Derivada ordinaria
# Derivada ordinaria

Se da

    y = f(x),

una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. A cualquier valor de x en tal intervalo le corresponde un valor determinado de la función y = f(x).

Se admite que $x_0$ sea un valor fijo del intervalo, al cual le corresponde el valor $f(x_0).$ De modo que hay una variación de los valores de la función f(x) $-f(x_0)$ y la variación en los valores de dominio: x - $x_0.$

se considera la razón de la variación de la función a la de los elementos del dominio:

       ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

Se halla el límite de esta razón cuando $\lim _{x\rightarrow x_{0}}$. En caso de existir este límite se llama derivada ordinaria de la función dada f(x) en $x_0$ y se denota $\displaystyle f^{\prime }(x_{0})$

o sea formalmente

## Definición

Al límite

   ${\frac {df(x)}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$,

, en caso de existir, se llama derivada ordinaria de f en $x_0..$ A esta fórmula se conoce como la Notación de Leibniz

### Notaciones

* $f'(x_{0})$
* ${\frac {df(x_{0})}{dx}}$
* $D_{x}f(x_{0})$
* ${\dot {y}}={\frac {dy}{dx}}$ , se suprimió su uso en 1915 en Gran Bretaña

### Ejemplo

    Sea la función definida por $f(x)={\sqrt {x}}$
    evaluación en $x_0$ da: ${\sqrt {x_{0}}}$
    diferencia ${\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}}$, racionalizando ${\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}\cdot ({\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}})={\frac {x-x_{0}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}$
    cociente ${\frac {x-x_{0}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}\cdot {\frac {1}{x-x_{0}}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}$
    finalmente el límite: ${\frac {df(x_{0})}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x_{0}}}}}$

## Interpretaciones

* En la física la velocidad instantánea se considera como la derivada del espacio con respecto al tiempo en un instante dado.
* En la geometría analítica, la derivada se considera el valor de la pendiente de una recta tangente a una curva considerando que las secantes se acercan como posición límite a dicha tangente.
* En química la velocidad de disolución de sal en relación con la concentración en un instante dado.
* Se considera que la capacidad calórica es la derivada de la capacidad de calor respecto a la temperatura.

## Propiedades

* Dada una función a la operación de hallar su función derivada se denomina derivación, algunas veces diferenciación.
* Si la función y = f(x) tiene derivada ordinaria en el valor $x_0$ se dice que la función f es derivable en dicho valor. La función $f(x)={\sqrt {x}}$ está definida en el conjunto de los números reales no negativos, pero su función derivada $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ está definida sólo para los números reales positivos.
* Si una función y = f(x) es derivable en cada punto de un intervalo I, se puede definir la función derivada de I en R.
* Se considera el conjunto de funciones en I y también el conjunto de funciones derivables. Se puede considerar la derivada como una aplicación que a f le hacer corresponde f'. En tal caso la derivada es una aplicación lineal. Esto es

          $D_{x}(\alpha f+\beta g)=\alpha D_{x}f+\beta D_{x}g$

### Proposición

Si la función y = f(x) es derivable en $x_0$ será continua para dicho valor.

## Derivadas unilaterales

Hay funciones de variable real que son continuas en un determinado punto, pero no tiene derivada en dicho punto; en esta situación ayuda aclarar el caso, los conceptos de derivadas unilaterales.

### Primer caso

Al límite

   ${\frac {df_{+}(x_{0})}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$

se llama derivada por la derecha de la función f en el punto $x_{0}$

### Segundo caso

Al límite

   ${\frac {df_{-}(x)}{dx_{0}}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$

se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto $x_{0}$

A la derivada por la derecha y a la derivada por la izquierda se llaman derivadas unilaterales

### Ejemplo

Sea da la función y = |cos x| hallar las derivadas unilaterales en $x={\frac {\pi }{2}}$

Para 0 <x < π/2, se tiene |cos x|= cosx; para π/2 < x < π, resulta |cos x| = -cosx además $cos{\frac {\pi }{2}}=0$

### Derivada por la izquierda

Se tiene que calcular el límite de

   ${\frac {cos{x}-0}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$

cuando $x\rightarrow {\frac {\pi }{2}}^{-}$ que es igual a hallar el límite por la izquierda de

   ${\frac {-sen(x-{\frac {\pi }{2}})}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$

que resulta $f_{-}^{\prime }({\frac {\pi }{2}})=-1$

### La derivada por la derecha

En este caso hay que calcular el límite de

   ${\frac {-cos{x}-0}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$

cuando $x\rightarrow {\frac {\pi }{2}}^{+}$ que es igual a hallar el límite por la derecha de

   ${\frac {sen(x-{\frac {\pi }{2}})}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$

que resulta $f_{+}^{\prime }({\frac {\pi }{2}})=1$

Esta función es continua en ${\frac {\pi }{2}}$ pero no es derivable en tal punto, al no ser iguales sus derivadas unilaterales.

### Proposición

Es una consecuencia inmediata de la definición de límites unilaterales que existe la derivada ordinaria en $x_0$ si y sólo si existen y son iguales las derivadas unilaterales en $x_0$ . En caso de cumplimiento de tales condiciones es cierta la igualdad

          $f'(x_{0})=f_{+}'(x_{0})=f'_{-}(x_{0})$
