Relleno con círculos de un triángulo equilátero
# Relleno con círculos de un triángulo equilátero

El relleno con círculos de un triángulo equilátero es un problema de empaquetado estudiado en matemáticas discretas. Consiste en acomodar n círculos de radio unidad en el triángulo equilátero más pequeño posible.

## Soluciones

Se conocen las soluciones óptimas para n < 13 y para cualquier número triangular de círculos, y en los años 1990 se formularon conjeturas para n < 28.

Una conjetura de Paul Erdős y Norman Oler indica que, si n es un número triangular, entonces los empaquetamientos óptimos de los n−1 y de los n círculos tienen la misma longitud lateral: es decir, según la conjetura, se puede encontrar un empaquetamiento óptimo para n−1 círculos eliminando cualquier círculo individual del empaquetamiento hexagonal óptimo para n círculos. Esta conjetura ahora se sabe que es verdadera para n ≤ 15.

Soluciones mínimas y su longitud del lado del triángulo asociado para círculos de radio uno:

| Número de círculos | Número triangular | Longitud | Área |
| - | - | - | - |
| 1 | Sí | $2{\sqrt {3}}$ = 3.464... | 5.196... |
| 2 | No | $2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464... | 12.928... |
| 3 | Sí | $2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464... | 12.928... |
| 4 | No | $4{\sqrt {3}}$ = 6.928... | 20.784... |
| 5 | No | $4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464... | 24.124... |
| 6 | Sí | $4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464... | 24.124... |
| 7 | No | $2+4{\sqrt {3}}$ = 8.928... | 34.516... |
| 8 | No | $2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}$ = 9.293... | 37.401... |
| 9 | No | $6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464... | 38.784... |
| 10 | Sí | $6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464... | 38.784... |
| 11 | No | $4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}$ = 10.730... | 49.854... |
| 12 | No | $4+4{\sqrt {3}}$ = 10.928... | 51.712... |
| 13 | No | $4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}$ = 11.406... | 56.338... |
| 14 | No | $8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464... | 56.908... |
| 15 | Sí | $8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464... | 56.908... |

Un problema estrechamente relacionado es cubrir el triángulo equilátero con un número fijo de círculos iguales, teniendo un radio tan pequeño como sea posible.

