Derivada de una función en forma paramétrica
# Derivada de una función en forma paramétrica

Una derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».

## Primera derivada

Sean $x(t)\,$ e $y(t)\,$ las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:

    ${\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {y'(t)}{x'(t)}},$

donde la notación $x'(t)\,$ indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:

    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}\,$

o en otras palabras

    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.$

Formalmente, mediante la regla de la cadena;

${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$

y dividiendo ambos miembros por ${\frac {dx}{dt}}$ se obtiene la ecuación de arriba.

## Segunda derivada

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por

    ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ $={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$ $={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}$ $={\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'}{x'}}\right){\frac {1}{x'}}$ $={\frac {x'y''-y'x''}{x'^{3}}}$

mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.

## Ejemplo

Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:

    $x(t)=4t^{2}\,$

y

    $y(t)=3t.\,$

Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que

    ${\frac {dx}{dt}}=8t$

y

    ${\frac {dy}{dt}}=3,$

respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene

    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {y'}{x'}}={\frac {3}{8t}},$

donde $x'$ y $y'$ se entienden como funciones de t.

