K-teoría
# K-teoría

La teoría K o K-teoría es una teoría inicialmente desarrollada para estudiar sistemáticamente el estudio de haces coherentes en variedades algebraicas y los fibrados vectoriales en variedades diferenciales.

## Definiciones

Sea X un espacio topológico compacto y Vect(X,C,n) el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados complejos de rango n sobre X, este conjunto tiene la estructura de un monoide abeliano con la suma de Whitney de fibrados vectoriales. Análogamente, Vect(X,R,n) para fibrados reales. Las sumas directas para cada $n\geq 0$ dan lugar a los monoides abelianos de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales

$Vect(X,\mathbb {C} )=\oplus _{n\geq 0}Vect(X,\mathbb {C} ,n),\qquad Vect(X,\mathbb {R} )=\oplus _{n\geq 0}Vect(X,\mathbb {R} ,n).$

La teoría K compleja K(X) asociada a X se define como el grupo de Grothendieck asociado al primer monoide, mientras que la teoría K real KO(X) asociada a X es la compleción del segundo monoide. Los elementos de la teoría K son fibrados virtuales.

La teoría K real se llama también ortogonal. El origen de la denominación es la palabra klasse, refiriéndose al concepto de clase en alemán.

El producto tensorial de fibrados vectoriales dota a K(X) y KO(X) de la estructura de anillo conmutativo. Alternativamente, Vect(X,C,n) es un semi-anillo respecto el producto tensorial y la compleción de Grothendieck da lugar a este mismo anillo. Si $f:X\longrightarrow Y$ es una aplicación continua entre espacios topológicos, el pull-back de fibrados vectoriales por f induce morfismos de anillos

$f^{*}:K(Y)\longrightarrow K(X),\qquad f^{*}:KO(Y)\longrightarrow KO(X).$

Se puede comprobar que dos aplicaciones $f\simeq g:X\longrightarrow Y$ homotópicas inducen el mismo morfismo $f^{*}=g^{*}$. Estas propiedades se pueden sintetizar diciendo que las asignaciones

$X\longmapsto K(X),\qquad X\longmapsto KO(X)$

definen functores contravariantes de la categoría de espacios topológicas con morfismos clases de homotopía de aplicaciones a la categoría de anillos y morfismos de anillos.

## Teoría K reducida

La teoría-K compleja y real de un punto X=pt. es isomorfa a los enteros Z, el isomorfismo dado por el rango. Dado un punto $x\in X$ se induce un morfismo de K(X) a Z y se define la K-teoría reducida de un espacio X como

${\widetilde {K}}(X):=\ker\{K(X)\longrightarrow \mathbb {Z} \}$

Nótese que la teoría-K reducida de X es un ideal de la K-teoría de X y dado que no es isomorfo al anillo total no contiene la identidad, el fibrado de línea trivial. Además, se tiene

$K(X)\cong {\widetilde {K}}(X)\times \mathbb {Z}$

## Ejemplos

En $KO(\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n})$ el fibrado tangente del espacio proyectivo real satisface la ecuación

$[T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}]+[\varepsilon ]=(n+1)[\gamma _{1}^{*}]$

con $\gamma _{1}$ denota el fibrado tautológico y $[\varepsilon ]$ denota la clase del fibrado trivial de rango 1. En efecto, la aplicación enviando la recta definida por un vector tangente a una recta del espacio ortogonal define un isomorfismo

$T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\cong Hom(\gamma _{1},\gamma _{1}^{\perp })$

La igualdad en K-teoría se deduce del hecho que $Hom(\gamma _{1},\gamma _{1})$ tiene una sección global, la identidad, y luego es trivial:

$T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\oplus \varepsilon \cong Hom(\gamma _{1},\gamma _{1}^{\perp })\oplus Hom(\gamma _{1},\gamma _{1})\cong Hom(\gamma _{1},\gamma _{1}\oplus \gamma _{1}^{\perp })\cong Hom(\gamma _{1},\varepsilon ^{n+1})\cong \oplus ^{n+1}\gamma _{1}^{*}$

Análogamente en $K(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})$ se tiene

$[T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}]+[\varepsilon ]=(n+1)[\gamma _{1}^{*}]$

Un ejemplo fundamental en la teoría es el cálculo de ${\widetilde {K}}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$.

## Estabilidad

Sean E,F fibrados vectoriales sobre X, E y F son establemente isomorfos si existen dos naturales n,m tales que

$E\oplus \varepsilon ^{n}\cong F\oplus \varepsilon ^{m}$

Si se requiere adicionalmente n=m se dice que los fibrados son estrictamente establemente isomorfos. Por ejemplo, $T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ y $\oplus ^{n+1}\gamma _{1}^{*}$ son establemente isomorfos, no estrictamente.

Entonces el resultado que da sentido geométrico a la teoría-K es el siguiente

Teorema: Existe un isomorfismo de grupos entre el grupo de clases de isomorfismos estables de fibrados sobre X y la K-teoría reducida de X.

El hecho topológico esencial para demostrar el teorema es la existencia de un fibrado ortogonal trivializante. De forma precisa, dado un fibrado $E\in Vect(X,\mathbb {C} ,n)$ existe un fibrado E' tal que

$E\oplus E'\cong \varepsilon ^{s}\in \mathbb {N}$

para algún natural s. Esto permite escribir un fibrado virtual como diferencia de una clase de fibrado en Vect(X,C,n) y un múltiplo de la clase trivial. El isomorfismo viene dado por esta asociación, enviando E a la diferencia de E y el rango. La palabra estable en este contexto no tiene relación con la estabilidad de fibrados definida por la condición GIT.

## Esferas

En esta sección estudiamos la teoría-K reducida de una esfera $S^{k}$. Teniendo en cuenta que las esferas se obtienen por suspensión de una esfera de dimensión inferior, $S^{k}=\Sigma S^{k-1}$, y que la suspensión es el functor adjunto por la izquierda del functor espacio de lazas $\Omega$ obtenemos las siguientes biyecciones

$Vect(S^{k},\mathbb {C} ,n)\cong [\Sigma S^{k-1},BGl(\mathbb {C} ,n)]\cong [S^{k-1},\Omega BGl(\mathbb {C} ,n)]\cong [S^{k-1},Gl(\mathbb {C} ,n)]$

El último conjunto es en biyección con el grupo de homotopía (k-1)-ésimo de Gl(C,n), como este grupo retrae a U(n) concluimos

$Vect(S^{k},\mathbb {C} ,n)\longleftrightarrow \pi _{k-1}(U(n))$

Para entender la teoría-K es necesario tener en cuenta todas los posibles rangos n. El resultado principal es el siguiente isomorfismo de grupos:

Teorema: ${\widetilde {K}}(S^{k})\cong \pi _{k-1}(\cup _{n}U(n))$.

Los grupos estables de homotopía se deducen directamente del teorema de periodicidad de Bott. En particular, ${\widetilde {K}}(S^{2})\cong \pi _{1}(\cup _{n}U(n))\cong \mathbb {Z} .$

Para la teoría-K no reducida el caso de la 2-esfera es el primer caso relevante y permite el cálculo de la teoría-K de ciertas suspensiones iteradas de un espacio.

Teorema: $K(S^{2})$ es un anillo generado por el fibrado de línea canónico $\gamma _{1}$ sobre $S^{2}\cong \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ con la relación $([\gamma _{1}]-[\varepsilon ])^{2}=0$.

La relación se deduce directamente del cálculo en la sección de ejemplos usando que $TS^{2}\cong \gamma _{1}^{2}$.

