Cuerpo valorado
# Cuerpo valorado

En matemáticas, un cuerpo valorado es un cuerpo K provisto de un valor absoluto $x\mapsto |x|$. Esto determina en K una estructura de espacio métrico definida por la distancia invariante $d(x,y)=|x-y|$, y K, provisto con la topología metrizable así definida, es un anillo topológico.

Por ejemplo, cualquier valoración con valores reales en K permite definir un valor absoluto en K (lo contrario solo es cierto para valores absolutos ultramétricos). Por este motivo, algunos autores denominan cuerpo valorado a cualquier cuerpo con valoración.

La topología de un cuerpo valorado es discreta si y solo si el valor absoluto es trivial, es decir, derivado de una valoración trivial.

El anillo completo de un cuerpo valorado es un cuerpo valorado.

* Demostración
* Sea $(K,d)$ un cuerpo dotado de una distancia asociada a una valoración $|~|$ y $({\widehat {K}},{\widehat {d}})$ el anillo completado. Por prolongación de identidades, ${\widehat {d}}$ es invariante ante traslaciones y la aplicación $x\mapsto {\widehat {d}}(x,0)$ (que prolonga $|~|$) es una valoración de ${\widehat {K}}$. La aplicación $K^{*}\to K,\;x\mapsto x^{-1}$ es ${\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}$-lipschitziana en $\{x\in K\mid |x|\geq \varepsilon \}$ para todos los $\varepsilon >0$. Por lo tanto, se extiende continuamente en una aplicación $x\mapsto x^{-1}$ definida sobre $\cup _{\varepsilon >0}\{x\in {\widehat {K}}\mid |x|\geq \varepsilon \}={\widehat {K}}^{*}$.
