Teorema de Cartan-Kähler
# Teorema de Cartan-Kähler

En matemáticas, el teorema de Cartan-Kähler es un resultado importante sobre las condiciones de integrabilidad de los sistemas diferenciales, en el caso de las funciones analíticas, para ideales diferenciales $I$. La ecuación fue introducida por primera vez por Élie Cartan y Erich Kähler, razón por la cual lleva su nombre.

## Significado

No es cierto que el mero hecho de tener $dI$ contenida en $I$ sea suficiente para la integrabilidad. Hay un problema causado por «soluciones singulares». El teorema calcula ciertas constantes que deben satisfacer una desigualdad para que haya una solución.

## Declaración del teorema

Dejemos que $(M,I)$ sea un verdadero EDS analítico. Supongamos que $P\subseteq M$ está conectado,$k$-dimensional, analítico real y múltiple integral regular de $I$ con $r(P)\geq 0$ (es decir, los espacios tangentes $T_{p}P$ son "extensibles" a elementos integrales de dimensiones superiores).

Además, supongamos que existe un submúltiple analítico real $R\subseteq M$ de codimensión $r(P)$ que contiene $P$ y que $T_{p}R\cap H(T_{p}P)$ tiene dimensión $k+1$ para todas las $p\in P$.

Entonces existe un (localmente) único, conectado, $(k+1)$-dimensional integral múltiple analítica real y dimensional $X\subseteq M$ de $I$ que satisface $P\subseteq X\subseteq R$.

## Prueba y suposiciones

El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya se utiliza en la prueba, por lo que es necesaria la analítica.

## Bibliografía

* Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, vol. 4, (1977) Chapt. XVIII.13
* R. Bryant, S. S. Chern, R. Gardner, H. Goldschmidt, P. Griffiths, Exterior Differential Systems, Springer Verlag, New York, 1991.
