Polinomio positivo
# Polinomio positivo

En matemáticas, un polinomio positivo en un conjunto dado es un polinomio cuyos valores son positivos en aquél conjunto.

Sea p un polinomio en n variables con coeficientes reales y sea S un subconjunto del espacio vectorial n-dimensional euclidiano $ℝ^n.$ Decimos que:

* p es positivo en S si p(x) > 0 para toda x en S.
* p es no-negativo en S si p(x) ≥ 0 para toda x en S.
* p es cero en S si p(x) = 0 para toda x en S.

Para ciertos conjuntos S, hay descripciones algebraica de todos los polinomios que son positivos, no-negativos, o cero en S. Tal descripción es un positivstellensatz, nichtnegativstellensatz, o nullstellensatz. Este artículo se centrará en la primera de estas descripciones. Para la última de estas, véase Hilbert Nullstellensatz, el cual es el nullstellensatz más conocido.

## Ejemplos de positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)

* Polinomios globalmente positivos y su descomposición en suma de cuadrados .
   * Cada polinomio real en una variable y con grado par es no-negativo en ℝ si y sólo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable. Esta equivalencia no se puede generalizar para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio Motzkin $x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1$ es no-negativo en $\mathbb {R} ^{2}$ pero no es una suma de cuadrados de elementos de $\mathbb {R} [x,y]$.
   * Un polinomio real en n variables es no-negativo en $\mathbb {R} ^{n}$ si y sólo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en n variables (léase el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin).
   * Supongamos que $p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ es homogéneo de grado par. Si es positivo en $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$, entonces existe un entero m tal que $(x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})^{m}\cdot p$ es una suma de cuadrados de elementos de $\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$.
* Polinomios positivos en politopos.
   * Para polinomios de grado ≤ 1 tenemos la variante siguiente de Lema de Farkas: Si $f,g_{1},\ldots ,g_{k}$ tienen grado ≤ 1 y $f(x)\geq 0$para toda $x\in \mathbb {R} ^{n}$ que satisface $g_{1}(x)\geq 0,\ldots ,g_{k}(x)\geq 0$, entonces existen números reales no negativos $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{k}$ tales que $f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\ldots +c_{k}g_{k}$.
   * Teorema de Pólya: Si $p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ es homogéneo y $p$ es positivo en el conjunto $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0,\ldots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\ldots +x_{n}\neq 0\}$, entonces existe un entero $m$ tal que $(x_{1}+\ldots +x_{n})^{m}\cdot p$ tiene coeficientes no negativos.
   * Teorema de Handelman: Si $K$ es un politopo compacto en un espacio Euclidiano de dimensión $d$, definido por las desigualdades lineales $g_{i}\geq 0$, y si $f$ es un polinomio en $d$ variables que es positivo en $K$, entonces $f$ puede ser expresado como combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de elementos del conjunto $\{g_{i}\}$.
* Polinomios positivos en conjuntos semialgebráicos.
   * El resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle.
   * Para conjuntos semialgebráicos compactos, tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen, el positivstellensatz de Putinar y el positivstellensatz de Vasilescu. Un punto común entre estos es que ningún denominador se necesita.
   * Para conjuntos semialgebráicos de buen comportamiento y de dimensión baja, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores.

## Generalizaciones de positivstellensatz

Positivstellensatz también existen para polinomios trigonométricos, polinomios matriciales, polinomios en variables libres, varios polinomios cuánticos, et cétera [cita faltante].

