Topología traza
# Topología traza

En topología, la topología traza (también, inducida o relativa) es la topología que se define sobre un subconjunto $Y\subseteq X$ a partir de la topología del espacio topológico $X$.

## Definición formal

Sean $(X,{\mathcal {T}})$ un espacio topológico y $Y$ un subconjunto de $X$. Entonces, la topología traza sobre $Y$ es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica $i:Y\hookrightarrow X$, es decir, la aplicación definida por $i(y)=y,\forall y\in Y$.

Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre $Y\subseteq X$ son las intersecciones de $Y$ con los abiertos de $X$:

    ${\mathcal {T}}|_{Y}=\{Y\cap A:A\in {\mathcal {T}}\}$.

La topología traza se denota mediante ${\mathcal {T}}|_{Y}$ y se dice que $(Y,{\mathcal {T}}|_{Y})$ es un subespacio topológico del espacio $(X,{\mathcal {T}})$. Si la aplicación $i:Y\hookrightarrow X$ es abierta, se dice que $Y$ es un subespacio abierto, y que $Y$ es un subespacio cerrado si $i:Y\hookrightarrow X$ es cerrada.

## Propiedades

Propiedades de la topología traza sobre un subespacio $Y\subseteq X$:

* Un conjunto $U'\subseteq Y$ es abierto en la topología ${\mathcal {T}}|_{Y}$ si, y sólo si, existe un abierto $U\in {\mathcal {T}}$ tal que $U'=Y\cap U$.
* Un conjunto $U'\subseteq Y$ es cerrado en la topología ${\mathcal {T}}|_{Y}$ si, y sólo si, existe un cerrado $U$ de $X$ tal que $U'=Y\cap U$.
* Si $B\subseteq Y\subseteq X$, entonces ${\mathcal {T}}|_{B}=({\mathcal {T}}|_{Y})|_{B}$.
* Si $Y$ es un subespacio abierto de $X$, un conjunto $U'\subseteq Y$ es abierto en $Y$ si, y sólo si, es abierto en $X$.
* Si $Y$ es un subespacio cerrado de $X$, un conjunto $U'\subseteq Y$ es cerrado en $Y$ si, y sólo si, es cerrado en $X$.

## Propiedades hereditarias

Una propiedad topológica ${\mathcal {P}}$ se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple ${\mathcal {P}}$ también cumplen ${\mathcal {P}}$.

Ejemplos de propiedades que son hereditarias:

* Los axiomas de separación $T_0,$ $T_1$ y $T_2$ (Hausdorff).
* El primer y segundo axioma de numerabilidad.
* Ser metrizable.

La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.

