Identidad del palo de hockey
# Identidad del palo de hockey

En matemática combinatoria se conoce como Identidad del palo de hockey o Identidad del Calcetín de Navidad a la igualdad:

$\sum _{i=r}^{n}\,{\binom {i}{r}}={\binom {n+1}{r+1}}\quad \forall \,\,n,r\in \mathbb {N} \,\,\And \,\,n\geq r$

o a su imagen equivalente mediante la sustitución $j\to i-r$ :

$\sum _{j=0}^{n-r}\,{\binom {j+r}{r}}={\binom {n+1}{n-r}}$

la cual representa la suma de $n$ o $n-r+1$ elementos, en la segunda igualdad, de una diagonal del triángulo de Pascal. El nombre de esta igualdad proviene de su representación gráfica sobre dicho triángulo, ya que cuando se resaltan los sumandos y el total, la forma revelada recuerda vagamente a esos objetos.

## Demostraciones

Como paso previo a las demostraciones, hay que recordar la llamada Regla de Pascal que relaciona los elementos de una fila del triángulo de Pascal con los de la fila siguiente:

${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k+1}}+{\binom {n-1}{k}}$

O a su equivalente:

${\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}$

### Inducción matemática

Sea $n=r$

$\sum _{i=r}^{n}{\binom {i}{r}}=\sum _{i=r}^{r}{\binom {i}{r}}=1={\binom {r+1}{r+1}}={\binom {n+1}{r+1}}$

Supongamos que la identidad se cumple para todo número $k\in \mathbb {N} ,\,k\geq r$, por lo que es válido expresar que:

$\sum _{i=r}^{k}\,{\binom {i}{r}}={\binom {k+1}{r+1}}$

Entonces, la igualdad debe cumplirse para el número $k+1$:

${\begin{aligned}\sum _{i=r}^{k+1}\,{\binom {i}{r}}&=\sum _{i=r}^{k}{\binom {i}{r}}+{\binom {k+1}{r}}\\&={\binom {k+1}{r+1}}+{\binom {k+1}{r}}\\&={\binom {k+2}{r+1}}\\\end{aligned}}$

Por lo que queda demostrada la identidad de manera inductiva.

### Prueba algebraica (I)

Tomemos la identidad básica y usemos la ecuación equivalente de la Identidad de Pascal de manera directa:

    ${\begin{aligned}\sum _{t=\color {blue}k}^{n}{\binom {t}{k}}&=\sum _{t=k}^{n}\left[{\binom {t+1}{k+1}}-{\binom {t}{k+1}}\right]\\&=\sum _{t=\color {green}k}^{\color {green}n}{\binom {\color {green}{t+1}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&=\sum _{t=\color {green}{k+1}}^{\color {green}{n+1}}{\binom {\color {green}{t}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}&&{\text{Cambio de variables}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}-\underbrace {\binom {k}{k+1}} _{0}&&{\text{Desarrollo de los sumatorios}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}&&{\text{Resultado final}}\end{aligned}}$

### Prueba algebraica (II)

Consideremos la serie geométrica:

$S=1+(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\cdots +(1+x)^{n}$

Ya que la razón de esta serie es $(1+x)$, la igualdad anterior se transforma en:

${\begin{aligned}1+(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\cdots +(1+x)^{n}&={\frac {(1+x)^{n+1}-1}{(1+x)-1}}\\&=\sum _{j=1}^{n+1}{\binom {n+1}{j}}x^{j-1}\end{aligned}}$

Desarrollemos los diferentes binomios a partir de $(1+x)^{k}$:

${\begin{aligned}(1+x)^{k}&={\binom {k}{0}}+\cdots +{\binom {k}{k}}x^{k}\\(1+x)^{k+1}&={\binom {k+1}{0}}+\cdots +{\binom {k+1}{k}}x^{k}+{\binom {k+1}{k+1}}x^{k+1}\\(1+x)^{k+2}&={\binom {k+2}{0}}+\cdots +{\binom {k+2}{k}}x^{k}+{\binom {k+2}{k+1}}x^{k+1}+{\binom {k+2}{k+2}}x^{k+2}\\\cdots \\(1+x)^{n}&={\binom {n}{0}}+\cdots +{\binom {n}{k}}x^{k}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}\end{aligned}}$

Al sumar todos los coeficientes binomiales del término $x^{k}$ y sustituir después $j\to k+1$ obtenemos:

${\begin{aligned}[rlr]{\binom {k}{k}}+{\binom {k+1}{k}}+{\binom {k+2}{k}}+\cdots +{\binom {n}{k}}&=&{\binom {n+1}{k+1}}\\\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {k+j}{k}}&=&{\binom {n+1}{k+1}}\\\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k}}&=&{\binom {n+1}{k+1}}&&{\text{Haciendo cambio de variable}}\end{aligned}}$

con lo que queda demostrada la identidad.

### Prueba combinatoria (I)

Imagine que estamos distribuyendo caramelos indistinguibles a niños distinguibles. Mediante una aplicación directa del método de estrellas y barras, existen

    ${\binom {n+k-1}{k-1}}$

formas de distribuirlos. De manera alterna, primero podemos darle $0\leq i\leq n$ caramelos al mayor de los niños, de modo que en esencia, damos $n-i$ caramelos a los $k-1$ niños restantes.y, nuevamente, mediante doble conteo y el método de las estrellas y barras, nosotros tenemos:

${\binom {n+k-1}{k-1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n+k-2-i}{k-2}}$

lo cual se simplifica al resultado deseado, haciendo un cambio de variable, al tomar $n'=n+k-2$ y $r=k-2$ y observando que $n'-n=k-2=r$:

${\binom {n'+1}{r+1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n'-i}{r}}=\sum _{i=r}^{n'}{\binom {i}{r}}$

### Prueba combinatoria (II)

Podemos formar un comité de un tamaño de $k+1$ personas a partir de un grupo de $n+1$ personas en

    ${\binom {n+1}{k+1}}$

maneras. Ahora entregamos números como $1,2,3,\dots ,n-k+1$ a $n-k+1$ de las $n+1$ personas. Podemos dividir esto en $n-k+1$ casos inconexos. En general, en el caso de un número $x$, tal que $1\leqslant x\leqslant n-k+1$, la persona con el número $x$ está en el comité y las personas $1,2,3,\dots ,x-1$ no están en dicho comité. Esto se puede hacer de

    ${\binom {n-x+1}{k}}$

maneras. Ahora, podemos sumar los valores de estos $n-k+1$ casos diferentes, obteniendo:

    ${\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-2}{k}}+\cdots +{\binom {k+1}{k}}+{\binom {k}{k}}.$

lo que, nuevamente prueba la identidad.

