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Loi de Poisson
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Loi de Poisson : encyclopédie mathématiques
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Pour les articles homonymes, voir Poisson (homonymie).
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Les fonctions de masse ne sont définies que pour les entiers k.
Fonction de répartition
Les fonctions de répartition sont discontinues en chaque entier naturel.
Densité de probabilité (fonction de masse)
(où est la Fonction gamma incomplète)
Espérance
Médiane
si est un réel non entier,
et si est un nombre entier
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Pour grand :
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique
modifier En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'évènement précédent. La loi de Poisson est également pertinente pour décrire le nombre d'évènements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.
La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Siméon Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile[2]. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires N qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées « arrivées ») qui prennent place pendant un laps de temps donné.
Si le nombre moyen d'occurrences dans cet intervalle est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel, k = 0, 1, 2, ...) est
e est la base de l'exponentielle (2,718...)
k! est la factorielle de k
λ est un nombre réel strictement positif[1].
On dit alors que X suit la loi de Poisson de paramètre λ.
Par exemple, si un certain type d'évènements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'évènements se produ