Rotacional (mecánica cuántica)
# Rotacional (mecánica cuántica)

Este artículo se refiere al operador del movimiento de rotación, tal como aparece en la mecánica cuántica.

## Rotaciones en mecánica cuántica

Para cada rotación física R, se postula un operador de rotación (rotacional) mecánica cuántica D(R) que denota la rotación de los estados mecánicos cuánticos.

    $|\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle$

En cuanto a los generadores de rotación,

    $D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right)$

siendo $\mathbf {\hat {n}}$ el eje de rotación, y $\mathbf {J}$ el momento angular.

## El operador traslación

El operador movimiento de rotación $\,{\mbox{R}}(z,\theta )$, con el primer argumento $\,z$ que indica el eje de rotación y el segundo $\,\theta$ el ángulo de rotación, puede operar a través del operador traslación $\,{\mbox{T}}(a)$ para rotaciones infinitesimales, como se explica a continuación. Por esta razón, primero se muestra cómo el operador de traslación está actuando sobre una partícula en la posición x (la partícula está entonces en el estado $|x\rangle$, de acuerdo con la mecánica cuántica).

Traslación de la partícula en la posición x a la posición x + a: ${\mbox{T}}(a)|x\rangle =|x+a\rangle$

Debido a que una traslación de 0 no cambia la posición de la partícula, entonces (1 indica el operador identidad, que no introduce cambios):

    $\,{\mbox{T}}(0)=1$
    $\,{\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)|x\rangle ={\mbox{T}}(a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle ={\mbox{T}}(a+da)|x\rangle \Rightarrow$
    $\,{\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(a+da)$

El desarrollo de Taylor da:

    $\,{\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(0)+{\frac {d{\mbox{T}}(0)}{da}}da+...=1-{\frac {i}{\hbar }}\ p_{x}\ da$

con

    $\,p_{x}=i\hbar {\frac {d{\mbox{T}}(0)}{da}}$

De lo que se sigue que:

    $\,{\mbox{T}}(a+da)={\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow$
    $\,[{\mbox{T}}(a+da)-{\mbox{T}}(a)]/da={\frac {d{\mbox{T}}}{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}{\mbox{T}}(a)$

Esta es un ecuación diferencial con la solución $\,{\mbox{T}}(a)={\mbox{exp}}\left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right)$.

Además, supóngase un hamiltoniano $\,H$ es independiente de la posición $\,x$. Debido a que el operador de traslación se puede escribir en términos de $\,p_{x}$ y $\,[p_{x},H]=0$, se sabe que $\,[H,{\mbox{T}}(a)]=0$. Este resultado significa que se conserva la cantidad de movimiento lineal para el sistema.

## En relación con el momento angular orbital

En la mecánica clásica, se tiene que el momento angular $\,l=r\times p$. Esto es lo mismo en mecánica cuántica, considerando a $\,r$ y $\,p$ como operadores. Clásicamente, una rotación infinitesimal $\,dt$ del vector r = (x, y, z) sobre el eje z a r'= (x', y', z) dejando z sin cambios, puede expresarse mediante las siguientes traslaciones infinitesimales (usando la aproximación de Taylor):

    $\,x'=r\cos(t+dt)=x-ydt+...$
    $\,y'=r\sin(t+dt)=y+xdt+...$

De lo que se sigue para los estados:

    $\,{\mbox{R}}(z,dt)|r\rangle$$={\mbox{R}}(z,dt)|x,y,z\rangle$$=|x-ydt,y+xdt,z\rangle$$={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)|x,y,z\rangle$$={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)|r\rangle$

Y consecuentemente:

    $\,{\mbox{R}}(z,dt)={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)$

Usando $\,T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ p_{k}\ a\right)$ desde arriba con $\,k=x,y$ y la expansión de Taylor, obtiene:

    $\,{\mbox{R}}(z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{h}}\ (xp_{y}-yp_{x})dt\right]$$=\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ l_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{h}}l_{z}dt+...$

con $l_z$ = x $p_y$ - y $p_x$ siendo la componente z del momento angular de acuerdo con el producto vectorial clásico.

Para obtener una rotación para el ángulo $\,t$, se construye la ecuación diferencial siguiente, utilizando la condición ${\mbox{R}}(z,0)=1$:

    $\,{\mbox{R}}(z,t+dt)={\mbox{R}}(z,t){\mbox{R}}(z,dt)\Rightarrow$
    $\,[{\mbox{R}}(z,t+dt)-{\mbox{R}}(z,t)]/dt=d{\mbox{R}}/dt$$\,={\mbox{R}}(z,t)[{\mbox{R}}(z,dt)-1]/dt$$\,=-{\frac {i}{h}}l_{z}{\mbox{R}}(z,t)\Rightarrow$
    $\,{\mbox{R}}(z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ t\ l_{z}\right)$

Similar al operador de traslación, si se dispone de un hamiltoniano $\,H$ que es rotacionalmente simétrico con respecto al eje z, $\,[l_{z},H]=0$ implica $\,[{\mbox{R}}(z,t),H]=0$. Este resultado significa que el momento angular se conserva.

Para el momento de giro angular sobre el eje y, simplemente se reemplaza $\,l_{z}$ por $\,S_{y}={\frac {h}{2}}\sigma _{y}$ y se obtiene el operador de rotación espín $\,{\mbox{D}}(y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right)$.

## Efecto sobre el operador de giro y estados cuánticos

Los operadores pueden ser representados por matrices. A partir del álgebra lineal se sabe que una cierta matriz $\,A$ se puede representar en otra base a través de la transformación

    $\,A'=PAP^{-1}$

donde $\,P$ es la matriz de transformación base. Los vectores $\,b$ y $\,c$ son los ejes z en una base y en otra respectivamente, y además son perpendiculares al eje y con un cierto ángulo $\,t$ entre ellos. El operador de giro $\,S_{b}$ en la primera base puede luego transformarse en el operador de giro $\,S_{c}$ de la otra base a través de la siguiente transformación:

    $\,S_{c}={\mbox{D}}(y,t)S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)$

De la mecánica cuántica estándar se tienen los resultados conocidos $\,S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle$ y $\,S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle$, donde $\,|b+\rangle$ y $\,|c+\rangle$ son los giros superiores en sus bases correspondientes. Entonces, se tiene que:

    $\,{\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle ={\mbox{D}}(y,t)S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow$
    $\,S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle$

La comparación con $\,S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle$ produce $\,|b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle$.

Esto significa que si el estado $\,|c+\rangle$ se gira alrededor del eje y con un ángulo $\,t$, se convierte en el estado $\,|b+\rangle$, un resultado que puede generalizarse a ejes arbitrarios. Este resultado es importante, por ejemplo, en la inecuación de Sakurai Bell.

