Espacio prehilbertiano
# Espacio prehilbertiano

En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par $(V,\langle \cdot |\cdot \rangle )$, donde $V\,$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb {K}$ y $\langle \cdot |\cdot \rangle$ es un producto escalar en $V\,$.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base $\mathbb {K}$ sea $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, así ningún espacio prehilbertiano sobre $\mathbb {Q}$ puede ser un espacio de Hilbert.

## Definiciones

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

    $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbf {K}$

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

* Hermítica.

       $\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.$
    Nótese que si $K=\mathbb {R}$, la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:
       $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle .$
    Esta condición implica que $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ para todo $x\in V$, porque $\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$.
* Sesquilineal:

       $\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .$
       $\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .$
    Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:
       $\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .$
       $\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .$
    En el caso de que el cuerpo sea $\mathbb {R}$ esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.
* Definida positiva:

       $\forall x\in V,\ \langle x,x\rangle \geq 0.$ (Tiene sentido, ya que $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ para todo $x\in V$.)
    Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo, es decir:
       $\langle x,x\rangle =0\;\;\Leftrightarrow \;\;x=0.$

## Normas en espacios prehilbertianos

En los espacios con producto escalar se define una norma

    $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

* $\|x\|$ es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.
* Homogeneidad: para todo vector x y r un escalar:

       $\|r\cdot x\|=|r|\cdot \|x\|.$
* Desigualdad triangular: para todo vector x e y

       $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas:

* Desigualdad de Cauchy-Schwarz: para x, y elementos en V

       $|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$
    la igualdad se cumple si y solo si x e y son linealmente dependientes
    Esta es una de la más importantes desigualdades en la matemática. También es conocida en la literatura matemático rusa como la desigualdad Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
    La prueba de este teorema y sus aplicaciones pueden encontrarse en el artículo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz
* Ley del paralelogramo:

       $\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.$
* Teorema de Pitágoras: Sean x, y vectores ortogonales, entonces

       $\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.$
    Estas últimas dos identidades sólo requieren expresar la definión de la norma en términos del producto interno, hacer las operaciones y usar los axiomas de norma.
    Una fácil generalización del teorema pitagórico que puede ser probada por inducción es la siguiente:
* Si $x_1,$ ..., $x_n$ son vectores ortogonales, o sea, $<x_j,$ $x_k>$ = 0 para todo j, k distinto, entonces

       $\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.$

## Ejemplos

* Un ejemplo trivial son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno.

    $\langle x,y\rangle :=xy$
* Más generalmente, cualquier espacio Euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ con el producto escalar es un espacio con producto interno.

    $\langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$
    tenemos la norma:
       $\|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$
