Sum of squares
# Sum of squares

En mathématiques,interviennent de nombreuses expressions comportant des sommes de carrés de nombres réels. Cette page répertorie certaines sommes ayant des propriétés remarquables.

## Statistique

* Pour le partitionnement de la variance, voir Partition des sommes de carrés
* Pour la "somme des carrés des écarts", voir Moindres carrés
* Pour la "somme des différences au carré", voir Erreur quadratique moyenne
* Pour la "somme de l'erreur au carré", voir Somme résiduelle des carrés
* Pour la "somme des carrés due au manque d'ajustement", voir Somme des carrés sans ajustement
* Pour les sommes des carrés relatives aux prédictions du modèle, voir Somme des carrés expliquée
* Pour les sommes des carrés relatives aux observations, voir Somme totale des carrés
* Pour les sommes des écarts au carré, voir Écarts au carré par rapport à la moyenne
* Pour la modélisation impliquant des sommes de carrés, voir Analyse de la variance
* Pour la modélisation impliquant la généralisation multivariée des sommes des carrés, voir Analyse multivariée de la variance

## Théorie des nombres

Dans ce paragraphe, "carré" signifie "carré d'entier".

* Pour la somme de carrés d'entiers consécutifs, voir Nombre pyramidal carré.
* Pour la décomposition d'un entier en somme de quatre carrés, voir le théorème des quatre carrés de Lagrange.
* Pour le nombre de décompositions en somme de quatre carrés, voir le théorème des quatre carrés de Jacobi.
* Pour la décomposition d'un entier en somme de trois carrés, voir le théorème des trois carrés de Legendre, qui indique quels nombres peuvent être décomposés.
* Les triplets pythagoriciens sont les triplets d'entiers tels que la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du troisième.
* Un nombre premier pythagoricien est un nombre premier qui est la somme de deux carrés ; le théorème des deux carrés de Fermat indique quels nombres premiers sont pythagoriciens.
* Les triangles pythagoriciens ayant une hauteur issue de l'angle droit entière sont tels que la somme des carrés des inverses deslongueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'inverse de la hauteur.
* Les quadruplets pythagoriciens sont les quadruplets d'entiers tels que la somme des carrés des trois premiers est égale au carré du quatrième.
* Le problème de Bâle, résolu par Euler, demandait une expression exacte de la somme des carrés des inverses des entiers strictement positifs.
* La règle triple-quad et la règle triple propagation de la trigonométrie dde Wildberger contiennent des sommes de carrés, similaires à ceux de la formule de Héron.
* La quadrature du carré est un problème combinatoire consistant à partager un carré de longueur de côté entière en de tels carrés plus petits.

## Algèbre et géométrie algébrique

* Pour représenter un polynôme comme somme des carrés de polynômes, voir Polynôme somme de carrés .
   * Pour l'optimisation informatique, voir Optimisation de la somme des carrés .
* Pour représenter un polynôme à plusieurs variables qui ne prend que des valeurs strictement positives sur les réels comme somme de carrés de fonctions rationnelles, voir le dix-septième problème de Hilbert .
* L' identité de Brahmagupta montre que l'ensemble des sommes de deux carrés est stable par multiplication.
* La somme des carrés des dimensions des représentations complexes non équivalentes par paires d'un groupe fini est égale à la cardinalité de ce groupe.

## Géométrie euclidienne

* Le théorème de Pythagore dit que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés. La somme des carrés n'est pas factorisable.
* La distance euclidienne entre deux points d'un espace euclidien est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre les coordonnées.
* La formule de Héron pour l'aire d'un triangle peut être réécrite en utilisant les sommes des carrés des côtés du triangle (et les sommes des carrés des carrés)
* Le théorème du drapeau britannique pour les rectangles équivaut à deux sommes de deux carrés.
* La loi du parallélogramme dit que la somme des carrés des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales.
* Le théorème de Descartes pour quatre cercles mutuellement tangents implique des sommes de carrés de leurs rayons
* La somme des carrés des longueurs des côtés d'un pavé droit est égale au carré de la longueur d'une diagonale.
