Derivación (matemática)
# Derivación (matemática)

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

## Definición de derivación

Sea $M_^$ una variedad diferenciable y $p\in M$, llamaremos derivación en el punto $p_^$ a

    $\forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow\mathbb {R}$ aplicación $\mathbb {R} -$lineal, es decir:
       $\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,$
         * $\delta _{p}^(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^,$

         * $\delta _{p}^(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^.$

    y tal que $\delta _{p}(f\cdot g)=$$\delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),$ $\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)$, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

### Observación

    ${\mathcal {F}}(M)$ es el conjunto de funciones diferenciables en $M_^$, y es un $\mathbb {R} -$álgebra conmutativa, (es un $\mathbb {R} -$espacio vectorial).
    $f_{|p}^$ es equivalente a $f(p)_^$, es decir, $f_^$ evaluado en el punto $p_^.$

## Ejemplos de derivación

### La derivada parcial

Sea $M=\mathbb {R} ^{n}$ y $p\in M$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

       ${\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}$

**Demostración**


    Veamos primero que es $\mathbb {R} -$lineal, es decir, que $\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R}$ vemos que:
      * ${\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},$

      * ${\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.$

    Veamos finalmente que es una derivación:
       ${\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.$
    Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

### La derivada direccional

Sea $M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1$, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

       ${\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.$

## Derivación en variedades

Sea $M_^$ una variedad diferenciable y $p\in M$, llamaremos espacio tangente a $M_^$ en $p_^$ al $\mathbb {R} -$espacio vectorial de las derivaciones de $M_^$ en $p_^$, notado por ${\mathcal {T}}_{p}M$, y sus elementos se llamaran vectores tangentes a $M_^$ en $p_^.$

## Consecuencias

### Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea $M_^$ una variedad diferenciable, $p\in M$, $\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ y $f\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\existsU_^$ entorno abierto en $p_^$ donde $f(x)=\lambda$, $\forall x\in M$, entonces tenemos que $\delta _{p}^f=0.$

**Demostración**


    Por linealidad de $\delta _{p}^$ tenemos
       $\delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=$ $\lambda \delta _{p}(1),$
    aquí aplicando la condición de derivación a $\delta _{p}^(1)$ tenemos
       $\delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=$ $\delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^(1)=$ $\delta _{p}(1)+\delta _{p}^(1),$
    de simplificar, este último, resulta $\delta _{p}^(1)=0$ aplicadolo al anterior resulta que $\delta _{p}^(f)=0.$

**Ejemplo**

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${\mathcal {C}}^{\infty }$:

* la función meseta $\rho$ asociada a $(p,V)_^$, donde $\rho (x)=1,$ $\forall x\in k\subset V,\;k$ compacto cuyo interior contiene a $p_^.$

### Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea $M_^$ una variedad diferenciable, $p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$, $f\in {\mathcal {F}}(M)$ y $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V)_^$, tenemos que:

    $\delta _{p}^(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).$

**Demostración**


    Aplicando la regla de Leibniz tenemos que $\delta _{p}^(\rho \cdot f)=$$\delta _{p}^(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)$, por la propiedad anterior tenemos que $\delta _{p}^(\rho \cdot f)=$$0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^(f)=$$\delta _{p}^(f).$

### Propiedad

Sea $M_^$ una variedad diferenciable, $p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ y $f,g\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\existsV_^$ entorno abierto en $p_^$ donde $f_{|V}^=g_{|V}$, entonces tenemos que $\delta _{p}^(f)=\delta _{p}(g)$.

**Demostración**


    Sea $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V)_^$, tenemos así que $\rho \cdot f=\rho \cdot g_^$ en todo $M_^$ también $\rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)$ por tanto $\delta _{p}^(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)$ y por la propiedad anterior tenemos que $\delta _{p}^(f)=\delta _{p}(g).$

## Tipos de derivaciones

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

* Derivada de una aplicación entre variedades
* Derivada exterior
* Derivada de Lie
* Derivada covariante
* Diferencial de una función
* Derivada parcial
* Derivada funcional
