Problema bien definido
# Problema bien definido

Un problema bien definido o bien propuesto (en el sentido de Hadamard) es un problema de Cauchy de valor inicial que tiene propiedades analíticas adecuadas y cuyas soluciones posibles tienen una estructura conveniente. en particular, esas condiciones suelen incluir:

* La existencia de alguna solución.
* La unicidad de la solución.
* La solución depende de manera continua de las condiciones iniciales (topología).

## Definición

Más formalmente un problema del tipo planteado en el espacio de Banach $\scriptstyle {\mathcal {B}}$:

   ${\begin{cases}{\cfrac {d}{dt}}u(t)=Au(t),&\qquad u:\mathbb {R} \to {\mathcal {B}}\\u(0)=u_{0}\in {\mathcal {B}}&\qquad A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})\end{cases}}$

está bien propuesto en el sentido de Hadamard si tiene las tres propiedades siguientes:

* Unicidad: las soluciones estrictas están determinadas unívocamente por las condiciones iniciales.
* Conjunto denso: el conjunto $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ de todas las condiciones iniciales correspondientes a las soluciones posibles es denso en el espacio de Banach en el que se plantea problema.
* Acotación local: Para algún intervalo finito $\scriptstyle [0,t_{0}]$ existe una constante $\scriptstyle K=K(t_{0})$ tal que cada solución estricta satisface la desigualdad:

   $\|u(t)\|\leq K\|u_{0}\|\ {\mbox{para}}\ 0\leq t\leq t_{0}$
