Espacio seudométrico
# Espacio seudométrico

En matemáticas, y más específicamente en topología y análisis funcional, espacio seudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de seudodistancia o seudométrica, de tal forma que la seudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.

Una seudodistancia o, más generalmente, una familia de seudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme. El espacio topológico resultante se denomina espacio de calibración o espacio gauge.

Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de seudodistancias. En particular, una sola seudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entornos numerable.

## Definición y propiedades

Un espacio seudométrico $(X,d)$ es un par formado por un conjunto $X$ y una función $d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ (denominada semidistancia o seudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo $x,y,z\in X$,

* $d(x,x)=0$.
* $d(x,y)=d(y,x)$ (simetría)
* $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdad triangular)

De estas condiciones se deduce que la seudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que $d(x,y)={\tfrac {1}{2}}(d(x,y)+d(y,x))\geq {\tfrac {1}{2}}d(x,x)=0$.

Todo espacio métrico es un espacio seudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse $d(x,y)=0$ para diferentes valores $x\neq y$.

Utilizando seudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios seudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.

La suma de una familia finita de seudodistancias $d_{i};\;1\leq i\leq n$ en un conjunto $X$ es otra seudodistancia $d(x,y)=d_{1}(x,y)+d_{2}(x,y)+\dotsb +d_{n}(x,y)$.

A partir de una familia numerable de seudodistancias $d_{i};\;i\in \mathbb {N}$ definidas en el mismo conjunto $X$ puede definirse una distancia por medio de

       $d(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {d_{i}(x,y)}{1+d_{i}(x,y)}}$

## Ejemplos

* Todo espacio métrico $(M,d)$ es válido como ejemplo de espacios seudométricos.
* La seudodistancia nula $d(x,y)=0$ definida en cualquier conjunto $X$ determina la topología trivial.
* Sea ${\mathcal {F}}(X)$ el espacio de funciones $f\colon X\to \mathbb {R}$ definidas en un conjunto $X$ con valores reales, en el que se ha elegido un punto $x_{0}\in X$. Este punto induce una seudodistancia en ${\mathcal {F}}(X)$ definida por

          $d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|$ para todo $f,g\in {\mathcal {F}}(X)$
* En un espacio vectorial $V$, una seminorma $p$ induce una seudodistancia definida por

          $d(x,y)=p(x-y).$
* Todo espacio de medida $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ puede verse como un espacio seudométrico completo definiendo

          $d(A,B):=\mu (A\Delta B)$ para todo $A,B\in {\mathcal {A}}$.

## Topología

La topología seudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas

          $B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\},$

que forman una base para la topología.

Se dice que un espacio topológico es seudometrizable si puede dotarse de una seudodistancia tal que la topología seudométrica coincide con la dada.

La diferencia entre seudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una seudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).

## seudodistancias y estructuras uniformes

### Definición de una estructura uniforme a partir de una seudodistancia

Sea $X$ un conjunto dotado de una seudodistancia $d$. El conjunto $F$ de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un sistema fundamental de entourages para una estructura uniforme sobre $X$

    $F:=\{d^{-1}([0,a))\mid a\in \mathbb {R} _{+}\}$, siendo
    $d^{-1}([0,a))=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<a\}$

Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la seudodistancia $d$.

Igualmente, una familia $(d_{i})_{i\in I}$ de seudodistancias en un conjunto $X$, determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto $X$ que contengan todas las estructuras individuales.

### Definición de una seudodistancia a partir de una estructura uniforme

Sea $X$ un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages $(N_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos $(S_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ cumpliendo $S_{0}\subseteq N_{0}$ y $S_{k+1}^{3}\subseteq S_{k}\cap N_{k}$, donde $S^{3}=$S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.

Para construir una seudodistancia, partimos de la función $g\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$, definida por

    $g(x,y):={\begin{cases}1\;{\mbox{si}}\;(x,y)\not \in S_{0}\\\inf\{2^{-k-1}|(x,y)\in S_{k}\}\;{\rm {encasocontrario}}\end{cases}}$

Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.

Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de $X$ que comienzan en $x$ y terminan en $y$. Entonces podemos definir una seudodistancia en $X$ mediante

    $d(x,y):=\inf \left\{\sum _{j=0}^{n-1}g(z_{j},z_{j+1})\mid (z_{j})_{j=0,\dotsc ,n}\in C\right\}$.

La estructura uniforme determinada por esta seudodistancia es la estructura uniforme original.

Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto $X$, es posible identificar una familia de seudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.

## Identificación métrica

Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por $x\sim y$ si $d(x,y)=0$.

Sean

    $X^{*}=X/{\sim }$
    $d^{*}([x],[y])=d(x,y)$

Entonces $d^{*}$ es una métrica en $X^{*}$ y $(X^{*},d^{*})$ un espacio métrico bien definido.

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto $A\subset X$ es abierto (o cerrado) en $(X,d)$ si y solo si $\pi (A)=[A]$ es abierto (o cerrado) en $(X^{*},d^{*})$ y A es saturado, siendo $\pi \colon X\to X^{*}$ la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de $X$ la clase de equivalencia que lo contiene.

