Polinomios de Fibonacci
# Polinomios de Fibonacci

En matemáticas, los polinomios de Fibonacci son una secuencia polinomial que se puede considerar como una generalización de la sucesión de Fibonacci. Los polinomios generados de forma similar al número de Lucas se llaman polinomios de Lucas.

## Definición

Los polinomios de Fibonacci están definidos por una relación de recurrencia:

    $F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}n=0\\1,&{\mbox{si }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2\end{cases}}$

Los primeros polinomios de Fibonacci son:

    $F_{0}(x)=0\,$
    $F_{1}(x)=1\,$
    $F_{2}(x)=x\,$
    $F_{3}(x)=x^{2}+1\,$
    $F_{4}(x)=x^{3}+2x\,$
    $F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,$
    $F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,$

Los polinomios de Lucas usan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales: $L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{si }}n=0\\x,&{\mbox{si }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2.\end{cases}}$

Los primeros polinomios de Lucas son:

    $L_{0}(x)=2\,$
    $L_{1}(x)=x\,$
    $L_{2}(x)=x^{2}+2\,$
    $L_{3}(x)=x^{3}+3x\,$
    $L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,$
    $L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,$
    $L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,$

Los números de Fibonacci y Lucas se obtienen al dar valor a los polinomios en x = 1; los números de Pell resultan de asignar un valor a $F_n$ en x = 2. Los grados de $F_n$ son n − 1 y el grado de $L_n$ es n. Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son:

    $\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}$
    $\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.$

Los polinomios se pueden expresar en términos de la sucesión de Lucas como

    $F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,$
    $L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,$

## Identidades

Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades.

Primero, pueden ser definidos por los índices negativos por

    $F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).$

Otras identidades incluyen:

    $F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,$
    $L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,$
    $F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,$
    $F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,$

Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet son:

    $F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},$

donde

    $\alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}$

son las soluciones (en t) de

    $t^{2}-xt-1=0.\,$

Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por

    $x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).$

Por ejemplo,

    $x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,$
    $x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+4F_{2}(x)\,$
    $x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,$
    $x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,$

## Interpretación combinatoria

Si F (n, k) es el coeficiente de $x^k$ en $F_n(x),$ entonces

    $F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,$

entonces F(n, k) es el número de maneras en que un rectángulo de n-1 por 1 puede ser recubierto con dominós de 2 por 1 y de 1 por 1, de modo que se usen exactamente k piezas de tamaño 1. Equivalentemente, F (n, k) es el número de formas de escribir n-1 como una suma ordenada que involucra solo los números 1 y 2, de modo que 1 se usa exactamente k veces. Por ejemplo, F(6,3) = 4, porque 5 (igual a n-1) se puede escribir con estas reglas de 4 maneras distintas: 1 + 1 + 1 + 2; 1 + 1 + 2 + 1; 1 + 2 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; como una suma que involucra solo 1 y 2, con el número 1 usado 3 veces. Contando el número de veces que se usan 1 y 2 en tal suma, es evidente que F(n, k) es igual al coeficiente binomial

    $F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}$

cuando n y k tienen paridad opuesta. Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha.

