Triángulo heptagonal
# Triángulo heptagonal

Un triángulo heptagonal es un triángulo escaleno obtuso cuyos vértices coinciden con el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario). Por lo tanto, sus tres lados coinciden con un lado y con las diagonales adyacentes más cortas y más largas de un heptágono regular. Todos los triángulos heptagonales son similares (tienen la misma forma), por lo que se conocen colectivamente como el triángulo heptagonal. Sus ángulos miden $\pi /7,2\pi /7,$ y $4\pi /7,$ y es el único triángulo con ángulos en las relaciones 1: 2: 4. El triángulo heptagonal tiene varias propiedades notables.

## Puntos clave

El centro de nueve puntos del triángulo heptagonal es también su primer punto de Brocard. $^{:Propos.12}$

El segundo punto de Brocard se encuentra en el círculo de nueve puntos. $^{:p.19}$

El circuncentro y los puntos de Fermat de un triángulo heptagonal forman un triángulo equilátero. $^{:Thm.22}$

La distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H viene dada por $^{:p.19}$

    $OH=R{\sqrt {2}},$

donde R es el circunradio. La distancia al cuadrado desde el incentro I al ortocentro es $^{:p.19}$

    $IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}},$

donde r es el inradio.

Las dos tangentes desde el ortocentro hasta el circuncírculo son mutuamente perpendiculares. $^{:p.19}$

## Relaciones de distancias

### Lados

Los lados del triángulo heptagonal a < b < c coinciden respectivamente con el lado del heptágono regular, diagonal más corta y diagonal más larga. Satisfacen que $^{:Lemma1}$

    ${\begin{aligned}a^{2}&=c(c-b),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}$

(la última $^{:p.13}$ es la ecuación óptica) y por lo tanto

    $ab+ac=bc,$

y $^{:Coro.2}$

    $b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,$
    $c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,$
    $a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.$

Por lo tanto, -b/c, c/a y a/b satisfacen la ecuación cúbica

    $t^{3}-2t^{2}-t+1=0.$

La relación entre los lados es

    $b=2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\cdot a,\qquad c=\left(1+2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\right)\cdot a.$

y las raíces de esta ecuación son:

    ${\begin{cases}t_{1}=1-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\\t_{2}=1+2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\\t_{3}=4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)\end{cases}}$

También se tiene que

    ${\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}$

satisface la ecuación cúbica

    $t^{3}+4t^{2}+3t-1=0$

y las raíces de esta ecuación son:

    ${\begin{cases}t_{1}=-1-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\\t_{2}=-1+2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\\t_{3}=4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)-2\end{cases}}$

También se tiene que

    ${\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}$

satisface la ecuación cúbica

    $t^{3}-t^{2}-9t+1=0$

y las raíces de esta ecuación son:

    ${\begin{cases}t_{1}=1-4\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\\t_{2}=1+4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\\t_{3}=8\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)-1\end{cases}}$

Así mismo, los valores

    ${\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}$

satisfacen la ecuación cúbica

    $t^{3}+5t^{2}-8t+1=0$

y las raíces de esta ecuación son:

    ${\begin{cases}t_{1}=-2\left[\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)+2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)+1\right]\\t_{2}=6\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)-2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)-3\\t_{3}=2\left[3\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\right]\end{cases}}$

También se tiene que $^{:p.14}$

    $b^{2}-a^{2}=ac,$
    $c^{2}-b^{2}=ab,$
    $a^{2}-c^{2}=-bc,$

y $^{:p.15}$

    ${\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.$

Por otro lado

    $ab-bc+ca=0,$
    $a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0,$
    $a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0,$
    $a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.$

No hay otro par de números (m, n), tales que m, n > 0 y que m, n <2000, que cumplan

    $a^{m}b^{n}\pm b^{m}c^{n}\pm c^{m}a^{n}=0.$

### Alturas

Las alturas $h_a,$ $h_b$ y $h_c$ satisfacen

    $h_{a}=h_{b}+h_{c}$ $^{:p.13}$

y

    $h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.$ $^{:p.14}$

La altura desde el lado b (ángulo opuesto B) es la mitad de la bisectriz del ángulo interno $w_{A}$ de A: $^{:p.19}$

    $2h_{b}=w_{A}.$

Aquí el ángulo A es el ángulo más pequeño y B es el segundo ángulo más pequeño.

### Bisectrices

Se tienen las siguientes propiedades de las bisectrices $w_{A},w_{B},$ y $w_{C}$ de los ángulos A, B y C respectivamente: $^{:p.16}$

    $w_{A}=b+c,$
    $w_{B}=c-a,$
    $w_{C}=b-a.$

### Circunradio, inradio y exinradios

El área del triángulo es

    $A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},$

donde R es el circunradio del triángulo.

Se tiene que $^{:p.12}$

    $a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}.$

También se tiene que

    $a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}.$
    $a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}.$

La relación ${\frac {r}{R}}=2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)-{\frac {3}{2}}$ del inradio respecto al circunradio es la solución positiva de la ecuación cúbica

    $8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación $2\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)-{\frac {3}{2}}$ y $2\cos \left({\frac {5\pi }{7}}\right)-{\frac {3}{2}}$.

La relación ${\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{R}}=2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)+{\frac {5}{2}}$ de la suma de los exinradios respecto al circunradio es la mayor de las raíces de la ecuación cúbica:

    $8x^{3}-68x^{2}+174x-127=0$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación $2\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)+{\frac {5}{2}}$ y $2\cos \left({\frac {5\pi }{7}}\right)+{\frac {5}{2}}$.

La relación ${\frac {{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}}{R}}=4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)$ de la suma de los inversos de los exinradios respecto al circunradio es la única raíz positiva de la ecuación cúbica:

    $x^{3}+2x^{2}-8x-8=0$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación $4\cos \left({\frac {4\pi }{7}}\right)$ y $4\cos \left({\frac {6\pi }{7}}\right)$.

Además, $^{:p.15}$

    ${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.$

También se tiene que

    ${\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.$
    ${\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.$

En general para todos los enteros n,

    $a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}$

donde

    $g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7$

y

    $g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3).$

Así mismo

    $2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.$

También se tiene que

    $a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},$
    $a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},$
    $a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.$

El exradio $r_a$ correspondiente al lado a es igual al radio de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo heptagonal. $^{:p.15}$

## Triángulo órtico

El triángulo órtico del triángulo heptagonal, con vértices en los pies de las alturas, es similar al triángulo heptagonal, con una relación de similitud de 1: 2. El triángulo heptagonal es el único triángulo obtuso que es similar a su triángulo órtico (el triángulo equilátero es el único agudo con esta propiedad). $^{:pp.12–13}$

## Propiedades trigonométricas

Las diversas identidades trigonométricas asociadas con el triángulo heptagonal incluyen: $^{:pp.13–14}$

    $A={\frac {\pi }{7}},\quad B={\frac {2\pi }{7}},\quad C={\frac {4\pi }{7}}.$
    $\cos A=b/2a,\quad \cos B=c/2b,\quad \cos C=-a/2c,$ $^{:Proposition10}$
    $\cos A\cos B\cos C=-{\frac {1}{8}},$
    $\cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C={\frac {5}{4}},$
    $\cos ^{4}A+\cos ^{4}B+\cos ^{4}C={\frac {13}{16}},$
    $\cot A+\cot B+\cot C={\sqrt {7}},$
    $\cot ^{2}A+\cot ^{2}B+\cot ^{2}C=5,$
    $\csc ^{2}A+\csc ^{2}B+\csc ^{2}C=8,$
    $\csc ^{4}A+\csc ^{4}B+\csc ^{4}C=32,$
    $\sec ^{2}A+\sec ^{2}B+\sec ^{2}C=24,$
    $\sec ^{4}A+\sec ^{4}B+\sec ^{4}C=416,$
    $\operatorname {sen} A\operatorname {sen} B\operatorname {sen} C={\frac {\sqrt {7}}{8}},$
    $\operatorname {sen} ^{2}A\operatorname {sen} ^{2}B\operatorname {sen} ^{2}C={\frac {7}{64}},$
    $\operatorname {sen} ^{2}A+\operatorname {sen} ^{2}B+\operatorname {sen} ^{2}C={\frac {7}{4}},$
    $\operatorname {sen} ^{4}A+\operatorname {sen} ^{4}B+\operatorname {sen} ^{4}C={\frac {21}{16}},$
    $\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C=-{\sqrt {7}},$
    $\tan ^{2}A+\tan ^{2}B+\tan ^{2}C=21.$

La ecuación cúbica

    $64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0$

tiene soluciones $^{:p.14}$ $\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\pi }{7}},\operatorname {sen} ^{2}{\frac {2\pi }{7}},$ y $\operatorname {sen} ^{2}{\frac {4\pi }{7}},$ que son los senos al cuadrado de los ángulos del triángulo.

La solución positiva de la ecuación cúbica

    $x^{3}+x^{2}-2x-1=0$

es igual $2\cos {\frac {2\pi }{7}},$ que es el doble del coseno de uno de los ángulos del triángulo. $^{:p.186–187}$

Sen (2π/7), sen (4π/7) y sen (8π/7) son las raíces de

    $x^{3}-{\frac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\frac {\sqrt {7}}{8}}=0.$

También se tiene que:

    $\operatorname {sen} A-\operatorname {sen} B-\operatorname {sen} C=-{\frac {\sqrt {7}}{2}},$
    $\operatorname {sen} A\operatorname {sen} B-\operatorname {sen} B\operatorname {sen} C+\operatorname {sen} C\operatorname {sen} A=0,$
    $\operatorname {sen} A\operatorname {sen} B\operatorname {sen} C={\frac {\sqrt {7}}{8}}.$
    $-\operatorname {sen} A,\operatorname {sen} B,\operatorname {sen} C{\text{ son las raíces de }}x^{3}-{\frac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\frac {\sqrt {7}}{8}}=0.$

Para un entero n, sea

    $S(n)=(-\operatorname {sen} {A})^{n}+\operatorname {sen} ^{n}{B}+\operatorname {sen} ^{n}{C}.$

Para n = 0, ..., 20,

    $S(n)=3,{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7}{2^{2}}},{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7\cdot 3}{2^{4}}},{\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}},{\frac {7\cdot 5}{2^{5}}},{\frac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}},{\frac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}},{\frac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}},$
    ${\frac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}},{\frac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}},{\frac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}},{\frac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}},{\frac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}},{\frac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}},{\frac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}},{\frac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}.$

Para n = 0, -1,, ..-20,

    $S(n)=3,0,2^{3},-{\frac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}},2^{5},-{\frac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {2^{6}\cdot 17}{7}},-2^{7}{\sqrt {7}},{\frac {2^{9}\cdot 11}{7}},-{\frac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{10}\cdot 29}{7}},-{\frac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}},$
    $-{\frac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{14}\cdot 51}{7}},-{\frac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}},-{\frac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}},-{\frac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}.$
    $-\cos A,\cos B,\cos C{\text{ son las raíces de }}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}=0.$

Para cualquier entero n

    $C(n)=(-\cos {A})^{n}+\cos ^{n}{B}+\cos ^{n}{C}.$

Para n = 0, 1, ... 10,

    $C(n)=3,-{\frac {1}{2}},{\frac {5}{4}},-{\frac {1}{2}},{\frac {13}{16}},-{\frac {1}{2}},{\frac {19}{32}},-{\frac {57}{128}},{\frac {117}{256}},-{\frac {193}{512}},{\frac {185}{512}},...$
    $C(-n)=3,-4,24,-88,416,-1824,8256,-36992,166400,-747520,3359744,...$
    $\tan A,\tan B,\tan C{\text{ son las raíces de }}x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0.$
    $\tan ^{2}A,\tan ^{2}B,\tan ^{2}C{\text{ son las raíces de }}x^{3}-21x^{2}+35x-7=0.$

Para un entero n, sea

    $T(n)=\tan ^{n}{A}+\tan ^{n}{B}+\tan ^{n}{C}.$

Para n = 0, 1, ... 10,

    $T(n)=3,-{\sqrt {7}},7\cdot 3,-31{\sqrt {7}},7\cdot 53,-7\cdot 87{\sqrt {7}},7\cdot 1011,-7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 2771,-7\cdot 32119{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 53189,$
    $T(-n)=3,{\sqrt {7}},5,{\frac {25{\sqrt {7}}}{7}},19,{\frac {103{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {563}{7}},7\cdot 9{\sqrt {7}},{\frac {2421}{7}},{\frac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {10435}{7}},...$

También se tiene que

    $\tan A-4\operatorname {sen} B=-{\sqrt {7}},$
    $\tan B-4\operatorname {sen} C=-{\sqrt {7}},$
    $\tan C+4\operatorname {sen} A=-{\sqrt {7}}.$

Así mismo

    $\cot ^{2}A=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}},$
    $\cot ^{2}B=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}},$
    $\cot ^{2}C=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}.$

También se tiene que

    $\cos A=-{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{3}C,$
    $\cos ^{2}A={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{3}A,$
    $\cot A={\frac {3}{\sqrt {7}}}+{\frac {4}{\sqrt {7}}}\cos B,$
    $\cot ^{2}A=3+{\frac {8}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} A,$
    $\cot A={\sqrt {7}}+{\frac {8}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{2}B,$
    $\csc ^{3}A=-{\frac {6}{\sqrt {7}}}+{\frac {2}{\sqrt {7}}}\tan ^{2}C,$
    $\sec A=2+4\cos C,$
    $\sec A=6-8\operatorname {sen} ^{2}B,$
    $\sec A=4-{\frac {16}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{3}B,$
    $\operatorname {sen} ^{2}A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos B,$
    $\operatorname {sen} ^{3}A=-{\frac {\sqrt {7}}{8}}+{\frac {\sqrt {7}}{4}}\cos B,$

También se tiene que

    $\operatorname {sen} ^{3}B\operatorname {sen} C-\operatorname {sen} ^{3}C\operatorname {sen} A-\operatorname {sen} ^{3}A\operatorname {sen} B=0,$
    $\operatorname {sen} B\operatorname {sen} ^{3}C-\operatorname {sen} C\operatorname {sen} ^{3}A-\operatorname {sen} A\operatorname {sen} ^{3}B={\frac {7}{2^{4}}},$
    $\operatorname {sen} ^{4}B\operatorname {sen} C-\operatorname {sen} ^{4}C\operatorname {sen} A+\operatorname {sen} ^{4}A\operatorname {sen} B=0,$
    $\operatorname {sen} B\operatorname {sen} ^{4}C+\operatorname {sen} C\operatorname {sen} ^{4}A-\operatorname {sen} A\operatorname {sen} ^{4}B={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}},$
    $\operatorname {sen} ^{11}B\operatorname {sen} ^{3}C-\operatorname {sen} ^{11}C\operatorname {sen} ^{3}A-\operatorname {sen} ^{11}A\operatorname {sen} ^{3}B=0,$
    $\operatorname {sen} ^{3}B\operatorname {sen} ^{11}C-\operatorname {sen} ^{3}C\operatorname {sen} ^{11}A-\operatorname {sen} ^{3}A\operatorname {sen} ^{11}B={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}.$

También se cumplen identidades de tipo Ramanujan,

    ${\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {8\pi }{7}})}}=$
    ${\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}$
    ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {8\pi }{7}})}}}=$
    ${\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}$
    ${\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=$
    ${\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}$
    ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=$
    ${\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}$
    ${\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}$
    ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}$
    ${\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}$
    ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}$
    ${\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}=$
    ${\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}$
    ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}}=$
    ${\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}$
    ${\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=$
    ${\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}$
    ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=$
    ${\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}$

También se tiene que

    ${\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{7}}.$
    ${\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=0.$
    ${\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({2\pi }{7}}}+{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({4\pi }{7}}}+{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({8\pi }{7}}}=\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}$
    ${\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{49}}/2.$
    ${\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}=0.$
    ${\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {9\pi }{7}})}}=-3*{\sqrt[{3}]{7}}/2.$
    ${\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}}}}=0.$
    ${\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}}=-61*{\sqrt[{3}]{7}}/8.$
