Función psi de Dedekind
# Función psi de Dedekind

En teoría de números, la función psi de Dedekind es la función multiplicativa sobre los enteros positivos definida por

    $\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),$

donde el producto es tomado sobre todos los números primos p que dividen a n (por convención, ψ(1) es el producto vacío y tiene el valor 1). La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares.

El valor de ψ(n) para los primeros enteros n es:

    1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (sucesión A001615 en OEIS).

ψ(n) es mayor que n para todo n mayor que 1, y es par para todo n mayor que 2. Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ψ(n) = σ(n).

La función ψ puede también ser definida mediante la propiedad $ψ(p^n)$ = $(p+1)p^{n-1}$ para potencias de cualquier primo p, y luego extender la definición a todos los enteros por multiplicabilidad. Esto también permite una demostración de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann, que es

    $\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.$

Esto también es una consecuencia del hecho de que se puede escribir como una convolución de Dirichlet $\psi =n*\epsilon _{2}$, donde $\epsilon _{2}$ es la función característica de los cuadrados.

## Grandes órdenes

La generalización a grandes órdenes usando ratios de indicatrices de Jordan es

    $\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}$

donde la serie de Dirichlet

    $\sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}$.

Es también la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius,

    $\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)$.

Si

    $\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots$

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet permite la generalización de la función σ,

    $\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)$.
