Frontera (topología)
# Frontera (topología)

Dado un espacio topológico $X$ y $S$ un subconjunto de $X$, se define la frontera o límite de $S$ como la intersección de la clausura de $S$ con la clausura del complemento de $S$, y se denota por $\partial S$. En otras palabras:

   $\partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {X\smallsetminus S}}$

Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente:

   $\partial S={\overline {S}}\smallsetminus {\mbox{int}}(S)$

Donde: ${\mbox{int}}(S)\,$ denota el interior de $S\,$.

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto $S$ es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en $S$ como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado.

## Ejemplos

Sea $X$ el conjunto de los reales, con la topología usual, entonces:

* Si $S=(0,2)\,$, $\partial S=\{0,2\}\,$.
* Si $S=\mathbb {Z}$, $\partial S=\mathbb {Z}$.
* $\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$

En el plano $ℝ^2$ la frontera del círculo $C(H,r)=\{P\in \mathbb {R} ^{2}|d(H,P)\leq r\}$ es la circunferencia de radio r y centro en H, con la topología usual.

En $ℝ^3:$

* La frontera de la bola $B_{1}(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{3}|d(x,y)\leq 1\}$ es la esfera de radio unidad y centro en x, o lo que es lo mismo, $\partial B_{1}(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{3}|d(x,y)=1\}$.

## Propiedades

* La frontera de un conjunto es cerrada.
* La frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento: ∂S = $∂(S^C).$

De lo que se deduce que:

* p es un punto de la frontera de un conjunto si y solo si todo entorno de p contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto que no sea del conjunto.
* Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su frontera, y es abierto si y solo si es disjunto de su frontera.
* El cierre de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera. S = S ∪ ∂S.
* La frontera de un conjunto es vacía si y solo si el conjunto es abierto y cerrado a la vez.
* En $ℝ^n,$ todo subconjunto cerrado es frontera de algún conjunto.

### Fronteras y aplicaciones continuas

Dado un conjunto abierto y acotado $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ y una aplicación continua $f\in C^{0}({\bar {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})$ que es inyectiva sobre $\Omega$. Entonces se cumple:

* $f({\bar {\Omega }})={\overline {f(\Omega )}}$
* $f(\Omega )=f({\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }})\subset {\mbox{int}}\ f({\bar {\Omega }})$
* $f(\partial \Omega )\supset f({\bar {\Omega }})$

La prueba del teorema anterior puede darse en términos de topología elemental y es relativamente breve. Si además se cumple ${\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }}=\Omega$ y la función continua es inyectiva sobre el compacto ${\bar {\Omega }}$ entonces las dos inclusiones anteriores se convierten en igualdades:

* $f(\Omega )=f({\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }})={\mbox{int}}\ f({\bar {\Omega }})$
* $f(\partial \Omega )=f({\bar {\Omega }})$
