Cuasi norma
# Cuasi norma

En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una cuasi norma (término también escrito en ocasiones como cuasinorma, cuasi-norma o casi norma) es similar a una norma en que satisface los axiomas de la norma, excepto que la desigualdad triangular se reemplaza por:

    $\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$

para algunos $K>1.$

## Definición

Una cuasi seminorma en un espacio vectorial $X$ es una aplicación de valor real $p$ en $X$ que satisface las siguientes condiciones:

* No negatividad: $p\geq 0;$
* Homogeneidad absoluta: $p(sx)=|s|p(x)$ para todos los $x\in X$ y todos los escalares $s;$
* Existe un $k\geq 1$ real tal que $p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]$ para todos los $x,y\in X.$
   * Si $k=1$, entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular habitual.

Una cuasi norma es una cuasi seminorma que también satisface:

* Definida positiva/Separación de puntos : si $x\in X$ satisface $p(x)=0,$ entonces $x=0.$

Un par $(X,p)$ que consta de un espacio vectorial $X$ y una cuasi seminorma asociada $p$, se denomina espacio vectorial cuasi seminormado.

Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se llama espacio vectorial cuasi normado.

Multiplicador

El ínfimo de todos los valores de $k$ que satisfacen la condición (3) se llama multiplicador de $p.$ El multiplicador en sí también satisfará la condición (3), por lo que es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término $k$ cuasi seminorma se utiliza a veces para describir una cuasi seminorma cuyo multiplicador es igual a $k.$

Una norma (respectivamente, una seminorma) es solo una cuasi norma (respectivamente, una cuasi seminorma) cuyo multiplicador es $1.$ Así, cada seminorma es una cuasi seminorma y cada norma es una cuasi norma (y una cuasi seminorma).

### Topología

Si $p$ es una cuasinorma en $X$, entonces $p$ induce una topología vectorial en $X$ cuya base de vecindad en el origen está dada por los conjuntos:

$\{x\in X:p(x)<1/n\}$

ya que $n$ abarca los números enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con dicha topología se llama quasinormed topological vector space o simplemente quasinormed space .

Todo espacio vectorial topológico cuasinormado es pseudometrizable.

Un espacio cuasinormado complete se llama quasi-Banach space . Todo Espacio de Banach es un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.

### Definiciones relacionadas

Un espacio cuasinormado $(A,\|\,\cdot \,\|)$ se llama quasinormed algebra si el espacio vectorial $A$ es un algebra y existe una constante $K>0$ tal que

$\|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|$

para todos $x,y\in A.$

Un álgebra cuasinormada complete se llama quasi-Banach algebra .

## Caracterizaciones

Un espacio vectorial topológico (TVS) es un espacio cuasinormado si y solo si tiene una vecindad acotada del origen.

## Ejemplos

Dado que toda norma es una cuasinorma, cada espacio vectorial normado es también un espacio cuasinormado.

Espacios $L^{p}$ con $0<p<1$

Los $L^{p}$ spaces para $0<p<1$ son espacios cuasinormados (de hecho, incluso son Espacio F) pero no son, en general, normable (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Para $0<p<1,$, Lebesgue space $L^{p}([0,1])$ es un complete metrizable TVS (un Espacio F), es decir, , no locally convex (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos de convex son en sí $L^{p}([0,1])$ y el conjunto vacío) y solo operador lineal continuo en $L^{p}([0,1])$ es la función $0$ constante (Rudin, 1991, §1.47) . En particular, Teorema de Hahn–Banach mantiene y no para $L^{p}([0,1])$ cuando $0<p<1.$

