Espacio vectorial conveniente
# Espacio vectorial conveniente

Un espacio vectorial conveniente es un tipo de espacio vectorial localmente convexo que además es $\scriptstyle c^{\infty }$-completo. Una propiedad importante es que en dichos espacios vectoriales puede definirse el concepto de integral (antiderviada) de una función de variable real que toma valores en un espacio vectorial conveniente.

## Definición

La propiedad clave es la de $\scriptstyle c^{\infty }$-completitud. Un espacio $\scriptstyle E$ tiene esta propiedad si se cumple alguna de las tres propiedades siguientes:

* Cualquier sucesión de Mackey-Cauchy converge (una secuencia es de Mackey-Cauchy si converge en el sentido de Mackey hacia 0, es decir, es Mackey-convergente hacia 0. Una sucesión $\scriptstyle (x_{n})$ converge a x en el sentido de Mackey si existe una sucesión $\scriptstyle (\lambda _{n}):\ 0<\lambda _{n}\to \infty$ tal que $\scriptstyle (\lambda _{n}(x_{n}-x))$ es acotada).
* Si $\scriptstyle B\subset E$ es un conjunto cerrado, acotado y absolutamente convexo, entonces el espacio lineal generado por $\scriptstyle E_{B}=\mathrm {span} (B)\subset E$ es un espacio de Banach.
* Cualquier curva lipshitziana en $\scriptstyle E$ es localmente integrable en el sentido de Riemann.
* Para cualquier $\scriptstyle c_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ existe un $\scriptstyle c_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ tal que $\scriptstyle c_{1}=c'_{2}$ (existencia de antiderivada).
