Conjunto simétrico
# Conjunto simétrico

En matemáticas, se dice que un subconjunto no vacío S de un grupo G es simétrico si contiene los inversos de todos sus elementos.

## Definición

En notación de conjuntos, un subconjunto $S$ de un grupo $G$ se llama simétrico si siempre que $s\in S$ entonces el inverso de $s$ también pertenece a $S$.

En consecuencia, si $G$ se escribe multiplicativamente, entonces $S$ es simétrico si y solo si $S=S^{-1}$ donde $S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}$.

Si $G$ se escribe de forma aditiva, entonces $S$ es simétrico si y solo si $S=-S$ donde $-S:=\{-s:s\in S\}.$

Si $S$ es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces se dice que $S$ es un conjunto simétrico si es simétrico con respecto a la estructura de grupo aditivo del espacio vectorial; es decir, si $S=-S$, lo que sucede si y solo si $-S\subseteq S$. La envolvente simétrica de un subconjunto $S$ es el conjunto simétrico más pequeño que contiene a $S$, y es igual a $S\cup -S.$. El conjunto simétrico más grande contenido en $S$ es $S\cap -S$.

## Condiciones suficientes

Las uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos simétricos son simétricas.

Cualquier subespacio vectorial en un espacio vectorial es un conjunto simétrico.

## Ejemplos

En $\mathbb {R}$, ejemplos de conjuntos simétricos son los intervalos del tipo $(-k,k)$ con $k>0,$ y los conjuntos $\mathbb {Z}$ y el intervalo $(-1,1)$.

Si $S$ es cualquier subconjunto de un grupo, entonces $S\cup S^{-1}$ y $S\cap S^{-1}$ son conjuntos simétricos.

Cualquier subconjunto equilibrado de un espacio vectorial real o complejo es simétrico.

