Constante Du Bois Reymond
# Constante Du Bois Reymond

Las constantes Du Bois Reymond, (Paul David Gustav) $C_{n}$ están definidas por

          $C_{n}\equiv \int _{0}^{\infty }\left|{{d \over dt}\left({\operatorname {sen} t \over t}\right)^{n}}\right|\,dt-1$

Estas constantes pueden también escribirse como:

          $C_{n}=2\sum _{k=1}^{\infty }(1+x_{k}^{2})^{(-n/2)}$

donde $x_{k}$ es la k-ésima raíz de

    $t=\tan(t)$

Además tenemos la siguiente serie

    $\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over x_{k}^{2}}={1 \over 10}$

En el siguiente gráfico se ve la representación de la función

    $\left|{{d \over dt}\left({\operatorname {sen} t \over t}\right)^{n}}\right|$

para los primeros cuatro valores de $n$

La integración numérica de esta función es difícil. Los cuatro primeros valores de estas constantes son:

$C_{1}$ diverge

$C_{2}\approx 0.1945$

$C_{3}\approx 0.028254$

$C_{4}\approx 0.00524054$

Las constantes pares de Bois Reymond pueden ser calculadas analíticamente como polinomios en $e^{2}$.

       $C_{2}={1 \over 2}(e^{2}-7)$
       $C_{4}={1 \over 8}(e^{4}-4e^{2}-25)$
