Ecuación diferencial homogénea
# Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.

## Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

    $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$

es del tipo homogénea si las funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneas de mismo grado $n$. Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro $\lambda$, se halla

    $M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)$  y  $N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y).$

Así,

    ${\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.$

### Método de resolución

En el cociente

    ${\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}$

haciendo $t=1/x$ para simplificar esta ecuación para una función $f$ de la variable simple $y/x$:

    ${\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.$

Se introduce el cambio de variables $y=ux$; diferenciando usando la regla del producto:

    ${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,$

así transformando la ecuación diferencial original en la forma separable

    $x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u\,;$

esta forma puede ahora integrarse directamente (ver ecuación diferencial ordinaria).

### Caso especial

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, e, f, g son coeficientes constantes)

    $(ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,$

donde af ≠ be puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables ($\alpha$ y $\beta$ son constantes):

    $t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.$￼

Ahora determinar dichas constantes de forma que los términos independientes sean nulos.

## Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

* Definición. Una ecuación diferencial lineal se dice que es homogénea si se satisface la siguiente condición: Si  $\phi (x)$  es una solución, también lo es  $k\,\phi (x)$, donde $k$ es una constante arbitraria no nula. Teniendo en cuenta esta condición, cada término en una ecuación diferencial lineal de la variable dependiente y, debe contener y o cualquier derivada de y. Una ecuación que no cumple con esta condición se denomina inhomogénea.

Una ecuación diferencial lineal puede representarse con un operador lineal actuando sobre y(x) donde x es usualmente la variable independiente e y es la variable dependiente. Entonces, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es

    $L(y)=0\,$

$$donde L es un operador diferencial, una suma de las derivadas (definiendo como "derivada 0" a la función original, no derivada), cada una multiplicada por otra función $f_{i}$ de x:

    $L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,$

donde $f_{i}$ pueden ser constantes, pero no todas las $f_{i}$ pueden ser nulas.

Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial es homogénea:

    $\sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,$

sin embargo las siguientes dos son inhomogéneas:

    $2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;$
    $2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.$

La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación sea inhomogénea, como el ejemplo anterior.

## Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes de orden mayor o igual a dos

Son de especial relevancia este otro tipo de ecuaciones, en cuya versión más simplificada son de la forma :$ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=0$, donde los coeficientes son constantes con $a\neq 0$.

La solución de este tipo de ecuación es la combinación lineal de exponenciales cuyo argumento es el producto de la variable independiente con la que tiene dependencia la función, y la constante real, imaginaria o compleja $r$ que soluciona el polinomio característico de la ecuación, esto es:

$y(x)=\sum _{i}a_{i}\mathrm {e} ^{rx}$

De forma explícita aplicado a una ecuación de segundo orden:

$ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=0\rightarrow \mathrm {e} ^{rt}(ar^{2}+br+c)=0$ las soluciones serán $r_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$, de modo que se anule para todo $x$ el término que acompaña la exponencial cumpliéndose la igualdad. De este modo, la solución viene dada por $y(x)=a\mathrm {e} ^{r_{1}x}+b\mathrm {e} ^{r_{2}x}$. Las constantes $a$ y $b$ quedan definidas en caso de darse tantas condiciones iniciales o de contorno como el grado de la ecuación, en este caso dos. Por ejemplo, dado que $y(0)=k$ y $y^{\prime }(0)=k^{\prime }$ las constantes se obtendrían resolviendo el sistema de ecuaciones:

$a{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{1}0}}}+b{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{2}0}}}=k$

$ar_{1}{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{1}0}}}+br_{2}{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{2}0}}}=k^{\prime }$

