Derivación de funciones trigonométricas
# Derivación de funciones trigonométricas

| Función | Derivada |
| - | - |
| $\,sen(x)$ | $\,cos(x)$ |
| $\,cos(x)$ | $-\,sen(x)$ |
| $\,tan(x)$ | $\,sec^{2}(x)$ |
| $\,cot(x)$ | $-\,csc^{2}(x)$ |
| $\,sec(x)$ | $\,sec(x)\tan(x)$ |
| $\,csc(x)$ | $-\,csc(x)\cot(x)$ |
| $\,arcsen(x)$ | ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $\,arccos(x)$ | ${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $\,arctan(x)$ | ${\frac {1}{x^{2}+1}}$ |

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

    $f'(x)=\cos(x)\,$

### Derivada de la función coseno

Dada la función $f(x)=\cos(x)=\operatorname {sen}(x+{\frac {\pi }{2}})$ es inmediato que:

    $f'(x)=-\operatorname {sen}(x)\,$

## Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)$,

    $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

y $h(x)\neq 0\,$, entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)\,$ es igual a:

    ${\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

A partir de la identidad trigonométrica

    $\tan(x)={sen(x) \over \cos(x)}+$

haciendo:

    $g(x)=\operatorname {sen}(x)\,$
    $g'(x)=\cos(x)\,$
    $h(x)=\cos(x)\,$
    $h'(x)=-\operatorname {sen}(x)\,$

sustituyendo resulta

    $f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\operatorname {sen}(x)[-\operatorname {sen}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}$

operando

    $f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

y aplicando las identidades trigonométricas

    $\cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)=1\,$
    $\sec ^{2}(x)={\frac {1}{cos^{2}(x)}}\,$

resulta:

    $f'(x)=\sec ^{2}(x)\,$

## Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función $\,y=arcsen\,x$, que también se puede expresar como $\,\operatorname {sen} y=x$. Derivando implícitamente la segunda expresión:

    $\,\cos y\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$
    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos y}}\,$

Tenemos además que $\cos y={\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}y}}\,$, y que $\,x=\operatorname {sen} y$. Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

    $\,{\frac {d}{dx}}arcsen\,x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

## Ejemplo #1

    $y=csc(x)cot(x)\,$
    $y'=(-csc(x)csc^{2}(x))-cot(x)csc(x)cot(x)\,$
    $y'=-csc(x)csc^{2}(x)-cot^{2}(x)csc(x)\,$
    $y'=-csc^{3}(x)-cot^{2}(x)csc(x)\,$

## Ejemplo #2

    $y=3sen(x)-2cos(x)\,$
    $y'=3{\frac {d\,senx}{dx}}-2{\frac {d\,cosx}{dx}}$
    $y'=3cos(x)+2sen(x)\,$

## Enlaces

* Ejercicios resueltos de derivada de funciones trigonometricas en wikimatematica
* Datos: Q3296857
