Congruencia (teoría de números)
# Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\,\neq \,0$, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

    $a\equiv b{\pmod {m}}$

que se expresa diciendo que: $a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$. De donde se define que dos números $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ son congruentes en módulo $m\,\neq \,0$ «» (sí y solo si) :

    $m\mid a-b$

o lo que es lo mismo, $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ dejan el mismo resto en la división por $m\,$. Además, también se puede afirmar que:

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p\,$ y cada entero $a\,$ no divisible por $p\,$ tenemos la congruencia:

    $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x\equiv 4{\pmod {11}}$ y $x\equiv 7{\pmod {11}}$, es decir $x\,$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4\,$ y $11k+7\,$. Contrariamente la congruencia $x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

## Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

* La congruencia para un módulo $a\equiv b{\pmod {m}}$ entonces también $b\equiv a{\pmod {m}}$
* transitividad: si $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $b\equiv c{\pmod {m}}$ entonces también $a\equiv c{\pmod {m}}$.
* Si $a\,$ es coprimo con $m\,$ y $a\equiv b{\pmod {m}}$, entonces $b\,$ también es coprimo con $m\,$.
* Si $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $k\,$ es un entero entonces también se cumple
   * $a\pm k\equiv b\pm k{\pmod {m}}$
   * $ka\equiv kb{\pmod {m}}$
   * $a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0$
* Si además $k\,$ es coprimo con $m\,$, entonces podemos encontrar un entero $h^{-1}\,$, tal que

    $kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

    ${\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}$

donde por definición ponemos $a/k=ak^{-1}\,$.

* Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

    $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $c\equiv d{\pmod {m}}$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

    $a+c\equiv b+d{\pmod {m}}$ y $ac\equiv bd{\pmod {m}}$
