Grupo de trenzas
# Grupo de trenzas

En matemáticas, el grupo de trenzas de n hebras, también llamado grupo de n-trenzas o grupo de Artin, notado por $B_n,$ supone una generalización del grupo simétrico $S_n$ introducida explícitamente por Emil Artin en 1925.

Cada elemento del grupo (trenza) admite una representación geométrica intuitiva en la que este se visualiza como un conjunto de n hebras que unen los n elementos situados en una fila con sus imágenes reordenadas situadas en una fila paralela. Una trenza reúne información topológica sobre la forma en que estas hebras se entrecruzan.

Para $n\geq 2$, $B_n$ es un grupo infinito. $B_2$ es un grupo cíclico y para $n\geq 3$, $B_n$ es no abeliano.

Los grupos de trenzas tienen aplicación en teoría de nudos, pues según el Teorema de Alexander, todo nudo o enlace puede construirse como el cierre (en un sentido precisado por el teorema) de una trenza.

## El ejemplo de $B_4$

Consideremos dos conjuntos cada uno de cuatro objetos situados en una mesa. Dibujaremos los objetos de cada conjunto alineados verticalmente. Usando cuatro hebras, cada objeto del primer conjunto quedará conectado con un objeto del segundo. Llamaremos trenza a un conjunto de estas cuatro conexiones.

### Elementos del grupo

A menudo las hebras tendrán que pasar una sobre otras, y este detalle es crucial, pues distintos cruces pueden dar lugar a diferentes trenzas:

* es diferente de

Por otro lado, dos conexiones aparentemente distintas pueden representar la misma trenza si tensamos los extremos:

* es la misma que

Todas las hebras deben moverse de izquierda a derecha, para evitar la formación de "nudos" como el de la figura, que no son considerados trenzas:

* no es una trenza

### Composición, elemento neutro e inverso

Cualquier pareja de trenzas puede componerse dibujando una a continuación de la otra, identificando los cuatro puntos intermedios:

| compuesta con | es igual a: |
| - | - |

La anterior composición convierte al conjunto de trenzas en un grupo. El elemento neutro es la trenza que consta de 4 hebras horizontales y paralelas. El elemento inverso de una trenza es la trenza que deshace lo que hizo la primera.

### Generadores y relaciones

Observemos estos tres elementos:

| $σ_1$ | $σ_2$ | $σ_3$ |
| - | - | - |

Se demuestra que cualquier trenza de $B_4$ puede expresarse como composición de los elementos anteriores y sus inversos. Es decir, estas 3 trenzas generan el grupo $B_4.$

En cuanto a sus relaciones, es claro que:

    $σ_1σ_3$ = $σ_3σ_1,$

mientras estas relaciones no son tan obvias:

    $σ_1σ_2σ_1$ = $σ_2σ_1σ_2$
    $σ_2σ_3σ_2$ = $σ_3σ_2σ_3$

Los anteriores generadores junto con estas relaciones forman una presentación de $B_4.$

## Definición algebraica de $B_n$

Generalizando este ejemplo al caso de n hebras, podemos definir de modo abstracto el grupo $B_n$ por medio de esta presentación:

* Generadores: $σ_1,...,σ_{n−1}$
* Relaciones: (conocidas como relaciones de Artin):
   * $σ_i$ $σ_j$ = $σ_j$ $σ_i$ cuando |i − j| ≥ 2 ;
   * $σ_iσ_{i+1}$ $σ_i$ = $σ_{i+1}$ $σ_i$ $σ_{i+1}$ para i = 1,..., n − 2 (a veces llamada ecuación de Yang-Baxter)

Recordemos que el grupo simétrico $S_n$ tiene una presentación muy parecida: en ella aparecen las relaciones de Artin junto con las relaciones

    $σ_i^2$ = 1 para i = 1, ..., n − 1

En el caso del grupo simétrico, las $σ_i$ pueden visualizarse como trasposiciones de dos elementos contiguos.

