Formas de Chern-Simons
# Formas de Chern-Simons

Las formas de Chern-Simons, en matemáticas, son ciertas clases características secundarias. Se les han encontrado interés en teoría de gauge, y (especialmente las 3-formas) definen la acción de la teoría de Chern-Simons. El nombre se debe a sus creadores, Shiing-Shen Chern y Jim Simons.

Dado una variedad y una 1-forma A a valores en un álgebra de Lie, se puede definir una familia de p-formas:

En una dimensión, la 1-forma de Chern-Simons viene dada por

    $Tr[\mathbf {A} ]$.

En tres dimensiones, las 3-formas de Chern-Simons vienen dadas por

    $Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]$.

En cinco dimensiones, las 5-formas de Chern-Simons vienen dadas por

    $Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]$

donde se define la curvatura F como

    $d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$.

La forma general de Chern-Simons $ω_{2k-1}$ se define de manera tal que $dω_{2k-1}$ = Tr $(F^k)$ donde se utiliza para definir $F^k$ el producto cuña.

Véase teoría de gauge para más detalles.

En general, la p-forma de Chern-Simons se define para cualquier p impar. Confrontar teoría de gauge para las definiciones. Su integral sobre una variedad p-dimensional es un invariante de homotopía. Este valor se llama el número de Chern.

