Norma del supremo
# Norma del supremo

En análisis matemático, la norma del supremo (o también conocida como la norma uniforme) asigna a funciones acotadas de valores complejos $f:S\rightarrow \mathbb {C}$ número no negativo

$\|f\|_{\infty }:=\|f\|_{\infty ,S}:=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|,\,\,x\in S\,\right\}$

(de una forma análoga podemos definir la norma del supremo para funciones a valores reales $f:S\rightarrow \mathbb {R}$ ).

Esta norma es también llamada como la norma de Chebyshev, la norma infinito, la norma sup, o también, cuando el supremo es de hecho un máximo, en tal caso pasa a llamarse la norma del máximo. Uno de sus tantos nombres, la "norma uniforme" proviene del hecho de que la sucesión $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge a $f$ bajo la norma uniforme si y solo si $f_{n}$ converge a $f$ uniformemente.

El matemático Pafnuty Chebyshev fue el primero en estudiar esta norma de manera sistemática (de ahí el nombre de "norma de Chebyshev").

## Definición

Sea $S$ un conjunto cualquiera, definimos el conjunto de las funciones acotadas en $S$, es decir

$C(S):=\left\{f:S\rightarrow \mathbb {C} ,\,\,{\text{ existe }}M\geq 0{\text{ tal que }}|f(x)|\leq M\,\,\forall x\in S\right\}$,

en otras ocasiones este conjunto suele escribirse como $C_{b}(S)$ (la letra $b$ viene por la palabra bounded en inglés que significa acotada), o también en otros casos $\ell ^{\infty }(S)$ o también $\ell _{b}^{\infty }(S)$ (se usa este término en casos que la topología de $S$ tenga una forma específica). No es difícil ver que mediante las operaciones puntuales el conjunto $C(S)$ se transforma en un espacio vectorial.

Si definimos la función $\Vert \cdot \Vert _{\infty }:C(S)\rightarrow [0,+\infty )$ de la forma

$\|f\|_{\infty }:=\|f\|_{\infty ,S}:=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|,\,\,x\in S\,\right\}$

tenemos que el par $\left(C(S),\Vert \cdot \Vert _{\infty }\right)$ se transforma en un espacio vectorial normado, es decir, $\Vert \cdot \Vert _{\infty }$ es una norma. Finalmente a esta función la llamamos como la norma del supremo.

### Norma del supremo para funciones no acotadas

Observe que si la condición de ser acotada es retirada, entonces puede existir $\varphi \in C(S)$ tal que $\Vert \varphi \Vert _{\infty }=+\infty$ . Por lo tanto en este caso la función $\Vert \cdot \Vert _{\infty }$ deja de ser una norma, sin embargo es posible definir una topología de todas formas en el espacio $C(S)$ y

$\Vert \cdot \Vert _{\infty }$ pasa a ser una métrica extendida.

No es difícil encontrar ejemplos en que $\Vert \varphi \Vert _{\infty }=+\infty$. Si consideramos $S:=(0,1)$ entonces definiendo la función $\varphi :S\rightarrow \mathbb {C}$ dada por

$\varphi (x):={\frac {1}{x}}$, para todo $x\in S=(0,1)$

satisface lo que necesitamos.

## Ejemplos

### Caso Real y Complejo

Si consideramos al conjunto $S$ como un conjunto finito, por ejemplo si $S:=\{1,2,\dots ,n\}$ , entonces no es difícil notar que $C(S)=\mathbb {C} ^{n}$ (de una manera análoga podemos construir $\mathbb {R} ^{n}$) y en este caso podemos notar que la norma del supremo toma la forma de la famosa norma del máximo en $\mathbb {C} ^{n}$ (o análogamente en $\mathbb {R} ^{n}$), esto es

$\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right)=\Vert x\Vert _{\text{max}}$.

## ¿Por qué el subíndice infinito?

Sea $\lambda$ la medida de Lebesgue en $\mathbb {R} ^{n}$, entonces definimos la norma p (o también conocida como la p-norma)

$\|f\|_{p}:=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|f\right|^{p}\,d\lambda \right)^{1/p}$,

para toda función $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ tal que $f$ sea $\lambda$-medible (observe que este valor puede ser infinito).

Finalmente, si $f:S\rightarrow \mathbb {C}$ es acotada y existe $q$ tal que $\Vert f\Vert _{q}$ sea finito entonces se tiene que

    $\lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty }$.

Este resultado es generalizable para funciones de tipo $f:D\rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ donde $D$ es un espacio de medida de medida $\mu$ y $f$ es una función $\mu$-medible.

