Generador de un ideal
# Generador de un ideal

Sea $A$ un dominio y $X$ un subconjunto de $A$. Si $I$ es el mínimo ideal de $A$ tal que $X\subseteq I$, se dice que $X$ es el generador del ideal $I$ o, equivalentemente, que $I$ es un ideal de $A$ generado por $X$.

El ideal de $A$ generado por el subconjunto $X$ de $A$ se denota comúnmente por

   $~(X)$

Cuando $X$ es un conjunto finito, digamos $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$, se dice que el ideal $(X)$ es finitamente generado y se representa comúnmente por $(x_{1},\ldots ,x_{n})$. En particular, si $~X=\{x\}$ (i.e. si $X$ contiene un solo elemento), se dice que $(x)$ es un ideal principal de $A$.

Si A es un dominio tal que todos sus ideales son finitamente generados, entonces A es un anillo noetheriano, y recíprocamente. En particular, un anillo noetheriano cuyos ideales son todos principales se dice dominio de ideales principales (DIP).

## Propiedades

Todo subconjunto $X$ de un dominio $A$ es el generador de algún ideal de $A$, pues siempre existe por lo menos un ideal que contiene a $X$ (e.g. el propio dominio $A$). El ideal de $A$ generado por $X$, $(X)$, puede obtenerse explícitamente considerando que la intersección de cualquier familia de ideales es un ideal, y que, en particular, es el menor de todos ellos. Así,

   (1)$(X)=\bigcap I_{i}$

donde cada $I_{i}$ es un ideal tal que $X\subseteq I_{i}$.

Si $X,Y$ son subconjuntos de $A$ tales que $X\subseteq Y$, claramente $(X)\subseteq (Y)$

Un hecho que se deduce a partir de la definición de un ideal generado y de la de un ideal cualquiera es que

   (2)$(X)=\{a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}|\;a_{i}\in A\ {\mbox{y}}\ x_{i}\in X\;\forall i\in \{1,\dots ,n\}\;n\in \mathbb {N} \}$,

por lo que todo elemento de un ideal generado es una combinación lineal de los elementos de $X$, y se tiene así una forma de poner un ideal generado en términos de sus elementos. La ecuación (1) y la ecuación (2) pueden considerarse como definiciones equivalentes de ideal generado, aunque generalmente se usa (1) y de ahí se deduce fácilmente (2).

