Constante de Conway
# Constante de Conway

La constante de Conway es una constante matemática relacionada con la secuencia mira-y-di, una sucesión matemática en la que cada nuevo número se genera leyendo en voz alta la cantidad de dígitos iguales consecutivos del número anterior. La constante de Conway es la tasa de crecimiento del número de cifras de la sucesión mira-y-di, también conocida como desintegración audioactiva (en inglés audioactive decay) o Look-and-Say ("Mira y di"). Por ejemplo, si $x_{0}=1$ ("un uno"), los siguientes términos serán:

    $x_{1}=11$ ("dos unos --> 21")
    $x_{2}=21$ ("un dos, un uno --> 1211")
    $x_{3}=1211$ ("un uno, un dos, dos unos --> 111221")
    $x_{4}=111221$ ("tres unos, dos doses, un uno --> 312211")
    $x_{5}=312211$ ("un tres, un uno, dos doses, dos unos --> 13112221")
    etc.

El proceso es similar al empleado en el sistema de compresión Run-length encoding.

Independientemente del término inicial $x_{o}$ elegido (con la única salvedad del 22), la sucesión diverge y la razón entre el número de cifras de $x_{n}$ y $x_{n-1}$ tiende a un valor fijo que es la constante de Conway, $\lambda \approx 1,\!303577269$. Esta constante es un número irracional algebraico, y de hecho es la única solución real positiva de la siguiente ecuación polinómica de grado 71:

    $x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+$
    $2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-$
    $7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-$
    $3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-$
    $7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-$
    $2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0$

Al tomar 22 ("dos doses") como término inicial, la sucesión es degenerada porque todos los términos siguientes volverán a ser 22.

## «Desintegración audioactiva»

John Conway calificó esta sucesión de «desintegración audioactiva» (audioactive decay), un juego de palabras sobre la desintegración radiactiva, poniendo énfasis en el comportamiento de los términos de la sucesión. Conway mostró que, a partir de un determinado punto, casi todos los términos de la sucesión pueden descomponerse en 92 subtérminos, a los que llamó elementos, por analogía con los elementos químicos. Estos elementos funcionan como entidades independientes, no interactúan con los demás dígitos del término y se descomponen en otro u otros elementos en el siguiente término de la sucesión.

Por ejemplo, el elemento más simple, llamado hidrógeno, es la secuencia estable $22$. El manganeso, $3113322112$, da lugar a $132123222112$, que a su vez se descompone en los elementos prometio ($132$) y sodio ($123222112$).

La lista de elementos está confeccionada de tal manera que, empezando por el último elemento, el uranio ($3$), cada uno de los elementos anteriores hace su aparición a lo largo de sucesivas iteraciones hasta llegar al primero, el hidrógeno, al cabo de 91 iteraciones.

| Z | Elemento | Proviene de | Se descompone en | Desarrollo | Longitud |
| - | - | - | - | - | - |
| 1 | Hidrógeno | 7 elementos: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta | 1 elemento: H (estable) | 22 | 2 |
| 2 | Helio | 1 elemento: Li | 5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, Li | 13112221133211322112211213322112 | 32 |
| 3 | Litio | 2 elementos: He, Be | 1 elemento: He | 312211322212221121123222112 | 27 |
| 4 | Berilio | 1 elemento: B | 3 elementos: Ge, Ca, Li | 111312211312113221133211322112211213322112 | 42 |
| 5 | Boro | 1 elemento: C | 1 elemento: Be | 1321132122211322212221121123222112 | 34 |
| 6 | Carbono | 1 elemento: N | 1 elemento: B | 3113112211322112211213322112 | 28 |
| 7 | Nitrógeno | 1 elemento: O | 1 elemento: C | 111312212221121123222112 | 24 |
| 8 | Oxígeno | 1 elemento: F | 1 elemento: N | 132112211213322112 | 18 |
| 9 | Flúor | 1 elemento: Ne | 1 elemento: O | 31121123222112 | 14 |
| 10 | Neón | 1 elemento: Na | 1 elemento: F | 111213322112 | 12 |
| 11 | Sodio | 2 elementos: Mg, As | 1 elemento: Ne | 123222112 | 9 |
| 12 | Magnesio | 1 elemento: Al | 2 elementos: Pm, Na | 3113322112 | 10 |
| 13 | Aluminio | 1 elemento: Si | 1 elemento: Mg | 1113222112 | 10 |
| 14 | Silicio | 2 elementos: P, Mn | 1 elemento: Al | 1322112 | 7 |
| 15 | Fósforo | 1 elemento: S | 2 elementos: Ho, Si | 311311222112 | 12 |
| 16 | Azufre | 1 elemento: Cl | 1 elemento: P | 1113122112 | 10 |
| 17 | Cloro | 1 elemento: Ar | 1 elemento: S | 132112 | 6 |
| 18 | Argón | 1 elemento: K | 1 elemento: Cl | 3112 | 4 |
| 19 | Potasio | 1 elemento: Ca | 1 elemento: Ar | 1112 | 4 |
| 20 | Calcio | 13 elementos: He, Be, Sc, Ga (2 veces), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re | 1 elemento: K | 12 | 2 |
| 21 | Escandio | 1 elemento: Ti | 5 elementos: Ho, Pa, H, Ca, Co | 3113112221133112 | 16 |
| 22 | Titanio | 1 elemento: V | 1 elemento: Sc | 11131221131112 | 14 |
| 23 | Vanadio | 1 elemento: Cr | 1 elemento: Ti | 13211312 | 8 |
| 24 | Cromo | 1 elemento: Mn | 1 elemento: V | 31132 | 5 |
| 25 | Manganeso | 1 elemento: Fe | 2 elementos: Cr, Si | 111311222112 | 12 |
| 26 | Hierro | 1 elemento: Co | 1 elemento: Mn | 13122112 | 8 |
| 27 | Cobalto | 5 elementos: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd | 1 elemento: Fe | 32112 | 5 |
| 28 | Níquel | 1 elemento: Cu | 2 elementos: Zn, Co | 11133112 | 8 |
| 29 | Cobre | 1 elemento: Zn | 1 elemento: Ni | 131112 | 6 |
| 30 | Zinc | 3 elementos: Ni, Ga, Sm | 1 elemento: Cu | 312 | 3 |
| 31 | Galio | 1 elemento: Ge | 6 elementos: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn | 13221133122211332 | 17 |
| 32 | Germanio | 3 elementos: Be, As, Re | 2 elementos: Ho, Ga | 31131122211311122113222 | 23 |
| 33 | Arsénico | 1 elemento: Se | 2 elementos: Ge, Na | 11131221131211322113322112 | 26 |
| 34 | Selenio | 1 elemento: Br | 1 elemento: As | 13211321222113222112 | 20 |
| 35 | Bromo | 1 elemento: Kr | 1 elemento: Se | 3113112211322112 | 16 |
| 36 | Kriptón | 1 elemento: Rb | 1 elemento: Br | 11131221222112 | 14 |
| 37 | Rubidio | 1 elemento: Sr | 1 elemento: Kr | 1321122112 | 10 |
| 38 | Estroncio | 1 elemento: Y | 1 elemento: Rb | 3112112 | 7 |
| 39 | Itrio | 1 elemento: Zr | 2 elementos: Sr, U | 1112133 | 7 |
| 40 | Zirconio | 1 elemento: Nb | 4 elementos: Y, H, Ca, Tc | 12322211331222113112211 | 23 |
| 41 | Niobio | 1 elemento: Mo | 2 elementos: Er, Zr | 11131221133221131112211312221 | 29 |
| 42 | Molibdeno | 1 elemento: Tc | 1 elemento: Nb | 13211322211312113211 | 20 |
| 43 | Tecnecio | 2 elementos: Zr, Ru | 1 elemento: Mo | 311322113212221 | 15 |
| 44 | Rutenio | 1 elemento: Rh | 3 elementos: Eu, Ca, Tc | 132211331222113112211 | 21 |
| 45 | Rodio | 1 elemento: Pd | 2 elementos: Ho, Ru | 311311222113111221131221 | 24 |
| 46 | Paladio | 1 elemento: Ag | 1 elemento: Rh | 111312211312113211 | 18 |
| 47 | Plata | 1 elemento: Cd | 1 elemento: Pd | 132113212221 | 12 |
| 48 | Cadmio | 1 elemento: In | 1 elemento: Ag | 3113112211 | 10 |
| 49 | Indio | 1 elemento: Sn | 1 elemento: Cd | 11131221 | 8 |
| 50 | Estaño | 1 elemento: Sb | 1 elemento: In | 13211 | 5 |
| 51 | Antimonio | 1 elemento: Te | 2 elementos: Pm, Sn | 3112221 | 7 |
| 52 | Telurio | 1 elemento: I | 3 elementos: Eu, Ca, Sb | 1322113312211 | 13 |
| 53 | Yodo | 1 elemento: Xe | 2 elementos: Ho, Te | 311311222113111221 | 18 |
| 54 | Xenón | 1 elemento: Cs | 1 elemento: I | 11131221131211 | 14 |
| 55 | Cesio | 1 elemento: Ba | 1 elemento: Xe | 13211321 | 8 |
| 56 | Bario | 1 elemento: La | 1 elemento: Cs | 311311 | 6 |
| 57 | Lantano | 1 elemento: Ce | 1 elemento: Ba | 11131 | 5 |
| 58 | Cerio | 1 elemento: Pr | 4 elementos: La, H, Ca, Co | 1321133112 | 10 |
| 59 | Praseodimio | 1 elemento: Nd | 1 elemento: Ce | 31131112 | 8 |
| 60 | Neodimio | 1 elemento: Pm | 1 elemento: Pr | 111312 | 6 |
| 61 | Prometio | 5 elementos: Mg, Sb, Sm, Er, Bi | 1 elemento: Nd | 132 | 3 |
| 62 | Samario | 1 elemento: Eu | 3 elementos: Pm, Ca, Zn | 311332 | 6 |
| 63 | Europio | 4 elementos: Ga, Ru, Te, Gd | 1 elemento: Sm | 1113222 | 7 |
| 64 | Gadolinio | 1 elemento: Tb | 3 elementos: Eu, Ca, Co | 13221133112 | 11 |
| 65 | Terbio | 1 elemento: Dy | 2 elementos: Ho, Gd | 3113112221131112 | 16 |
| 66 | Disprosio | 1 elemento: Ho | 1 elemento: Tb | 111312211312 | 12 |
| 67 | Holmio | 8 elementos: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn | 1 elemento: Dy | 1321132 | 7 |
| 68 | Erbio | 2 elementos: Nb, Tm | 2 elementos: Ho, Pm | 311311222 | 9 |
| 69 | Tulio | 1 elemento: Yb | 3 elementos: Er, Ca, Co | 11131221133112 | 14 |
| 70 | Ytterbio | 1 elemento: Lu | 1 elemento: Tm | 1321131112 | 10 |
| 71 | Lutecio | 1 elemento: Hf | 1 elemento: Yb | 311312 | 6 |
| 72 | Hafnio | 2 elementos: He, Ta | 1 elemento: Lu | 11132 | 5 |
| 73 | Tántalo | 1 elemento: W | 5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, W | 13112221133211322112211213322113 | 32 |
| 74 | Wolframio | 2 elementos: Ta, Re | 1 elemento: Ta | 312211322212221121123222113 | 27 |
| 75 | Renio | 1 elemento: Os | 3 elementos: Ge, Ca, W | 111312211312113221133211322112211213322113 | 42 |
| 76 | Osmio | 1 elemento: Ir | 1 elemento: Re | 1321132122211322212221121123222113 | 34 |
| 77 | Iridio | 1 elemento: Pt | 1 elemento: Os | 3113112211322112211213322113 | 28 |
| 78 | Platino | 1 elemento: Au | 1 elemento: Ir | 111312212221121123222113 | 24 |
| 79 | Oro | 1 elemento: Hg | 1 elemento: Pt | 132112211213322113 | 18 |
| 80 | Mercurio | 1 elemento: Tl | 1 elemento: Au | 31121123222113 | 14 |
| 81 | Talio | 1 elemento: Pb | 1 elemento: Hg | 111213322113 | 12 |
| 82 | Plomo | 1 elemento: Bi | 1 elemento: Tl | 123222113 | 9 |
| 83 | Bismuto | 1 elemento: Po | 2 elementos: Pm, Pb | 3113322113 | 10 |
| 84 | Polonio | 1 elemento: At | 1 elemento: Bi | 1113222113 | 10 |
| 85 | Ástato | 1 elemento: Rn | 1 elemento: Po | 1322113 | 7 |
| 86 | Radón | 1 elemento: Fr | 2 elementos: Ho, At | 311311222113 | 12 |
| 87 | Francio | 1 elemento: Ra | 1 elemento: Rn | 1113122113 | 10 |
| 88 | Radio | 1 elemento: Ac | 1 elemento: Fr | 132113 | 6 |
| 89 | Actinio | 2 elementos: Ga, Th | 1 elemento: Ra | 3113 | 4 |
| 90 | Torio | 1 elemento: Pa | 1 elemento: Ac | 1113 | 4 |
| 91 | Protactinio | 4 elementos: He, Sc, Ta, U | 1 elemento: Th | 13 | 2 |
| 92 | Uranio | 1 elemento: Y | 1 elemento: Pa | 3 | 1 |
