Arcotangente
# Arcotangente

En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:

    $y=\operatorname {arctg} \alpha \,$

su significado geométrico es el arco $y$ (en radianes) cuya tangente es $\alpha$.

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convenio es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$.

## Notación

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua $tan^{-1}.$ En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar las formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

## Propiedades

Es una función continua y derivable, de clase ${\mathcal {C}}^{\infty }$ (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que $\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} (x)$.

### Algunos valores especiales

    $\operatorname {arctg} (0)=0$
    $\operatorname {arctg} \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)={\frac {\pi }{6}}$
    $\operatorname {arctg} (1)={\frac {\pi }{4}}$
    $\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}$

### Límites en infinito

    $\lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} (x)={\frac {\pi }{2}}$
    $\lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} (x)=-{\frac {\pi }{2}}$

### Derivadas y crecimiento

$(\operatorname {arctg} (x))'={\frac {1}{x^{2}+1}}$

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

$(\operatorname {arctg} (x))''=-{\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}$, que es positivo en $\mathbb {R} ^{-}$ y negativo en $\mathbb {R} ^{+}$.

### Integral indefinida

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de $\operatorname {arctg} (x)$:

$\int \operatorname {arctg} (x)\ dx=$ $\int \operatorname {arctg} (x)\cdot 1\ dx=$ $\operatorname {arctg} (x)\cdot x\ -\ \int x\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}dx=$ $\operatorname {arctg} (x)\cdot x\ -\ {\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)\ +\ C$

### Serie de Maclaurin

    $\operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1.$

## Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

