Interpolación racional
# Interpolación racional

Una Función racional $r$, de grado $N$, es un cociente de polinomios cuyos grados suman $N$.

$r(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {p_{0}+p_{1}(x-x_{0})+\cdots +p_{n}(x-x_{0})^{n}}{q_{0}+q_{1}(x-x_{0})+\cdots +q_{n}(x-x_{0})^{n}}}$

La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha. Supongamos que $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}$ son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto $x_{0}$, en torno al cual se obtiene la interpolación. Queremos que $f(x)$ y $r(x)$ coincidan en el conjunto ${x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}}$. Para que $r(x)$ exista en $x_{0}$, debe ser $q_{0}\neq 0$ y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $q_{0}=1$. Por otra parte, al sustituir $x$ por $x_{0}$, se obtiene $p_{0}=f(x_{0})$. Así pues, el punto $x_{0}$ ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes. Si sustituimos en $r(x)$, cada uno de los puntos ${x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}}$ y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de $f(x)$ en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:

$\sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{i}-x_{0})^{k}-\sum _{j=1}^{m}f(x_{i})q_{j}(x_{i}-x_{0})^{j}=f(x_{i})-f(x_{0}),i=1,2,\cdots x_{N}$

