Coeficiente de restitución
# Coeficiente de restitución

El coeficiente de restitución (también llamado cociente) es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas. Se expresa como el cociente de la velocidad relativa final entre la velocidad relativa inicial entre dos objetos sometidos a colisión, donde final significa tras la colisión, e inicial antes de la misma. El coeficiente $C_{R}$ presenta valores en el intervalo de números reales que va de 0 a 1 es decir, satisface la desigualdad $0\leq C_{R}<1$. Siendo su valor una medida de la naturaleza de la colisión: si su valor es cero se supone un choque perfectamente inelástico, mientras que si $C_{R}=1$ es considerado un choque elástico. En la gran mayoría de los choques reales el coeficiente de restitución es inferior a la unidad, lo que supone en una mayor o menor medida una deformación inelástica de los cuerpos sometidos a colisión.

## Introducción

Las leyes generales de la colisión entre cuerpos se expresan en la mecánica clásica, la determinación de las velocidades de los cuerpos colisionantes constituye uno de los temas recurrentes desde sus inicios, siendo los primeros autores en abordar el problema Newton y Poisson ya en el siglo XVII. Newton define el coeficiente normal de restitución con la proporción entre las velocidades relativas de los cuerpos antes y después de la colisión. De la forma:

${\text{Coeficiente de Restitución}}\quad C_{R}={\frac {\text{Velocidad Relativa tras la Colisión}}{\text{Velocidad Relativa antes de la Colisión}}}$

En contraste con esta definición cinemática dada por Newton, la definición abordada por Poisson se centra en los cambios detectados de energía cinética fundamentada en el coeficiente de la magnitud de los impulsos normales correspondientes a los periodos de restitución y compresión. En ausencia de fricción los resultados de Posisson son equivalentes a los proporcionados por Newton. Sin embargo, en presencia de fricción, ambas definiciones no son equivalentes. Los resultados experimentales expresados en ciertos cuerpos como pelotas de golf se han obtenido mediante experimentación realizada en 1929 por la U.S. Golf Association, De la misma forma algunos investigadores han profundizado en el efecto del choque de sólidos.

### Choque en una dimensión

La deducción de la fórmula pasa por la consideración de un choque de dos partículas de masas $m_{1}$, $m_{2}$ respectivamente en una dimensión, es decir moviéndose en una línea recta antes y después del choque. Sean $u_{1}$ y $u_{2}$ las velocidades iniciales del objeto 1 y objeto 2 respectivamente. De la misma forma sea $v_{1}$ y $v_{2}$ la velocidad final de estos mismos objetos tras haberse producido la colisión. Todas las velocidades se miden respecto al mismo sistema de referencia inercial. Si aplicamos las leyes de conservación de energía y momento lineal se tienen las siguientes igualdades:

    ${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}$

Realizando algunas modificaciones algebraicas en la igualdad correspondiente a la conservación de energía (primera ecuación), se tiene que:

    $m_{1}(u_{1}^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}(v_{2}^{2}-u_{2}^{2})$

Lo que equivale a:

    $m_{1}(u_{1}+v_{1})(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}+u_{2})(v_{2}-u_{2})$

Por otra parte, de la segunda ecuación de conservación de momentos se tiene:

    $m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})$

Realizando el cociente entre ambas expresiones reducidas, se llega a la siguiente igualdad:

    $u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$

Indicando que, en un choque unidimensional perfectamente elástico la suma de las velocidades de cada uno de los cuerpos, antes y después de la colisión, se mantiene constante. Si se reordenan los sumandos de tal forma que queden en cada miembro las velocidades antes y después, se obtiene:

    $u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})$

Finalmente, de esta última expresión, se obtiene equivalentemente que:

    $-{\frac {v_{1}-v_{2}}{u_{1}-u_{2}}}=1$

Como la hipótesis de partida fue una colisión perfectamente elástica se supone que el valor 1 es indicador de este tipo de choque. Cabe resaltar que un valor inferior a uno permite describir que el balance de velocidades se ha modificado debido a cambios en la ecuación de energías (choque sin fricción). De esta forma las velocidades del choque, permiten definir el coeficiente de restitución como:

   $C_{R}=-{\frac {v_{1}-v_{2}}{u_{1}-u_{2}}}$

Donde cada una de las velocidades se han definido como:

    $v_{\text{1}}$ es la velocidad final del primer objeto tras la colisión
    $v_{\text{2}}$ es la velocidad final del segundo objeto tras la colisión
    $u_{\text{1}}$ es la velocidad inicial del primer objeto antes de la colisión
    $u_{\text{2}}$ es la velocidad inicial del segundo objeto antes de la colisión

Y por lo tanto, $C_{R}$ es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor $0\leq C_{R}<1$ se da en un choque inelástico (o plástico central) donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera.

**Rebote en una dimensión**

Un caso especial de interés resulta cuando el choque se realiza contra un cuerpo fijo (una pared, por ejemplo). En este caso particular la velocidad del segundo cuerpo es nula antes y después del choque por estar en reposo, lo que permite simplificar la expresión del cociente $C_{R}$ como:

   $C_{R}=-{\frac {v_{1}}{u_{1}}}$

Casos especiales de aplicación de esta última expresión se encuentran en cuerpos que rebotan contra paredes, suelos, etc. En el caso particular de un cuerpo que se deja caer desde una altura $h_{o}$, tras chocar contra un suelo sin fricción, se puede estimar el valor de $C_{R}$ conociendo la altura máxima $h_{1}$ tras el primer rebote. Es de suponer que $h_{o}$ ha de ser mayor que $h_{1}$ debido a la pérdida de energía durante el proceso de rebote. Resulta posible conocer $v_{1}$ antes del rebote por ser un fenómeno de caída libre, de tal forma que:

$\ v_{1}={\sqrt {2gh_{o}}}\$

Donde g es la constante de aceleración terrestre. Por otra parte la velocidad tras el rebote se puede deducir de la altura máxima alcanzada $h_{1}$ (considerando despreciable el rozamiento con el aire), de tal forma que

$\ u_{1}=-{\sqrt {2gh_{1}}}\$

Que permite agrupar ambas expresiones de velocidad en la definición anterior, de tal forma que permita expresar el cociente $C_{R}$ como función de alturas entre dos rebotes sucesivos:

   $C_{R}={\sqrt {\frac {h_{1}}{h_{o}}}}$

Esta fórmula se ha empleado en la determinación experimental del coeficiente de restitución.

## Expresiones analíticas

El coeficiente de restitución puede determinarse experimentalmente, en algunos pocos casos bajo ciertas hipótesis analíticas también puede calcularse teóricamente. Los cálculos teóricos prueban que el coeficiente depende de hecho de la velocidad de deformación (aunque frecuentemente este efecto se ignore), además del material del que estén hecho los cuerpos. La hipótesis más común consiste en suponer un material viscoelástico lineal. Para el caso de dos esferas del mismo material viscoelástico el coeficiente de restitución puede expresarse en potencias de la velocidad de aproximación:

   $C_{R}=1-C_{1}\left({\frac {3}{2}}A\right)\left({\frac {\rho }{m_{eff}}}\right)^{2/5}v_{r}^{1/5}+C_{2}\left({\frac {3}{2}}A\right)^{2}\left({\frac {\rho }{m_{eff}}}\right)^{4/5}v_{r}^{2/5}-\dots$

Donde:

    $A={\frac {1}{3}}{\frac {(3\eta _{2}-\eta _{1})^{2}}{3\eta _{2}+2\eta _{1}}}\left[{\frac {(1-2\nu )(1-\nu ^{2})}{E\nu ^{2}}}\right]$
    $\eta _{1},\eta _{2}\,$, constantes viscosas del material.
    $E,\nu \,$, constantes elásticas del material: módulo de Young y coeficiente de Poisson.
    $\rho ={\frac {2E}{3(1-\nu ^{2})}}{\sqrt {R_{eff}}}$
    $m_{eff}=m_{1}m_{2}/(m_{1}+m_{2}),\ R_{eff}=R_{1}R_{2}/(R_{1}+R_{2}),\,$
    $R_{i},m_{i}\,$, radio y masa de la esfera i-ésima.
    $v_{r}=(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})\cdot {\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{\|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\|}}$, velocidad relativa de aproximación.
    $C_{1}={\frac {\sqrt {\pi }}{50^{1/5}}}{\frac {\Gamma (3/5)}{\Gamma (21/10)}}=1,15344,\ C_{2}=0,79826$ constantes calculadas a partir de la ecuación de movimiento:
   ${\begin{cases}{\ddot {\xi }}+{\cfrac {\rho }{m_{eff}}}\left(\xi ^{3/2}+{\cfrac {3}{2}}A{\sqrt {\xi }}{\dot {\xi }}\right)\\\xi (0)=0,{\dot {\xi }}(0)=0\end{cases}}$

donde:

    $\xi =R_{1}+R_{2}-\|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\|$, es la deformación por aplastamiento sufrida por la distancia entre centros de las dos esferas.

## Casos particulares

En el choque de una única partícula contra una superficie plana, es posible aplicar la siguiente fórmula simplificada, que se deduce de las fórmulas anteriores asumiendo que la componente de velocidad paralela a la pared se mantiene constante y toda la fuerza ejercida por la pared es perpendicular a la misma (si el sólido es altamente deformable o existe mucha adherencia esas hipótesis se alejarían de lo que sucede realmente), bajo esas condiciones el coeficiente de restitución es simplemente:

   $C_{R}={\frac {\tan \varphi }{\tan \alpha }}$

En donde $\alpha$ es el ángulo de la velocidad del centro de masas después del choque, y $\varphi$ el ángulo de incidencia (ambos medidos sobre el plano formado por la velocidad paralela al plano y la dirección normal a la superficie plana).

