Álgebra del espacio físico
# Álgebra del espacio físico

En física, el álgebra del espacio físico (AEF) es el Clifford o álgebra geométrica $Cl_{3}$ del Espacio euclídeo tridimensional, con énfasis en su estructura paravectorial.

El álgebra de Clifford $Cl_3$ tiene una representación fiel, generada por las matrices de Pauli, en la representación de spin $C^2.$

El AEF puede ser usada para construir un formalismo compacto, unificado y geométrico para la mecánica tanto clásica como cuántica.

El AEF no debe ser confundida con el álgebra del espaciotiempo, que se ocupa del Álgebra de Clifford $Cℓ_{1,3}(R)$ del espacio-tiempo de Minkowski cuatridimensional.

## Relatividad especial

En el AEF, la posición en el espaciotiempo está representada como un paravector

    $x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$

donde el tiempo está dado por la parte escalar $t=x^{0}$ con $c=1$. En la representación con matrices de Pauli los vectores unitarios de la base son reemplazados por las matrices de Pauli y la parte escalar por la matriz identidad. Esto significa que la representación en matrices de Pauli de la posición en el espaciotiempo es

    $x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$

La cuadrivelocidad es un paravector definido como la derivada respecto al tiempo propio de la posición en el espaciotiempo

    $u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}(1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})).$

Esta expresión puede ser reescrita en una forma más compacta definiendo la velocidad ordinaria como

    $\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})$

y recordando la definición del factor de Lorentz, con lo que la cuadrivelocidad se convierte en

    $u=\gamma (1+\mathbf {v} )$

La cuadrivelocidad es un paravector unimodular, lo que implica la siguiente condición en términos de la conjugación de Clifford

    $u{\bar {u}}=1$

La cuadrivelocidad se transforma bajo la acción del rotor de Lorentz $L$ como

    $u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$

Las transformaciones restringidas de Lorentz que preservan la dirección del tiempo e incluyen rotaciones y boosts pueden ser representadas por una exponenciación del biparavector rotación espaciotemporal $W$

    $L=e^{{\frac {1}{2}}W}$

En la representación de matrices el rotor de Lorentz forma un ejemplo del grupo SL(2,C), que es el doble recubriemiento del grupo de Lorentz. La unimodularidad del rotor de Lorentz se traslada a la siguiente condición en términos del producto del rotor de Lorentz con su conjugado de Clifford

    $L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1$

Este rotor de Lorentz puede siempre ser descompuesto en dos factores, uno hermítico $B=B^{\dagger }$, y el otro unitario $R^{\dagger }=R^{-1}$, tal que

    $L=BR^{\,}$

El elemento unitario $R$ es llamado rotor porque representa las rotaciones y el elemento hermítico $B$ es llamado boost.

El cuadrimomentum en el AEF puede ser obtenido multiplicando la cuadrivelocidad con la masa

    $p=mu^{\,},$

con módulo

    ${\bar {p}}p=m^{2}$

## Electrodinámica clásica

El campo electromagnético está representado por un bi-paravector $F$, con la parte hermítica representando el campo eléctrico y la antihermítica representando el campo magnético. En la representacio de matrices de Pauli estándar, el campo electromagnético es

    $F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} \rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}$

El campo electromagnético se obtiene del paravector potencial $A=\phi +\mathbf {A}$ como

    $F=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}.$

y el campo electromagnético es invariante bajo una transformación gauge de la forma

    $A\rightarrow A+\partial \chi ,$

donde $\chi$ es una función escalar.

El campo electromagnético es covariante bajo transformaciones de Lorentz según la ley

    $F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}$

Las ecuaciones de Maxwell pueden ser expresadad en una sola ecuación como sigue

    ${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}},$

donde la barra superior representa the conjugación de Clifford y la cuadricorriente está definida como

    $j=\rho +\mathbf {j} .$

El lagrangiano electromagnético es

    $L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S},$

que es evidentemente un escalar invariante.

La ecuación de la fuerza de Lorentz toma la forma

    ${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}$

## Mecánica cuántica relativista

La ecuación de Dirac toma la forma

    $i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger }$,

donde $\mathbf {e} _{3}$ es un vector unitario arbitrario y $A$ es el paravector potencial que incluye el potencial vector magnético y el potencial escalar eléctrico.

## Espinor clásico

La ecuación diferencial del rotor de Lorentz que es consistente con la fuerza de Lorentz es

    ${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$

de forma que la cuadrivelocidad se calcula como la transformación de Lorentz de la cuadrivelocidad en reposo

    $u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$

la cual puede ser integrada para encontrar la trayectoria en el espaciotiempo.

