Álgebra superconforme
# Álgebra superconforme

En física teórica, el álgebra superconforme es un álgebra de Lie graduada o superálgebra que combina el álgebra conforme y la supersimetría. En dos dimensiones, el álgebra superconforme es infinito-dimensional. En dimensiones más altas, las álgebras superconformes son finito-dimensionales y generan el grupo superconforme (en dos dimensiones euclidianas, la superálgebra de Lie no genera cualquier supergrupo de Lie).

## Álgebra Superconforme en dimensión mayor que 2

El grupo conforme del espacio $(p+q)$-dimensional ${\mathbb {R} ^{p,q}}$es $SO(p+1,q+1)$ y su álgebra de Lie es ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$. El álgebra superconforme es un superálgebra de Lie que contiene el factor bosónico ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$y cuyos generadores impares se transforman bajo representaciones espinoriales de ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$. Dada la clasificación de Kač de los superálgebras de Lie simples de dimensión finita, esto solo puede suceder para valores pequeños de $p$y $q$. Una lista (posiblemente incompleta es

* ${\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)$en 3+0D (dimensiones) gracias a que ${\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)$${\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)$;
* ${\mathfrak {osp}}(N|4)$en 2+1D gracias a que ${\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)$;
* ${\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)$en 4+0D gracias a que ${\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)$;
* ${\mathfrak {su}}(2,2|N)$en 3+1D gracias a que ${\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)$;
* ${\mathfrak {sl}}(4|N)$en 2+2D gracias a que ${\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)$;
* formas reales de $F(4)$en 5 dimensiones;
* ${\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)$en 5+1D gracias al hecho de que las representaciones espinorial y fundamental de ${\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )$se pueden mapear mediante automorfismos exteriores.

## Álgebra superconforme en 3+1D

De acuerdo con el álgebra superconforme con ${\mathcal {N}}$supersimetrías en 3+1 dimensiones está dado por los generadores bosónicos $P_{\mu }$, $D$, $M_{\mu \nu }$, $K_{\mu }$la R-simetría U(1) $A$, la R-simetría SU(N) $T_{j}^{i}$y los generadores fermiónicos $Q^{\alpha i}$, ${\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}$, $S_{i}^{\alpha }$y ${\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}$. Aquí, $\mu ,\nu ,\rho ,\dots$denotan índices espaciotemporales; $\alpha ,\beta ,\dots$índices espinorales de Weyl izquierdos; ${\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots$índices espinorales de Weyl derechos; y $i,j,\dots$ los índices de la R-simetría interna.

Los supercorchetes de Lie del álgebra conforme bosnico están dados por

    $[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }$
    $[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }$
    $[M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }$
    $[M_{\mu \nu },D]=0$
    $[D,P_{\rho }]=-P_{\rho }$
    $[D,K_{\rho }]=+K_{\rho }$
    $[P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D$
    $[K_{n},K_{m}]=0$
    $[P_{n},P_{m}]=0$

Dónde η es la métrica de Minkowski; mientras que los de los generadores fermiónicos son:

    $\left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }$
    $\left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0$
    $\left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }$
    $\left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0$
    $\left\{Q,S\right\}=$
    $\left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0$

Los generadores conformes bosónicos no portan R-cargas, dado que conmutan con los generadores de la R-simetría:

    $[A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0$
    $[T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0$

Pero los generadores fermiónicos si portan R-carga:

    $[A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q$
    $[A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}$
    $[A,S]={\frac {1}{2}}S$
    $[A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}$
    $[T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}$
    $[T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}$
    $[T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}$
    $[T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}$

Bajo transformaciones conformes bosónicas, los generadores fermiónicos se trasforman como:

    $[D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q$
    $[D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}$
    $[D,S]={\frac {1}{2}}S$
    $[D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}$
    $[P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0$
    $[K,S]=[K,{\overline {S}}]=0$

## Álgebra superconforme en 2D

Hay dos álgebras posibles con supersimetría mínima en dos dimensiones; un álgebra de Neveu–Schwarz y un álgebra de Ramond Son posibles supersimetrías adicionales, por ejemplo el álgebra superconforme N=2.

