Involución (matemática)
# Involución (matemática)

En matemática, una involución o función involutiva es una función matemática que es su propia inversa:

Definida la función:

    ${\begin{array}{rccl}f:&A&\longrightarrow &A\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}$

Esta función cumple la propiedad involutiva si:

    $\forall x\in A\;:\quad f(f(x))=x$

para todo x de A, se cumple que la función de la función de x es x.

O, de otra manera:

    $f(x)=y\,$ ;
    $f(y)=x\,$

## Propiedades

Toda involución es una aplicación biyectiva. La función identidad es un ejemplo trivial de involución:

    ${\begin{array}{rccl}id:&A&\longrightarrow &A\\&a&\longmapsto &b=id(a)\quad \equiv \quad b=a\end{array}}$

esto es:

    $\forall a\in A\;:\quad id(id(a))=a$

para todo a de A, se cumple que la identidad de la identidad de a es a.

El número de involuciones existentes en un conjunto de n elementos viene dado por la siguiente relación de recurrencia:

    $a_{0}=a_{1}=1\,$
    $a_{n}=a_{n-1}+(n-1)\,a_{n-2}\quad (si\quad n>1)$

Los primeros términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.

## Ejemplos

Ejemplos sencillos son la multiplicación por −1 un número real:

    ${\begin{array}{rccl}f:&R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y=-x\end{array}}$

dado que:

    $\forall x\in \mathbb {R} \;:\quad -(-x)=x$

Para todo x número real, se cumple que el opuesto del opuesto de x es x.

El inverso multiplicativo de números reales sin el cero:

    ${\begin{array}{rccl}f:&R^{*}&\longrightarrow &R^{*}\\&x&\longmapsto &y={\cfrac {1}{x}}\end{array}}$

si vemos que:

    $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}\;:\quad {\cfrac {1}{\cfrac {1}{x}}}=x$

El complemento de un conjunto en teoría de conjuntos:

    ${\begin{array}{rccl}^{c}:&\mathbb {U} &\longrightarrow &\mathbb {U} \\&A&\longmapsto &B=A^{c}\end{array}}$

dado que:

    $\forall A\in \mathbb {U} \;:\quad {(A^{c})}^{c}=A$

Los complejos conjugados (${\bar {z}}$) en variable compleja; la inversión geométrica; y cifrados como el ROT13 y el de Trithemius.

