Polinomio mínimo
# Polinomio mínimo

En matemáticas, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio no dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

## Teoría de cuerpos

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumpla f(α) = 0 es un múltiplo de p.

## Álgebra lineal

En álgebra lineal, el polinomio mínimo de un endomorfismo $f$ de un espacio vectorial $E$ de dimensión finita sobre un cuerpo $\mathbb {K}$ es el único polinomio mónico $\mu _{f}(t)\in \mathbb {K} [t]$ de grado mínimo que anula a $f$, es decir, tal que $\mu _{f}(f)=0$. Por extensión, dada una matriz $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$, definimos el polinomio mínimo de $A$ como el polinomio mínimo del endomorfismo que define la matriz $A$ en un espacio vectorial $E$ de dimensión $n$ (en cualquier base, pues el polinomio mínimo no depende de la elección de esta).

Cualquier otro polinomio $p\in \mathbb {K} [t]$ con $p(f)=0$ es un múltiplo de $\mu _{f}$. Veamos la demostración de esto último, juntamente con que el polinomio mínimo es único:

* ${\text{Todos los polinomios anuladores de }}f{\text{ son múltiplos de un único polinomio mónico anulador de }}f,$
* ${\text{ al que llamaremos polinomio mínimo de }}f.$
* Observamos en primer lugar que seguro que existen polinomios anuladores. Como $f$ es un endomorfismo de un espacio vectorial $E$ de dimensión finita $n$, podemos considerar una base ${\mathcal {B}}$ del espacio y la matriz $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$, la matriz de $f$ en base ${\mathcal {B}}$.
* Como ${\text{dim}}({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} ))=n^{2}$, el conjunto de matrices $\{A^{i}\}_{i=0}^{n^{2}}$, de cardinal $n^{2}+1$, es necesariamente linealmente dependiente, es decir,
* $\exists \{a_{i}\}_{i=0}^{n^{2}}\subseteq \mathbb {K}$ tales que $a_{0}I+a_{1}A+...+a_{n^{2}}A^{n^{2}}=0\Rightarrow \exists p(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n^{2}}t^{n^{2}}\in \mathbb {K} [t]$ anulador de $A\Rightarrow$
* $\Rightarrow \exists p(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n^{2}}t^{n^{2}}$ anulador de $f$.
* Esto último por ser $A$ la matriz de $f$ en base ${\mathcal {B}}$.
* Por tanto, existen polinomios anuladores y podemos tomar, pues, uno que sea de grado mínimo. Si lo dividimos por el coeficiente del término de grado máximo, sigue siendo anulador y ahora también es mónico. Este polinomio, al que denotaremos por $m(t)\in \mathbb {K} [t]$, es nuestro candidato a polinomio mínimo.
* Sea pues $p(t)\in \mathbb {K} [t]$ un polinomio anulador de $f$. Queremos ver que $m$ divide a $p$. Hacemos la división entera de $p$ entre $m$:
* $p(t)=m(t)\cdot c(t)+r(t)$, con $c,r\in \mathbb {K} [t],r=0$ o ${\text{gr}}~r<{\text{gr}}~m\quad (*)$
* Si aplicamos la igualdad a $f$, obtenemos que
* $p(f)=m(f)\circ c(f)+r(f)$,
* pero como $p$ y $m$ son anuladores de $f$ por definición,
* $0=0\circ c(f)+r(f)\Rightarrow r(f)=0\Rightarrow r$ es anulador de $f$.
* Pero, por definición, $m$ es el polinomio anulador de grado mínimo, luego ${\text{gr}}~r\geq {\text{gr}}~m$, de forma que, por $(*)$, necesariamente $r=0\Rightarrow m$ divide a $p$.
* Para ver la unicidad, supongamos que hubiera dos polinomios $m$ y $m'$ mónicos de grado mínimo tales que fueran anuladores de $f.$ Por lo anterior, uno tiene que dividir al otro. Podemos suponer que $m$ divide a $m'$. Pero como son mónicos y tienen el mismo grado, necesariamente $m=m'$. $\quad \square$

Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

* $\lambda \in \mathbb {K}$ es una raíz de $m_{f}(t)$,
* $\lambda$ es una raíz del polinomio característico de $A$,
* $\lambda$ es un valor propio de $A$.

La multiplicidad de la raíz $\lambda$ de $p(t)$ es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a $\lambda$.

El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz $4I_{n}$, que tiene como polinomio característico $(x-4)^{n}$. Sin embargo, el polinomio mínimo es $x-4$, ya que $4I-4I=0$, por lo que son distintos para $n\geq 2$. El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.

