Exponente de Lyapunov
# Exponente de Lyapunov

El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial $\delta \mathbf {Z} _{0}$ diverge

    $|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|$

El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

## Definición

Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación $f^{t}$ en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov

    $\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}\,,$

en general depende del punto de inicio $x_{0}$. El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:

    $J^{t}(x_{0})=\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}$.

La matriz $J^{t}$ describe cómo un pequeño cambio en el punto $x_{0}$ se propaga hasta el punto final $f^{t}(x_{0})$. El límite

    $\lim _{t\rightarrow \infty }(J^{t}\cdot (J^{t})^{T})^{1/2t}$

define a una matriz $L(x_{0})$ (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec. Si $\Lambda _{i}(x_{0})$ son los valores propios de $L(x_{0})$, entonces el exponente Lyapunov $\lambda _{i}$ está definido por

    $\lambda _{i}(x_{0})=\log \Lambda _{i}(x_{0})\,.$

## Propiedades básicas

* Si el sistema es conservativo (no existe disipación), la suma de todos los exponentes Lyapunov debe ser cero.
* Si el sistema es disipativo, la suma será negativa.
* Si el sistema es un flujo, un exponente será siempre cero.
* En un sistema dinámico hamiltoniano, la suma sólo puede ser positiva si el sistema es un sistema abierto.
* El espectro de Lyapunov puede ser usado para estimar el radio de producción de entropía de un sistema dinámico.
* El inverso del mayor exponente Lyapunov es llamado a veces en literatura momento Lyapunov. Para órbitas caóticas, el momento Lyapunov será finito, aunque para órbitas regulares será infinito.

## Cálculo numérico.

Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz $L$ basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo $L$.

