Normalizador
# Normalizador

En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un solo elemento, se habla entonces de un centralizador.

## Definición

* Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por
* $N(S)=\{g\in G:gSg^{-1}=S\}$

En donde $gSg^{-1}$ es el conjunto definido como $\{gsg^{-1}:s\in S\}$.

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

## Propiedades

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

* Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.
* Demostración
* Para demostrar que es un subgrupo, basta demostrar que el producto $ab^{-1}$ donde $a,b$ son dos elementos cualesquiera de $N(S)$ también es elemento de $N(S)$, esto es, hayque demostrar que para todo $s\in S$ el elemento $(ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}$ también pertenece a S.
* Primero demostramos que si $b\in N(S)$ entonces $b^{-1}\in N(S)$ ya que para cualquier $s\in S$ existe un $s_{1}\in S$ que satisfaga $bsb^{-1}=s_{1}$, pero entonces $s=(b^{-1})s_{1}(b)\in S$, es decir, $b^{-1}\in N(S)$
* Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando
* $(ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}s(b^{-1})^{-1}a^{-1}=ab^{-1}sba^{-1}=a(b^{-1}sb)a^{-1}$
* observamos que a está conjugando al elemento $b^{-1}sb$, el cual a su vez es la conjugación por $b^{-1}$ de s.
* Pero como $b\in N(S)$, entonces $b^{-1}\in N(S)$ y por tanto $b^{-1}sb\in S$. Denotemos por $s_{2}$ a $b^{-1}sb$ y entonces la expresión original se reescribe como $as_{2}a^{-1}$ que, al estar a en $N(S)$, también pertenece a S.
* Concluimos entonces que $(ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}\in S$ y por tanto $N(S)$ es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.

* Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.
* Demostración
* Si H es un subgrupo de G, entonces el normalizador es precisamente el conjunto de todos los elementos g del grupo para los cuales $gNg^{-1}=N$, que es precisamente la condición que define a un subgrupo normal.

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

* Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: $[G:N(H)]$ y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito.
* Además, dos clases de conjugación coinciden, $aHa^{-1}=bHb^{-1}$, si y sólo si $ab^{-1}\in N(H)$
* Según Lang, se consideran estas dos más:
* Si K es un subgrupo del normalizador N(H), KH es un grupo y H es normal en KH.
* El normalizador de H es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

## Ejemplos

* El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
* El subgrupo H de $S_{4}$ generado por el ciclo $(1,2,3,4)\,$ no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones $(1,2,3,4),(2,4),(1,3)(2,4)\,$.
