Función logística generalizada
# Función logística generalizada

La función o curva logística generalizada, también conocida como curva de Richards, desarrollada originalmente para el modelado del crecimiento, es una extensión de las funciones logísticas o sigmoideas, que permite curvas en forma de S más flexibles:

    $Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}$

donde $Y$ = peso, altura, tamaño, etc., y $t$ = tiempo.

Tiene cinco parámetros:

* $A$: la asíntota inferior;
* $K$: la asíntota superior. Si $A=0$ entonces $K$ se llama la capacidad de carga;
* $B$: la tasa de crecimiento;
* $v>0$: afecta cerca de la cual se produce un crecimiento máximo asintótico.
* $Q$: está relacionado con el valor $Y(0)$
* $C$: normalmente toma un valor de 1.

La ecuación también puede ser escrita:

    $Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}$

donde $M$ puede ser pensado como un tiempo de partida, $t_{0}$ (en la que $Y(t_{0})=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}$)

Incluir tanto $Q$ como $M$ puede ser conveniente:

    $Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}$

esta representación simplifica la configuración de un tiempo inicial y el valor de Y en ese momento.

La logística, con una tasa de crecimiento máxima en el momento $M$, es el caso donde $Q=\nu =1$

## Ecuación diferencial logística generalizada

Un caso particular de la función logística generalizada es:

    $Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}$

que es la solución de la ecuación diferencial de Richards (RDE):

    $Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y$

con condición inicial

    $Y(t_{0})=Y_{0}$

donde

    $Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }$

siempre que $v>0$ y $\alpha >0$.

La ecuación diferencial logística clásica es un caso particular de la ecuación anterior, con $v=1$, mientras que la función de Gompertz se puede recuperar en el límite $\nu \rightarrow 0^{+}$ siempre que:

    $\alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)$

De hecho, para los v pequeños es

    $Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)$

La EDR modela muchos fenómenos de crecimiento, incluido el crecimiento de tumores. En oncología, sus principales características biológicas son similares a las del modelo de curva logística.

## Gradiente de función logística generalizada

Al estimar parámetros a partir de datos, a menudo es necesario calcular las derivadas parciales de la función logística con respecto a los parámetros en un punto de datos determinado $t$. Para el caso donde $C=1$,

    ${\begin{aligned}{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\end{aligned}}$
