Radical de un álgebra de Lie
# Radical de un álgebra de Lie

En la teoría matemática de álgebras de Lie, el radical de un álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ es el mayor ideal soluble de ${\mathfrak {g}}.$

El radical, denotado como ${\rm {rad}}({\mathfrak {g}})$, se ajusta a la sucesión exacta

    $0\to {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to 0$

donde ${\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})$ es un álgebra de Lie semisimple. Cuando el cuerpo base tiene característica cero y ${\mathfrak {g}}$ tiene dimensión finita, el teorema de Levi afirma que esta sucesión exacta es divisible; es decir, existe una subálgebra (necesariamentem semisimple) de ${\mathfrak {g}}$ que es isomorfa al cociente semisimple ${\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})$ a través de la restricción del mapa del cociente ${\mathfrak {g}}\ a{\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).$. Una noción similar es la de subálgebra de Borel, que es una subálgebra (no necesariamente única) maximalmente soluble.

## Definición

Sea $\mathbb {K}$ un cuerpo algebraico y sea ${\mathfrak {g}}$ un álgebra de Lie de dimensión finita sobre $\mathbb {K}$, entonces existe un único ideal soluble máximo, llamado radical, por la siguiente razón:

En primer lugar, sean ${\mathfrak {a}}$ y ${\mathfrak {b}}$ dos ideales solubles de ${\mathfrak {g}}$. Entonces ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ es de nuevo un ideal de ${\mathfrak {g}}$, y es soluble porque es una extensión de $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})$ por ${\mathfrak {a}}$. Consideremos ahora la suma de todos los ideales solubles de ${\mathfrak {g}}$. Es no vacía ya que $\{0\}$ es un ideal soluble, y es un ideal soluble por la propiedad de la suma que acabamos de derivar. Es evidente que es el único ideal soluble máximo.

## Conceptos relacionados

* Un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si su radical es $0$.
* Un álgebra de Lie es reductora si y sólo si su radical es igual a su centro.
