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Th�orie de l'information
Th�orie de l'information information mutuelle inf�rence bay�sienne courant �lectrique logarithme naturel Tweeter
La th�orie de l'information se pr�occupe des syst�mes d'information, des syst�mes de communication et de leur efficacit�. La notion de syst�me d'information ou de communication �tant large, il en va de m�me de la th�orie de l'information. Ce domaine trouve son origine scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre � l'�tude d'une science ou des sciences et qui se consacre � l'�tude d'un domaine avec la rigueur et les m�thodes scientifiques.) avec Claude Shannon (Claude Elwood Shannon (30�avril 1916 � Gaylord, Michigan - 24�f�vrier 2001) est un ing�nieur �lectricien et math�maticien am�ricain. Il est l'un des p�res, si ce n'est...) qui en est le p�re fondateur avec son article A Mathematical Theory of Communications publi� en 1948. Parmi les branches importantes, on peut citer�: le codage de l'information, la mesure quantitative de redondance d'un texte, la compression de donn�es, la cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant � prot�ger des messages (assurant confidentialit�, authenticit� et int�grit�) en s'aidant souvent de secrets ou cl�s.). La force (Le mot force peut d�signer un pouvoir m�canique sur les choses, et aussi, m�taphoriquement, un pouvoir de la volont� ou encore une vertu morale � cardinale � �quivalent au courage...) de cette th�orie (Le mot th�orie vient du mot grec theorein, qui signifie � contempler, observer, examiner �. Dans le langage courant, une th�orie est une id�e ou une connaissance sp�culative, souvent bas�e...) est de ne pas chercher � d�finir la notion d'information, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) comme l'arithm�tique (L'arithm�tique est une branche des math�matiques qui comprend la partie de la th�orie des nombres qui utilise des m�thodes de la g�om�trie alg�brique...) ne d�finit pas ce qu'est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».). L'apparition de la th�orie de l'information est li�e � l'apparition de la psychologie cognitive dans les ann�es 1940 - 1950. Historique La th�orie de l'Information r�sulte initialement des travaux de Ronald Aylmer Fisher. Celui-ci, statisticien, d�finit formellement l'information comme �gale � la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun...) du carr� (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) de la d�riv�e (La d�riv�e d'une fonction est le moyen de d�terminer combien cette fonction varie quand la quantit� dont elle d�pend, son argument, change. Plus...) du logarithme (En math�matiques, une fonction logarithme est une fonction d�finie sur � valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a o� a est un r�el...) de la loi de probabilit� (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...) �tudi�e. � partir de l'in�galit� de Cramer, la valeur d'une telle information est proportionnelle � la faible variabilit� des conclusions r�sultantes. En termes simples, moins une observation (L’observation est l’action de suivi attentif des ph�nom�nes, sans volont� de les modifier, � l’aide de moyens d’enqu�te et...) est probable, plus son observation est porteuse (Une porteuse est un signal sinusoïdal de fréquence et amplitude constantes. Elle est modulée par le signal utile (audio, vidéo, données) en vue,...) d'information. Par exemple, lorsque le journaliste (Un journaliste est une personne dont l'activit� professionnelle est le journalisme. On parle �galement de reporter (de l'anglais : report, rapporter) car il rapporte des faits dans l'objectif d'informer le public....) commence le journal t�l�vis� par la phrase "Bonsoir", ce mot, qui pr�sente une forte probabilit�, n'apporte que peu d'information. En revanche, si la premi�re phrase est, par exemple "la France a peur", sa faible probabilit� fera que l'auditeur apprendra qu'il s'est pass� (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au...) quelque chose, et, partant, sera plus � l'�coute (Sur un voilier, une �coute est un cordage servant � r�gler l'angle de la voile par rapport � l'axe longitudinal du voilier et en cons�quence l'angle...). D'autres mod�les math�matiques ont compl�t� et �tendu de fa�on formelle la d�finition (Une d�finition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'o� la division entre les d�finitions r�elles et les d�finitions nominales.) de l'information. Claude Shannon et Warren Weaver renforcent le paradigme. Ils sont ing�nieurs en t�l�communication et se pr�occupent de mesurer l'information pour en d�duire les fondamentaux de la Communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter-...) (et non une th�orie de l'information). Dans Th�orie Math�matique de la Communication en 1948, ils mod�lisent l'information pour �tudier les lois correspondantes�: bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son. C'est-�-dire vibration de l'air pouvant donner lieu � la cr�ation d'une sensation...), entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'�tat introduite au milieu du XIXe si�cle par Rudolf Clausius dans le cadre du second principe, d'apr�s les travaux de Carnot[1]. Clausius a montr� que le rapport...) et chaos, par analogie g�n�rale aux lois d'�nerg�tique et de thermodynamique (On peut d�finir la thermodynamique de deux fa�ons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands syst�mes en �quilibre. La...). Leurs travaux compl�tant ceux d'Alan Turing, de Norbert Wiener (Norbert Wiener (26 novembre 1894, Columbia, Missouri - 18 mars 1964, Stockholm, Su�de) �tait un math�maticien am�ricain, connu pour �tre le fondateur de...) et de John von Neumann (John von Neumann, math�maticien et physicien am�ricain d'origine hongroise, a apport� d'importantes contributions tant en m�canique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en th�orie des ensembles, en informatique,...) (pour ne citer que les principaux) constituent le socle initial de la th�orie du signal et des "�Sciences de l'Information�". Pour une source X comportant n symboles, un symbole i ayant une probabilit� pi d'apparaitre, l'entropie H de la source X est d�finie comme�: C'est au d�part le logarithme n�p�rien qui est utilis�. On le remplacera pour commodit� par le logarithme � base 2, correspondant � une information qui est le bit. Les consid�rations d'entropie maximale (MAXENT) permettront � l'inf�rence bay�sienne (On nomme inf�rence bay�sienne la d�marche logique permettant de calculer ou r�viser la probabilit� d'une hypoth�se. Cette d�marche est r�gie par l'utilisation de r�gles strictes de...) de d�finir de fa�on rationnelle ses distributions a priori. L'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines...) constituera une d�clinaison technique automatisant traitements (dont la transmission et le transport) d'information. L'appellation "�Technologies de l'Information et de la Communication�" recouvre les diff�rents aspects (syst�mes de traitements, r�seaux, etc.) de l'informatique au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) large. Les sciences de l'information d�gagent du sens depuis des donn�es en s'appuyant sur des questions de corr�lation, d'entropie et d'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances,...) (voir Data mining). Les technologies de l'information, quant � elles, s'occupent de la fa�on de concevoir, impl�menter et d�ployer des solutions pour r�pondre � des besoins identifi�s. Adrian Mc Donough dans Information economics d�finit l'information comme la rencontre d'une donn�e (Dans les technologies de l'information (TI), une donn�e est une description �l�mentaire, souvent cod�e, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un �v�nement, etc.) (data) et d'un probl�me. La connaissance (Knowledge) est une information potentielle. Le rendement informationnel d'un syst�me de traitement de l'information est le quotient entre le nombre de bits du r�servoir de donn�es et celui de l'information extraite. Les data sont le cost side du syst�me, l'information, le value side. Il en resulte que lorsqu'un informaticien (On nommait dans les années 1960-1980 informaticien ou informaticienne une personne exerçant un métier dans l'informatique. La variété et le peu de...) calcule la productivit� de son syst�me par le rapport entre la quantit� (La quantit� est un terme g�n�rique de la m�trologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre mani�re de...) de donn�es produites et le co�t financier, il commet une erreur, car les deux termes de l'�quation (En math�matiques, une �quation est une �galit� qui lie diff�rentes quantit�s, g�n�ralement pour poser le probl�me de leur identit�. R�soudre l'�quation consiste � d�terminer toutes...) n�gligent la quantit� d'information r�ellement produite. Cette remarque prend tout son sens � la lumi�re (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs...) du grand principe de Russel Ackoff qui postule qu'au del� d'une certaine masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la...) de donn�es, la quantit� d'information baisse et qu'� la limite elle devient nulle. Ceci correspond � l'adage "trop d'information d�truit l'information". Ce constat est aggrav� lorsque le r�cepteur du syst�me est un processeur (Le processeur, ou CPU (de l'anglais Central Processing Unit, « Unité centrale de traitement »), est le composant de l'ordinateur qui exécute les programmes informatiques. Avec la mémoire...) humain, et pis encore, le conscient d'un agent humain. En effet, l'information est tributaire de la s�lection op�r�e par l'attention, et par l'intervention de donn�es affectives, �motionnelles, et structurelles absentes de l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques...). L'information se transforme alors en sens, puis en motivation (La motivation est, dans un organisme vivant, la composante ou le processus qui r�gle son engagement dans une action ou exp�rience. Elle en d�termine le...). Une information qui ne produit aucun sens est nulle et non avenue (Une avenue est une grande voie urbaine. Elle est en principe plant�e d'arbres, et conduit � un monument.) pour le r�cepteur humain, m�me si elle est acceptable pour un robot (Un robot est un dispositif mécatronique (alliant mécanique, électronique et informatique) accomplissant automatiquement soit des tâches qui sont généralement dangereuses,...). Une information charg�e de sens mais non irrigu�e par une �nergie (Dans le sens commun l'�nergie d�signe tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumi�re, de produire un mouvement.) psychologique (drive, cathexis, libido, ep, etc) est morte. On constate donc que dans la cha�ne (Le mot cha�ne peut avoir plusieurs significations :) qui m�ne de la donn�e (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) � l'action:- donn�es - information - connaissance - sins - motivation, seule les deux premi�res transformations sont prises en compte par la th�orie de l'information classique et par la s�miologie. Kevin Bronstein remarque que l'automate (Un automate est un dispositif se comportant de mani�re automatique, c'est-�-dire sans intervention d'un humain. Ce comportement peut �tre fig�, le syst�me fera toujours la m�me chose, ou bien peut s'adapter � son environnement.) ne d�finit l'information que par deux valeurs�: le nombre de bits, la structure et l'organisation (Une organisation est) des s�mes, alors que le psychisme fait intervenir des facteurs dynamiques tels que passion, motivation, d�sir, r�pulsion etc. qui donnent vie (La vie est le nom donné :) � l'information psychologique. Exemples d'information Une information d�signe, parmi un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) d'�v�nements, un ou plusieurs �v�nements possibles. En th�orie, l'information diminue l'incertitude. En th�orie de la d�cision, on consid�re m�me qu'il ne faut appeler information que ce qui est susceptible d'avoir un effet sur nos d�cisions (peu de choses dans un journal sont � ce compte des informations...). En pratique, l'exc�s d'information, tel qu'il se pr�sente dans les syst�mes de messagerie �lectronique, peut aboutir � une saturation, et emp�cher la prise de d�cision. Premier exemple Soit une source pouvant produire des tensions enti�res de 1 � 10 volts et un r�cepteur qui va mesurer cette tension (La tension est une force d'extension.). Avant l'envoi du courant �lectrique (Un courant �lectrique est un d�placement d'ensemble de porteurs de charge �lectrique (�lectrons).) par la source, le r�cepteur n'a aucune id�e de la tension qui sera d�livr�e par la source. En revanche, une fois le courant �mis et r�ceptionn�, l'incertitude sur le courant �mis diminue. La th�orie de l'information consid�re que le r�cepteur poss�de une incertitude de 10 �tats. Second exemple Une biblioth�que poss�de un grand nombre d'ouvrages, des revues, des livres et des dictionnaires. Nous cherchons un cours complet sur la th�orie de l'information. Tout d'abord, il est logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison,...) que nous ne trouverons pas ce dossier dans des ouvrages d'arts ou de litt�rature; nous venons donc d'obtenir une information qui diminuera notre temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de recherche (La recherche scientifique d�signe en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de d�velopper les connaissances scientifiques. Par extension m�tonymique,...). Nous avions pr�cis� que nous voulions aussi un cours complet, nous ne le trouverons donc ni dans une revue, ni dans un dictionnaire. nous avons obtenu une information suppl�mentaire (nous cherchons un livre), qui r�duira encore le temps de notre recherche. Information imparfaite Soit un r�alisateur dont j'aime deux films sur trois. Un critique que je connais bien �reinte son dernier film et je sais que je partage en moyenne les analyses de ce critique quatre fois sur cinq. Cette critique me dissuadera-t-elle d'aller voir le film�? C'est l� la question centrale de l'inf�rence bay�sienne, qui se quantifie aussi en bits. Contenu d'information et contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les...) Il faut moins de bits pour �crire chien que mammif�re. Pourtant l'indication M�dor est un chien contient bien plus d'information que l'indication M�dor est un mammif�re�: le contenu d'information s�mantique d'un message (La th�orie de l'information fut mise au point pour d�terminer math�matiquement le taux d’information transmis dans la communication d’un message par un canal de communication, notamment en...) d�pend du contexte. En fait, c'est le couple message + contexte qui constitue le v�ritable porteur d'information, et jamais le message seul (voir paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente,...) du compresseur). Mesure de la quantit� d'information Quantit� d'information�: cas �l�mentaire Consid�rons N bo�tes num�rot�es de 1 � N. Un individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire � Wikip�dia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) A a cach� au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un...) un objet (De mani�re g�n�rale, le mot objet (du latin objectum, 1361) d�signe une entit� d�finie dans un espace � trois dimensions, qui a une fonction pr�cise, et qui peut �tre d�sign� par une �tiquette verbale. Il est...) dans une de ces bo�tes. Un individu B doit trouver le num�ro de la bo�te o� est cach� l'objet. Pour cela, il a le droit de poser des questions � l'individu A auxquelles celui-ci doit r�pondre sans mentir par OUI ou NON. Mais chaque question pos�e repr�sente un co�t � payer par l'individu B (par exemple un euro). Un individu C sait dans quelle bo�te est cach� l'objet. Il a la possibilit� de vendre cette information � l'individu B. B n'acceptera ce march� que si le prix de C est inf�rieur ou �gal au co�t moyen que B devrait d�penser pour trouver la bo�te en posant des questions � A. L'information d�tenue par C a donc un certain prix. Ce prix repr�sente la quantit� d'information repr�sent�e par la connaissance de la bonne bo�te�: c'est le nombre moyen de questions � poser pour identifier cette bo�te. Nous la noterons I. EXEMPLE�: Si N = 1, I = 0. Il n'y a qu'une seule bo�te. Aucune question n'est n�cessaire. Si N = 2, I = 1. On demande si la bonne bo�te est la bo�te n�1. La r�ponse OUI ou NON d�termine alors sans ambigu�t� quelle est la bo�te cherch�e. Si N = 4, I = 2. On demande si la bo�te porte le n�1 ou 2. La r�ponse permet alors d'�liminer deux des bo�tes et il suffit d'une derni�re question pour trouver quelle est la bonne bo�te par deux. Si N = 2k, I = k. On �crit les num�ros des bo�tes en base 2. Les num�ros ont au plus k chiffres binaires, et pour chacun de rang ( Math�matiques En alg�bre lin�aire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendr� par cette famille. Le th�or�me du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application...) de ces chiffres, on demande si la bo�te cherch�e poss�de le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) 0 ou le chiffre 1. En k questions, on a d�termin� tous les chiffres binaires de la bonne bo�te. Cela revient �galement � poser k questions, chaque question ayant pour but de diviser successivement le nombre de bo�tes consid�r�es par 2 (m�thode de dichotomie). On est donc amen� � poser I = log2(N), mais cette configuration ne se produit que dans le cas de N �v�nements �quiprobables. Quantit� d'information relative � un �v�nement Supposons maintenant que les bo�tes soient color�es, et qu'il y ait n bo�tes rouges. Supposons �galement que C sache que la bo�te o� est cach� l'objet est rouge (La couleur rouge r�pond � diff�rentes d�finitions, selon le syst�me chromatique dont on fait usage.). Quel est le prix de cette information�? Sans cette information, le prix � payer est log(N). Muni de cette information, le prix � payer n'est plus que log(n). Le prix de l'information "�la bo�te cherch�e est rouge�" est donc log(N) – log(n) = log N/n. On d�finit ainsi la quantit� d'information comme une fonction croissante de avec�: N le nombre d'�v�nements possibles n le cardinal du sous-ensemble (En math�matiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout �l�ment du sous-ensemble A est...) d�limit� par l'information Afin de mesurer cette quantit� d'information, on pose�: I est exprim� en bit (ou logon, unit� introduite par Shannon, de laquelle, dans les faits, bit est devenu un synonyme), ou bien en nat si on utilise le logarithme naturel (En math�matiques le logarithme naturel ou logarithme n�p�rien, est le logarithme de base e. C'est la r�ciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive...) � la place du logarithme de base 2. Cette d�finition se justifie, car l'on veut les propri�t�s suivantes�: l'information est comprise entre 0 et ∞�; un �v�nement avec peu de probabilit� repr�sente beaucoup d'information (exemple�: "�Il neige (La neige est une forme de précipitation, constituée de glace cristallisée et agglomérée en flocons pouvant être ramifiés d'une infinité de façons. Puisque les flocons...) en janvier�" contient beaucoup moins d'information que "�Il neige en ao�t�" pour peu que l'on soit dans l'h�misph�re nord)�; l'information doit �tre additive. Remarque�: lorsqu'on dispose de plusieurs informations, la quantit� d'information globale n'est pas la somme des quantit�s d'information. Ceci est d� � la pr�sence du logarithme. Voir aussi�: information mutuelle (Dans la th�orie des probabilit�s et la th�orie de l'information, l'information mutuelle de deux variables al�atoires est une quantit� mesurant la d�pendance...), information commune � deux messages, qui, dans l'id�e, explique cette "�sous-additivit�" de l'information. Entropie, formule de Shannon Supposons maintenant que les bo�tes soient de diverses couleurs�: n1 bo�tes de couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).) C1, n2 bo�tes de couleur C2, ..., nk bo�tes de couleurs Ck, avec n1 + n2 + ... + nk = N. La personne C sait de quelle couleur est la bo�te recherch�e. Quel est le prix de cette information�? L'information "�la bo�te est de couleur C1�" vaut log N/n1, et cette �ventualit� a une probabilit� n1/N. L'information "�la bo�te est de couleur C2�" vaut log N/n2, et cette �ventualit� a une probabilit� n2/N... Le prix moyen de l'information est donc n1/N log N/n1 + n2/N log N/n2 + ... + nk/N log N/nk. Plus g�n�ralement, si on consid�re k �v�nements disjoints de probabilit�s respectives p1, p2, ..., pk avec p1 + p2 + ... + pk = 1, alors la quantit� d'information correspondant � cette distribution de probabilit� est p1 log 1/p1 + ... + pk log 1/pk. Cette quantit� s'appelle entropie de la distribution de probabilit�. L'entropie permet donc de mesurer la quantit� d'information moyenne d'un ensemble d'�v�nements (en particulier de messages) et de mesurer son incertitude. On la note H�: avec la probabilit� associ�e � l'apparition de l'�v�nement i. Voir l'article d�taill�: entropie de Shannon. Codage de l'information On consid�re une suite de symboles. Chaque symbole peut prendre deux valeurs s1 et s2 avec des probabilit�s respectivement p1 = 0,8 et p2 = 0,2. La quantit� d'information contenue dans un symbole est p1 log 1/p1 + p2 log 1/p2 ≈ 0,7219. Si chaque symbole est ind�pendant du suivant, alors un message de N symboles contient en moyenne une quantit� d'information �gale � 0,72N. Si le symbole s1 est cod� 0 et le symbole s2 est cod� 1, alors le message a une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) de N, ce qui est une perte par rapport � la quantit� d'information qu'il porte. Les th�or�mes de Shannon �noncent qu'il est impossible de trouver un code dont la longueur moyenne soit inf�rieure � 0,72N, mais qu'il est possible de coder le message de fa�on � ce que le message cod� ait en moyenne une longueur aussi proche que l'on veut de 0,72N lorsque N augmente. Par exemple, on regroupe les symboles trois par trois et on les code comme suit�: symboles � coder probabilit� du triplet codage du triplet longueur du code s1s1s1 0.83 = 0.512 0 1 s1s1s2 0.82 � 0.2 = 0.128 100 3 s1s2s1 0.82 � 0.2 = 0.128 101 3 s2s1s1 0.82 � 0.2 = 0.128 110 3 s1s2s2 0.22 � 0.8 = 0.032 11100 5 s2s1s2 0.22 � 0.8 = 0.032 11101 5 s2s2s1 0.22 � 0.8 = 0.032 11110 5 s2s2s2 0.23 = 0.008 11111 5 Le message s1s1s1s1s1s2s2s2s1 sera cod� 010011110. La longueur moyenne du code d'un message de N symboles est�: Voir l'article d�taill�: th�orie des codes.	Source: Wikip�dia publi�e sous licence CC-BY-SA 3.0.
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