Ley de desplazamiento de Wien
# Ley de desplazamiento de Wien

En física, la ley de desplazamiento de Wien es una ley que establece que hay una relación inversa entre la longitud de onda en la que se produce el pico de emisión de un cuerpo negro ($\lambda _{\mathrm {max} }$) y su temperatura ($T$).

## Etimología

La ley de desplazamiento de Wien se llama así en honor al físico alemán, Wilhelm Wien.

## Historia

Wien estudió la distribución de frecuencia o longitud de onda de radiación de cuerpo negro en la década de 1890. Su idea fue utilizar como una buena aproximación para el cuerpo negro ideal un horno con un pequeño orificio. Cualquier radiación que ingrese al pequeño orificio se dispersa y se refleja desde las paredes internas del horno con tanta frecuencia que casi toda la radiación entrante se absorbe y la posibilidad de que parte de ella salga nuevamente del orificio puede hacerse extremadamente pequeña. La radiación que sale de este agujero está entonces muy cerca del equilibrio de la radiación electromagnética del cuerpo negro correspondiente a la temperatura del horno. Wien descubrió que la energía radiactiva ($dW$) por intervalo de longitud de onda ($d\lambda$) tiene un máximo a una cierta longitud de onda ($\lambda _{\mathrm {max} }$) y que el máximo se desplaza a longitudes de onda más cortas a medida que aumenta la temperatura ($T$). Encontró que el producto ($\lambda _{\mathrm {max} }\ T$) es una constante absoluta: ($b=$ 0.2898 cm K).

## Introducción

Las consecuencias de la ley de Wien es que cuanta mayor sea la temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite.

Por ejemplo, la temperatura de la fotosfera solar es de (5780 K) y el pico de emisión se produce a (501,3 nm = 5,013 · $10^{-7}$ m). Como 1 angstrom 1 Å= $10^{-10}$ m = $10^{-4}$ micras resulta que el máximo ocurre a 5013 Å. Como el rango visible se extiende desde 4000 Å hasta 7400 Å, esta longitud de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde. Finalmente, el color de la luz que acabamos viendo el sol es blanco y no verde, ya que esta longitud de onda se encuentra en el centro del espectro visible y se mezcla con las demás longitudes que también son de alta intensidad. Es por ello que no vemos al sol irradiar luz verde ni tampoco existen estrellas que irradien en este color. Como complemento, se puede mencionar que la luz blanca del sol solo puede ser apreciada de este color en ausencia de los efectos de la refracción con la atmósfera, situación tal como una fotografía sacada desde un telescopio espacial o encontrándose en la estación espacial internacional. desde la tierra percibimos al Sol de un color amarillento debido a esta refracción, y varía a medida que la densidad de la atmósfera que se encuentra entre el observador y el objeto celeste también lo hace y esto sucede durante el ciclo natural de rotación de la tierra.

## Simbología

Simbología :

| Símbolo | Nombre | Valor | Unidad |
| - | - | - | - |
| $T$ | Temperatura del cuerpo negro | | K |
| $n$ | Índice de refracción | | |
| $q(\lambda ,T)$ | Densidad de Potencia por área por longitud de onda | | W / $m^3$ |
| $\lambda$ | Longitud de onda | | m |
| $\lambda _{\mathrm {max} }$ | Longitud de onda del pico de emisión | | m |
| | Constantes | | |
| $b$ | Constante de desplazamiento de Wien | 0.0028976 | m K |
| $C_{1}$ | Primera constante de radiación | | W $m^2$ |
| $C_{2}$ | Segunda constante de radiación | | m K |
| $c_{0}$ | Velocidad de la luz al vacío | | m / s |
| $h$ | Constante de Planck | | J s |
| $k_{\rm {B}}$ | Constante de Boltzmann | | J / K |

## Descripción

Matemáticamente, la ley es:

$\lambda _{\mathrm {max} }\ T=b$

Con índice de refracción

$n\ \lambda _{\mathrm {max} }\ T=b$

La ley de Wien se deduce hoy a partir de la ley de Planck para la radiación de un cuerpo negro de la siguiente manera:

Deducción :

| | Ley de Planck |
| - | - |
| Ecuaciones | $q(\lambda ,T)={C_{1} \over \lambda ^{5}\ {\Bigle^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}-1{\Bigr ]}}$ |
| Ordenando | $q(\lambda ,T)={\frac {C_{1}\ \lambda ^{-5}}{{\Bigle^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}-1{\Bigr ]}}}$ |
| Derivando | ${\frac {\partial (q(\lambda ,T))}{\partial \lambda }}={\frac {-5C_{1}\ \lambda ^{-6}{\Bigle^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}-1{\Bigr ]}-C_{1}\lambda ^{-5}{\Bigl{\frac {-C_{2}\lambda ^{-2}}{T}}{\Bigr )}e^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}}{{\Bigle^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}-1{\Bigr ]}^{2}}}$ |
| Simplificando | ${\frac {\partial (q(\lambda ,T))}{\partial \lambda }}={\frac {C_{1}\lambda ^{-6}e^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}{\Bigl-5{\Bigl1-e^{-{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}{\Bigr )}+{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}{{\Bigle^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}-1{\Bigr ]}^{2}}}$ |
| Máximo ${\Bigl{\frac {\partial (q(\lambda ,T))}{\partial \lambda }}=0{\Bigr )}$ | ${\frac {C_{1}\lambda ^{-6}e^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}{\Bigl-5{\Bigl1-e^{-{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}{\Bigr )}+{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}{{\Bigle^{{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}-1{\Bigr ]}^{2}}}=0$ |
| Simplificando | $-5{\Bigl1-e^{-{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}}{\Bigr )}+{\Bigl{\frac {C_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}=0$ |
| Haciendo ${\Biglx={\frac {c_{2}}{\lambda \ T}}{\Bigr )}$ | $-5{\Bigl1-e^{-x}{\Bigr )}+x=0$ |
| Despejando | ${\Bigl{\frac {x}{1-e^{-x}}}{\Bigr )}-5=0$ |

Esta ecuación no se puede resolver mediante funciones elementales. Como una solución exacta no es importante podemos optar por soluciones aproximadas. Se puede hallar fácilmente un valor aproximado para $x$:

Si x es grande resulta que aproximadamente $e^{-x}=0\,$ así que x está cerca de 5. Así que aproximadamente $x=5(1-e^{-5})=4.9663$.

Utilizando el método de Newton o de la tangente:

$x=4.965114231744276\ldots$

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

$C_{1}=2\pi \ h\ (c_{0})^{2}=(3.7418E-16)\ {\rm {W\ m^{2}}}$

$C_{2}={\frac {h\ c_{0}}{k_{\rm {B}}}}=(1.4385E-2)\ \mathrm {m} \ \mathrm {K} =(1.4385E7)\ \eta \mathrm {m} \ \mathrm {K}$

De la definición de x resulta que:

$b=\lambda _{\mathrm {max} }\ T={\frac {C_{2}}{x}}={\Bigl{\frac {1.4385E-2}{4.965114231744276}}{\Bigr )}=(2897.6)\ \mu m\ K$

