Función multilineal
# Función multilineal

También llamada aplicación multilineal.

## Definición

Sean $V_{1},\ldots ,V_{n},W\quad \mathbb {K}$-espacios vectoriales, con $\mathbb {K}$ un cuerpo ${\big\mathbb {R}$ o $\mathbb {C} {\big )}$.

* $\mathbf {f} :V_{1}\times \ldots \times V_{n}\longrightarrow W$ será una función multilineal $\Leftrightarrow \forall i{\big |}1\leqslant i\leqslant n,\mathbf {v} _{i},\mathbf {w} _{i}\in V_{i},\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {K}$
* $\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\lambda \mathbf {v} _{i}+\mu \mathbf {w} _{i},\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}=\lambda \mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i},\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}+\mu \mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {w} _{i},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}$

## Propiedad

$\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {0} ,\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}=\mathbf {0}$

* Demostración
* Para $\lambda =\mu =1$
* ${\begin{array}{l}\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {0} ,\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}=\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {0} +\mathbf {0} ,\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}=\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {0} ,\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}+\\\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {0} ,\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}=2\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {0} ,\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}\Rightarrow \\\mathbf {f} {\big\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {0} ,\ldots ,\mathbf {v} _{n}{\big )}=\mathbf {0} \end{array}}$
* como queríamos demostrar.

Para n=1 $\mathbf {f}$ será una aplicación lineal.

* Datos: Q16569887
