Medias pitagóricas
# Medias pitagóricas

En matemáticas, las tres clásicas medidas pitagóricas son la media aritmética (AM), la media geométrica (GM), y la media armónica (HM). Se definen por:

    $AM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {1}{n}}\,(\,x_{1}+\,\cdots \,+x_{n}\,)$
    $GM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\sqrt[{n}]{\,\left\vert \,x_{1}\,_{^{\times }}\,\cdots \,_{^{\times }}\,x_{n}\,\right\vert \,}}$
    $HM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {n}{\displaystyle \ {\frac {1}{x_{1}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{x_{n}}}\ }}$

Cada medio tiene las siguientes propiedades:

    Preservación de valor: $M(x,x,\ldots ,x)=x$
    Homogeneidad de primer orden: $M(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bM(x_{1},\ldots ,x_{n})$
    Invariancia bajo intercambio: $M(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=M(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )$ para cualquier $i$ y $j$.
    Promedio: $\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})$.

Estos medios se estudiaron con proporciones en pitagóricos y posteriores generaciones de matemáticos griegos debido a su importancia en la geometría y la música. Los medios armónicos y aritméticas son duales recíprocas de uno al otro para argumentos positivos ($HM(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=1/AM(x_{1}\ldots x_{n})$). Mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco.

## Las desigualdades entre las medias

Hay un pedido a estos medios (para todad $x_{i}$ positivos)

    $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq \max$

con igualdad de derechos si y solo si el $x_{i}$ son todos iguales

Esta es una generalización de la Desigualdad de las medias aritmética y geométrica y un caso especial de una desigualdad para las Media generalizadas. La prueba se sigue de la desigualdad media aritmético-geométrica, $AM\leq \max$ y la dualidad recíproca ($\min$ and $\max$ también son recíprocamente duales entre sí).

El estudio de los medios pitagóricos está estrechamente relacionado con la Mayorización y las funciones Schur-convexas. Los medios armónicos y geométricos son funciones simétricas cóncavas de sus argumentos, y por lo tanto Schur-cóncavo, mientras que la media aritmética es una función lineal de sus argumentos, por lo que son cóncavos y convexos.

