Unidad (álgebra)
# Unidad (álgebra)

En matemática, especialmente en álgebra abstracta, el término unidad, elemento invertible o simplemente invertible en un anillo R con identidad multiplicativa $1_R,$ se refiere a un elemento u tal que existe un v, llamado el inverso multiplicativo en R con

    u·v = v·u = $1_R.$

Donde la operación · es la operación multiplicativa del anillo R.

Elementos de esta naturaleza cumplen

* El inverso multiplicativo es único
* El conjunto de todos los invertibles junto con la operación multiplicativa del anillo forman un grupo denotado por U(R).

Algo a tener en cuenta es que el término unidad debe diferenciarse de la 'unidad' en los anillos unitarios.

## Ejemplos

* En el anillo de enteros, Z, las unidades son ±1.
* En el anillo de enteros módulo n, Z/nZ, las unidades son las clases congruentes módulo n que son coprimos a n. Estos constituyen el grupo multiplicativo de enteros módulo n.
* Cualquier raíz de la unidad (esto es, solución de la ecuación $x^n=1)$ es un invertible en cualquier anillo con unidad R. (Si r es la raíz de la unidad, y $r^n$ = 1, entonces $r^{−1}$ = $r^{n−1}$ es también un elemento de R.)
* Si R es el anillo de enteros en un cuerpo numérico, el teorema de las unidades de Dirichlet establece que el grupo de invertibles de R es un grupo abeliano finitamente generado. Por ejemplo, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 en el anillo de enteros de Q[√5], de hecho el grupo de invertibles es finito. En general, el grupo de invertibles de un campo real cuadrático es siempre finito.
