Polinomio recíproco
# Polinomio recíproco

En matemáticas, para un polinomio p con coeficientes complejos,

    $p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{n}z^{n}\,\!$

se define el polinomio recíproco, p*

    $p^{*}(z)={\overline {a}}_{n}+{\overline {a}}_{n-1}z+\ldots +{\overline {a}}_{0}z^{n}=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$

donde ${\overline {a}}_{i}$ denota el conjugado complejo de $a_{i}\,\!$.

Un polinomio se dice que es autorrecíproco si $p(z)\equiv p^{*}(z)$.

Si los coeficientes $a_i$ son reales, entonces esto se reduce a $a_i$ = $a_{n−i}.$ En este caso, se dice que p es un polinomio palindrómico.

Si p(z) es el polinomio mínimo de $z_0$ con $|z_0|$ = 1, y p(z) tiene coeficientes reales, entonces p(z) es autorrecíproco. Esto es así porque

    $z_{0}^{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}})}}=z_{0}^{n}{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}{\bar {0}}=0$.

Por tanto, $z_0$ es una raíz del polinomio $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$, que tiene grado n. Sin embargo, el polinomio mínimo es único, por tanto

    $p(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}.$

Una consecuencia de esto es que los polinomios ciclotómicos $\Phi _{n}$ son autorrecíprocos para $n>1$. Este resultado se utiliza en la criba especial del cuerpo de números para permitir que números de la forma $x^{11}\pm 1$, $x^{13}\pm 1$, $x^{15}\pm 1$ y $x^{21}\pm 1$ puedan ser factorizados tomando partido de los factores algebraicos mediante el uso de polinomios de grado 5, 6, 4 y 6 respectivamente. Nótese que el $\phi$ de los exponentes es 10, 12, 8 and 12.

