Polinomio ciclotómico
# Polinomio ciclotómico

Se denomina polinomio ciclotómico de orden n y se denota como $Φ_n$ al polinomio unitario cuyas raíces son todas las raíces primitivas de orden n de la unidad, es decir, que verifican $z^n$ = 1, donde z es un número complejo.

Se suele tomar las raíces en el cuerpo de los complejos, (otras extensiones del cuerpo de los reales serían posibles), pero carece de consecuencia sobre los polinomios ciclotómicos, cuyos coeficientes son siempre enteros. El grado de $Φ_n$ es dado por la función φ de Euler, y es lógicamente inferior o igual a n.

Las raíces primitivas son de la forma $ω^r,$ con 0 ≤ r < n, r coprimo con n, y $\scriptstyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{n}}$. Entonces

   $\Phi _{n}=\prod _{_{r}}(X-\omega ^{r})$

## Historia

### Nacimiento de la noción

Carl Friedrich Gauss utiliza en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicado en 1801, los polinomios ciclotómicos. Se hace una importante contribución a un problema abierto desde la antigüedad: la construcción con regla y compás de polígonos regulares. Estos trabajos sirven de referencia a lo largo del siglo. En este trabajo, Gauss determina con precisión la lista de polígonos construibles, y le da un método eficaz para su construcción hasta 256 lados del polígono. Este problema recibe una respuesta final por Pierre- Laurent Wantzel (1814 - 1848) en un artículo en adelante célebre.

Este enfoque es innovador y, en muchos aspectos, prefigura álgebra moderna: Un polinomio ya no aparece como un objeto en sí mismo, sino como parte de un conjunto estructurado. Si el concepto del anillo de polinomios no se formaliza, la estructura euclidiana se encuentra y es la herramienta básica para el análisis de Gauss.

La resolución efectiva de la ecuación de Gauss ciclotómico llevó a considerar una estructura finita: las permutaciones de las raíces. Ahora se llaman periodo de Gauss. Sus propiedades algebraicas se utilizan para encontrar la solución. Este enfoque prevé el uso de la teoría de grupos en el álgebra y la teoría de Galois.

Las nuevas estructuras se definen a continuación. La división euclidiana introduce la noción de residuo y su conjunto tiene propiedades algebraicas fuertes. Tal estructura ahora se considera un caso especial de la finita si el divisor es un número primo. Gauss resalta tales conjuntos y utiliza el transporte de estructura para morfismos entre dos anillos para mostrar la irreductibilidad de polinomios ciclotómicos. En el mismo libro, él utiliza estas estructuras para resolver otro problema abordado por Fermat (1601 - 1685) y formalizado por Euler (1707 - 1783): la ley de reciprocidad cuadrática.

Por este tiempo, se proponen muchas aplicaciones. La utilización de la geometría no se limita a la construcción con la regla y el compás. El polinomio ciclotómico de índice cuatro permite la construcción de un nuevo conjunto de números algebraicos: los enteros de Gauss. Surge la teoría de números algebraicos, que simplifica la resolución de ecuaciones diofánticas y permite resolver nuevos problemas.

### Ecuación polinómica y algebraica ciclotómicos

La búsqueda de soluciones a la ecuación polinómica es un problema que se remonta a los primeros desarrollos en polinomios por los matemáticos árabes. Aunque en general se cita a Al-Juarismi (783-850) como precursor con la resolución de seis ecuaciones canónicas, a Girolamo Cardano (1501-1576) para la resolución del caso de grado tres y a Ludovico Ferrari (1522-1565) para el cuarto. El caso general continuó siendo durante mucho tiempo misterioso. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) afirmó que la resolución de este problema general estaba íntimamente relacionado con las propiedades de las permutaciones de raíces. El caso especial de los polinomios ciclotómicos lo muestra. El grupo de permutaciones buenas, ahora llamado grupo de Galois, no solo es conmutativo sino que además es cíclico. Esta propiedad, que se utiliza en torno al concepto de períodos de Gauss, permite una eficaz solución para este caso particular. Un análisis más profundo abordado posteriormente por Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Henrik Abel (1802-1829) y sobre todo por Evariste Galois (1811-1832) muestra que el aspecto conmutativo del grupo es, de hecho, una condición suficiente. Para ser precisos, la situación indica que el grupo debe ser dividido en una serie de grupos conmutativos anidados. La pregunta natural que surge es determinar las extensiones del cuerpo de los números racionales cuyo grupo de Galois es conmutativo. Estas extensiones se llaman extensiones abelianas. La estructura del cuerpo asociado con el polinomio ciclotómico extensión llamado ciclotómico, es un ejemplo. Que sea única significa que toda ecuación algebraica resoluble por radicales se reduce de una manera u otra a un polinomio ciclotómico. La respuesta es que toda extensión abeliana del cuerpo de los racionales es un subcuerpo de una extensión ciclotómica. La prueba de este resultado ha necesitado casi medio siglo de esfuerzo para terminar de ser demostrada. Los principales científicos que intervinieron en dicha demostración fueron Leopold Kronecker (1823-1891) y Heinrich Weber (1842-1913).

Si el análisis de las extensiones abelianas finitas termina con el siglo XIX, se deja abierta una amplia gama de cuestiones, por ejemplo en aritmética. Parece necesario generalizar la noción de cuerpo ciclotómico sobre extensiones infinitas. La cuestión la planteó David Hilbert (1862-1943). Esta investigación se llama la teoría de las clases de cuerpo. La teoría correspondiente es uno de los campos de la matemática más exitosos durante el siglo XX. Se puede citar por ejemplo el teorema de reciprocidad de Emil Artin (1898-1962) que resuelve el noveno de los problemas de Hilbert, o más recientemente, dos laureados con la medalla Fields por sus trabajos sobre generalizaciones de la teoría: Vladimir Drinfeld en 1990 o Laurent Lafforgue en 2002.

## Propiedades

* El grado del n-ésimo polinomio ciclotómico viene dado por la función φ de Euler: $\varphi (m)=\#\{n\in \mathbb {N} |n\leq m\land \mathrm {mcd} (m,n)=1\}$.

En particular, siempre será menor o igual a n.

* $\forall n\geq 1$, el polinomio ciclotómico $\Phi _{n}(X)$ es de coeficientes enteros, es decir, $\Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]$.
* $\forall n\geq 1$, el polinomio ciclotómico $\Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]$, es irreducible en $\mathbb {Z} [X]$ y en $\mathbb {Q} [X]$.
* $\forall p>1,$ p primo, $\forall n\in \mathbb {N}$ tal que p no divide n, y $\forall r\geq 1$, se tiene: $\Phi _{np^{r}}(X)=\Phi _{np}(X^{p^{r-1}}).$
* $\forall n\geq 3,$ n impar, se tiene: $\Phi _{2n}(X)=\Phi _{n}(-X).$
* $\forall p$ primo y $\forall n\in \mathbb {N}$ tal que p no divide n, se tiene: $\Phi _{np}(X)={\frac {\Phi _{n}(X^{p})}{\Phi _{n}(X)}}.$

## Cálculo de los polinomios ciclotómicos

El polinomio $X^{n}-1$ tiene por raíces todas las raíces n-ésimas de la unidad y toda raíz n-ésima de la unidad es raíz d-ésima primitiva para algún divisor d de n; de la misma manera, las raíces de $\Phi _{d}(X)$, para d divisor de n también son raíces de $X^{n}-1$. Se deduce pues la siguiente igualdad:

   $X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(X).$

Mediante esta última, encontramos una primera manera recursiva de calcular los polinomios ciclotómicos:

   $\Phi _{n}(X)={\frac {X^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{_{d<n}}}\Phi _{d}(X)}}.$

Si queremos calcular el polinomio ciclotómico p-ésimo, donde p es un número primo, como p no es divisible por ningún número menor que él distinto de 1, todas las raíces de la unidad exceptuando el uno son raíces primitivas, por tanto:

   $\Phi _{p}=\prod _{_{\zeta }}(X-\zeta )={\frac {X^{p}-1}{X-1}}=1+X+X^{2}+...+X^{p-1}.$

Utilizando la función de Möbius, se obtiene otra manera no recursiva de calcular los polinomios ciclotómicos:

   $\Phi _{n}(X)=\prod _{d|n}(X^{d}-1)^{\mu (n/d)}=\prod _{d|n}(X^{n/d}-1)^{\mu (d)}.$

## Ejemplos

Calculemos los polinomios ciclotómicos de orden 2 y 3, al ser ambos números primos su cálculo es inmediato:

    $\Phi _{2}={\frac {X^{2}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{2}-1}{X-1}}=X+1$
    $\Phi _{3}={\frac {X^{3}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{3}-1}{X-1}}=X^{2}+X+1$

Ahora mediante las fórmulas anteriores y teniendo en cuenta que $\Phi _{1}=X-1$, calculamos los polinomios de orden mayor:

    $\Phi _{4}={\frac {X^{4}-1}{\Phi _{1}\Phi _{2}}}={\frac {X^{4}-1}{X^{2}-1}}=X^{2}+1$
    $\Phi _{5}={\frac {X^{5}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{5}-1}{X-1}}=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$
    $\Phi _{6}={\frac {X^{6}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{3})\Phi _{2}}}={\frac {X^{6}-1}{(X^{3}-1)(X+1)}}={\frac {X^{3}+1}{X+1}}=X^{2}-X+1$
    $\Phi _{7}={\frac {X^{7}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{7}-1}{X-1}}=X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$
    $\Phi _{8}={\frac {X^{8}-1}{\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{4}}}={\frac {X^{8}-1}{X^{4}-1}}=X^{4}+1$
    $\Phi _{9}={\frac {X^{9}-1}{\Phi _{1}\Phi _{3}}}={\frac {X^{9}-1}{X^{3}-1}}=X^{6}+X^{3}+1$
    $\Phi _{10}={\frac {X^{10}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{5})\Phi _{2}}}={\frac {X^{10}-1}{(X^{5}-1)(X+1)}}={\frac {X^{5}+1}{X+1}}=X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1$
    $\Phi _{11}={\frac {X^{11}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{11}-1}{X-1}}=X^{10}+X^{9}+X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$
    $\Phi _{12}={\frac {X^{12}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{3}\Phi _{6})\Phi _{4}}}={\frac {X^{12}-1}{(X^{6}-1)(X^{2}+1)}}={\frac {X^{6}+1}{X^{2}+1}}=X^{4}-X^{2}+1$
    $\Phi _{13}={\frac {X^{13}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{13}-1}{X-1}}=X^{12}+X^{11}+X^{10}+X^{9}+X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$
    $\Phi _{14}={\frac {X^{14}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{7})\Phi _{2}}}={\frac {X^{14}-1}{(X^{7}-1)(X+1)}}={\frac {X^{7}+1}{X+1}}=X^{6}-X^{5}+X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1$
    $\Phi _{15}={\frac {X^{15}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{5})\Phi _{3}}}={\frac {X^{15}-1}{(X^{5}-1)(X^{2}+X+1)}}={\frac {X^{10}+X^{5}+1}{X^{2}+X+1}}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1$
    $\Phi _{16}={\frac {X^{16}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{2})\Phi _{4}\Phi _{8}}}={\frac {X^{16}-1}{(X^{2}-1)(X^{2}+1)(X^{4}+1)}}=X^{8}+1$
    $\Phi _{17}={\frac {X^{17}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{17}-1}{X-1}}=X^{16}+X^{15}+X^{14}+X^{13}+X^{12}+X^{11}+X^{10}+X^{9}+X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$

Calculemos ahora algunos polinomios ciclotómicos usando la función de Möbius

    $\Phi _{4}={\frac {X^{4}-1}{X^{2}-1}}=X^{2}+1$
    $\Phi _{6}={\frac {(X^{6}-1)(X-1)}{(X^{3}-1)(X^{2}-1)}}=X^{2}-X+1$
    $\Phi _{8}={\frac {X^{8}-1}{X^{4}-1}}=X^{4}+1$
    $\Phi _{10}={\frac {(X^{10}-1)(X-1)}{(X^{5}-1)(X^{2}-1)}}=X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1$
    $\Phi _{12}={\frac {(X^{12}-1)(X^{2}-1)}{(X^{6}-1)(X^{4}-1)}}=X^{4}-X^{2}+1$

## Ejemplos gráficos

En la imagen tenemos por un lado las raíces duodécimas de la unidad de $\mathbb {C}$ y las raíces séptimas por otro. De esta manera:

* si n=12: las raíces primitivas son las $\zeta ^{k}$, con k=1,5,7,11 ya que solo para estos valores de k tenemos: mcd(12,k)=1.
* si n=7: las raíces primitivas son las $\zeta ^{k}$, con k=1,2,3,4,5,6 ya que 7 és un número primo y por lo tanto todos los k cumplen: mcd(7,k)=1.

## Cuerpos ciclotómicos

Una de las aplicaciones de los polinomios ciclotómicos es en el contexto del álgebra, cuando se usa para construir cuerpos ciclotómicos. Sean K un cuerpo algebraicamente cerrado y k un subcuerpo de éste. Consideremos $f(X)\in k[X]$ un polinomio irreducible y $\theta \in K$ una raíz de $f(X)$. Resulta que $k(\theta )\simeq k[X]/(f(X))$ de manera que $[k(\theta ):k]=\operatorname {gr} (f(X))$, es decir, el grado del polinomio $f(X)$ será el grado de extensión $k(\theta )$ sobre k que es el mínimo cuerpo que contiene k y $\theta$.

Consideremos ahora, $\zeta$ una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Entonces tendremos que $[\mathbf {Q} (\zeta ):\mathbf {Q} ]=\operatorname {gr} (\Phi _{n}(X))=\varphi (n)$, y, como en la generalización, tendremos que el grado de la extensión del cuerpo de los racionales junto a la raíz primitiva n-ésima será el grado del polinomio ciclotómico n-ésimo.

Por otro lado, también es importante remarcar el resultado siguiente: Sean $m,n\geq 1$ números naturales primos entre sí. Entonces, el producto de las dos raíces primitivas $\zeta _{n}\zeta _{m}$ es una raíz mn-ésima primitiva de la unidad y se satisfacen las igualdades: $\mathbf {Q} (\zeta _{m},\zeta _{n})=\mathbf {Q} (\zeta _{m}\zeta _{n})$ y $\mathbf {Q} (\zeta _{m})\cap \mathbf {Q} (\zeta _{n})=\mathbf {Q}$.

