Señal analítica
# Señal analítica

La señal analítica de Gabor correspondiente a una señal temporal real, es una señal compleja cuyo espectro de frecuencias es nulo para frecuencias negativas, y cuya parte real es igual a la señal original.

## Definición

La señal analítica $x_{a}(t)$ se construye a partir de una señal real.

Sea $x(t)$ una señal real cuya transformada de Fourier es $X(\omega )$. Construyamos ahora la siguiente función:

    $X_{a}(\omega )=\left\{{\begin{array}{rl}2X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega >0\\X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega =0\\0&{\textrm {si}}\;\omega <0\end{array}}\right.$

La señal analítica correspondiente a $x(t)$ es la transformada de Fourier inversa de $X_{a}(\omega )$:

    $x_{a}(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{X_{a}(\omega )\}$

## Construcción alternativa

La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de $x(t)$.

Sea $x_{h}(t)={\mathcal {H}}\{x(t)\}$ la transformada de Hilbert de $x(t)$. Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:

    $x_{a}(t)=x(t)+ix_{h}(t)\,\!$

donde «i» es la unidad imaginaria.

## Propiedades

La primera propiedad evidente de la señal analítica $x_{a}(t)$ es que su parte real es igual a la señal correspondiente:

    $\operatorname {Re} \{x_{a}(t)\}=x(t)$

## Aplicación

La señal analítica de Gabor permite separar una señal temporal en sus componentes de amplitud y fase instantáneas. Es decir, para cada tiempo $t$, podremos calcular una función $A(t)$ y una función $\phi (t)$ tales que

    $x(t)=A(t)\cos(\phi (t))$

Para esto basta calcular

    $A(t)={\sqrt {\operatorname {Re} \{x_{a}(t)\}^{2}+\operatorname {Im} \{x_{a}(t)\}^{2}}}$

y

    $\phi (t)=\arg(x_{a}(t))$

donde arg es el argumento de un número complejo.

