | 1,317059 | 3,550325 | 8,119945% |
| 2 | 1,317108 | 3,550354 | 8,120020% |
| 3 | 1,317107 | 3,550354 | 8,120020% |

L’algorithme converge vers le TRI de 8,12002%, atteint dès la 3e ligne.

### Remarques

* Les suites des échéances moyennes convergent également. L’itération peut être arrêtée lorsque l’écart entre deux échéances moyennes successives est suffisamment petite, par exemple 1/1000e d’année.
* Le premier itéré de l’algorithme des échéances moyennes fournit une excellente valeur de départ pour les autres méthodes. Ainsi, en adoptant $i_0$ = 8,144966% dans l’algorithme de Newton-Raphson, on obtient le tableau suivant :

| k | $i_k$ | $v_k$ | $f(v_k)$ | f $’(v_k)$ |
| - | - | - | - | - |
| 0 | 8,144966% | 0,924685 | -0,004893 | 22,924065 |
| 1 | 8,120009% | 0,924898 | 0,000002 | 22,943992 |
| 2 | 8,120020% | 0,924898 | 0,000000 | 22,943983 |

Le TRI de 8,12002% est atteint dès la 3e ligne.

Exemple 2

| Date | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Flux | -99 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 25 | 25 | 25 | 25 | 25 |

Le TRI est unique. On obtient le tableau des itérés successifs suivant :

| k | $ρ_k$ | $σ_k$ | $i_k$ |
| - | - | - | - |
| 0 | 0,000000 | 6,906250 | 7,198286% |
| 1 | 0,000000 | 6,678749 | 7,452405% |
| 2 | 0,000000 | 6,670674 | 7,461755% |
| 3 | 0,000000 | 6,670377 | 7,462100% |
| 4 | 0,000000 | 6,670366 | 7,462112% |
| 5 | 0,000000 | 6,670366 | 7,462113% |

Exemple 3

| Date | 0 | 1 | 3/2 | 2 | 40/12 | 5 | 25/3 |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Flux | -50 | -75 | -150 | 50 | 200 | -300 | 500 |

A priori, il y a 3 ou 1 TRI. Un rapide examen graphique permet de conclure qu’il n’existe qu’un seul TRI. On obtient le tableau des itérés successifs suivant :

| k | $ρ_k$ | $σ_k$ | $i_k$ |
| - | - | - | - |
| 0 | 3,130435 | 6,577778 | 8,012283% |
| 1 | 2,976685 | 6,325952 | 8,256338% |
| 2 | 2,972167 | 6,318298 | 8,264388% |
| 3 | 2,972018 | 6,318045 | 8,264654% |
| 4 | 2,972013 | 6,318037 | 8,264662% |
| 5 | 2,972013 | 6,318037 | 8,264663% |

## Le TRI dans la réglementation relative au crédit à la consommation

La réglementation européenne (Directive européenne du 22 février 1990) prévoit l’introduction d’un taux annualisé effectif global (TAEG) qui doit, en principe, servir d’instrument de comparaison pour toutes les formes de crédit à la consommation dans tous les Etats membres. Cette directive a été transposée dans la législation belge (loi du 6 juillet 1992, arrêté royal du 4 août 1992, M.B. 08.09.1992). En annexe à l’arrêté royal précité figure une méthode de calcul reprenant, sans en citer la source, l’algorithme des échéances moyennes tel que présenté ci-avant. Un communiqué du Moniteur Belge du 28.09.1993 précise que « La méthode de calcul donnée à l’annexe 1 de l’arrêté royal est due au professeur Christian Jaumain, de l’Université catholique de Louvain. Elle est décrite dans le Bulletin de l’Association des Actuaires suisses, Vol.79 – n°2, 1979 ».

## Le TRI n’est pas nécessairement un taux de rendement

Contrairement à ce que pourrait laisser supposer son appellation, le TRI ne reflète pas nécessairement le rendement effectif. L’appellation « taux actuariel » est sans doute préférable, car elle rend mieux compte du caractère ambigu de ce taux.

