Teorema de Wolstenholme
# Teorema de Wolstenholme

En matemática, el teorema de Wolstenholme afirma que para un número primo p > 3, la congruencia

    ${2p-1 \choose p-1}\equiv 1\,{\bmod {\,}}p^{3}$

es verdadera, donde la parte izquierda de la igualdad es un coeficiente binomial.

Por ejemplo, con p = 7, dice que 1716 es uno más que un múltiplo de 343. El teorema fue demostrado por Joseph Wolstenholme en 1862; Charles Babbage había mostrado la equivalencia para $p^2$ en 1819.

No se sabe si un número compuesto cumple el teorema de Wolstenholme. Muy pocos números primos satisfacen la equivalencia para $p^4:$ los dos únicos valores que la cumplen son: 16843 y 2124679 ((sucesión A088164 en OEIS)), y son llamados números de Wolstenholme.

Este teorema puede ser descompuesto en otros dos resultados:

    $(p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p^{2}$ y
    $(p-1)!^{2}\left(1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+...+{1 \over (p-1)^{2}}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p.$

Por ejemplo, con p = 7, el primero de ellos dice que 1764 es un múltiplo de 49, mientras que el segundo dice que 773136 es múltiplo de 7.

## Ejemplos y discusión de los mismos

Se va a probar la congruencia de Wolstenholme en su forma original. Para ello, se utiliza un caso particular de la identidad de Vandermonde

    ${2p \choose p}=\sum _{i=0}^{p}{p \choose i}^{2}=2+\sum _{i=1}^{p-1}{p \choose i}^{2}$

Se sigue que la congruencia :${2p \choose p}\equiv 2\,({\bmod {\,}}p^{3})$ es equivalente a $\sum _{i=1}^{p-1}{p \choose i}^{2}\equiv 0\,{\bmod {\,}}p^{3}$.

