Envolvente afín
# Envolvente afín

En matemáticas, la envolvente afín de un conjunto S en un espacio euclídeo $R^n$ es el espacio afín más pequeño que contiene a S, o equivalentemente, la intersección de todos los conjuntos afines que contienen a S. Aquí, un conjunto afín puede definirse como la traslación de un subespacio vectorial.

La envolvente afín aff(S) de S es el conjunto de todas las combinaciones afines de elementos de S, es decir,

    $\operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.$

## Ejemplos

* La envolvente afín del conjunto vacío es el conjunto vacío.
* La envolvente afín de un conjunto unitario (un conjunto formado por un solo elemento) es el propio elemento.
* La envolvente afín de un conjunto de dos puntos diferentes es la recta que pasas a través de ellos.
* La envolvente afín de un conjunto de tres puntos que no están en una línea recta es el plano que los atraviesa.
* La envolvente afín de un conjunto de cuatro puntos que no están en un plano en $R^3$ es el espacio completo $R^3.$

## Propiedades

Para cualquier subconjunto $S,T\subseteq X$

* $\operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S$
* $\operatorname {aff} S$ es un conjunto cerrado si $X$ es de dimensión finita.
* $\operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T$
* Si $0\in S$, entonces $\operatorname {aff} S=\operatorname {span} S$.
* Si $s_{0}\in S$, entonces $\operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})$ es un subespacio lineal de $X$.
* $\operatorname {aff} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)$.
   * Entonces, en particular, $\operatorname {aff} (S-S)$ es siempre un subespacio vectorial de $X$.
* Si $S$ es convexo, entonces $\operatorname {aff} (S-S)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (S-S)$
* Para cada $s_{0}\in S$, $\operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)$ donde $\operatorname {cone} (S-S)$ es el cono más pequeño que contiene a $S-S$ (aquí, un conjunto $C\subseteq X$ es un cono si $rc\in C$ es para todos los $c\in C$ y todos los $r\geq 0$ no negativos).
   * Por lo tanto, $\operatorname {cone} (S-S)$ es siempre un subespacio lineal de $X$ paralelo a $\operatorname {aff} S$.

## Conjuntos relacionados

* Si en lugar de una combinación afín se utiliza una combinación convexa, es decir, en la fórmula anterior se requiere que todos los $\alpha _{i}$ sean no negativos, se obtiene la envolvente convexa de S, que no puede ser mayor que la envolvente afín de S a medida que haya más restricciones involucradas.
* La noción de combinación cónica da origen a la noción de envolvente cónica.
* Sin embargo, si no se impone ninguna restricción a los números $\alpha _{i}$, en lugar de una combinación afín se tiene un combinación lineal, y el conjunto resultante es el sistema generador de S, que contiene la envolvente afín de S.
