Espacio proyectivo complejo
# Espacio proyectivo complejo

En matemáticas, se le llama espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de $C^{n+1}$ que pasan por el origen. Normalmente se nota por $P(C^{n+1}),$ $P_n(C)$ o $CP^n$

Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de $C^{n+1}-{0}$ mediante la siguiente relación de equivalencia:

    $z\sim w\Leftrightarrow z=\lambda w\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\}\qquad z,w\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}$

## Topología

Sea $\pi :\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\rightarrow \mathbb {C} P^{n}$ la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a $CP^n$ de la topología cociente, de modo que $U\subset \mathbb {C} P^{n}$es abierto si y sólo si $\pi ^{-1}(U)$ lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.

### $CP^n$ es compacto y conexo

Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real $S^{2n+1}.$ En concreto por la composición de aplicaciones $\pi \circ i$ dada por

    $S^{2n+1}\longrightarrow \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\longrightarrow \mathbb {C} P^{n}$,

Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de $S^{2n+1}.$

## Estructura compleja

Podemos construir un atlas mediante las cartas $(U_{i},\Phi _{i})$ definidas por:

    $U_{i}=\{[z]:z\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\},z_{i}\neq 0\}\qquad \Phi _{i}([z])=({\frac {z_{0}}{z_{i}}},\cdots ,{\hat {\frac {z_{i}}{z_{i}}}},\cdots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}})$

donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.

Si $z\in U_{i}\cap U_{j}$ , se comprueba que el cambio de cartas $(\Phi _{j}\circ \Phi _{i}^{-1})$ es holomorfo.

## Subespacios lineales de $CP^n$

Toda inclusión del tipo $C^{k+1}$ → $C^{n+1}$ induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes $CP^k$ → $CP^n.$ A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de $CP^n.$

Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de $CP^n.$ Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.

