Grupo diedral
# Grupo diedral

En matemáticas, un grupo diedral o grupo diédrico es el grupo de simetría de un polígono regular, incluyendo tanto rotaciones y reflexiones. Los grupos diedrales se encuentran entre los más simples ejemplos de grupos finitos, y juegan un rol importante en teoría de grupos, geometría, y química.

## Notación

Existen dos notaciones para el grupo diedral asociado a un polígono con n lados. En geometría el grupo se denota $D_n,$ mientras que en álgebra el mismo grupo se denota $D_{2n}$ para indicar el número de elementos.

En este artículo, $D_n$ se refiere a las simetrías de un polígono regular con n lados.

## Definición

### Elementos

Un polígono regular con n lados tiene 2n simetrías diferentes: n simetrías rotacionales y n simetrías de reflexión. Las rotaciones y reflexiones asociadas forman el grupo diedral $D_n.$ Si n es impar, cada eje de simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto. Si n es par, hay n/2 ejes de simetría conectando los puntos medios de lados opuestos y n/2 ejes de simetría conectando vértices opuestos. En cada caso, hay n ejes de simetría en conjunto y 2n elementos en el grupo de simetría. La reflexión en un eje de simetría seguida por la reflexión en otros ejes de simetría produce una rotación de dos veces el ángulo entre los ejes. La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de $D_8$ en una señal de alto:

La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de las ocho reflexiones.

### Estructura del grupo

Como con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría. Esta operación brinda a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito.

La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de composición en el grupo $D_3$ (las simetrías de un triángulo equilátero). $R_0$ denota la identidad; $R_1$ y $R_2$ denotan rotaciones en contra del sentido de las manecillas del reloj en 120 y 240 grados; y $S_0,$ $S_1,$ y $S_2$ denotan reflexiones a través de las tres líneas mostradas en la imagen a la derecha.

| | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $S_0$ | $S_1$ | $S_2$ |
| - | - | - | - | - | - | - |
| $R_0$ | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $S_0$ | $S_1$ | $S_2$ |
| $R_1$ | $R_1$ | $R_2$ | $R_0$ | $S_1$ | $S_2$ | $S_0$ |
| $R_2$ | $R_2$ | $R_0$ | $R_1$ | $S_2$ | $S_0$ | $S_1$ |
| $S_0$ | $S_0$ | $S_2$ | $S_1$ | $R_0$ | $R_2$ | $R_1$ |
| $S_1$ | $S_1$ | $S_0$ | $S_2$ | $R_1$ | $R_0$ | $R_2$ |
| $S_2$ | $S_2$ | $S_1$ | $S_0$ | $R_2$ | $R_1$ | $R_0$ |

Por ejemplo, $S_2S_1$ = $R_1$ debido a que la reflexión $S_1$ seguida por la reflexión $S_2$ resulta en una rotación de 120 grados. (Éste es el orden normal hacia atrás para la composición.) Nótese que la operación de composición no es conmutativa.

En general, el grupo $D_n$ tiene elementos $R_0,...,R_{n−1}$ y $S_0,...,S_{n−1},$ con composición dada por las siguientes fórmulas:

    $R_{i}\,R_{j}=R_{i+j},\;\;\;\;R_{i}\,S_{j}=S_{i+j},\;\;\;\;S_{i}\,R_{j}=S_{i-j},\;\;\;\;S_{i}\,S_{j}=R_{i-j}.$

En todos los casos, la adición y sustracción de subíndices debería ser realizada utilizando aritmética modular con módulo n.

### Representación matricial

Si centramos un polígono regular en el origen de coordenadas, entonces los elementos del grupo diedral actúan como transformaciones lineales del plano. Esto nos permite representar elementos de $D_n$ como matrices, siendo la composición una multiplicación de matrices. Esto es un ejemplo de una representación de grupo bidimensional.

Por ejemplo, los elementos del grupo $D_4$ pueden ser representados por las siguientes ocho matrices:

    ${\begin{matrix}R_{0}={\bigl{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{1}={\bigl{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}$

En general, las matrices para elementos de $D_n$ tienen la forma siguiente:

    ${\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{y}}\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

$R_k$ es una matriz de rotación, que expresa una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj a través de un ángulo de 2πk ⁄n. $S_k$ es una reflexión a lo largo de una línea que forma un ángulo de πk ⁄ n con el eje x.

## Pequeños grupos diedrales

Para n = 1 tenemos $Dih_1.$ Esta notación es raramente utilizada excepto en el marco de las series, porque es igual a $Z_2.$ Para n = 2 tenemos $Dih_2,$ el grupo de Klein. Ambos son excepcionales dentro de la serie:

* Son abelianos; para todos los otros valores de n, el grupo $Dih_n$ es no abeliano.
* No son subgrupos del grupo simétrico $S_n,$ correspondiente al hecho que 2n > n! para estos n.

Los grafos ciclos de grupos diedrales consisten en un ciclo de n-elementos y ciclos de n 2-elementos. El vértice oscuro en los grafos ciclos debajo de varios grupos diedrales permanece para el elemento identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consiste de potencias sucesivas de cada uno de los elementos conectados al elemento identidad.

| $Dih_1$ | $Dih_2$ | $Dih_3$ | $Dih_4$ | $Dih_5$ | $Dih_6$ | $Dih_7$ |
| - | - | - | - | - | - | - |

## El grupo diedral como un grupo de simetría en 2D y grupo de rotación en 3D

Un ejemplo de grupo abstracto $Dih_n,$ y una forma común para visualizarlo, es el grupo $D_n$ de isometría Euclídeas planas que mantienen fijo el origen. Estos grupos forman una de las dos series de grupos puntuales en dos dimensiones discretos. $D_n$ consiste de n rotaciones de múltiplos de 360°/n respecto al origen, y reflexiones a lo largo de n líneas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de 180°/n entre sí. Ésta es la simetría de grupo de un polígono regular con n caras (para n ≥3, y también para el caso degenerado n = 2, donde tenemos un segmento de línea en el plano).

El grupo diedral $D_n$ es generado por una rotación r de orden n y una reflexión s de orden 2 tal que:

    $srs=r^{-1}\,$

(en términos geométricos: en el espejo una rotación luce como una rotación inversa).

En forma matricial, una rotación en sentido antihorario y una reflexión en el eje x están dadas por:

    $r={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

(en términos de números complejos: multiplicación por $e^{2\pi i \over n}$ y conjugación compleja).

Haciendo que

    $r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

y definiendo $r_{j}=r_{1}^{j}$ and $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ for $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$ podemos escribir las reglas de producto para $D_n$ como:

    $r_{j}\,r_{k}=r_{(j+k){\text{ mod }}n}$
    $r_{j}\,s_{k}=s_{(j+k){\text{ mod }}n}$
    $s_{j}\,r_{k}=s_{(j-k){\text{ mod }}n}$
    $s_{j}\,s_{k}=r_{(j-k){\text{ mod }}n}.$

El grupo diedral $D_2$ es generado por la rotación r de 180 grados, y la reflexión s a través del eje x. Los elementos de $D_2$ pueden entonces ser representados como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión a través del eje y.

$D_2$ es isomorfo al grupo de Klein.

Si el orden de $D_n$ es mayor que 4, las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y $D_n$ no es abeliano; por ejemplo, en $D_4,$ una rotación de 90 grados seguida por una reflexión dan un resultado diferente de una reflexión seguida por una rotación de 90 grados:

Así, más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano, estos grupos están entre los ejemplos más simples de grupos no-abelianos, y como tal, surgen con frecuencia como contraejemplos sencillos a teoremas que están restringidos a grupos abelianos.

Los elementos 2n de $D_n$ pueden ser escritos como e, r, $r^2,$ ..., $r^{n−1},$ s, r s, $r^2$ s, ..., $r^{n−1}$ s. Los primeros elementos listados n son rotaciones y el resto de elementos n son reflexiones axiales (todas ellas tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión.

Hasta ahora, hemos considerado que $D_n$ sea un subgrupo de O(2), por ejemplo el grupo de rotaciones (respecto al origen) y reflexiones (a lo largo de ejes a través del origen) del plano. Sin embargo, la notación $D_n$ es usada también para un subgrupo de SO(3) que es también un grupo abstracto de tipo $Dih_n:$ el grupo de simetría apropiado para un polígono regular incrustado en en el espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede ser considerada como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces. Por tanto, es llamada también diedro (en griego: sólido con dos caras), que explica el nombre de grupo diedral o diédrico (en analogía con grupo tetraédrico, octaédrico e icosaédrico, refiriéndose a los grupos de simetría de un tetraedro, octaedro, e icosaedro regulares respectivamente).

### Ejemplos de simetría diedral 2D

* Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Grupo diedral.
* simetría 2D $D_6$ – Estrella roja de David.
* simetría 2D $D_{24}$ – Chakra Ashoka, como se representa en la Bandera de la India.

## Definiciones equivalentes

Existen definiciones adicionales equivalentes de $Dih_n,$ el cual puede ser:

* El grupo de automorfismo del grafo que consiste solamente en un ciclo con n vértices (si n ≥ 3).
* El grupo con presentación

       $D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs^{-1}=r^{-1}\rangle$
    o
       $D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .$
    (cualquier grupo no-abeliano simple y finito (de orden par) puede ser generado por dos elementos de orden 2.
    De la segunda presentación se sigue que $D_{n}$ pertenece a la clase de grupo de Coxeter.
* El producto semidirecto de grupos cíclicos $Z_n$ y $Z_2,$ con $Z_2$ actuando sobre $Z_n$ por inversión (así, $D_{n}$ siempre tiene un subgrupo normal isomorfo al grupo $Z_n$

$\mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{2}$ es isomorfo a $D_{n}$ si $\varphi (0)$ es la identidad y $\varphi (1)$ es la inversión.

## Propiedades

Si consideramos $D_{n}$ (n ≥ 3) como el grupo de simetría de un polígono regular de n lados y vértices, vemos que $D_{n}$es un subgrupo de la simetría de grupo $S_n$ por medio de esta representación de permutación.

Las propiedades de los grupos diedrales $D_{n}$ con n ≥ 3 dependen de si n es par o impar. Por ejemplo, el centro de $D_{n}$ consiste solamente de la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, nominalmente la identidad y el elemento $r^{n/2}$ (con $D_{n}$ como un subgrupo de O(2), esto es inversión; debido a que es una multiplicación escalar por −1, es claro que conmuta con cualquier transformación lineal).

Para n impar, el grupo abstracto $D_{2n}$ es isomorfo con el producto directo de $D_{n}$ y $Z_2.$

En el caso de isometrías 2D, esto corresponde a adicionar inversión, dando rotaciones y espejos en medio de los existentes.

Si m es divisor de n, entonces $D_{n}$ tiene n / m subgrupos de tipo $D_{n}$, y un subgrupo $Z_m.$ Por tanto, el número total de subgrupos de $D_{n}$ (n ≥ 1), es igual a d(n) + σ(n), donde d(n) es el número de divisores positivos de n y σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.

### Clases de conjugación de las reflexiones

Todas las reflexiones son conjugadas a cada una de ellas en el caso de n impar, pero caen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un polígono regular de n lados: para n impar hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para n par solamente la mitad de los espejos pueden ser alcanzados desde alguna de estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono impar cada eje de simetría pasa a través de un vértice y una cara, mientras que en un polígono par la mitad de los ejes pasan a través de dos vértices, y la mitad pasa a través de dos caras.

Algebráicamente, esto es un ejemplo del Teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflexión, junto con la identidad, forman un subgrupo de orden 2, que es un subgrupo de Sylow ($2=2^{1}$ es la potencia máxima de 2 que divide a $2n=2(2k+1)$), mientras que para n par, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow debido a que 4 (una potencia más alta de 2) divide el orden del grupo.

Para n par existe en cambio un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflexiones (propiamente, una clase de automorfismo externo, que están todos conjugados por un automorfismo interno).

## Grupo de automorfismo

El grupo de automorfismo de $D_{n}$ es isomorfo al grupo afín Aff(Z/nZ) $=\{ax+b\mid (a,n)=1\}$ y tiene orden $n\phi (n),$ donde $\phi$ es la función φ de Euler, el número de k en $1,\dots ,n-1$ es primo con n.

Puede ser entendido en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por $k(2\pi /n)$, para k primo a n); cuyos automorfismos son internos y externos dependiendo de la paridad de n:

* Para n impar, el grupo diedral es descentrado, así que cualquier elemento define un automorfismo interno no trivial; para n par, la rotación por 180° (reflexión a través del origen) es el elemento no trivial del centro.
* Así, para n impar, el grupo de automorfismo interno tiene orden 2n, y para n par el grupo de automorfismo interno tiene orden n.
* Para n impar, todas las reflexiones son conjugadas; para n par, ellas caen dentro de dos clases (aquellas a través de dos vértices y aquellas a través de dos caras), relacionadas por un automorfismo externo, que puede ser representado por rotación por $\pi /n$ (la mitad de la rotación mínima).
* Las rotaciones son un subgrupo normal; la conjugación por una reflexión cambia el signo (dirección) de la rotación, pero de otra forma permanece sin cambio. Así, los automorfismos que multiplican ángulos por k (primos a n) son externos a menos que $k=\pm 1.$

### Ejemplos de grupos de automorfismo

$Dih_9$ tiene 18 automorfismos internos. como grupo de isometría 2D $D_9,$ el grupo tiene espejos a intervalos de 20°. Los 18 automorfismos internos proveen rotación a los espejos por múltiplos de 20°, y reflexiones. Como grupo isométrico, todos éstos son automorfismos. Como grupo abstracto hay, además a éstos, 36 automorfismos externos, por ejemplo multiplicando los ángulos de rotación por 2.

$Dih_{10}$ tiene 10 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D $D_{10},$ el grupo tiene espejos a intervalos de 18°. Los 10 automorfismos internos proveen rotación de los espejos por múltiplos de 36°, y reflexiones. Como grupo de isometría hay 10 automorfismos más; hay conjugados por isometrías fuera del grupo, rotando los espejos 18° con respecto a los automorfismos internos. Como grupo abstracto hay, además de estos 10 automorfismos internos y 10 automorfismos externos, otros 20 automorfismos externos adicionales, por ejemplo multiplicando las rotaciones por 3.

Comparando los valores 6 y 4 para la función φ de Euler, el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente, esto triplica y duplica el número de automorfismo comparado con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo igual el orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).

## Generalizaciones

Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedrales:

* El grupo diedral infinito es un grupo infinito con estructura algebraica similar a los grupos diedrales finitos. Esto puede ser visto como el grupo de simetrías de los enteros.
* El grupo ortogonal O(2), por ejemplo el grupo de simetría del círculo, también tiene propiedades similares a los grupos diedrales.
* La familia de grupos diedrales generalizados incluye ambos ejemplos anteriores, así como muchos otros grupos.
* Los grupos cuasidiedrales son familia de grupos finitos con propiedades similares a las de los grupos diedrales.
