Modelo Landau-Lifshitz
# Modelo Landau-Lifshitz

En física del estado sólido, la ecuación de Landau-Lifshitz (LLE), llamada así por Lev Landau y Evgeny Lifshitz, es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal del magnetismo en sólidos, dependiendo de una variable de tiempo y una, dos o tres variables de espacio.

## Ecuación de Landau-Lifshitz

El LLE describe un imán anisotrópico. La ecuación es descrita en (Faddeev y Takhtajan, 2007, capítulo 8) de la siguiente manera: Es una ecuación para un campo vectorial S, en otras palabras, una función en $R^{1+n}$ que toma valores en $R^3.$ La ecuación depende de una matriz J simétrica fija de 3 por 3, que generalmente se asume que es diagonal, es decir, $J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})$ . Está dado por la ecuación de movimiento de Hamilton para el hamiltoniano

    $H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)$

(donde J ( S ) es la forma cuadrática de J aplicada al vector S ) que es

    ${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)$

En dimensiones 1 + 1 esta ecuación es

    ${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)$

En 2 + 1 dimensiones, esta ecuación toma la forma

    ${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)$

que es el LLE (2 + 1) -dimensional. Para el caso (3 + 1) -dimensional, LLE parece

    ${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)$

## Reducciones integrables

En general, LLE (2) no es integrable. Pero admite las dos reducciones integrables:

    a) en las dimensiones 1 + 1, es decir la Ec. (3), es integrable
    b) cuando $J=0$ . En este caso, el (1 + 1) -dimensional LLE (3) se convierte en la ecuación clásica continua ferromagnética de Heisenberg (ver p. Ej. Modelo de Heisenberg (clásico) ) que ya es integrable.
