Funciones de Weierstrass
# Funciones de Weierstrass

En el ámbito de las matemáticas, las funciones de Weierstrass son un conjunto de funciones especiales de variable compleja que son auxiliares a la función elíptica de Weierstrass. Han sido nombradas en honor al matemático alemán Karl Weierstrass (1815 – 1897), considerado el padre del análisis moderno.

## Función sigma de Weierstrass

La función sigma de Weierstrass asociada a una grilla bidimensional $\Lambda \subset \mathbb {C}$ se encuentra definida por el producto

   $\sigma (z;\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)e^{z/w+{\frac {1}{2}}(z/w)^{2}}$

donde:

    $\Lambda ^{*}\,$ denota el conjunto $\Lambda -\{0\}\,$

## Función zeta de Weierstrass

La función zeta de Weierstrass se encuentra definida por la suma

   $\zeta (z;\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).$

Notar que la función zeta de Weierstrass es básicamente la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta puede ser reescrita como:

   $\zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}$ donde ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ es la serie de Eisenstein de peso $2k+2$.

También es interesante notar que la derivada de la función zeta es $\scriptstyle -\wp (z)$, donde $\scriptstyle \wp (z)$ es la función elíptica de Weierstrass.

No debe confundirse la función zeta de Weierstrass con la función zeta de Riemann de la teoría de números.

## Función eta de Weierstrass

La función eta de Weierstrass está definida por la expresión

    $\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ para todo }}z\in \mathbb {C}$

Se puede demostrar que está bien definida, o sea $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ solo depende de w. No se debe confundir la función eta de Weierstrass con la función eta de Dedekind.

## Función p de Weierstrass

La función p de Weierstrass está definida por la expresión

    $\wp (z;\Lambda )=-\zeta '(z;\Lambda ),{\mbox{ para todo }}z\in \mathbb {C}$

La función p de Weierstrass es una función par elíptica de orden N=2 con un único polo doble en cada grilla.

* Datos: Q3075283
