Polinomio irreducible
# Polinomio irreducible

En teoría de Anillos, dado un dominio de integridad R, un polinomio $p(x)\in R[x]$ no nulo y no unidad (es decir, sin inverso multiplicativo en R[x]) se dice irreducible si en cualquier factorización de la forma $p(x)=q(x)r(x)$ en el dominio $R[x]$, uno de los poliniomios $q(x)$ o $r(x)$ es unidad. Cuando el dominio de integridad en cuestión es un campo, el que $p(x)$ sea un elemento irreducible de $R[x]$ equivale a que este no pueda factorizarse como el producto de dos polinomios de grado menor estricto al suyo. Es decir, si $p=r\cdot q$ entonces ha de ser $r\in R$ o $q\in R$ (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto $\scriptstyle \mathbb {R}$ de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto $\scriptstyle \mathbb {C}$ de los números complejos (también cuerpo), el conjunto $\scriptstyle \mathbb {Q}$ de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto $\scriptstyle \mathbb {Z}$ de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

## Ejemplos

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos:

    $p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)$,
    $p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)$,
    $p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,
    $p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$,
    $p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)$.
* Sobre el anillo $\scriptstyle \mathbb {Z}$ de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
* Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {Q}$ de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
* Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {R}$ de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
* Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {C}$ de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en $\scriptstyle \mathbb {C}$, cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales

    $p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})$
    donde $a_{n}$ es el coeficiente principal del polinomio y $z_{1},\ldots ,z_{n}$ son los ceros de $p(x)$. Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo $\scriptstyle \mathbb {R}$, tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

## Criterios de irreductibilidad

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si $x^{{p^{m-1}} \over {ri}}\not \equiv 1{\pmod {f(x)}}$ cuando p es primo y x es un elemento de orden $p^{m}\in \mathbb {Z} _{p}[x]/f(x)$.

### Polinomios irreducibles de Z[x]

* Un polinomio $\scriptstyle P(x)$ es irreducible sobre $\scriptstyle \mathbb {Z} [X]$, si y sólo si $\scriptstyle Q(x)=P(x+1)$ también es irreducible.
* Trivialmente un polinomio de segundo grado, que no tenga a 1 o -1 como raíz, sólo puede ser reducible si su término independiente no es un número primo: $\scriptstyle P(x)=(ax+b)(cx+d)=(ac)x^{2}+(ad+bc)x+bd$, si $\scriptstyle \{b,d\}\cap \{{+1,-1}\}=\varnothing$, entonces la reducibilidad implica que el término independiente tiene dos divisores no triviales y por tanto no puede ser primo.

### Polinomios irreducibles de R[x]

Los polinomios irreducibles sobre $\scriptstyle \mathbb {R} [X]$ son los binomios y los polinomios $\scriptstyle x^{2}+bx+c$ de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir:

   $\Delta <0;\,\qquad \Delta =b^{2}-4c$
