Serie de Eisenstein
# Serie de Eisenstein

Las series de Eisenstein, llamadas así en honor al matemático alemán Ferdinand Eisenstein, son formas modulares con expasiones en forma de series infinitas que pueden escribirse directamente. Originalmente definidas para el grupo modular, las series de Eisenstein pueden ser generalizadas en la teoría de formas automórficas.

## Series de Eisenstein para el grupo modular

Sea τ un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva. Se define la serie de Eisenstein holomorfa $G_{2k}(τ)$ de peso 2k, donde k ≥ 2 es un entero, mediante la siguiente serie:

    $G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

Esta serie convege absolutamente a una función holomorfa de τ en el semiplano superior y su expansión de Fourier dada abajo muestra que puede extendese a una función holomorfa τ = i∞. Es un hecho remarcable que la serie de Eisenstein es una forma modular. De hecho, la propiedad clave está en su SL(2, $\mathbb {Z}$)-invarianza. Explícitamente si a, b, c, d ∈ $\mathbb {Z}$ y ad − bc = 1 entonces

    $G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$
