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Documentation > Physique et Matière
à la documentation Cristaux et Géométrie cristalline
Alain Boudet
Dr en Sciences Physiques, Thérapeute psycho-corporel, Enseignant
Résumé: Un cours pour débutants sur la
géométrie cristalline. Le diamant et le quartz sont des cristaux typiques par leur transparence pure et leurs formes
géométriques. La géométrie extérieure est la manifestation d'une géométrie
intérieure. Les cristaux sont construits par l'empilement ordonné périodique de petites briques atomiques
élémentaires, les mailles. Lorsque cet ordre fait défaut, la matière est dite amorphe ou vitreuse. La
cristallisation est une transformation extraordinaire qui fait passer du désordre liquide à l'ordre compact. Les
roches, et toute matière y compris les matériaux industriels (métaux, silicium, polymères), contiennent
des domaines cristallins et amorphes. Récemment on a reconnu l'existence de domaines cristallins aux géométries
plus complexes (les quasi-cristaux), dont la périodicité n'est détectable que dans un espace à dimension
supérieure. Les cristaux fournissent des exemples de la façon dont l'espace peut être pavé par des
polyèdres tels que cube, octaèdre, dodécaèdre. Cet article vise à révéler la
beauté, la précision et l'intelligence des formes géométriques cristallines.
Contenu de l'article
Minéraux et pierres précieuses
Transparence cristalline
Les formes géométriques des cristaux
La géométrie des mailles atomiques
La géométrie des réseaux cristallins
La cellule polyédrique symétrique
Les cristaux à symétrie 5 et le nombre d'or
Cristaux apériodiques
Formation des cristaux - la cristallisation
Agglomération de cristaux
Structure amorphe et vitreuse Ordre et désordre
Diamant et graphite
Quartz, silice et silicium
Remplir l'espace en empilant des polyèdres
Décrire une réalité dans un super-espace
qui ce texte s'adresse-t-il?
Ce texte est destiné à être lu par toute personne intéressée par
le sujet.
La plupart des sections peuvent être abordées sans connaissance scientifique particulière.
Toutefois, certaines parties demandent un niveau plus élevé du point du vue
du raisonnement. Je ne les ai pas évitées afin de mettre ces connaissances vivantes à la disposition des
étudiants, lycéens et enseignants qui en profiteront. Pour les autres personnes, ces paragraphes peuvent constituer
une matière à étude, il suffit de les relire attentivement.
Mais si vous n'êtes pas disposé à cet effort, il suffit que vous survoliez ou
sautiez ces paragraphes, et que vous en reteniez seulement la conclusion ou l'essence, même sans en comprendre
l'élaboration. Vous voulez en savoir plus sur les cristaux, mais vous en avez déjà une idée. Alors, à votre avis,
qu'est-ce qu'un cristal? Au fond, le savez-vous? Que répondriez-vous à un
enfant qui vous le demande?
Ce mot vous fait-il penser à la vaisselle de luxe de grand-mère, aux magnifiques minéraux de la terre, ou
encore à une construction atomique géométrique? La notion de cristal renvoie
à différents sens.
Le but de cet article est donc de brosser un panorama des caractéristiques des cristaux
dans leurs différents aspects. Mais ce panorama n'a de sens que parce qu'il invite à révéler
la beauté, la précision et l'intelligence des constructions cristallines. Nous constaterons aussi que les
cristaux sont omniprésents comme matière ou éléments technologiques dans notre environnement, souvent
inaperçus.
Votre premier contact avec les cristaux a peut-être été d'admirer la vitrine d'un marchand de cristaux, de les
observer et de les toucher. Il vend des minéraux, des gemmes, des pierres précieuses et des cristaux, 4 noms qui
désignent des objets proches mais pas tout-à-fait identiques.
Wulfénite (Ojuela Mine, Mapimi, Durango, Mexique) en association avec de la mimétite verte
Photo Frédéric Hède©Alpinisme
et minéraux
Le terme minéral décrit
un élément de l'écorce terrestre. Les êtres existant sur cette terre sont
classées en 3 règnes dont l'un est le minéral, les 2 autres étant le végétal et l'animal.
Donc, ce qui n'est ni végétal, ni animal est minéral. Toutefois, pour être précis et ne pas
enfermer l'esprit dans des idées rigides, il faut noter que certains organismes microscopiques sont à la
frontière entre deux règnes (minéral/végétal ou végétal/animal) et peuvent
être classés soit dans l'un soit dans l'autre selon le critère retenu pour définir un règne
(mobilité, capacité à respirer, etc.). Comme pour toute classification décidée par l'esprit, il
n'y a pas de critère unique et définitif.
Selon leur composition et leur histoire géologique, les minéraux sont plus ou moins durs
(de l'argile pâteuse au silex et au diamant), plus ou moins compacts, friables ou
fragmentés (comme le sable). Le mot pierre désigne un
minéral plutôt solide et compact. Certaines de ces pierres sont qualifiées de gemmes,
de pierres précieuses ou de pierres ornementales.
Les pierres précieuses sont précieuses à cause de leur beauté, de leur rareté
et de leur valeur commerciale. Elles sont principalement transparentes et sont au nombre de
4: le diamant, le rubis, le saphir
et l'émeraude.
Les pierres fines sont translucides ou transparentes. On peut citer la topaze, le quartz, l'opale, les grenats,
l'aigue-marine, la tourmaline, l'améthyste et bien d'autres encore.
Le terme pierre ornementale s'applique à toutes les pierres qui sont portées comme parure. Il est
souvent employé comme synonyme de pierre fine. Les pierres ornementales sont translucides ou opaques. On peut citer
l'obsidienne, la moldavite, etc.
Le mot gemme englobe les pierres précieuses, fines ou ornementales. Une pierre gemme doit posséder
les trois caractéristiques suivantes: avoir un aspect agréable,
principalement par sa couleur, avoir une dureté élevée (pour
éviter d'être abimée par les frottements et rayures) et être rare.
La pierre doit aussi être peu altérable sur le plan chimique. (plus de détails dans les sites Kasaku
et Gemmes Infos) Cristaux géants de gypse (sulfate de calcium) dans une grotte de Naica au Mexique. Plus
d'information dans les sites Naicalapelicula
section Galleria; et Naicagaleria.
Vous pouvez aussi consulter cette autre vidéo.
Et celle-ci sur les gemmes
Dans l'usage courant, il n'y a pas de frontières précises entre ces différentes catégories. Toutefois,
des règles commerciales ont fixé la dénomination de pierres précieuses afin que l'acheteur soit bien
informé de ce qu'il achète. La notion d'ornement est subjective et divers objets de matière dure ou
colorée ayant l'aspect de pierreries peuvent être nommés pierres ornementales. Des substances d'origine
organique telles que le corail, l'ambre, les perles sont assimilées aux gemmes. Enfin, le terme cristal inclut la plupart des pierres gemmes. Dans le domaine de la joaillerie, il est difficile
de préciser les limites de son emploi et les différences par rapport à celui de gemme. Toutefois, le terme fait
plutôt référence à la forme extérieure géométrique et
régulière de ces pierres. Les scientifiques ont retenu cette caractéristique, transposée sur
le plan atomique, pour donner leur propre définition du cristal.
Vertus curatives et protectrices des cristaux
Les pierres fines et précieuses ne tirent pas seulement leur valeur de leur beauté. Beaucoup possèdent des
vertus curatives et protectrices qui ont été reconnues de tout temps dans de nombreux pays. En portant ces pierres sur
soi, ou en les disposant dans une maison, on ajoute leur action curative à leur effet esthétique et décoratif,
à condition de savoir en prendre soin. De nombreux sites donnent des renseignements à ce sujet (2 exemples: Énergies
cristaux; La lithothérapie
ou la guérison par les pierres).
Leur effet curatif et protecteur n'a pas été scientifiquement expliqué. Deux types de mécanismes sont
à l'oeuvre dans les cristaux. D'une part ils émettent des rayonnements. Ceux-ci sont en rapport avec la couleur du
cristal, mais la couleur n'explique pas tout. D'autre part ils emmagasinent des énergies issues de leur environnement dans
leurs structures internes, ils les enregistrent en quelque sorte. Il est fort possible que cette mémorisation se produise
à des niveaux sous-atomiques (voir Codes, information et enregistrement).
Dans le domaine des pierres ornementales, le terme cristal est fréquemment
associé à celles qui sont transparentes. D'un usage encore plus restrictif,
il désigne parfois le cristal de roche, autre nom du quartz qui frappe par sa transparence d'une
grande limpidité (voir en annexe Quartz).
L'étymologie peut nous éclairer. Le terme cristal est dérivé
du grec krystallos qui signifie la glace.
A l'origine le mot veut signifier que la roche est transparente et compacte comme la glace.
Par extension, le mot cristal désigne ce qui est limpide comme l'eau pure.
On parle d'eau cristalline (Dans le cristal d'une
fontaine, Un cerf se mirant autrefois... Jean de La Fontaine), et de voix cristalline.
Le papier cristal est un papier transparent du commerce, utilisé par exemple par
les fleuristes pour emballer les bouquets.
Le verre de cristal utilisé pour la vaisselle de luxe n'est ni du cristal de roche,
ni ne présente aucune structure géométrique. Sa structure est amorphe (ou vitreuse, c'est-à-dire
désordonnée - voir plus loin). Son appellation cristal
se justifie par la pureté de sa transparence, due à sa composition chimique
riche en oxyde de plomb. Les magasins de cristallerie vendent de la verrerie, mais ce ne sont pas des gemmes !!!
Dans son emploi relatif aux verres de cristal, au papier cristal et à l'eau cristalline, le mot cristal
est en désaccord avec son autre usage en rapport avec la structure géométrique telle que nous allons la
définir ci-dessous. En effet, la structure de l'eau et celle du papier cristal sont amorphes
comme celle du verre, et non cristallines. Toutefois, désaccord ne signifie pas que
l'une est fausse et que l'autre doit s'imposer. Cela signifie, comme il arrive souvent dans le dictionnaire, qu'un même mot
peut avoir plusieurs sens selon les communautés qui l'emploient.
Le terme cristal évoque un minéral aux formes
géométriques régulières. En effet, l'observation de gemmes (calcite, quartz) montre que
beaucoup de ces cristaux sont délimités par des facettes planes régulières qui se coupent à
angles vifs selon des symétries flagrantes. Elles laissent apparaitre des cubes, des pyramides ou des prismes, ou des volumes
plus complexes à faces planes appelés polyèdres (nous en verrons des
exemples).
Fig.1- Cristaux de sel
Photo Claire Köenig, Futura
De telles géométries existent aussi dans des cristaux autres que les gemmes. Si l'on dissout en quantité
suffisante du gros sel de cuisine (chlorure de calcium) dans de l'eau, puis qu'on laisse
cette eau s'évaporer lentement, il reste des cristaux de sel de forme cubique (fig.1). On trouve aussi de telles
géométries régulières dans les cristaux de glace qui se forment
lorsque l'eau gèle.
Cette surprenante régularité des formes a incité des scientifiques à les examiner minutieusement
à l'oeil nu et à la loupe, afin d'en déterminer les règles, bien avant que la notion d'atome soit
reconnue et acceptée. C'est l'origine de la cristallographie. Afin de comprendre ces règles, nous
allons suivre ces savants dans leurs recherches pour établir les lois de symétrie et l'existence d'un volume
élémentaire dès le 17e siècle.
Notons toutefois que ces formes régulières visibles à l'oeil nu ne sont pas systématiquement
présentes dans les cristaux. La forme des gemmes est extrêmement variable, elle reflète l'histoire de la pierre,
la façon dont elle s'est formée, les conditions de température, d'humidité et de pression et le temps de
croissance dans le terrain où elle est située, l'érosion à laquelle elle a été soumise.
Celles qui présentent une forme régulière bien développée nous émerveillent et retiennent
notre attention. Quant aux autres, elles présentent également un caractère cristallin qui ne peut être
établi qu'au microscope (voir plus loin les matériaux polycristallins).
La maille élémentaire
Au 17e siècle, plusieurs savants pressentent que les faces cristallines font entre elles des angles
déterminés et constants. Dans la deuxième moitié du 18e siècle, Jean-Baptiste
Romé de L'Isle le vérifie et le démontre avec l'aide de ses collaborateurs. Ils fabriquent des
modèles de cristaux en terre cuite, en carton ou en cuivre, puis mesurent les angles de façon plus précise
à l'aide d'un rapporteur.
A la fin du 18e siècle, l'abbé René Just Haüy
s'intéresse aux formes polyédriques des cristaux. Il avait fait tomber sans le vouloir un cristal de calcite
qui s'est brisé. Examinant les fragments, il constata qu'ils n'étaient pas informes comme des morceaux de verre
brisés. On y voyait toujours le même type de facettes, semblables à celles du morceau d'origine, quelle que soit
leur taille. En brisant à nouveau ces morceaux de calcite, on crée des morceaux plus petits sur lesquels on retrouve
la même forme régulière, sorte de parallélépipède déformé en losange
(nommé aussi rhomboèdre).
Fig.2- Dessin de Haüy extrait de son ouvrage Essai d'une
théorie de la structure des cristaux, 1784
Fig.3- Les formes tronquées du cube
Merci à F. Mompiou
Fig.4- Octaèdre régulier obtenue en tronquant les sommets du cube.
© A. Boudet
Fig.5- Dodécaèdre rhombique obtenu en tronquant les arêtes du cube.
Haüy imagine que la division en morceaux de plus en plus petits doit avoir une limite, une unité
insécable, un volume élémentaire, trop petit pour être isolé par nos
instruments. Dans le cas de la calcite, ce volume a la forme d'un rhomboèdre. En 1840 son élève, Gabriel
Delafosse, nomme ce volume la maille élémentaire. Ces volumes élémentaires s'empilent
parfaitement les uns sur les autres comme des briques pour reconstituer les cristaux naturels (fig.2).
Haüy rechercha les mailles élémentaires de nombreux types de cristaux et découvrit qu'elles se
réduisaient à un petit nombre de formes: dodécaèdres, prismes hexagonaux, octaèdres et
tétraèdres (voir la définition de ces polyèdres dans l'article Géométrie
sacrée). Ce n'est qu'avec l'avènement de la théorie atomique et les mesures aux rayons X que ces notions
seront complétées et précisées.
Dans cette recherche d'une définition géométrique du cristal, nous arrivons à la conclusion que la
structure d'un cristal est la répétition d'une maille élémentaire dans les trois directions de
l'espace.
Les faces inclinées par excroissance
Comment expliquer que les facettes des cristaux ne restent pas plates et présentent des formes irrégulières,
des marches, des terrasses, des pyramides, etc.? Dans son Essai d'une théorie de la
structure des cristaux, l'abbé René Just Haüy avance une explication ingénieuse. Une face est
plane lorsque les mailles élémentaires sont accolées les unes contre les autres à la surface et toutes
présentes, comme un pavage uniforme.
Mais en ajoutant ces mailles de façon régulière en dégradé à partir des arêtes,
comme des excroissances, on obtient des escaliers à marches régulières qui forment des pentes à
inclinaisons bien définies qui créent des formes telles que des pyramides (fig.2 - voir plus loin Formation
des cristaux).
Les formes tronquées
Bien que ces formes pyramidales se soient créées en tant qu'excroissances, on peut les voir
géométriquement comme des formes tronquées.
À partir d'un volume en forme de cube, si on le tronque par un plan incliné qui unit les sommets
opposés (en vert sur la figure 4), et qu'on le fait dans les 3 orientations, on obtient un polyèdre à 8 faces
triangulaires (en rouge). Un polyèdre à 8 faces est nommé octaèdre.
Il existe de nombreux octaèdres qui différent par la forme de leurs faces. Dans l'octaèdre
régulier, les 8 faces sont des triangles équilatéraux
(leurs 3 côtés sont de longueur égale).
Si on tronque le cube parallèlement au plan qui unit deux arrêtes opposées (en vert sur la figure 5), et qu'on
le refait dans les 6 orientations, on obtient un polyèdre de 12 faces losangiques (en rouge). Un
polyèdre à 12 faces est nommé dodécaèdre. Il existe de nombreux
dodécaèdres qui différent par la forme de leurs faces. Nous avons obtenu un dodécaèdre
losangique, mais comme dans ce domaine on emploie les noms grecs, on le nomme dodécaèdre rhombique
ou rhombo-dodécaèdre, rhombe signifiant losange.
Les autres formes de maille génèrent des formes tronquées plus complexes: pyramides, prismes,
rhomboèdres, etc. Les minéralogistes les ont répertoriées au point qu'en regardant la forme
macroscopique d'un cristal, ils peuvent deviner la forme de sa maille. De nos jours, la maille est définie sur le plan
atomique comme nous allons le voir dans la section suivante. Deux excellents exposés sur les formes des minéraux en
relation avec leur maille atomique sont disponibles sur le site
de P. Gosse et dans le petit ouvrage détaillé de J. Deferne Introduction
à la cristallographie.
Fig.6- Cliché de diffraction de rayons X par un cristal. © Cité
des sciences
Les rayons X ont été découverts en 1895 par le physicien allemand Wilhelm Röntgen, premier prix Nobel de
physique. C'est en 1912 que Max von Laue (prix Nobel de physique 1914), constatant que les rayons X sont diffractés par les
cristaux en faisceaux séparés, pose les bases d'une méthode qui consiste à recueillir le cliché
de diffraction d'un faisceau de rayons X par un cristal pour en déterminer la structure atomique.
Sur les clichés de diffraction des cristaux, on voit des séries de taches disposées en rangées
symétriques (fig.6). Leur analyse montre que les atomes sont disposés de façon régulière et
alignée dans des plans. Chacune des taches correspond à une famille de plans parallèles et
équidistants.
La distance entre ces plans est extrêmement petite, inférieure au nanomètre.
Un nanomètre est un millionième de millimètre. En nous plongeant dans le monde des atomes, nous effectuons un
zoom prodigieux de 10 millions de fois. Inutile de dire qu'avec leurs petits marteaux, les minéralogistes ne pouvaient pas
cliver les cristaux à cette échelle.
La régularité avec laquelle les atomes sont empilés est une façon d'occuper un volume réduit. En
effet, si nos voulons empiler des oranges de tailles identiques en les tassant au maximum sur une surface plane, elles s'arrangent
en lignes décalées (fig.7). De même les atomes se touchent, comme par exemple dans un cristal de sel, qui
combine atomes de sodium (Na) et atomes de chlore (Cl) (fig.8).
Toutefois, la réalité des atomes comporte une différence majeure avec celle des oranges: les
atomes n'ont pas de surface extérieure bien définie ni un rayon précis. Un atome n'est pas un
objet en soi que l'on peut toucher, photographier et mesurer. C'est un modèle, autrement dit une
représentation mathématique commode et fructueuse des forces internes de la matière (voir article Physique
quantique I). C'est pourquoi les images des atomes ne sont que des représentations symboliques.
Fig.7- Tassement d'oranges ordonnées en lignes alternativement décalées.
© J. Deferne
Fig.8- Empilement cubique d'atomes dans une maille de chlorure de sodium. Dans cette
représentation, les ions chlore (en vert) occupent les sommets d'un cube, et les ions sodium (en bleu) occupent le
centre des arêtes de ce cube. Un motif répétitif est constitué d'un atome de chlore et d'un atome
de sodium (cadre noir). Image Wikipedia
Fig.9- Même réseau cristallin cubique à faces centrées de chlorure de
sodium, souligné par des barres. Les ions sodium (en gris) sont répartis en octaèdres autour de chaque
ion chlore (en vert) et vice-versa. Image Wikimedia
La figure 9 montre une autre façon de représenter les atomes. Ils y sont beaucoup plus petits et reliés par
des barres. C'est certainement moins conforme à la réalité, car les barres n'ont pas d'existence physique
solide. Elles sont seulement un concept abstrait. Dans le domaine de l'infiniment petit, la notion d'objet solide se perd. Les
barres sont dessinées pour mettre en évidence les symétries de cet empilement. Toutefois, elles
peuvent aussi suggérer les influences électriques entre atomes, leurs liaisons chimiques.
Le réseau cristallin et son motif répétitif
Les résultats du diagramme de diffraction du sel indiquent que les atomes du chlorure de sodium sont disposés en un motif
composé d'un atome de chlore et d'un atome de sodium qui se répète de façon périodique (fig. 8 et
9). C'est pourquoi il n'est pas nécessaire de préciser la position de chaque atome du cristal pour le décrire.
On peut se contenter de décrire le motif répétitif et dire où on doit le reproduire. C'est l'ensemble
des points aux sommets et au centre des faces d'un cube élémentaire (le centre de chaque atome vert sur la figure 8),
disposition appelée système cubique à faces centrées. Il en est de même pour tous les cristaux. Il est possible de décrire totalement un cristal en mentionnant d'une part
le motif répétitif et d'autre part le réseau
de points sur lequel il est répété.
On peut comparer cette séparation de la position des atomes d'un cristal en deux éléments à la
disposition d'un carrelage sur le sol. Le motif répétitif est analogue à un seul carreau. Si on marque sur le
sol l'emplacement de chaque carreau, disons en repérant le coin inférieur gauche du carreau par un point rouge, alors
on dessine un réseau de points rouges sur lesquels on dépose le motif élémentaire (fig.10).
Fig.10- Un carrelage peut être décrit ...
Un même carrelage peut être décrit de plusieurs façons. Plusieurs motifs sont possibles: 3
exemples de mailles simples (comportant un seul motif) sont donnés (cadres rouges). Une maille double est
représentée dans le haut.