Factorial exponencial
# Factorial exponencial

El factorial exponencial es un entero positivo n elevado a la potencia n-1, el cual a su vez está elevada a la potencia n-2, y así sucesivamente. Se suele usar como notación el símbolo identificativo del factorial en el lugar del exponente $n^{!}$. Se define:

    $a_{n}=n^{\left(n-1\right)^{\left(n-2\right)^{\cdots }}}\,$

También puede definirse mediante la siguiente relación de recurrencia:

    $a_{0}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}\,$

Los primeros factoriales exponenciales son:

| $n$ | $n^{!}$ |
| - | - |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 9 |
| 4 | 262.144 |
| 5 | 6,2... × $10^{183230}$ |

Su crecimiento es mayor que el de los factoriales e incluso que el de los hiperfactoriales. El factorial exponencial de n=5 tiene 183.231 dígitos.

La suma infinita de los inversos de los factoriales exponenciales es:

    $S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{262144}}+\cdots =1,6111149258083767361111\ldots$

cuyo resultado es un número de Liouville, y por tanto irracional.

