Núcleo de Bergman
# Núcleo de Bergman

En matemáticas, el núcleo de Bergman de funciones de varias variables complejas, es un núcleo integral para el espacio de Hilbert de todas las funciones holomorfas de cuadrado integrable sobre un dominio $D\subset \mathbb {C} ^{n}$.

## Definición

Sea $L^2(D)$ el espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado integrable sobre D, y sea $L^{2,h}(D)$ el subespacio de funciones que también son holomorfas sobre D: es decir,

   $L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)$

donde H(D) es el espacio de funciones holomorfas sobre D. Entonces $L^{2,h}(D)$ es un espacio de Hilbert, es decir, es un subespacio vectorial cerrado de $L^2(D),$ y por tanto completo por sí mismo. Esto se sigue de la etimación fundamental para una función de cuadrado integrable en D:

   (1)$\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}$

para cada subconjunto compacto K de D. por tanto la convergencia de una secuencia de funciones holomorfas en $L^2(D)$ implica también la convergencia compacta, y por tanto el límite también es una función holomorfa. Otra consecuencia de (1) es que, para cada z ∈ D, la evaluación

   $\operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)$

es un funcional continuo sobre $L^{2,h}(D).$ Por teorema de representación de Riesz, este funcional puede representarse como el producto interno de un elemento de $L^{2,h}(D),$ es decir,

   $\operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).$

El núcloe de Bergman kernel K se define entonces como:

   $K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.$

El núcleo K(z,ζ) es holomorfo en z y antiholomorfo in ζ, y además satisface que

   $f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).$
