Teorema de F. Riesz
# Teorema de F. Riesz

El teorema de F. Riesz (llamado así por el matemático húngaro Frigyes Riesz (1880-1956)) es una proposición importante en análisis funcional, que establece que un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto. El teorema y sus consecuencias se utilizan de forma ubicua en el análisis funcional, a menudo sin mencionarlo explícitamente.

## Enunciado

En primer lugar, debe recordarse que un espacio vectorial topológico (EVT) $X$ es de Hausdorff si y solo si el conjunto unitario $\{0\}$ que consta exclusivamente del origen es un subconjunto cerrado de $X$. Una aplicación entre dos EVT se denomina isomorfismo EVT o isomorfismo en la categoría de EVT si es un homeomorfismo lineal.

* Teorema de F. Riesz
* Un EVT de Hausdorff $X$ sobre el cuerpo $\mathbb {F}$ ($\mathbb {F}$ es el conjunto de los números reales o complejos) es de dimensión finita si y sólo si es localmente compacto (o equivalentemente, si y sólo si incluye un entorno compacto del origen). En este caso, $X$ es un EVT isomorfo sobre $\mathbb {F} ^{{\text{dim}}X}$.

## Consecuencias

En todo momento, $F,X,Y$ son EVTs (no necesariamente de Hausdorff), siendo $F$ un espacio vectorial de dimensión finita.

* Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un EVT de Hausdorff es un subespacio cerrado.
* Todos los EVTs de Hausdorff de dimensión finita son espacios de Banach y todas las normas en dicho espacio son equivalentes.
* Cerrado + de dimensión finita está cerrado: Si $M$ es un subespacio vectorial cerrado de un EVT $Y$ y si $F$ es un subespacio vectorial de dimensión finita de $Y$ ($Y,M$, y $F$ no son necesariamente de Hausdorff), entonces $M+F$ es un subespacio vectorial cerrado de $Y$.
* Cada isomorfismo del espacio vectorial (es decir, una función biyectiva lineal) entre dos EVTs de Hausdorff de dimensión finita es un isomorfismo entre EVTs.
* Singularidad de la topología: Si $X$ es un espacio vectorial de dimensión finita y si $\tau _{1}$ y $\tau _{2}$ son dos topologías sobre EVT de Hausdorff en $X$, entonces $\tau _{1}=\tau _{2}$.
* Dominio de dimensión finita: Una aplicación lineal $L:F\to Y$ entre EVT de Hausdorff es necesariamente continua.
   * En particular, cada funcional lineal de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es continuo.
* Rango de dimensión finita: Cualquier aplicación lineal sobreyectiva $L:X\to Y$ continuo con un rango de dimensión finita de Hausdorff es una aplicación abierta y, por lo tanto, un homomorfismo topológico.

En particular, el rango de $L$ es EVT-isomorfo a $X/L^{-1}(0).$

* Un EVT $X$ (no necesariamente de Hausdorff) es localmente compacto si y solo si $X/{\overline {\{0\}}}$ es de dimensión finita.
* La envolvente convexa de un espacio compacto de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es compacta.
   * Esto implica, en particular, que el recubrimiento convexo de un conjunto compacto es igual al recubrimiento convexo cerrado de ese conjunto.
* Un EVT de Hausdorff localmente acotado con la propiedad de Heine-Borel es necesariamente de dimensión finita.
