Kernel (teoría de conjuntos)
# Kernel (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos, el kernel o núcleo de una función f puede tomarse como:

* La relación de equivalencia en el dominio de la función que expresa aproximadamente la idea de "equivalente en la medida en que la función f puede decir", o
* La partición correspondiente del dominio.

## Definición

Para establecer una definición formal, se parte de que X e Y sean conjuntos y que f sea una función de X sobre Y. Los elementos $x_1$ y $x_2$ de X son equivalentes si $f(x_1)$ y $f(x_2)$ son iguales, es decir, son el mismo elemento de Y. El núcleo de f es la relación de equivalencia así definida.

## Cocientes

Al igual que cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto de cocientes, y el conjunto de cocientes es la partición:

    $\left\{\,\left\{\,w\in X\mid f(x)=f(w)\,\right\}\mid x\in X\,\right\}.$

Este conjunto de cocientes X / = $_f$ se denomina coimagen de la función f, y se denota como coim f (o una variación). La imagen es naturalmente isomorfa (en el sentido teórico de una biyección) de la imagen, im f, específicamente, la clase de equivalencia de x en X (que es un elemento de coim f) corresponde a f(x) en Y (que es un elemento de im f).

## Como un subconjunto del cuadrado

Al igual que cualquier relación binaria, el núcleo de una función puede considerarse como un subconjunto del producto cartesiano X×X. De esta manera, el núcleo se puede denotar ker f (o una variación) y se puede definir simbólicamente como

    $\operatorname {ker} f:=\{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}$.

El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre f.

## En estructuras algebraicas

Si X e Y son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos, anillos o espacios vectoriales ), y si la función f de X a Y es un homomorfismo, entonces ker f es una relación de congruencia (es decir, una relación de equivalencia que es compatible con la estructura algebraica), y la coimagen de f es un cociente de X. La biyección entre la coimagen y la imagen de f es un isomorfismo en el sentido algebraico. Esta es la forma más general del primer teorema del isomorfismo. (véase también kernel (álgebra)).

## En espacios topológicos

Si X e Y son espacios topológicos y f es una función continua entre ellos, entonces las propiedades topológicas de ker f pueden arrojar luz sobre los espacios X e Y. Por ejemplo, si Y es un espacio de Hausdorff, entonces ker f debe ser un conjunto cerrado. Por el contrario, si X es un espacio de Hausdorff y ker f es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de f, si se le da la topología del espacio cociente, también debe ser un espacio de Hausdorff.

