Teorema de los ceros de Hilbert
# Teorema de los ceros de Hilbert

El Hilberts Nullstellensatz (en alemán: "teorema de los lugares de los ceros de Hilbert") es un teorema en geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Fue probado inicialmente por David Hilbert.

Sea $\scriptstyle \mathbb {K}$ un cuerpo algebraicamente cerrado (como el de los números complejos), considera el anillo de polinomios $\scriptstyle \mathbb {K} [X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ y sea $\scriptstyle I$ un ideal en este anillo. La variedad afín $\scriptstyle V(I)$ definida por este ideal consiste de todas las n-tuplas $\scriptstyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ en $\scriptstyle \mathbb {K} ^{n}$ tal que $\scriptstyle f(\mathbf {x} )=0$ para todo $\scriptstyle f$ en $\scriptstyle I$. El teorema de los ceros de Hilbert nos dice que si $\scriptstyle p$ es un polinomio en $\scriptstyle \mathbb {K} [X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ que se anula en la variedad $\scriptstyle V(I)$, i.e. $\scriptstyle p(\mathbf {x} )=0$ para todo x en $\scriptstyle V(I)$, entonces existe un número natural r tal que $p^r$ está en I.

Un corolario inmediato es la "Nullstellensatz débil": si I es un ideal propio en $K[X_1,X_2,...$ , $X_n],$ entonces V(I) no puede ser vacío, i.e. existe un cero común para todos los polinomios del ideal. Esta es la razón para el nombre del teorema; que es fácilmente demostrable en esta forma "débil". Notar que el asumir que K sea algebraicamente cerrado es esencial aquí: el ideal propio (X² + 1) en R[X] no tiene un cero común.

Con la notación común de la geometría algebraica, el Nullstellensatz puede ser también formulado como

    I(V(J)) = ${\sqrt {J}}$ para todo ideal J

Aquí, ${\sqrt {J}}$ denota el radical de J e I(U) denota el ideal de todos los polinomios que se anulan en el conjunto U. De este modo, obtenemos una correspondencia biyectiva que revierte el orden entre las variedades afines en $K^n$ y los ideales radicales de $K[X_1,X_2,...$ , $X_n].$

