Física matemática
# Física matemática

La matemática de la física (también, física matemática) es el campo científico que se ocupa de la interfaz entre la física y las matemáticas. El Journal of Mathematical Physics la define como «la aplicación de las matemáticas a problemas del ámbito de la física y el desarrollo de métodos matemáticos apropiados para estos usos y para el desarrollo de conocimientos físicos.», en temas como la teoría de la elasticidad, la acústica, la termodinámica, la electricidad, el magnetismo y la aerodinámica.

## Introducción

### Teoría de la relatividad

Las teorías especial y general de la relatividad requirieron de un tipo distinto de matemática, que fue la teoría de grupos, la cual desempeñó un rol importante tanto en la teoría cuántica de campos como en la geometría diferencial. Sin embargo, fue gradualmente suplementada por la topología en cuanto a la descripción matemática de fenómenos cosmológicos y de la teoría cuántica de campos. La teoría de la relatividad general influyó muy específicamente en ciertos desarrollos relacionados con:

* La geometría diferencial, y en particular la geometría de Riemann.
* La topología diferencial.
* La teoría de grupos.

### Mecánica cuántica

Las teorías de los espectros de emisión atómicos (y posteriormente la mecánica cuántica) fueron desarrolladas simultáneamente con campos de la matemática tales como el álgebra lineal, la teoría espectral de operadores y, en forma más amplia, el análisis funcional. Las mismas forman la base matemática de otra rama de la física matemática. El teorema de descomposición espectral de un operador lineal estuvo ampliamente inspirado en problemas de la mecánica cuántica. Incluso el propio término "espectro" para referirse al espectro de un operador lineal proviene de la terminología física para los posibles valores de ciertas magnitudes físicas que eran representadas por operadores lineales. Existen diversas áreas de la matemáticas que se vieron muy influidas por el desarrollo de la mecánica cuántica:

* Teoría de los espacios de Hilbert de dimensión infinita.
* Teoría espectral.
* Teoría de representación lineal de grupos.

### Mecánica hamiltoniana

La teoría del caos frecuentemente planteada como un sistema dinámico general o como un sistema hamiltoniano llevó al desarrollo de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, y ciertas áreas de la topología diferencial. Incluso algunas áreas de la topología general se vieron influidas por el intento de resolver ciertos problemas físicos, en particular diversas nociones introducidas por Henri Poincaré parecen íntimamente conectadas con problemas físicos y que más tarde fueron ampliamente desarrolladas en matemáticas puras.

### Teoría de la probabilidad

La mecánica estadística constituye un campo distinto, fuertemente relacionado con la teoría ergódica y algunos aspectos de la teoría de probabilidades. La noción de entropía estadística usada en teoría de la información procede de la noción de entropía física, relacionada con las probabilidades por Ludwig Boltzmann.

Existe una interacción cada vez mayor entre combinatoria y física, particularmente en el campo de la física estadística.

## Historia

Históricamente muchas áreas de la matemática se desarrollaron por el estímulo proporcionado por problemas físicos. Así por ejemplo el cálculo diferencial y las ecuaciones diferenciales adquirieron un gran interés después de que fueran usados por Newton en la formulación de las célebres leyes de Newton. El cálculo variacional empezó con el intento de resolver ciertos problemas físicos como el problema de la brachistocrona.

La geometría de Riemann planteada por Bernhard Riemann adquirió un enorme interés cuando dicho tipo de geometría fue usado por Albert Einstein en su teoría general de la relatividad, de hecho tanto el tensor de curvatura de Riemann, como el tensor de curvatura de Ricci internvienen directamente en varias ecuaciones físicas de la teoría de la relatividad.

Si bien Hilbert había introducido previamente la noción de espacio de Hilbert numerosos problemas asociados a los espacios de Hilbert de dimensión infinita con el desarrollo de la mecánica cuántica, ya que en 1926 Von Neumann axiomatizó la mecánica cuántica usando el formalismo de espacios de Hilbert de dimensión infinita. Numerosos problemas físicos, dependían de la resolución de problemas técnicos en dicho formalismo que se representa en la física cuántica.

Más recientemente el problema de la existencia de diversas familias de partículas, ha sido vinculado por Brian Greene con los grupos de homología de las variedades de Calabi-Yau. E incluso algunas cuestiones técnicas fueron intuidas primero por físicos y más tarde demostradas rigurosamente por matemáticos.

