Orden total acotado
# Orden total acotado

En matemáticas, un conjunto presenta un orden total acotado respecto a una relación binaria cuando tiene un orden total y está acotado superior e inferiormente.

## Definición

Dado un conjunto A y una relación binaria $\precsim$ definida entre los elementos de A, que expresaremos $(A,\precsim )$ y la relación se representa:

    $a\precsim b$

Se dice que se ha definido un orden total acotado en el conjunto A, si la relación $(A,\precsim )$ cumple las propiedades:

    Relación reflexiva
       $\forall x\in A\;:\quad x\precsim x$
    Relación antisimétrica
       $\forall x,y\in A\;:\quad x\precsim y\quad \land \quad y\precsim x\quad \longrightarrow \quad x=y$
    Relación transitiva
       $\forall x,y,z\in A\;:\quad x\precsim y\quad \land \quad y\precsim z\quad \longrightarrow \quad x\precsim z$
    Relación total
       $\forall x,y\in A\;:\quad x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x$
    y Acotado

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$, siendo $(A,\precsim )$ un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A es máximo si se cumple que:

    $y\in A\;es\;m{\acute {a}}ximo\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad x\precsim y$

Se denomina máximo y define una cota superior en A; el elemento máximo es único. Si el conjunto A y la relación binaria $\precsim$, que expresaremos $(A,\precsim )$ es un orden total y tiene máximo, entonces es un conjunto con orden total y acotado superiormente.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

    $z\in A\;es\;m{\acute {\imath }}nimo\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad z\precsim x$

Se denomina mínimo y define una cota inferior en A; el elemento mínimo es único. Si el conjunto A y la relación binaria $\precsim$, que expresaremos $(A,\precsim )$ es un orden total y tiene mínimo, entonces es un conjunto con orden total y acotado inferiormente.

Un conjunto con orden total solo se dice acotado, si está acotado superior e inferiormente.

