Correlación parcial
# Correlación parcial

El coeficiente de correlación parcial de primer orden, anotado aquí $r_{AB.C}$, permite conocer el valor de la correlación entre dos variables A y B, si la variable C había permanecido constante para la serie de observaciones consideradas.

Dicho de otro modo, el coeficiente de correlación parcial $r_{AB.C}$ es el coeficiente de correlación total entre las variables A y B cuando se les retiró su mejor explicación lineal en término de C.

## Fórmula

La correlación parcial de A y B, manteniendo C constante viene dada por:

   $r_{AB.C}={\dfrac {r_{AB}-r_{AC}r_{BC}}{{\sqrt {1-r_{AC}^{2}}}\cdot {\sqrt {1-r_{BC}^{2}}}}}$

donde:

    $r_{AB}$ es el coeficiente de correlación convencional entre A y B.
    $r_{AC}$ es el coeficiente de correlación convencional entre A y C.
    $r_{BC}$ es el coeficiente de correlación convencional entre B y C.

### Demostración geométrica

La demostración más rápida de la fórmula consiste en apoyarse en la interpretación geométrica de la correlación (coseno). Las series de observaciones A, B y C, una vez centradas reducidas, son vectores centrados OA, el OB, OC de longitud unidad:

Sus extremidades determinan un triángulo esférico ABC, el que los lados a, b y c " son los arcos de grandes círculo BC, AC y AB. Los coeficientes de correlaciones entre estos vectores son $r_{BC}=cos(a)$, $r_{AC}=cos(b)$ y $r_{AB}=cos(c)$. Entonces la ley fundamental de los triángulos esféricos da, para el ángulo C, la relación siguiente entra coseno:

   $\cos(C)={\dfrac {\cos(c)-\cos(a)\cos(b)}{\sin(a)\sin(b)}}={\dfrac {\cos(c)-\cos(a)\cos(b)}{{\sqrt {1-\cos ^{2}(a)}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(b)}}}}$

Lo mismo que c está el ángulo entre los puntos A y B, vistos por el centro de la esfera, C está el ángulo esférico entre los puntos A y B, vistos por el punto " C " en la superficie de la esfera, y $r_{AB.C}=\cos(C)$ es la « correlación parcial » entre A y B cuando C es fijado.

