Théorème de Albert-Brauer-Hasse-Noether
# Théorème de Albert-Brauer-Hasse-Noether

En théorie algébrique des nombres, le théorème d'Albert–Brauer–Hasse–Noether stipule qu'une algèbre centrale simple sur un corps de nombres algébriques K qui se scinde sur chaque complétion K $_v$ est une algèbre matricielle sur K. Le théorème est un exemple de principe local-global en théorie algébrique des nombres et conduit à une description complète des algèbres à division de dimension finie sur des corps de nombres algébriques en fonction de leurs invariants locaux. Il a été prouvé indépendamment par Richard Brauer, Helmut Hasse et Emmy Noether et par Abraham Adrian Albert .

## Énoncé du théorème

Soit A une algèbre centrale simple de rang d sur un corps de nombres algébriques K . Supposons que pour toute valuation v, A se scinde sur le corps local correspondant $K_v$ :

    $A\otimes _{K}K_{v}\simeq M_{d}(K_{v}).$

Alors A est isomorphe à l'algèbre matricielle $M_d(K).$

## Applications

En utilisant la théorie du groupe de Brauer, on montre que deux algèbres centrales simples A et B sur un corps de nombres algébriques K sont isomorphes sur K si et seulement si leurs complétions $A_v$ et $B_v$ sont isomorphes sur la complétion $K_v$ pour tout v.

Avec le théorème de Grunwald–Wang, le théorème d'Albert–Brauer–Hasse–Noether implique que toute algèbre centrale simple sur un corps de nombres algébriques est cyclique, c'est-à-dire peut être obtenue par une construction explicite à partir d'une extension de corps cyclique L/K.

