Línea isostática
# Línea isostática

En mecánica de sólidos, una línea isostática es una curva diferenciable tal que para un sólido sometido a un campo de tensiones, en cada punto la tangente a dicha curva coincide con una de las direcciones principales de tensión del cuerpo. Es decir, si en cada punto del sólidos se calculan las tres direcciones principales y se ordenan en cada punto de mayor a menor, una familia de isostáticas corresponde a la "línea del campo" asociada al campo vectorial que en cada punto se corresponde con la primera, segunda o tercera tensión principal. Matemáticamente, las isostáticas son las curvas integrales de dicho campo.

Las isostáticas tienen las propiedades generales de otras tipos de "líneas de campo" o curvas integrales. Dada una familia de isostáticas estas líneas no se cortan en ningún punto a menos que la tensión se anule.

## Isostáticas en el plano

Dado un plano representado mediante pares de coordenadas cartesianas (x, y) y estad elástico plano el ángulo θ formado por la mayor tensión principal y el eje X viene dado por:

   $\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}$

De ahí puede deducirse la forma y(x) de las isostáticas para un estado de elasticidad plana:

   $\tan {\frac {dy}{dx}}=\theta \quad \Rightarrow \quad \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+{\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{\sigma _{xy}}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)-1=0$

por lo que existen dos familias diferentes de isostáticas cada una de ella ortogonal en cada punto a la otra dadas por:

   ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2\sigma _{xy}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2\sigma _{xy}}}\right)^{2}+1}}$

## Propiedades

* Un borde libre por ejemplo constituye siempre una isostática y la otra familia de isostáticas convergen hacia él perpendicularmente.
* Las diferentes familias de isostáticas sólo pueden cortarse donde las direcciones principales no estén bien definidas o donde las tensiones principales se anulan:

    Una condición necesaria en el plano para que las direcciones principales no estén bien definidas es que el punto sea un punto singular isotrópico, es decir, $σ_{xx}$ = $σ_{yy}$ y $σ_{xy}$ = 0.
    Si en particular se cumple además en un punto que: $σ_{xx}$ = $σ_{yy}$ = $σ_{xy}$ = 0, se tiene un punto singular neutro.
* En un punto singular las isostáticas son de dos tipos:
   * Tipo intersectivo, donde cada isostática rodea el punto singular y además se interseca con todas las de la otra familia.
   * Tipo asintótico, donde las isostáticas convergen directamente hacia el punto y en el punto las dos familias de curvas se cortan en dicho punto.
