Valor absoluto ultramétrico
# Valor absoluto ultramétrico

Un valor absoluto ultramétrico es una aplicación de un cuerpo K en el conjunto ℝ+ de los números reales positivos verificando las siguientes tres propiedades:

* $|x|=0_{\mathbb {R} }\iff x=0_{K}$ (axioma de separación);
* $|xy|=|x||y|$ (homomorfismo de grupos multiplicativo de K* sobre ℝ+*)
* $|x+y|\leq \max(|x|,|y|)$ (desigualdad ultramétrica)

cualesquiera que sean los elementos $x$ e $y$ de K.

## Ejemplos

### Valor absoluto trivial

El valor absoluto trivial de K asocia con 0 el valor 0 y el valor 1 con cualquier otro elemento de K.

Es el valor absoluto ultramétrico asociado con la valoración trivial en K.

### Valor p-ádico absoluto

Sea un número primo arbitrario $p$. Se puede escribir de forma única cualquier número racional $r$ en la forma:

$r=p^{k}{\frac {a}{b}}$ donde $k\in \mathbb {Z}$ y donde $a$ y $b$ son primos entre sí y primos con respecto a $p$.

Entonces se define la aplicación asociando el valor $r$ con un número racional $|r|_{p}=p^{-k}$. Por ejemplo,

    $\left|{\frac {21}{4}}\right|_{2}=4,~\left|{\frac {15}{7}}\right|_{2}=1{\text{ y }}\left|{\frac {60}{11}}\right|_{2}={\frac {1}{4}}.$

Esta aplicación es un valor absoluto ultramétrico en el cuerpo $\mathbb {Q}$, asociado con la valoración p ádica.

## Vínculos con nociones relacionadas

* Esta aplicación es un caso especial de valor absoluto sobre un cuerpo.
* La aplicación d : (x, y) ↦ |y – x| es en consecuencia una distancia en K; la simetría se debe al hecho de que $|-x|=|x|$ para cualquier elemento $x$ de K.
* Esta distancia es ultramétrica.
* Una aplicación es un valor absoluto ultramétrico si y solo si es un valor absoluto asociado a una valoración con valores reales.

## Propiedades

* Aquí $e$ denota el elemento neutro para la multiplicación de K.
* Enunciado: si $|e|=|-e|=1$
* entonces $|-x|=|x|$ para cualquier elemento $x$ de K.
* Demostración
* $|e|=|e.e|=|e|.|e|$. La ecuación $|e|=|e|.|e|$ para el valor $|e|$ tiene solo dos soluciones en $\mathbb {R}$, $0$ y $1$. El axioma de separación asegura que $|e|\neq 0$, por lo que se deduce que $|e|=1$.
* Asimismo, $|e|=|-e.-e|=|-e|.|-e|$, de ahí que $|-e|^{2}=1$. Como además el valor absoluto solo toma valores positivos, se tiene que $|-e|=1$.
* Finalmente, $|-x|=|-e.x|=|-e|.|x|=1.|x|=|x|$ y, por lo tanto, $|-x|=|x|$.
* Para cualquier pareja (a, b) de elementos del cuerpo K:
* ''Enunciado: $|a|\neq |b|\Rightarrow |a+b|=\max(|a|,|b|)$
* Demostración
* Como $|a|\neq |b|$, uno de los dos es estrictamente inferior al otro. Se supone (sin pérdida de generalidad) que $|a|<|b|$. Entonces, de la desigualdad ultramétrica, $|b|=|(b+a)+(-a)|\leq \max(|b+a|,|-a|)$. O $|-a|=|a|$ según una propiedad anterior. Entonces se tiene que $|b|\leq \max(|b+a|,|a|)$.
* Como $|a|$ es por hipótesis estrictamente menor que $|b|$, esta desigualdad solo se puede verificar si $|b|\leq |b+a|$.
* Volviendo a aplicar la desigualdad ultramétrica, se tiene que $|b+a|\leq \max(|b|,|a|)=|b|$.
* Al reunir estos dos resultados, resulta que $|b|\leq |b+a|\leq |b|$, lo que prueba que $|a+b|=|b|=\max(|a|,|b|)$.
