Amplitud de dispersión
# Amplitud de dispersión

En mecánica cuántica, la amplitud de dispersión es la amplitud de la onda esférica dispersada relativa a la onda plana incidente en un proceso de dispersión en estado estacionario. Esto está descrito por la función de onda:

    $\psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,$

donde $\mathbf {r} \equiv (x,y,z)$ es el vector de posición, $r\equiv |\mathbf {r} |$, $e^{ikz}$ es la onda plana incidente con número de onda $k$ a lo largo del eje $z$, $e^{ikr}/r$ es la onda esférica dispersada resultante, $\theta$ es el ángulo de dispersión y $f(\theta )$ es la amplitud de dispersión. La amplitud de dispersión tiene dimensiones de longitud.

La amplitud de dispersión es una amplitud de probabilidad. La sección eficaz diferencial como función del ángulo de dispersión está dada por su módulo al cuadrado.

    ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.$

En el régimen de baja energía, la amplitud de dispersión está determinada por la longitud de dispersión.

## Expansión en ondas parciales

En la expansión en ondas parciales, la amplitud de dispersión se representa como la suma sobre todas las ondas parciales:

    $f(\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }(k)P_{\ell }(\cos \theta )\;,$

donde $f_{\ell }(k)$ es amplitud parcial y $P_{\ell }(\cos \theta )$ es un polinomio de Legendre.

La amplitud parcial puede expresarse a través del elemento de la matriz S $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ y el cambio de fase de dispersión como $\delta _{\ell }$:

    $f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.$

Por lo tanto, la sección eficaz diferencial está dada por

    $\sigma (\theta )=|f(\theta )|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin(\delta _{\ell })P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}\;,$

y la sección eficaz elástica total es

    $\sigma =2\pi \int _{0}^{\pi }\sigma (\theta )\sin(\theta )\;d\theta ={\frac {4\pi }{k}}{\text{Im}}\left[f(0)\right]\;,$

donde ${\text{Im}}\left[f(0)\right]$ es la parte imaginaria de $f(0)$.

## Dispersión de neutrones

El proceso de dispersión de neutrones involucra la longitud de dispersión coherente para neutrones, a menudo denotada por b. Por ejemplo, una solución iónica, la amplitud de dispersión de los neutrones es proporcional a

    $\sum _{\alpha }b_{\alpha }\sum _{i}(\alpha )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{i}(\alpha )},$

donde $r_i(α)$ representa la posición del núcleo i de tipo α.

En general, la dispersión de neutrones es utilizada para estudiar las propiedades de sistemas como coloides, polímeros, emulsiones, materiales biológicos, etc.

## Dispersión de rayos X

Para rayos X dispersados por una capa de un cristal, la amplitud de dispersión de una onda incidente $E_i$ está dada por la expresión

    $E(\mathbf {r} )=4\pi r_{e}CE_{i}\int G_{0}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\rho (\mathbf {r} ')\,e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} '}d^{3}\mathbf {r} ',$

donde $r_e$ es el radio clásico del electrón, $G_0(r−r')$ es la función de Green del cristal y ρ(r) es la densidad de electrones.

