2-forme de courbure
# 2-forme de courbure

La 2-forme de courbure est une forme différentielle induite par une forme de connexion sur un fibré principal dans le domaine de la géométrie différentielle.

## Définition

Soient :

* $G$, un groupe de Lie ;
* ${\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
* $B$, une variété différentielle ;
* $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
* $\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$, la représentation adjointe de $G$ sur son algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ ;
* $\mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$, le fibré adjoint de $P$ sur $B$ ;
* $\wedge :\Omega ^{p}(P;\mathbb {R} )\times \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} )\to \Omega ^{p+q}(P;\mathbb {R} )$ le produit extérieur sur les $k$-formes différentielles réelles sur $P$ ;
* $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ ;
* $[\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(P;{\mathfrak {g}})\times \Omega ^{q}(P;{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{p+q}(P;{\mathfrak {g}})$ le produit wedge-crochet sur les $k$-formes différentielles à valeurs en ${\mathfrak {g}}$ sur $P$, défini par les combinaisons linéaires de :

    $[(\alpha _{1}\otimes \xi _{1})\wedge (\alpha _{2}\otimes \xi _{2})]:=(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2})\otimes [\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \alpha _{1}\in \Omega ^{p}(P;\mathbb {R} ),\;\alpha _{2}\in \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} ),\;\xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$ ;
* $A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$, une 1-forme de connexion sur $P$.

La 2-forme de courbure sur $P$ de la 1-forme de connexion $A$ est par définition :

    $F_{A}^{\sharp }=(dA)_{\mathrm {hor} }=(dA)(\mathrm {hor} (\cdot ),\mathrm {hor} (\cdot ))$.

La 2-forme de courbure sur $P$ peut aussi s'écrire comme :

    $F_{A}^{\sharp }:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})$.

La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur $B$ :

    $F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)$.

## Exemples

En préquantification, la 2-forme de courbure du fibré préquantique est proportionnelle à la forme symplectique.

Le tenseur électromagnétique de Maxwell est la 2-forme de courbure d'une connexion venant d'un $\mathrm {U} (1)$-fibré principal sur l'espace-temps.

Dans la théorie de jauge, la théorie de Yang-Mills, la théorie de Chern-Simons, la 2-forme de courbure joue un rôle primordial.

Le tenseur de courbure de Riemann en géométrie riemannienne est un autre exemple de 2-forme de courbure.

