Simetría icosaédrica
# Simetría icosaédrica

Grupos de puntos en tres dimensiones :

| Simetría involutiva $C_s,$ (*) [ ] = | Simetría cíclica $C_{nv},$ (*nn) [n] = | Simetría diédrica $D_{nh},$ (*n22) [n,2] = |
| - | - | - |
| Grupo poliédrico, [n,3], (*n32) |||
| Simetría tetraédrica $T_d,$ (*332) [3,3] = | Simetría octaédrica $O_h,$ (*432) [4,3] = | Simetría icosaédrica $I_h,$ (*532) [5,3] = |

La simetría icosaédrica (también denominada simetría icosaedral o simetría del icosaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 60 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un orden de simetría de 120, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un icosaedro regular. Tanto el dodecaedro regular (dual del icosaedro) como el triacontaedro rómbico tienen el mismo conjunto de simetrías.

El grupo de simetría completo (incluidas las reflexiones) se conoce como el grupo de Coxeter $H_3,$ y también está representado en la notación de Coxeter por [5,3] y posee un diagrama de Coxeter-Dynkin .

El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un subgrupo que es isomorfo al grupo $A_5$ (el grupo alternante de 5 letras).

## Como grupo de puntos

Aparte de las dos series infinitas de simetría prismática y antipismática, la simetría icosaédrica rotacional o simetría icosaédrica quiral de objetos quirales y la simetría icosaédrica completa o simetría icosaédrica aquiral son las simetrías de puntos discretos (o equivalentemente, simetrías en la esfera) con los grupos de simetrías más grandes.

La simetría icosaédrica no es compatible con la simetría traslacional, por lo que no existen grupos de puntos cristalográficos o grupos espaciales asociados.

| Schönflies | Coxeter | Coxeter | Orbifold | Estructura abstracta | Orden |
| - | - | - | - | - | - |
| I | $[5,3]^+$ | | 532 | $A_5$ | 60 |
| $I_h$ | [5,3] | | *532 | $A_5×2$ | 120 |

Las presentaciones correspondientes a los grupos anteriores son:

    $I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \$
    $I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\$

Estos valores corresponden a los grupos icosaédricos (rotacionales y completos) siendo los (2,3,5) grupos triangulares.

La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano.

Debe tenerse en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como un grupo alternante (para I).

### Visualizaciones

| Schoe. (Orb.) | Notación de Coxeter | Elementos | Diagramas de espejos | Diagramas de espejos | Diagramas de espejos | Diagramas de espejos |
| - | - | - | - | - | - | - |
| Schoe. (Orb.) | Notación de Coxeter | Elementos | Ortogonal | Proyección estereográfica | Proyección estereográfica | Proyección estereográfica |
| $I_h$ (*532) | [5,3] | Líneas de espejo: 15 | | | | |
| I (532) | $[5,3]^+$ | Puntos de giro: $12_5$ $20_3$ $30_2$ | | | | |

## Estructura del grupo

El grupo de rotación icosaédrico I es de orden 60. El grupo I es isomorfo a $A_5,$ el grupo alternante de permutaciones pares de cinco objetos. Este isomorfismo se puede representar mediante I actuando sobre varios compuestos, en particular el compuesto de cinco cubos (que se inscribe en el dodecaedro), el compuesto de cinco octaedros o cualquiera de los dos compuestos de cinco tetraedros (que son quirales y se inscriben en el dodecaedro).

El grupo contiene 5 versiones de $T_h$ con 20 versiones de $D_3$ (10 ejes, 2 por eje) y 6 versiones de $D_5.$

El grupo icosaédrico completo $I_h$ tiene orden 120. Tiene a I como subgrupo normal de índice 2. El grupo $I_h$ es isomorfo a $I×Z_2,$ o $A_5$ $×Z_2,$ con inversión en el centro correspondiente al elemento (identidad, -1), donde $Z_2$ se escribe multiplicativamente.

$I_h$ actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros, pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son centralmente simétricos). Actúa sobre el compuesto de diez tetraedros: I actúa sobre las dos mitades quirales (compuestos de cinco tetraedros), y −1 intercambia las dos mitades. En particular, no actúa como $S_5,$ y estos grupos no son isomorfos; véase más abajo para más detalles. El grupo contiene 10 versiones de $D_{3d}$ y 6 versiones de $D_{5d}$ (simetrías como antiprismas). I también es isomorfo a $PSL_2$ (5), pero $I_h$ no es isomorfo a $SL_2(5).$

| Las aristas de un compuesto de cinco octaedros esférico representan los 15 planos de espejo como círculos máximos de colores. Cada octaedro puede representar 3 planos de espejo ortogonales por sus bordes. | Las aristas de un compuesto de cinco octaedros esférico representan los 15 planos de espejo como círculos máximos de colores. Cada octaedro puede representar 3 planos de espejo ortogonales por sus bordes. | La simetría piritoédrica es un subgrupo de índice 5 de la simetría icosaédrica, con 3 líneas de reflexión verdes ortogonales y 8 puntos de giro de orden 3 en rojo. Hay 5 orientaciones diferentes de simetría piritoédrica. | La simetría piritoédrica es un subgrupo de índice 5 de la simetría icosaédrica, con 3 líneas de reflexión verdes ortogonales y 8 puntos de giro de orden 3 en rojo. Hay 5 orientaciones diferentes de simetría piritoédrica. |
| - | - | - | - |

### Isomorfismo de I con $A_5$

Es útil describir explícitamente cómo se ve el isomorfismo entre I y $A_5.$ En la siguiente tabla, las permutaciones $P_i$ y $_iX$ actúan sobre 5 y 12 elementos respectivamente, mientras que las matrices de rotación $M_i$ son los elementos de I. Si $P_k$ es el producto de tomar la permutación $P_i$ y aplicarle $P_j,$ entonces para los mismos valores de i, j y k, también es cierto que $_kX$ es el producto de tomar $_iX$ y aplicar $_jX,$ y también que premultiplicar un vector por $M_k$ es lo mismo que premultiplicar ese vector por $M_i$ y luego premultiplicar ese resultado con $M_j,$ es decir, $M_k$ = $M_j$ × $M_i.$ Dado que las permutaciones $P_i$ son las 60 permutaciones pares de 12345, la correspondencia uno a uno se hace explícita, y por lo tanto, el isomorfismo también.

| Matriz de rotación | Permutación de 5 sobre 1 2 3 4 5 | Permutación de 12 sobre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
| - | - | - |
| $M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ | $P_{1}$ = | $Q_{1}$ = |
| $M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{2}$ = (3 4 5) | $Q_{2}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10) |
| $M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{3}$ = (3 5 4) | $Q_{3}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7) |
| $M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{4}$ = (2 3)(4 5) | $Q_{4}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11) |
| $M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{5}$ = (2 3 4) | $Q_{5}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12) |
| $M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{6}$ = (2 3 5) | $Q_{6}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12) |
| $M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{7}$ = (2 4 3) | $Q_{7}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11) |
| $M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$ | $P_{8}$ = (2 4 5) | $Q_{8}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9) |
| $M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{9}$ = (2 4)(3 5) | $Q_{9}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10) |
| $M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{10}$ = (2 5 3) | $Q_{10}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8) |
| $M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$ | $P_{11}$ = (2 5 4) | $Q_{11}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11) |
| $M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{12}$ = (2 5)(3 4) | $Q_{12}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12) |
| $M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$ | $P_{13}$ = (1 2)(4 5) | $Q_{13}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12) |
| $M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{14}$ = (1 2)(3 4) | $Q_{14}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12) |
| $M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{15}$ = (1 2)(3 5) | $Q_{15}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9) |
| $M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{16}$ = (1 2 3) | $Q_{16}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8) |
| $M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{17}$ = (1 2 3 4 5) | $Q_{17}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11) |
| $M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{18}$ = (1 2 3 5 4) | $Q_{18}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9) |
| $M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{19}$ = (1 2 4 5 3) | $Q_{19}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11) |
| $M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$ | $P_{20}$ = (1 2 4) | $Q_{20}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12) |
| $M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{21}$ = (1 2 4 3 5) | $Q_{21}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4) |
| $M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{22}$ = (1 2 5 4 3) | $Q_{22}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9) |
| $M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$ | $P_{23}$ = (1 2 5) | $Q_{23}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10) |
| $M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{24}$ = (1 2 5 3 4) | $Q_{24}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12) |
| $M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{25}$ = (1 3 2) | $Q_{25}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10) |
| $M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{26}$ = (1 3 4 5 2) | $Q_{26}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8) |
| $M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{27}$ = (1 3 5 4 2) | $Q_{27}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12) |
| $M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{28}$ = (1 3)(4 5) | $Q_{28}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9) |
| $M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{29}$ = (1 3 4) | $Q_{29}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7) |
| $M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{30}$ = (1 3 5) | $Q_{30}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11) |
| $M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{31}$ = (1 3)(2 4) | $Q_{31}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10) |
| $M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{32}$ = (1 3 2 4 5) | $Q_{32}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9) |
| $M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{33}$ = (1 3 5 2 4) | $Q_{33}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8) |
| $M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{34}$ = (1 3)(2 5) | $Q_{34}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12) |
| $M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{35}$ = (1 3 2 5 4) | $Q_{35}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12) |
| $M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{36}$ = (1 3 4 2 5) | $Q_{36}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12) |
| $M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{37}$ = (1 4 5 3 2) | $Q_{37}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7) |
| $M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}$ | $P_{38}$ = (1 4 2) | $Q_{38}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9) |
| $M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{39}$ = (1 4 3 5 2) | $Q_{39}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8) |
| $M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{40}$ = (1 4 3) | $Q_{40}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11) |
| $M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$ | $P_{41}$ = (1 4 5) | $Q_{41}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12) |
| $M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{42}$ = (1 4)(3 5) | $Q_{42}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11) |
| $M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{43}$ = (1 4 5 2 3) | $Q_{43}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10) |
| $M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{44}$ = (1 4)(2 3) | $Q_{44}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11) |
| $M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{45}$ = (1 4 2 3 5) | $Q_{45}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10) |
| $M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{46}$ = (1 4 2 5 3) | $Q_{46}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7) |
| $M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{47}$ = (1 4 3 2 5) | $Q_{47}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6) |
| $M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$ | $P_{48}$ = (1 4)(2 5) | $Q_{48}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8) |
| $M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{49}$ = (1 5 4 3 2) | $Q_{49}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12) |
| $M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$ | $P_{50}$ = (1 5 2) | $Q_{50}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11) |
| $M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{51}$ = (1 5 3 4 2) | $Q_{51}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6) |
| $M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{52}$ = (1 5 3) | $Q_{52}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12) |
| $M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$ | $P_{53}$ = (1 5 4) | $Q_{53}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10) |
| $M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{54}$ = (1 5)(3 4) | $Q_{54}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7) |
| $M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{55}$ = (1 5 4 2 3) | $Q_{55}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3) |
| $M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ | $P_{56}$ = (1 5)(2 3) | $Q_{56}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9) |
| $M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{57}$ = (1 5 2 3 4) | $Q_{57}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5) |
| $M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{58}$ = (1 5 2 4 3) | $Q_{58}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10) |
| $M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$ | $P_{59}$ = (1 5 3 2 4) | $Q_{59}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11) |
| $M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ | $P_{60}$ = (1 5)(2 4) | $Q_{60}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8) |

### Grupos comúnmente confundidos

Los siguientes grupos tienen todos el orden 120, pero no son isomorfos:

* $S_5,$ el grupo simétrico en 5 elementos
* $I_h$ , el grupo icosaédrico completo (tema de este artículo, también conocido como $H_3)$
* 2I, el grupo icosaédrico binario

Corresponden a las siguientes sucesiones exactas cortas (la última de las cuales no se divide) y productos

    $1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1$
    $I_{h}=A_{5}\times Z_{2}$
    $1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1$

Expresado mediante palabras,

* $A_{5}$ es un subgrupo normal de $S_{5}$
* $A_{5}$ es un factor de $I_{h}$, que es un producto directo
* $A_{5}$ es un grupo cociente de $2I$

Téngase en cuenta que $A_{5}$ tiene una representación tridimensional irreducible excepcional(como el grupo de rotación icosaédrico), pero $S_{5}$ no tiene una representación tridimensional irreducible, correspondiente al grupo icosaédrico completo que no es el grupo simétrico.

Estos elementos también pueden relacionarse con grupos lineales sobre el cuerpo finito con cinco elementos, que exhiben los subgrupos y los grupos de recubrimiento directamente; ninguno de estos es el grupo icosaédrico completo:

* $A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ el grupo lineal proyectivo, consúltese aquí para ver una demostración;
* $S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ el grupo lineal proyectivo;
* $2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ el grupo lineal especial.

### Clases conjugadas

Las 120 simetrías se dividen en 10 clases de conjugación:

Conjugados :

| I | Clases adicionales de $I_h$ |
| - | - |
| Identidad, orden 1 12 × rotaciones de ±72°, orden 5, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 12 × rotaciones de ± 144°, orden 5, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 20 × rotaciones de ± 120°, orden 3, alrededor de los 10 ejes a través de los vértices del dodecaedro 15 × rotaciones de 180°, orden 2, alrededor de los 15 ejes a través de los puntos medios de las aristas del dodecaedro | Inversión central, orden 2 12 × rotorreflexiones de ± 36°, orden 10, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 12 × rotorreflexiones de ± 108°, orden 10, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 20 × rotorreflexiones de ± 60°, orden 6, alrededor de los 10 ejes a través de los vértices del dodecaedro 15 × reflexiones, orden 2, en 15 planos a través de las aristas del dodecaedro |

### Subgrupos del grupo completo de simetría icosaédrica

Cada línea de la siguiente tabla representa una clase de subgrupos conjugados (es decir, geométricamente equivalentes). La columna "Mult." (multiplicidad) da el número de subgrupos diferentes en la clase de conjugación.

Explicación de colores: verde = los grupos que son generados por reflexión, rojo = los grupos quirales (que conservan la orientación), que contienen solo rotaciones.

Los grupos se describen geométricamente en términos del dodecaedro. La abreviatura "m.v.i. (arista)" significa "media vuelta intercambiando este borde con su borde opuesto", y de manera similar para "cara" y "vértice".

| Schön. | Coxeter | Orb. | H-M | Etructura | Orden | Índice | Mult. | Descripción |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $I_h$ | [5,3] | *532 | 532/m | $A_5×Z_2$ | 120 | 1 | 1 | Grupo completo |
| $D_{2h}$ | [2,2] | *222 | mmm | $D_4×D_2=D_2^3$ | 8 | 15 | 5 | Determinando dos bordes opuestos, posiblemente intercambiándolos |
| $C_{5v}$ | [5] | *55 | 5m | $D_{10}$ | 10 | 12 | 6 | Fijando una cara |
| $C_{3v}$ | [3] | *33 | 3m | $D_6=S_3$ | 6 | 20 | 10 | Fijando un vértice |
| $C_{2v}$ | [2] | *22 | 2mm | $D_4=D_2^2$ | 4 | 30 | 15 | Fijando una arista |
| $C_s$ | [ ] | * | 2 or m | $D_2$ | 2 | 60 | 15 | Reflexión intercambiando dos puntos finales de una arista |
| $T_h$ | $[3^+,4]$ | 3*2 | m3 | $A_4×Z_2$ | 24 | 5 | 5 | Grupo piritoédrico |
| $D_{5d}$ | $[2^+,10]$ | 2*5 | 10m2 | $D_{20}=Z_2×D_{10}$ | 20 | 6 | 6 | Fijando dos caras opuestas, posiblemente intercambiándolas |
| $D_{3d}$ | $[2^+,6]$ | 2*3 | 3m | $D_{12}=Z_2×D_6$ | 12 | 10 | 10 | Fijando dos vértices opuestos, posiblemente intercambiándolos |
| $D_{1d}$ = $C_{2h}$ | $[2^+,2]$ | 2* | 2/m | $D_4=Z_2×D_2$ | 4 | 30 | 15 | Media vuelta alrededor del punto medio del borde, más inversión central |
| $S_{10}$ | $[2^+,10^+]$ | 5× | 5 | $Z_{10}=Z_2×Z_5$ | 10 | 12 | 6 | Rotaciones de una cara, más inversión central |
| $S_6$ | $[2^+,6^+]$ | 3× | 3 | $Z_6=Z_2×Z_3$ | 6 | 20 | 10 | Rotaciones alrededor de un vértice, más inversión central |
| $S_2$ | $[2^+,2^+]$ | × | 1 | $Z_2$ | 2 | 60 | 1 | Inversión central |
| I | $[5,3]^+$ | 532 | 532 | $A_5$ | 60 | 2 | 1 | Todas las rotaciones |
| T | $[3,3]^+$ | 332 | 332 | $A_4$ | 12 | 10 | 5 | Rotaciones de un tetraedro contenido |
| $D_5$ | $[2,5]^+$ | 522 | 522 | $D_{10}$ | 10 | 12 | 6 | Rotaciones alrededor del centro de una cara y m.v.i. (cara) |
| $D_3$ | $[2,3]^+$ | 322 | 322 | $D_6=S_3$ | 6 | 20 | 10 | Rotaciones alrededor de un vértice y m.v.i.(vértice) |
| $D_2$ | $[2,2]^+$ | 222 | 222 | $D_4=Z_2^2$ | 4 | 30 | 15 | Media vuelta alrededor del punto medio de una arista, y m.v.i.(arista) |
| $C_5$ | $[5]^+$ | 55 | 5 | $Z_5$ | 5 | 24 | 6 | Rotaciones alrededor de un centro de cara |
| $C_3$ | $[3]^+$ | 33 | 3 | $Z_3=A_3$ | 3 | 40 | 10 | Rotaciones alrededor de un vértice |
| $C_2$ | $[2]^+$ | 22 | 2 | $Z_2$ | 2 | 60 | 15 | Media vuelta alrededor del punto medio de la arista |
| $C_1$ | [ $]^+$ | 11 | 1 | $Z_1$ | 1 | 120 | 1 | Grupo trivial |

**Estabilizadores de vértices**

Los estabilizadores de un par de vértices opuestos pueden interpretarse como estabilizadores del eje que generan.

* Los estabilizadores de vértice en I producen grupo cíclicos $C_3$
* Los estabilizadores de vértice en $I_h$ producen grupos diedros $D_3$
* Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en I producen grupos diédricos $D_3$
* Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en $I_h$ producen $D_{3}\times \pm 1$

**Estabilizadores de aristas**

Los estabilizadores de un par opuesto de aristas se pueden interpretar como estabilizadores del rectángulo que generan.

* Los estabilizadores de aristas en I generan grupos cíclicos $Z_2$
* Los estabilizadores de aristas en $I_h$ generan grupos de Klein $Z_{2}\times Z_{2}$
* Los estabilizadores de un par de aristas en I generan grupos de Klein $Z_{2}\times Z_{2}$; hay 5 de estos, dados por rotación de 180° en 3 ejes perpendiculares.
* Los estabilizadores de un par de aristas en $I_h$ generan $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$; hay 5 de estos, dados por reflexiones en 3 ejes perpendiculares.

**Estabilizadores de caras**

Los estabilizadores de un par de caras opuestas pueden interpretarse como estabilizadores del antiprisma que generan.

* Los estabilizadores de caras en I dan grupos cíclicos $C_5$
* Los estabilizadores de caras en $I_h$ dan grupos diédricos $D_5$
* Los estabilizadores de un par opuesto de caras en I dan grupos diédricos $D_5$
* Los estabilizadores de un par opuesto de caras en $I_h$ dan $D_{5}\times \pm 1$

**Estabilizadores de poliedros**

Para cada uno de ellos, hay 5 copias conjugadas, y la acción de conjugación da una aplicación, de hecho un isomorfismo, $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$.

* Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en I son una copia de T
* Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en $I_h$ también son una copia de T
* Los estabilizadores de los cubos inscritos (o el par opuesto de tetraedros u octaedros) en I iguamente son una copia de T
* Los estabilizadores de los cubos inscritos (o el par opuesto de tetraedros u octaedros) en $I_h$ son una copia de $T_h$

**Generadores del grupo de Coxeter**

El grupo completo de simetría icosaédrica [5,3] de orden 120 tiene generadores representados por las matrices de reflexión $R_0,$ $R_1,$ $R_2$ que figuran a continuación, con relaciones $R_0^2$ = $R_1^2$ = $R_2^2$ = $(R_0$ × $R_1)$ $^5$ = $(R_1$ × $R_2)$ $^3$ = $(R_0$ × $R_2)$ $^2$ = Identidad. El grupo [5,3] $^+$ de orden 60 se genera mediante dos rotaciones cualesquiera $S_{0,1},$ $S_{1,2},$ $S_{0,2}.$ Un rotación impropia de orden 10 es generada por $V_{0,1,2},$ el producto de los 3 reflejos. Aquí $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ denota el número áureo.

[5,3], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Reflexiones | Rotaciones | Rotaciones | Rotaciones | Rotoreflexiones |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $S_{0,1}$ | $S_{1,2}$ | $S_{0,2}$ | $V_{0,1,2}$ |
| Grupo | | | | | | | |
| Orden | 2 | 2 | 2 | 5 | 3 | 2 | 10 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ |
| | $(1,0,0)_n$ | $({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})$$_n$ | $(0,1,0)_n$ | $(0,-1,\phi )$$_{axis}$ | $(1-\phi ,0,\phi )$$_{axis}$ | $(0,0,1)$$_{axis}$ | |

## Dominio fundamental

El dominio fundamental para el grupo de rotación icosaédrico y el grupo icosaédrico completo están dados por:

| Grupo de rotación icosaédrico I | Grupo icosaédrico completo $I_h$ | Las caras de un hexaquisicosaedro son el dominio fundamental |
| - | - | - |

En el hexaquisicosaedro una cara completa es un dominio fundamental. Se pueden obtener otros sólidos con la misma simetría ajustando la orientación de las caras, por ejemplo, aplanando subconjuntos seleccionados de caras para combinar cada subconjunto en una cara, o reemplazar cada cara por varias caras o una superficie curva.

## Poliedros con simetría icosaédrica

### Poliedros quirales

| Clase | Símbolos | Imagen |
| - | - | - |
| Arquimedianos | sr{5,3} | |
| Catalan | V3.3.3.3.5 | |

### Simetría icosaédrica completa

| Sólidos platónicos | Poliedros de Kepler-Poinsot | Poliedros de Kepler-Poinsot | Sólidos arquimedianos | Sólidos arquimedianos | Sólidos arquimedianos | Sólidos arquimedianos | Sólidos arquimedianos |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| {5,3} | {5/2,5} | {5/2,3} | t{5,3} | t{3,5} | r{3,5} | rr{3,5} | tr{3,5} |
| Sólido platónico | Poliedros de Kepler-Poinsot | Poliedros de Kepler-Poinsot | Sólidos de Catalan | Sólidos de Catalan | Sólidos de Catalan | Sólidos de Catalan | Sólidos de Catalan |
| {3,5} = | {5,5/2} = | {3,5/2} = | V3.10.10 | V5.6.6 | V3.5.3.5 | V3.4.5.4 | V4.6.10 |

## Otros objetos con simetría icosaédrica

* Superficies de Barth
* Virus y cápsides
* En química, el ion dodecaborato $([B_{12}H_{12}]$ $^{2−})$ y la molécula dodecahedrano $(C_{20}H_{20})$

### Cristales líquidos con simetría icosaédrica

Para la fase material intermedia denominada cristal líquido, H. Kleinert y K. Maki propusieron la existencia de simetría icosaédrica, y su estructura se analizó por primera vez en detalle en ese documento. Véase el artículo de revisión aquí.

En el aluminio, la estructura icosaédrica se descubrió experimentalmente tres años después por Dan Shechtman, lo que le valió el Premio Nobel en 2011.

## Geometrías relacionadas

La simetría icosaédrica es equivalente al grupo lineal proyectivo PSL (2,5), y es el grupo de simetría de la curva modular X (5), y más generalmente PSL (2, p) es el grupo de simetría de la curva modular X(p). La curva modular X(5) es geométricamente un dodecaedro con una cúspide en el centro de cada cara poligonal, lo que demuestra el grupo de simetría.

Esta geometría, y el grupo de simetría asociado, fue estudiado por Felix Klein como las monodromías de una superficie de Belyi, una superficie de Riemann con un aplicación holomórfica de la esfera de Riemann, ramificada solo en 0, 1 e infinito (una función de Belyi); las cúspides son los puntos que se encuentran sobre el infinito, mientras que los vértices y los centros de cada borde se encuentran sobre 0 y 1; el grado de cobertura (número de hojas) es igual a 5.

Esto surgió de sus esfuerzos por dar una interpretación geométrica de por qué surgió la simetría icosaédrica en la solución de la ecuación de quinto grado, con la teoría dada en el famoso (Klein, 1888); una exposición moderna se da en (Tóth, 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66).

Las investigaciones de Klein continuaron con su descubrimiento de las simetrías de orden 7 y 11 en (Klein, 1878/79b) y (Klein, 1879) (y recubrimientos asociados de grado 7 y 11) y dibujos de niños, la primera produciendo la cuártica de Klein, cuya geometría asociada posee un teselado formado por 24 heptágonos (con una cúspide en el centro de cada uno).

Se producen geometrías similares para PSL (2, n) y grupos más generales para otras curvas modulares.

Más exóticamente, existen conexiones especiales entre los grupos PSL (2,5) (orden 60), PSL(2,7) (orden 168) y PSL (2,11) (orden 660), que también admiten interpretaciones geométricas - PSL (2,5) son las simetrías del icosaedro (género 0), PSL (2,7) de la cuártica de Klein (género 3) y PSL (2,11) de la superficie de la buckybola (género 70). Estos grupos forman una trinidad en el sentido definido por Vladímir Arnold, que proporciona un marco para las diversas relaciones.

Existe una estrecha relación con otros sólidos platónicos.

