Sucesión de Lucas
# Sucesión de Lucas

En matemáticas, especialmente en teoría de números, las sucesiones de Lucas, $U_n(P,Q)$ y $V_n(P,Q)$ son ciertas sucesiones de enteros que satisfacen la relación de recurrencia

    $x_n$ = P $x_{n−1}$ + Q $x_{n−2}$

Donde P y Q son enteros fijos. cualquier otra sucesión que satisfaga esta relación de recurrencia puede ser representada como combinación lineal de las Sucesiones de Lucas $U_n(P,Q)$ y $V_n(P,Q).$

Entre ellas se encuentran las sucesiones de los números de Lucas, que se obtienen de igual manera que la sucesión de Fibonacci, estando ambas estrechamente relacionadas, con el cambio de que los primeros dos números no son 1, 1, sino 2, 1. La sucesión de Lucas toma el nombre del matemático francés Édouard Lucas.

## Números de Lucas

Los números de Lucas están dados por:

* $l_{0}=2~$
* $l_{1}=1~$
* $l_{n}=l_{n-1}+l_{n-2}~$ para $n=2,3,4,5,\ldots$

Teniendo ciertas propiedades como: La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

* La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir

    $\lim _{n\to \infty }{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}}=\varphi$
* La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

    $l_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}$
* La suma de los primeros $n$ números de Lucas es el número que se encuentra en la posición $n+2$ menos uno. Es decir

    $l_{0}+l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=l_{n+2}-1$
* Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad

    $l_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}~$
* Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

    $f_{n}={\frac {l_{n-1}+l_{n+1}}{5}}$

## Relaciones de Recurrencia

Teniendo en cuenta dos parámetros enteros P y Q, la sucesión de Lucas de la primera clase $U_n(P,Q)$ y de la segunda clase $V_n(P,Q)$ Se definen por las relaciones de recurrencia:

    $U_{0}(P,Q)=0,\,$
    $U_{1}(P,Q)=1,\,$
    $U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\,$

y

    $V_{0}(P,Q)=2,\,$
    $V_{1}(P,Q)=P,\,$
    $V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\,$

No es difícil mostrar que para $n>0$,

    $U_{n}(P,Q)={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\,$
    $V_{n}(P,Q)={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\,$

## Ejemplos

Los términos iniciales de la sucesión $U_n(P,Q)$ y $V_n(P,Q)$ se dan en esta tabla:

| $n\,$ | $U_{n}(P,Q)\,$ | $V_{n}(P,Q)\,$ |
| - | - | - |
| $0\,$ | $0\,$ | $2\,$ |
| $1\,$ | $1\,$ | $P\,$ |
| $2\,$ | $P\,$ | ${P}^{2}-2Q\,$ |
| $3\,$ | ${P}^{2}-Q\,$ | ${P}^{3}-3PQ\,$ |
| $4\,$ | ${P}^{3}-2PQ\,$ | ${P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\,$ |
| $5\,$ | ${P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}\,$ | ${P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\,$ |
| $6\,$ | ${P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}\,$ | ${P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\,$ |

## Relaciones Algebraicas

La ecuación característica de la relación de recurrencia para las sucesiones de Lucas $U_{n}(P,Q)$ y $V_{n}(P,Q)$ es:

    $x^{2}-Px+Q=0\,$

Tiene la discriminante $D=P^{2}-4Q$ y las raíces:

    $a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,$

Por lo tanto:

    $a+b=P\,,$
    $ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,$
    $a-b={\sqrt {D}}\,.$

### Raíces Distintas

Cuando $D\neq 0$, a y b son distintos y uno verifica rápidamente que

    $a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}$
    $b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}$.

De ello se desprende que los términos de secuencias de Lucas se pueden expresar en términos de a y b como

    $U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}$
    $V_{n}=a^{n}+b^{n}\,$

### Raíces Repetidas

El caso en que $D=0$ ocurre exactamente cuando $P=2S{\text{ y }}Q=S^{2}$ para algunos enteros S de manera que $a=b=S$. En este caso se puede encontrar fácilmente qu

    $U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,$
    $V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}\,$.

### Sucesiones adicionales que tienen la misma discriminante

Si las sucesiones $U_{n}(P,Q)$ y $V_{n}(P,Q)$ tienen discriminante $D=P^{2}-4Q$, entonces la sucesión basada en $P_{2}$ y $Q_{2}$ donde

    $P_{2}=P+2$
    $Q_{2}=P+Q+1$

tienen la misma discriminante: $P_{2}^{2}-4Q_{2}=(P+2)^{2}-4(P+Q+1)=P^{2}-4Q=D$.

## Nombres específicos

Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos:

    $U_n(1,−1):$ Números de Fibonacci
    $V_n(1,−1):$ Números de Lucas
    $U_n(2,−1):$ Números de Pell
    $V_n(2,−1):$ Números de Pell-Lucas
    $U_n(1,−2):$ Números de Jacobsthal
    $V_n(1,−2):$ Números de Jacobsthal-Lucas
    $U_n(3,$ 2): Números de Mersenne $2^n$ − 1
    $V_n(3,$ 2): Números de la forma $2^n$ + 1, que incluye los números de Fermat(Yubuta, 2001).
    $U_n(x,−1):$ Polinomios de Fibonacci
    $V_n(x,−1):$ Polinomios de Lucas
    $U_n(x+1,$ x): Repitunos en base x
    $V_n(x+1,$ x): $x^n$ + 1
