Hookesches Gesetz
# Hookesches Gesetz

Das hookesche Gesetz (nach Robert Hooke, der es 1676 erstmals als Anagramm und 1678 aufgelöst publizierte) beschreibt die elastische Verformung von Festkörpern, wenn deren Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten („Ut tensio sic vis“) ist typisch für Metalle, wenn die Belastung nicht zu groß wird, sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik, Silizium).

Das hookesche Gesetz stellt den linearen Sonderfall des Elastizitätsgesetzes dar. Der Zusammenhang von Verformung und Spannung mit quadratischer oder höherer Ordnung kann hierbei nicht betrachtet werden. Außen vor bleiben also die nicht-linear elastische Verformung wie bei Gummi, die plastische Verformung oder die duktile Verformung wie bei Metall nach Überschreiten der Fließgrenze. Dennoch müssen Spannung und Verformung nicht in derselben Linie liegen: eine Verformung in $x$-Richtung kann eine Spannung in $y$-Richtung bewirken. Das hookesche Gesetz ist daher im Allgemeinen eine Tensorbeziehung.

In den rheologischen Modellen wird das Gesetz durch das Hooke-Element berücksichtigt.

## Hookesches Gesetz für Federsysteme

Das hookesche Gesetz besagt, dass die Dehnung $\Delta l$ linear von der wirkenden Kraft $F$ abhängt, und lässt sich als Formel folgendermaßen ausdrücken:

    $F=D\cdot \Delta l$ beziehungsweise $\Delta l={\frac {F}{D}}$

Die Federkonstante $D$ dient als Proportionalitätsfaktor und beschreibt die Steifigkeit der Feder. Bei einer Schraubenfeder zeigt sich das lineare Verhalten bei Belastung mit einem Gewicht. Nach Verdoppelung des Gewichts tritt auch die doppelte Dehnung $\Delta l$ auf.

Diese Eigenschaft ist maßgeblich zum Beispiel für die Verwendung von Metallfedern als Kraftmesser und in Waagen. Bei anderen Materialien – wie zum Beispiel Gummi – ist der Zusammenhang zwischen einwirkender Kraft und Ausdehnung nicht linear.

Das hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in anderen Bereichen der Physik Anwendung. In der Quantenmechanik etwa lässt sich für hinreichend kleine $\Delta l$ über die Anwendung des hookeschen Gesetzes der quantenmechanische harmonische Oszillator beschreiben. Ein weiteres Beispiel ist die Molekularphysik. Hier kann, analog zur Federkonstanten, die Linearität zu $\Delta l$ durch eine Kraftkonstante ausgedrückt werden. Diese Kraftkonstante beschreibt dann die Stärke einer chemischen Bindung.

Die in einer Feder durch Dehnung entstehende potentielle Energie kann folgendermaßen berechnet werden. Gegeben ist eine Auslenkung vom Betrag $s$, die die Auslenkung aus der Ruhelage ($s=0$, Gleichgewichtslage) beschreibt. Die Kraft ist proportional zur Auslenkung, nämlich ${\vec {F}}=-D{\vec {s}}$. Durch Integration der Kraft erhält man nun die potentielle Energie:

    $E_{\text{pot}}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}\,'}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{\left({-D{\vec {s}}\,'}\right)\cdot d{\vec {s}}\,'}=D\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {s}}\,'\cdot d{\vec {s}}\,'}={\frac {1}{2}}Ds^{2}$

Dies ist das für viele Modellrechnungen wichtige harmonische Potential (proportional zu $s^{2}$).

## Eindimensionaler Fall

Auf einen Stab der Länge $l_{0}$ und der Querschnittsfläche $A$ wirkt eine Zug- oder Druckbelastung (Kraft) entlang der $x$-Achse und bewirkt im Stab eine Spannung in $x$-Richtung:

    $\sigma _{x}={\frac {F_{x}}{A}}$

Dadurch ergibt sich eine Dehnung $\varepsilon _{x}$ des Stabes in $x$-Richtung:

    $\varepsilon _{x}={\frac {\Delta l}{l_{0}}}$

Die Dehnung des Stabes hängt dabei von der wirkenden Kraft, hier der Spannung im Stab, ab. Die Proportionalitätskonstante $E$ repräsentiert den Elastizitätsmodul des Materials, aus dem der Stab besteht.

    $\sigma _{x}=E\cdot \varepsilon _{x}$

Durch Einsetzen der ersten beiden Formeln und Umstellen ergibt sich die folgende Darstellung:

    $F_{x}=E\cdot A\cdot {\frac {\Delta l}{l_{0}}}$

Das hookesche Gesetz kann also dort angewendet werden, wo die wirkende Kraft nahezu linear von der Auslenkung oder Ausdehnung abhängt, und ist eine Verallgemeinerung des hookeschen Gesetzes für Federn.

## Verallgemeinertes hookesches Gesetz

Im allgemeinen Fall wird das hookesche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung (4. Stufe) ausgedrückt:

    ${\tilde {\sigma }}={\tilde {\tilde {C}}}{\tilde {\varepsilon }}$,

mit dem Elastizitätstensor ${\tilde {\tilde {C}}}$, der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor ${\tilde {\tilde {C}}}$ 81 Komponenten $C_{ijkl},\;i,j,k,l=1,\dotsc ,3$ aufweist, ist er schwierig zu handhaben. Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten $C_{ijkl}$ nach Überführung in Konstanten $C_{IJ}$ anhand des Schemas 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 31 → 5, 12 → 6 jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer $6\times 6$-Matrix, sowie die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden:

    ${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{41}&C_{42}&C_{43}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{51}&C_{52}&C_{53}&C_{54}&C_{55}&C_{56}\\C_{61}&C_{62}&C_{63}&C_{64}&C_{65}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$

Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese $6\times 6$-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen $C_{ij},\;i,j=1,\dotsc ,6$ (elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21.

Die maximal sechs Unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden somit auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt (Voigtsche Notation). Bei $\varepsilon _{4}=2\varepsilon _{23},\varepsilon _{5}$ und $\varepsilon _{6}$ muss man aufpassen, weil hier ein zusätzlicher Faktor 2 dazu kommt und nicht nur die Indizes angepasst werden.

## Isotrope Medien

Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form

    ${\bar {\varepsilon }}=L^{-1}{\bar {\sigma }}$, mit
    $L^{-1}={\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\\cdot &1&-\nu &0&0&0\\\cdot &\cdot &1&0&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu )&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu )&0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu )\end{bmatrix}}$, bzw.
    $L={\frac {E}{1+\nu }}{\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &\cdot &{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &{\frac {1}{2}}&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &0&{\frac {1}{2}}&0\\\cdot &\cdot &\cdot &0&0&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}$,

wobei $E$ der Elastizitätsmodul (auch Young’s modulus) und $\nu$ die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu

    $\varepsilon ={\frac {1}{E}}\sigma$.

### Schreibweise mit Lamé-Konstanten

Häufig findet sich für das verallgemeinerte hookesche Gesetz für isotrope Medien auch eine Schreibweise mit Hilfe der Lamé-Konstanten:

    $\sigma =2\mu \varepsilon +\lambda \;\operatorname {Spur} (\varepsilon )I$

oder ausgeschrieben:

    $\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{array}}\right)=2\mu \left({\begin{array}{ccc}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}&\varepsilon _{yz}&\varepsilon _{zz}\end{array}}\right)+\lambda (\varepsilon _{xx}+\varepsilon _{yy}+\varepsilon _{zz})\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)$.

Die Gleichung ist komponentenweise zu verstehen, z. B. gilt $\sigma _{xx}=2\mu \varepsilon _{xx}+\lambda (\varepsilon _{xx}+\varepsilon _{yy}+\varepsilon _{zz}){\cdot }1$. Die umgekehrte Beziehung lautet

    $\left({\begin{array}{ccc}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}&\varepsilon _{yz}&\varepsilon _{zz}\end{array}}\right)={\frac {1}{2\mu }}\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{array}}\right)-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)$.

Darin ist $E=2\mu (1+\nu )$ der Elastizitätsmodul. Die Materialkonstante $\mu$ heißt im deutschen Sprachraum Schubmodul und hat hier das Formelzeichen $G$.

### Ebener Spannungs- und Dehnungszustand

Scheiben sind ebene Flächenträger, die per Definition nur in ihrer Ebene belastet werden. Stäbe und Balken sind schlanke Träger, bei denen zwei Abmessungen klein sind gegenüber der dritten axialen. Wenn keine Belastungen senkrecht zur Ebene bzw. Längsachse dieser Träger auftreten, herrscht in ihnen ein ebener Spannungszustand (ESZ), in dem alle Spannungskomponenten senkrecht zur betrachteten Ebene vernachlässigt werden können.

Flächenträger, die auch senkrecht zu ihrer Ebene belastet werden, bezeichnet man als Platten. Ist diese Platte so dick, dass sie durch die senkrecht auf sie wirkende Belastung nicht merklich zusammengedrückt wird, herrscht in ihrer Ebene ein ebener Verzerrungszustand (EVZ), in dem alle Verzerrungskomponenten senkrecht zur betrachteten Ebene vernachlässigt werden können.

Stäbe, Balken, Scheiben und Platten sind im Maschinenbau und Bauwesen weit verbreitete Konstruktionselemente. Daher lohnt es sich, die Elastizitätsbeziehung für den ESZ und EVZ aufzuschreiben.

**Ebener Spannungszustand**

Der ESZ entspricht in obiger Beziehung der Bedingung $\sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{zz}=0$. Dadurch vereinfacht sich die Elastizitätsbeziehung zu

    $\left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)={\frac {1}{E}}\left({\begin{array}{ccc}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2(1+\nu )\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)$

bzw.

    $\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left({\begin{array}{ccc}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)$

und $\varepsilon _{zz}=-{\frac {\nu }{1-\nu }}(\varepsilon _{xx}+\varepsilon _{yy})=-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})$.

**Ebener Verzerrungszustand**

Im EVZ gilt $\varepsilon _{xz}=\varepsilon _{yz}=\varepsilon _{zz}=0$. Hieraus können dann folgende Zusammenhänge abgeleitet werden:

    $\left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)={\frac {1}{2\mu }}\left({\begin{array}{ccc}1-\nu &-\nu &0\\-\nu &1-\nu &0\\0&0&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)$.

bzw.

    $\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)={\frac {2\mu }{1-2\nu }}\left({\begin{array}{ccc}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&1-2\nu \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)$

mit $\sigma _{zz}=\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=\lambda (\varepsilon _{xx}+\varepsilon _{yy})$.

