Método de pendiente-deflexión
# Método de pendiente-deflexión

El método de pendiente-deflexión o pendiente-desviación, también conocido como método de ángulos de giro, es un método de análisis estructural para vigas y marcos introducido en 1914 por George A. Maney. La pendiente-deflexión fue el método ampliamente utilizado por más de una década hasta el desarrollo del método de distribución de momentos.

## Introducción

Formando ecuaciones de pendiente-deflexión y aplicando condiciones de equilibro en los nodos se calculan los ángulos de rotación (o ángulos de pendiente). Una vez calculados, se sustituyen nuevamente en las ecuaciones de pendiente-deflexión y se determinan los momentos en los extremos de los miembros.

## Ecuaciones de pendiente-deflexión

Las ecuaciones de pendiente-deflexión también pueden ser escritas usando el factor de rigidez $K={\frac {I_{ab}}{L_{ab}}}$ y la rotación $\psi ={\frac {\Delta }{L_{ab}}}$:

### Demostración de las ecuaciones de pendiente-deflexión

Cuándo una viga simplemente apoyada de longitud $L_{ab}$ y rigidez a flexión $E_{ab}I_{ab}$ es cargada en cada extremo con momentos en sentido horario $M_{ab}$ y $M_{ba}$, ocurren rotaciones en los extremos de cada miembro en el mismo sentido. Estos ángulos de rotación pueden ser calculados utilizando el método de la fuerza unitaria o Ley de Darcy.

    $\theta _{a}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}={\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}$
    $\theta _{b}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}=-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}+{\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}$

Despejando de estas ecuaciones, se obtienen las ecuaciones correspondientes a las de pendiente-deflexión. De forma general, siendo $n$ el nodo cercano y $f$ el nodo lejano, el momento $M_{nf}$ en el extremo $n$ de un elemento puede plantearse con la fórmula general:

$M_{nf}=\left({\frac {2EI}{L}}\right)*(2\theta _{n}+\theta _{f}-3\psi )+FEM_{nf}$

## Condiciones de equilibrio

### Equilibrio en el nodo

Las condiciones de equilibrio implican que cada nodo con un grado de libertad no puede tener momentos sin balancear, es decir, debe estar en equilibrio. Por tanto:

    $\Sigma \left(M^{f}+M_{miembro}\right)=\Sigma M_{nodo}$

Aquí, $M_{miembro}$ son los momentos en los extremos de los miembros, $M^{f}$ son los momentos de empotramiento perfecto, y $M_{nodo}$ son los momentos externos aplicados directamente sobre el nodo..

### Equilibrio de cortantes

Cuando hay rotaciones en los nodos de un pórtico, es necesario tomar en cuenta las condiciones de equilibro del cortante en el marco.

## Ejemplo

Se analizará la viga estáticamente indeterminada de la figura.

* Los elementos AB, BC, y CD tienen la misma longitud $L=10\ m$.
* Las rigideces a flexión son EI, 2EI y EI respectivamente.
* La carga puntual de magnitud $P=10\ kN$ actúa a una distancia $a=3\ m$ desde el apoyo A.
* La carga distribuida uniformemente $q=1\ kN/m$ actúa sobre BC.
* El elemento CD está cargado a la mitad de su longitud con una carga puntual de magnitud $P=10\ kN$.

En este ejemplo, se considerará que las rotaciones y los momentos en sentido horario son positivos.

### Grados de libertad

Los ángulos de rotación $\theta _{A}$, $\theta _{B}$, $\theta _{C}$, de los nodos A, B y C, respectivamente se tomarán como las incógnitas. No hay rotaciones debido a otras causas (por ejemplo, asentamientos de los apoyos).

### Momentos de empotramiento perfecto (FEM)

    $M_{AB}^{f}=-{\frac {Pab^{2}}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 3\times 7^{2}}{10^{2}}}=-14.7\mathrm {\,kN\,m}$
    $M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=6.3\mathrm {\,kN\,m}$
    $M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\mathrm {\,kN\,m}$
    $M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=8.333\mathrm {\,kN\,m}$
    $M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.5\mathrm {\,kN\,m}$
    $M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=12.5\mathrm {\,kN\,m}$

### Ecuaciones de pendiente-deflexión

Se construyen las ecuaciones de la siguiente forma:

    $M_{AB}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{A}+2\theta _{B}\right)+M_{AB}^{f}={\frac {4EI\theta _{A}+2EI\theta _{B}}{10}}-14.7$
    $M_{BA}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{A}+4\theta _{B}\right)+M_{BA}^{f}={\frac {2EI\theta _{A}+4EI\theta _{B}}{10}}+6.3$
    $M_{BC}={\frac {2EI}{L}}\left(4\theta _{B}+2\theta _{C}\right)+M_{BC}^{f}={\frac {8EI\theta _{B}+4EI\theta _{C}}{10}}-8.333$
    $M_{CB}={\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{B}+4\theta _{C}\right)+M_{CB}^{f}={\frac {4EI\theta _{B}+8EI\theta _{C}}{10}}+8.333$
    $M_{CD}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{C}\right)+M_{CD}^{f}={\frac {4EI\theta _{C}}{10}}-12.5$
    $M_{DC}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{C}\right)+M_{DC}^{f}={\frac {2EI\theta _{C}}{10}}+12.5$

### Ecuaciones de equilibrio en cada nodo

En los nodos A, B y C deben cumplirse las condiciones de equilibrio, por tanto:

    $\Sigma M_{A}=M_{AB}+M_{AB}^{f}=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}-14.7=0$
    $\Sigma M_{B}=M_{BA}+M_{BA}^{f}+M_{BC}+M_{BC}^{f}=0.2EI\theta _{A}+1.2EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}-2.033=0$
    $\Sigma M_{C}=M_{CB}+M_{CB}^{f}+M_{CD}+M_{CD}^{f}=0.4EI\theta _{B}+1.2EI\theta _{C}-4.167=0$

### Ángulos de rotación

Los ángulos de rotación se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones de la sección anterior.

    $\theta _{A}={\frac {40.219}{EI}}$
    $\theta _{B}={\frac {-6.937}{EI}}$
    $\theta _{C}={\frac {5.785}{EI}}$

### Momentos en los extremos de los miembros

Sustituyendo los valores de los ángulos de vuelta en la ecuaciones de pendiente-deflexión arroja los momentos en los extremos de los miembros (en kNm):

    $M_{AB}=0.4\times 40.219+0.2\times \left(-6.937\right)-14.7=0$
    $M_{BA}=0.2\times 40.219+0.4\times \left(-6.937\right)+6.3=11.57$
    $M_{BC}=0.8\times \left(-6.937\right)+0.4\times 5.785-8.333=-11.57$
    $M_{CB}=0.4\times \left(-6.937\right)+0.8\times 5.785+8.333=10.19$
    $M_{CD}=0.4\times 5.785-12.5=-10.19$
    $M_{DC}=0.2\times 5.785+12.5=13.66$
    Una vez se tienen calculados estos momentos, entonces es posible realizar un despiece de la estructura para determinar las reacciones de los apoyos mediante las ecuaciones de la estática.
