Teorema maestro de Ramanujan
# Teorema maestro de Ramanujan

En matemáticas, el teorema maestro de Ramanujan, llamado así en honor a Srinivasa Ramanujan, es una técnica que proporciona una expresión analítica para la transformada de Mellin de una función analítica.

El resultado se muestra como sigue:

Si una función de variable compleja f(x){\textstyle f(x)} tiene una expresión de la forma

    $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$

entonces la transformada de Mellin de f(x){\textstyle f(x)} está dada por

    $\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$

donde Γ(s){\textstyle \Gamma (s)} es la función gamma.

Esto fue usado ampliamente por Ramanujan para calcular integrales definidas y series infinitas.

Versiones en dimensiones altas de este teorema también aparecen en física cuántica (a través de diagramas de Feynman).

Un resultado similar fue también obtenido por Glaisher.

## Formalismo alternativo

Una formulación alternativa del teorema maestro de Ramanujan es la siguiente:

    $\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)$

la cual se convierte en la forma de arriba después de sustituir λ(n)≡ φ(n)/(Γ(1+n)) {\textstyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\, \Gamma (1+n)\, }}} y usando la ecuación funcional de la función gamma.

La integral de arriba es convergente para 0<Re⁡(s)<1{\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1} sujeta a las condiciones de crecimiento de φ{\textstyle \varphi }.

## Demostración

Una demostración sujeta a supuestos "naturales" (aunque no a las condiciones necesarias más débiles) del teorema maestro de Ramanujan fue proporcionada por G. H. Hardy (capítulo XI) empleando el teorema de los residuos y el bien conocido teorema de inversión de Mellin.

