Álgebra de Lie ortogonal generalizada
# Álgebra de Lie ortogonal generalizada

Un álgebra de Lie ortogonal generalizada es un álgebra de Lie asociada a un grupo ortogonal generalizado. Este tipo de álgebras se caracterizan por dos números enteros n y m de tal manera que para cada par de enteros positivos con m < n se tiene un tipo de álgebra ortogonal generalizada, el álgebra: ${\mathfrak {so}}(n,m)$. La dimensión vectorial de estas álgebras de Lie viene dada por:

   $\dim({\mathfrak {so}}(n,m))={\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}$

Una segunda generalización discutida en este artículo explica como construir las álgebras denominadas ${\mathfrak {so}}(n,m)$ a partir de las anteriores.

## Representación y ejemplos

### Álgebras so(n,m)

Existe una manera obvia de representar álgebras de Lie para valores de n y m en términos de álgebras de dimensionalidad inferior. Por ejemplo:

* ${\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\-V^{t}&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n) y V es un n-vector (columna).
* ${\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\V^{t}&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por supuesto). El álgebra de Lobachevski es ${\mathfrak {so}}$(n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).

### Álgebras so(n,m,l)

La construcción anterior puede generalizarse un poco más mediante la siguiente notación:

    ${\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m, 1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m) y V es un (n+m)-vector. El álgebra euclidiana es ${\mathfrak {so}}$(n, 0, 1)!. El álgebra de Poincaré es ${\mathfrak {so}}$(n, 1, 1). En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio $R^{n+m}$ con SO(n, m) que tiene a ${\mathfrak {so}}$(n, m) como su álgebra de Lie.

Notación Nueva: ${\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m, l+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m, l) y V es un (n+m+l)-vector.

En particular: ${\begin{pmatrix}A&V&X\\0&0&t\\0&0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m,2) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m) y V y X son (n+m)-vectores. El álgebra de Galileo es ${\mathfrak {so}}$(n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).

Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura. El álgebra de Galileo ${\mathfrak {g}}$ es expandida por T, $X_i,$ $V_i$ y $A_{ij}$ (tensor antisimétrico) conforme a:

* $[X_i,$ T] = 0
* $[X_i,$ $X_j]$ = 0
* $[A_{ij},$ T] = 0
* $[V_i,$ $V_j]$ = 0
* $[A_{ij},$ $A_{kl}]$ = $δ_{ik}$ $A_{jl}$ - $δ_{il}$ $A_{jk}$ - $δ_{jk}$ $A_{il}$ + $δ_{jl}$ $A_{ik}$
* $[A_{ij},$ $X_k]$ = $δ_{ik}$ $X_j$ - $δ_{jk}$ $X_i$
* $[A_{ij},$ $V_k]$ = $δ_{ik}$ $V_j$ - $δ_{jk}$ $V_i$
* $[V_i,$ $X_j]$ = 0
* $[V_i,T]=X_i$
