Teorema de Wantzel
# Teorema de Wantzel

El teorema de Wantzel, establecido por Pierre Wantzel en 1837, especifica las condiciones necesarias y suficientes para que un número sea construible. Hoy se expresa de la siguiente manera:

* El número real a es construible si y solo si existe una secuencia finita de cuerpos $L_i$ tal que:
* $L_0$ = ℚ
* $L_{i+1}$ es una extensión cuadrática de $L_i$ para 0 ≤ i < n
* El número real a pertenece a $L_n$

Wantzel deduce de su teorema una condición necesaria para que un número a sea construible:

Esta condición necesaria permite (por su contraposición) demostrar que la duplicación del cubo y la trisección del ángulo no son resolubles con regla y compás.

Sin embargo, esta condición necesaria no es suficiente. Por ejemplo, un polinomio de grado 4 como $(X^4$ + 2X - 2) es de hecho irreducible (en ℚ [X]), pero sus raíces no son construibles.

## Conceptos clave

### Número construible

La definición de un número construible (implícita en las operaciones con regla y compás) se basa en la de punto construible: es un valor real que representa la coordenada en una base ortonormal de un punto construible a partir de dos puntos de la referencia (entonces, el tercero es o no construible). Los puntos construibles se pueden obtener a partir de un número determinado de puntos, obtenidos ellos mismos a partir de los puntos de la base mediante una serie finita de intersecciones de líneas rectas y de circunferencias propias (de radio finito), obtenidos a su vez a partir de puntos previamente construidos.

Se demuestra que los puntos cuyas coordenadas son números construibles, son construibles, y que todos los números racionales son construibles. El cuerpo ℚ de los números racionales es, por tanto, un campo de números construibles.

### Demostración

El planteamiento es entonces el siguiente: si K es un cuerpo de números construibles (por ejemplo ℚ), se considera, en el plano, el conjunto $E_K$ de todos los puntos cuyas coordenadas pertenecen a K. ¿Cuáles son los puntos que se pueden construir con una regla y un compás en un paso desde los puntos de $E_K?$

* El punto de intersección de dos líneas rectas
* El punto de intersección de una circunferencia y una línea recta
* El punto de intersección de dos circunferencias

en las condiciones que se especifican a continuación.

**Intersección de dos líneas rectas**

Dos líneas rectas (AB) y (CD) cuyos puntos A, B, C, D están en $E_K$ tienen como ecuación

    ax + by + c = 0 y ux + vy + t = 0; donde a, b, c, u, v, t son elementos de K

Encontrar las coordenadas (x, y) del punto de intersección I de estas dos líneas rectas equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales en K. Los reales x e y son elementos de K. El punto I pertenece a $E_K.$

**Intersección de una línea recta y una circunferencia**

La línea (AB) tiene la ecuación ax + by + c = 0 y la circunferencia con centro C y que pasa por D tiene la ecuación $x^2$ + ux + $y^2$ + vy + t = 0.

Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de la circunferencia y la línea recta equivale, por sustitución, a resolver una ecuación cuadrática en K:P(x) = 0 o P(y) = 0. Si el punto de intersección existe, o esta ecuación tiene soluciones en K, o esta ecuación es irreducible en K pero tiene soluciones en la extensión cuadrática L = K(X) / P. Entonces, todos los números reales de L también son construibles, porque existe a + bx, donde a y b están en K y x es solución de P(x) = 0.

**Intersección de dos circunferencias**

Encontrar la intersección de dos circunferencias es como encontrar la intersección de una circunferencia con una línea recta, porque el sistema

    $x^2$ + ax + $y^2$ + by + c = 0; y $x^2$ + ux + $y^2$ + vy + t = 0

es equivalente a este otro sistema:

    $x^2$ + ax + $y^2$ + by + c = 0; y (a – u)x + (b – v)y + c – t = 0

Las coordenadas de los puntos de intersección pertenecen a K, o bien a una extensión cuadrática de K formada por números construibles.

**Conclusión**

Un número a es construible si y solo si se puede construir en un número finito n de pasos por intersecciones de dos circunferencias, de dos líneas rectas o de una circunferencia y una línea recta, bajo las condiciones anteriores y partiendo de dos puntos de referencia cuyas coordenadas son, por tanto, racionales.

En los párrafos anteriores, se muestra que, para un paso, o las coordenadas permanecen en el campo K de números de origen construibles, o bien saltan a una extensión cuadrática del mismo.

Por lo tanto, es posible construir una secuencia finita de subcampos de números reales $K_0,$ ..., $K_n$ tal que:

* $K_0$ = ℚ
* Para 0 ≤ i < n, $K_{i+1}$ = $K_i,$ o $K_i$ ⊂ $K_{i+1}$ y $K_{i+1}$ es una extensión cuadrática de $K_i$
* a ∈ $K_n$

es decir, existe una serie de extensiones cuadráticas que verifican las condiciones requeridas (las redundancias $K_{i+1}$ = $K_i$ por supuesto pueden eliminarse).

Por el contrario, si existe una secuencia de subcuerpos reales $L_0,$ ..., $L_n$ que satisfacen las condiciones del teorema, entonces se demuestra por inducción sobre i que $L_i,$ 0 ≤ i ≤ n, es un cuerpo de números construibles. De hecho, los números racionales son construibles $(L_0$ = ℚ), y cualquier elemento b de $L_{i+1},$ extensión del grado 2 de $L_i,$ es una solución de una ecuación de grado 2 con coeficientes en $L_i,$ ya que (1, b, $b^2),$ y se expresa a partir de los coeficientes por suma, multiplicación, división y raíz cuadrada de un número positivo. Sin embargo, el conjunto de números construibles es estable mediante estas operaciones (véase número construible y torre de extensiones cuadráticas).

Por tanto, se obtiene la caracterización enunciada en la introducción.

## Consecuencias

El teorema de Wantzel a menudo se aplica a través del siguiente corolario (también establecido por Wantzel):

De hecho, dado que a pertenece al último eslabón de una serie de extensiones cuadráticas de longitud finita n de origen ℚ, pertenece a una extensión L de grado $2^n$ de ℚ (propiedad de grados de una extensión). El campo L es una extensión de cuerpo ℚ(a) y, aún por la misma propiedad de los grados de extensión, el grado de la extensión ℚ(a) de ℚ es un divisor de $2^n,$ por lo que - incluso una potencia de 2.

Este corolario permite resolver varios problemas clásicos de la matemática griega, comprobando su imposibilidad.

### Duplicación del cubo

    La duplicación del cubo no se puede resolver con una regla sin marcar y un compás.

Duplicar el cubo con una regla y un compás equivale a demostrar que el número ${\sqrt[{3}]{2}}$, la relación entre los lados de dos cubos tales que el primero tiene un volumen doble que el segundo, es construible. Sin embargo, el polinomio mínimo del número ${\sqrt[{3}]{2}}$ es $(X^3$ - 2). De hecho, este polinomio, cuyas raíces no son racionales, no se puede descomponer en ℚ(X) (uno de los factores sería de grado 1). Es de grado 3, y por lo tanto, según el corolario de Wantzel, este número no es construible. Se concluye entonces que la duplicación del cubo con regla y compás no es factible.

### Cuadratura del círculo

    La cuadratura del círculo no se puede producir con una regla y un compás.

De hecho, cuadrar el círculo con una regla y un compás, es decir, determinar con una regla y un compás un cuadrado de área $πr^2,$ el área de un círculo de radio r, significaría que el número √π, y por lo tanto, el número π, es en sí mismo construible. Sin embargo, Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró en 1882 que π es un número trascendente. Basta entonces notar que un número construible con regla y compás es algebraico, lo que es inmediato mediante el teorema de Wantzel. El argumento esencial lo da el teorema de Lindemann, demostrado casi 50 años después del de Wantzel.

### Trisección del ángulo

    La trisección del ángulo en general no se puede lograr con regla y compás.

Efectivamente, realizar la trisección del ángulo equivale a construir, desde el punto de coordenadas

    $a=\cos(\theta ){\text{ y }}b=\sin(\theta ),$

el punto de coordenadas

    $(\cos(q),\sin(q)){\text{ con }}q=\theta /3.$

Usando la fórmula trigonométrica

    $\cos(3q)=4\cos ^{3}(q)-3\cos(q)$,

se ve que cos(q) debe ser la solución de la ecuación:

    $4x^{3}-3x=a.$

Por tanto, la trisección del ángulo es factible si y solo si el polinomio $4X^3$ – 3X – a es reducible en $\mathbb {Q} (a)$, es decir, si admite una raíz que es una función racional de $a$, lo que nunca es el caso si $a$ es transcendente (en particular si θ es un número algebraico distinto de cero), y ni siquiera es siempre el caso si $a$ es algebraico: por ejemplo, para θ = π/3, $\mathbb {Q} (a)=\mathbb {Q} (1/2)=\mathbb {Q}$ y $4X^3$ – 3X – 1/2 no tiene raíz racional, por lo que es irreducible en ℚ.

En algunos casos especiales, como θ = 2π (construcción de un triángulo equilátero) o θ = π (construcción de un hexágono regular), la trisección es posible. La imposibilidad de trisecar π/3, por lo tanto 2π/3, muestra que el eneágono regular (el polígono de 9 lados) no se puede construir con regla y compás, que es un caso especial de un resultado más general de De Wantzel (véase teorema de Gauss-Wantzel y la siguiente sección).

### Teorema de Gauss-Wantzel

En la misma publicación, Pierre-Laurent Wantzel utilizó su teorema para completar el trabajo de Gauss sobre polígonos regulares construibles, en el último capítulo de sus Disquisitiones arithmeticae, lo que conduce a lo que ahora se llama el teorema de Gauss-Wantzel. Gauss había demostrado que los polígonos regulares cuyo número de lados es un producto de distintos números primos de Fermat y una potencia de 2 son construibles con regla y compás, pero se contentó con formular la proposición complementaria sin demostrarla. Es este enunciado recíproco el que demuestra Wantzel:

Por ejemplo, los polígonos regulares con 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 o 21 lados no son construibles.

Construir un polígono regular con n lados equivale a dividir un círculo en n partes iguales y, por lo tanto, a construir un ángulo de medida 2π/n. Siempre se puede trabajar sobre el círculo de radio unidad, y por lo tanto, esto es equivalente a que el número cos(2π/n) sea construible, siendo entonces construible la segunda coordenada del punto en el círculo unitario porque sin(2π/n) = √1 – $cos^2(2π/n).$

Siendo posible trazar la bisectriz de un ángulo con regla y compás, basta con demostrar el resultado para un número impar de lados. Volviendo a las potencias de un número primo impar, si dos números n y m son primos entre sí, y si los ángulos de medida 2π/n y 2π/m son construibles, entonces mediante la identidad de Bézout se pueden encontrar dos enteros u y v tales que 2π/nm = v 2π/n + u 2π/m. Por lo tanto, el ángulo de medida 2π/nm es construible (basta con sumar o restar un cierto número de veces cada uno de los ángulos construibles de medidas 2π/n y 2π/m, lo que se puede materializar con un compás sobre la circunferencia que se va a dividir). Por lo tanto, al usar la factorización de enteros se vuelve a que

Sea p un número primo impar, k un número natural distinto de cero y q = $p^k$ tal que el polígono regular con q lados sea construible. Según el teorema de Wantzel (corolario) la extensión ℚ(cos(2π/q)) tiene por grado una potencia de 2. El número complejo cos(2π/q)+ i sin (2π/q) es la raíz del polinomio $X^2$ - 2cos (2π/q) + 1, irreducible en ℚ(cos(2π/q)), por lo que la extensión ℚ(cos(2π/q) + i sin(2π/q)) es de grado 2 en ℚ(cos(2π/q)), y por lo tanto de grado una potencia de 2 sobre ℚ. Sin embargo, el complejo $e^{i2π/q}$ = cos(2π/q) + i sin(2π/q) es una raíz primitiva q-ésima de la unidad. Por lo tanto, es una raíz del polinomio ciclotómico de índice $q=p^k$ que es unitario e irreducible sobre ℚ, y en consecuencia, el polinomio estudiado es el polinomio mínimo de $e^{i2π/q}.$ El grado de este polinomio es φ(q) = $p^{k–1}$ (p - 1). Dado que p es impar, este número solo puede ser una potencia de 2, o de $2^m,$ si k = 1 y p = 1 + $2^m.$ Luego se demuestra que este número no puede ser primo si p es un número de Fermat.

Además del teorema de Wantzel, la demostración se basa esencialmente en la irreductibilidad en ciclo de polinomios ciclotómicos con índice q = $p^k,$ con p primo, es decir

    $\Phi _{p^{k}}(X)={X^{p^{k}}-1 \over X^{p^{k-1}}-1}=\sum _{j=0}^{p-1}X^{jp^{k-1}}$.

De hecho, está claro que $e^{i2π/q}$ es la raíz de este polinomio de grado $p^{k–1}(p$ - 1), y su irreductibilidad implica que es su polinomio mínimo.

Incluso se podría volver sobre los polinomios ciclotómicos con índices $p^k,$ con p primo, para k = 1 o k = 2, ya que si un polígono con n lados es construible, un polígono cuyo número de lados es un divisor de n es inmediatamente construible.

La irreductibilidad de los polinomios $Φ_{pk}$ (X), siendo k un entero natural distinto de cero, se puede demostrar mediante el criterio de Eisenstein, aplicado al polinomio $Φ_{pk}$ (X + 1) y al número primo p.

