Medida exterior
# Medida exterior

Una medida exterior sobre un cierto conjunto X es una función $\mu$ que asocia a cada subconjunto E de X un valor comprendido entre 0 e infinito (i.e., $\mu :{\mathcal {P}}(X)\to [0,+\infty ]$) y que satisface tres propiedades:

* $E_{1}\subset E_{2}\subset X\Rightarrow \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})\;\;{\text{(monotonía)}}$
* $\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)\leq \sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k})\;\;{\text{(subaditividad numerable)}}$
* $\mu (\varnothing )=0$

Si hacemos $E_{j}=\varnothing$ para $j\geq n$ en la propiedad 2, podemos notar que una medida exterior es finitamente subaditiva.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir, a partir de ellas, una medida en X.

