Teorema de la probabilidad total
# Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

* Sea $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ una partición sobre el espacio muestral y sea $B$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $P(B|A_{i})$, entonces la probabilidad del suceso $B$ viene dada por la expresión:
* $P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})$

## Demostración

Por hipótesis tenemos una partición $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ del espacio muestral $\Omega$. Por lo tanto el suceso $B$ se puede escribir como

    $B=(B\cap A_{1})\cup (B\cap A_{2})\cup \cdots \cup (B\cap A_{n}).$

ahora bien, los conjuntos $B\cap A_{i}$ son disjuntos dos a dos , ya que en caso contrario los $A_{i}$ tampoco lo serían. En consecuencia

    $P(B)=P(B\cap A_{1})+P(B\cap A_{2})+\cdots +P(B\cap A_{n}).$

Por último, se sabe que $P(C\cap D)=P(C|D)P(D)$ para cualesquiera sucesos $C$ y $D$. Luego

    $P(B)=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+\ldots +P(B|A_{n})P(A_{n})=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i}),$

que era lo que se quería demostrar.

