Sucesión exacta
# Sucesión exacta

En álgebra abstracta un conjunto $\{A_{i},\,\delta _{i}\}$ consistente de estructuras algebraicas (ya sea grupos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y $\delta _{i}$ morfismos (según sea la categoría) que forman un complejo de cadenas

    $\ldots \to A_{n+1}{\overset {\delta _{n+1}}{\to }}A_{n}{\overset {\delta _{n}}{\to }}A_{n-1}\to \ldots$

y que satisfacen

    ${\textrm {im}}\,\delta _{n}={\textrm {ker}}\,\delta _{n+1}$

para todas las $n$ se dice que forman una sucesión exacta.

Esto significa que todos los grupos de homología son triviales (=0). Este concepto se debe a Witold Hurewicz desde 1941.

## Tipos

Una sucesión exacta corta es una sucesión $0\to A{\overset {\alpha }{\to }}B{\overset {\beta }{\to }}C\to 0$ que es exacta. Esto es lo mismo a pedir que

* $\alpha$ es inyectiva
* ${\beta }$ induce un isormofismo tal que $B/\mathrm {im} ({\alpha })\cong C.$ .
* $\beta$ es sobreyectiva.
