Ideal principal
# Ideal principal

En matemáticas, particularmente dentro de la teoría de anillos, un ideal principal es un ideal generado por un único elemento.

* Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R, el ideal principal generado por a es el conjunto
* $(a)=\{ra:r\in R\}$.

Al ideal $(a)$ también se le suele denotar como $Ra$.

La verificación de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue:

* Si $ra$, $sa$ son dos elementos de $(a)$, entonces $ra+sa$ también lo es puesto que $ra+sa=(r+s)a$.
* Si $ra$ es un elemento de $(a)$ y $s$ es un elemento arbitrario del anillo, $s(ra)=(rs)a$ y por tanto $s(ra)$ también pertenece a $(a)$.
* El elemento cero pertenece al conjunto $(a)$ puesto que $0=0a$.

Cuando el anillo no es conmutativo, es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos.

* Si $R$ es un anillo y $a$ es un elemento de $R$, el ideal principal izquierdo generado por $a$ es el conjunto
* $Ra=\{ra:r\in R\}$,
* mientras que el ideal principal derecho generado por $a$ es el conjunto
* $aR=\{ar:r\in R\}$.

En el caso de anillos conmutativos, los conceptos de ideal izquierdo y derecho son equivalentes.

## Ejemplos

Considérese el anillo R. Entonces el conjunto de todos los múltiplos de 3 es el ideal principal generado por 3, puesto que un entero n es múltiplo de 3 precisamente cuando existe un número entero k tal que $n=k\cdot 3$.

Un ideal no tiene por qué ser siempre principal. Por ejemplo, sea $\mathrm {A} =\mathbb {Z} ^{2}$ un anillo commutativo, entonces $\mathrm {I} _{1}=2\mathbb {Z} \times \left\{0\right\}$ e $\mathrm {I} _{2}=\left\{0\right\}\times 2\mathbb {Z}$ son ideales principales de $\mathrm {A}$. Ahora bien, $\mathrm {I} =\mathrm {I} _{1}+\mathrm {I} _{2}$ también es un ideal, aunque este no es principal.

### Definición

El anillo íntegro K, cuyos ideales son todos principales se llama anillo de ideales principales. Todo anillo euclídeo es un anillo de ideales principales.

