Cuerpo de Sears-Haack
# Cuerpo de Sears-Haack

El cuerpo de Sears-Haack es la forma de un sólido con la menor resistencia teórica en el flujo supersónico, para una longitud corporal determinada y un volumen dado. El desarrollo matemático supone que el flujo es supersónico, es decir, de pequeña perturbación o flujo linealizado, que se rige por la ecuación de Prandtl-Glauert. El desarrollo y la «forma» fueron publicadas independientemente por dos investigadores separados: Wolfgang Haack en 1941 y más tarde por William Sears en 1947.

La teoría indica que la resistencia aerodinámica es proporcional al cuadrado de la segunda derivada de la distribución del área. $D_{\text{wave}}\sim [S''(x)]^{2}$ (ver expresión completa a continuación), por lo que para una resistencia aerodinámica baja es necesario que $S(x)$ sea suave. Por lo tanto, el cuerpo de Sears-Haack tiene una en cada extremo y crece suavemente hasta un máximo y luego disminuye suavemente hacia el segundo punto.

## Fórmulas útiles

El área de sección transversal de un cuerpo Sears-Haack es

    $S(x)={\frac {16V}{3L\pi }}[4x(1-x)]^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}[4x(1-x)]^{3/2},$

el volumen de un cuerpo Sears-Haack es

    $V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,$

el radio de un cuerpo Sears-Haack es

    $r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{3/4},$

la derivada (gradiente) es

    $r'(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{-1/4}(1-2x),$

la segunda derivada es

    $r''(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x)]^{-5/4}(1-2x)^{2}+2[4x(1-x)]^{-1/4}\},$

donde:

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $x$ | Relación entre la distancia desde la nariz hasta la cola, es decir, la longitud total del cuerpo, relación que está siempre entre 0 y 1 |
| $r$ | Radio local |
| $R_{\text{max}}$ | Radio en su máximo (se produce en el centro de la forma) |
| $V$ | Volumen |
| $L$ | Longitud |

De la «teoría de los cuerpos delgado» se tiene que:

    $D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},$

y alternativamente:

    $D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.$

Estas fórmulas se pueden combinar para obtener lo siguiente:

    $D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},$
    $C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^{3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},$

donde:

| Símbolo | Nombre |
| - | - |
| $D_{\text{wave}}$ | Resistencia aerodinámica |
| $\rho$ | Densidad del fluido |
| $U$ | Velocidad |

## Generalización de R.T. Jones

La consecución de la forma del cuerpo de Sears-Haack es correcta solo en el límite de un «cuerpo esbelto». La teoría se ha generalizado a formas delgadas pero «no axisimétricas» —no simétricas respecto al eje— por Robert T. Jones en NACA Report 1284. En esta expresión, el área $S(x)$ se define como el cono de Mach cuyo vértice está en un lugar $x$, en vez de en el $x={\text{constant}}$ del avión como lo asumieron Sears y Haack. Por lo tanto, la teoría de Jones hace que sea aplicable a formas más complejas como aeronaves supersónicas como un cuerpo completo.

## Regla de área

Un concepto relacionado superficialmente es la regla de área de Whitcomb , que establece que el arrastre de la onda debido al volumen en el flujo transónico depende principalmente de la distribución del área total de la sección transversal, y para el arrastre de onda baja esta distribución debe ser uniforme. Una idea errónea común es que el cuerpo de Sears-Haack tiene la distribución de área ideal de acuerdo con la regla de área, pero esto no es correcto. La ecuación de Prandtl-Glauert , que es el punto de partida en la derivación de la forma del cuerpo de Sears-Haack, no es válida en el flujo transónico, que es donde se aplica la regla de área .

