Espacio de Grothendieck
# Espacio de Grothendieck

En matemáticas, un espacio de Grothendieck, que lleva el nombre de Alexander Grothendieck, es un espacio de Banach $X$ en el que cada sucesión en su espacio dual $X^{\prime }$ que converge en la topología *débil $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ (también conocida como topología de convergencia puntual) también convergerá cuando $X^{\prime }$ esté dotado de $\sigma \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right),$ que es la topología débil inducida sobre $X^{\prime }$ por su bidual. Dicho de otra manera, un espacio de Grothendieck es un espacio de Banach para el que una sucesión en su espacio dual converge *débilmente si y solo si converge débilmente.

## Caracterizaciones

Sea $X$ un espacio de Banach. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

* $X$ es un espacio de Grothendieck.
* Para cada espacio de Banach separable $Y,$ cada operador lineal acotado de $X$ a $Y$ es débilmente compacto, es decir, la imagen de un subconjunto acotado de $X$ es un subconjunto débilmente compacto de $Y.$
* para cada espacio de Banach $Y,$ generado de forma débilmente compacta, cada operador lineal acotado de $X$ a $Y$ es débilmente compacto.
* Cada función *débil continua en el dual $X^{\prime }$ es débilmente integrable de Riemann.

## Ejemplos

* Cada espacio reflexivo de Banach es un espacio de Grothendieck. Por el contrario, una consecuencia del teorema de Eberlein-Šmulian es que un espacio de Grothendieck separable $X$ debe ser reflexivo, ya que la identidad de $X\to X$ es débilmente compacta en este caso.
* Los espacios de Grothendieck que no son reflexivos incluyen el espacio $C(K)$ de todas las funciones continuas en un espacio compacto stoneano $K,$ y el espacio $L^{\infty }(\mu )$ para una medida $\mu$ (un espacio compacto stoneano es un espacio compacto de Hausdorff en el que la clausura de cada conjunto abierto está abierta).
* Jean Bourgain demostró que el espacio $H^{\infty }$ de funciones holomorfas acotadas en un disco es un espacio de Grothendieck.
