Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
# Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik und macht Aussagen zur Zahlentheorie auf elliptischen Kurven.

## Formulierung

Die Vermutung sagt etwas über den Rang elliptischer Kurven aus. Elliptische Kurven sind durch Gleichungen dritten Grades in x und zweiten Grades in y gegeben, deren Diskriminante D nicht verschwindet. Auf diesen Kurven kann man rationale Punkte nach einem von Henri Poincaré 1901 untersuchten „Sekanten-Tangentenverfahren“ so addieren, dass das Ergebnis wieder ein rationaler Punkt der Kurve ist. Diese „Addition“ ist geometrisch so definiert: man lege eine Gerade durch zwei rationale Punkte P und Q. Schneidet die Gerade die Kurve in einem dritten Punkt, so spiegele man diesen an der x-Achse, was wieder einen Punkt auf der Kurve liefert, da diese symmetrisch zur x-Achse ist. Der so erhaltene rationale Punkt der Kurve ist die Summe P+Q. Als neutrales Element „0“ dient der Punkt im Unendlichen (projektive Ebene). Der Spiegelpunkt zu P auf der Kurve ist sein Inverses. Im Fall, dass die Gerade durch P, Q keinen dritten Schnittpunkt auf der Kurve hat, wird dafür der Punkt im Unendlichen genommen, und die Addition lautet: P+0=P. Man kann auch P + P bilden, indem man den Schnittpunkt der Tangente in P als zweiten Punkt in der Additionskonstruktion nimmt. Hinter dieser Konstruktion steht die Tatsache, dass elliptische Kurven Riemannflächen von der Form eines Torus haben (Geschlecht 1), geometrisch also Gitter sind und damit additive Gruppen sind, was sich auch auf ihr Verhalten in den rationalen Zahlen oder endlichen Körpern überträgt. Die Existenz einer solchen merkwürdigen Art von Addition wird auch in den sogenannten „Elliptic-curve“-Primzahltests, HW Lenstras „Elliptic-curve“-Faktorisierungsmethode und „public-key“-Verschlüsselungsverfahren in der Kryptographie ausgenutzt. Dazu braucht man Kurven mit möglichst vielen rationalen Punkten und nutzt die Schwierigkeit aus, die Ausgangsdaten für die additive Erzeugung großer rationaler Punkte der Kurve zu finden. Siehe dazu Elliptische-Kurven-Kryptosysteme.

Wenn man einen rationalen Ausgangspunkt $P_0$ so zu sich selbst addiert, erhält man eine Folge von Punkten:

    $P_{1}=P_{0}+P_{0}$
    $P_{2}=P_{0}+P_{0}+P_{0}$
    $P_{3}=P_{0}+P_{0}+P_{0}+P_{0}$

und so weiter.

Nun können zwei Fälle eintreten – natürlich auch auf derselben Kurve bei verschiedenen rationalen Punkten:

* Man bewegt sich in einem Kreis, d. h. irgendein $P_n$ ist wieder identisch dem Anfangspunkt. In diesem Fall bilden die Punkte eine endliche Gruppe. Die entsprechenden Punkte heißen Torsionspunkte, die zugehörige Gruppe Torsionsgruppe.
* Man kommt immerfort zu neuen Punkten, die alle auf der Kurve liegen. In diesem Fall wäre die Gruppe isomorph zum r-fachen Produkt der ganzen Zahlen, je nachdem wie viele Startpunkte $P_0$ notwendig sind, um die rationalen Punkte so zu erzeugen. Die Anzahl dieser Startpunkte wird als „Rang“ r der Kurve bezeichnet.

Bei ihrer Vermutung geben Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer ein Verfahren an, wie man aus der Gleichung der elliptischen Kurve deren Rang bestimmen kann. Er ergibt sich aus der Betrachtung der L-Funktion L(E, s), die abhängig ist von der untersuchten elliptischen Kurve E und einer komplexen Variablen s. Die L-Funktion ist analog zur riemannschen Zetafunktion definiert, nur geht man jetzt von der Primzahlseite – also vom Eulerprodukt – aus und kodiert zusätzlich in der Reihe die Anzahl der Lösungen der elliptischen Kurve modulo einer Primzahl p:

    $L(E,s)=\prod _{p}{\frac {1}{(1-a_{p}p^{-s}+p^{(1-2s)})}}$

mit der Anzahl der Lösungen mod p $N(p)=\left(p-a_{p}\right)$. L(E,s) hat die Form einer richtigen Zetafunktionsreihe (als Summe über die natürlichen Zahlen), sie konvergiert für Realteile von s ≥3/2. Man kann nun untersuchen, ob sie sich in ganz s analytisch fortsetzen lässt, ob sie eine Funktionalgleichung erfüllt, wo ihre Nullstellen liegen usw. Wie bei der riemannschen Zetafunktion für die Primzahlen erhält man aus L(E,s) Informationen über die asymptotische Verteilung der Lösungen (mod p, für große p). Birch und Swinnerton-Dyer untersuchten die Lösungen in den 1960er Jahren mit dem Computer und formulierten ihre berühmte Vermutung für die asymptotische Verteilung der Anzahl N(p) der Punkte auf E über endlichen Körpern F(p), also mod p:

    $\prod _{p<M}{\frac {N(p)}{p}}\approx \log(M)^{r}$ für $M\rightarrow \infty .$

Sie verbindet also ein Produkt lokaler Dichten (die einzelnen endlichen Körper haben maximal p Elemente) über die Primzahlen mit der asymptotischen logarithmischen Verteilung (mit einem Exponenten r, da hier r „natürliche Zahlen“ vorhanden sind). In die Sprache der Zetafunktion L(E,s) übertragen besagt sie, dass die Ordnung der Nullstelle von L(E, s) an der Stelle s=1 – falls die Funktion dort eine hat – gleich dem Rang r der Gruppe der rationalen Punkte ist. Dazu muss natürlich bewiesen werden, dass L bis zu s=1 analytisch fortgesetzt werden kann, so dass L dort in eine Taylorreihe entwickelbar ist. Es gibt auch noch eine detailliertere Version, die den Koeffizienten der Taylorentwicklung an der Stelle s=1 mit arithmetischen Objekten wie der Ordnung der Tate-Shafarevich Gruppe, „lokalen Faktoren“, der reellen Periode der Kurve und der Ordnung der Torsionsgruppen in Beziehung setzt.

Aus der Vermutung von Birch-Swinnerton-Dyer folgen einige weitere Sätze der Zahlentheorie, zum Beispiel von Jerrold Tunnell das Problem der Bestimmung kongruenter Zahlen.

## Status

Die Vermutung wurde bisher nur in Spezialfällen bewiesen:

* 1976 bewiesen John Coates und Andrew Wiles, dass wenn E eine elliptische Kurve mit „komplexer Multiplikation“ ist und L(E,1) nicht 0 ist, E nur eine endliche Zahl rationaler Punkte hat. Sie bewiesen dies für imaginär quadratische Körper K – aus diesen kommt der Faktor bei der „komplexen Multiplikation“ − mit der Klassenzahl 1, von Nicole Arthaud (Arthaud-Kuhman) wurde dies auf alle imaginärquadratischen Zahlkörper erweitert.
* 1983 zeigten Benedict Gross und Don Zagier, dass wenn eine modulare elliptische Kurve eine Nullstelle erster Ordnung bei s=1 hat, es einen rationalen Punkt unendlicher Ordnung gibt.
* 1990 zeigte Victor Kolyvagin, dass für eine modulare elliptische Kurve, für die L(E,1) eine Nullstelle 1. Ordnung bei s=1 hat, der Rang r=1 ist. Außerdem zeigte er ebenfalls für modulare Kurven, dass r=0 ist, falls L dort keine Nullstelle hat.
* 1991 zeigte Karl Rubin, dass für elliptische Kurven E mit komplexer Multiplikation mit Elementen aus einem imaginär-quadratischen Zahlkörper K, sowie mit nicht verschwindender L-Reihe bei s=1, der „p-Anteil“ der Tate-Shafarevich Gruppe die aus der Birch-Swinnerton-Dyer Vermutung folgende Ordnung hat, für alle Primzahlen p > 7.
* 1999 zeigten Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor, dass alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen modular sind (Taniyama-Shimura-Vermutung), so dass die Ergebnisse von Kolyvagin und Rubin für alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ gelten.
* Jan Nekovar zeigte um 2000 in einer kohomologischen Version der Vermutung über Selmer-Gruppen und -Komplexe um 2002, dass die Vermutung „modulo 2“ (Parität 2) richtig ist und es gibt eine Vermutung zu höheren Paritäten. Nekovar verallgemeinerte auch die BSD-Vermutung auf höhere Ordnungen der Nullstelle als Eins (Plektische Vermutung).
* 2010 zeigte Manjul Bhargava mit Arul Shankar, dass ein positives Maß der elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen Rang 0 hat und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer erfüllt. 2014 zeigten Bhargava, Christopher Skinner und Wei Zhang, dass dies für die Mehrheit (über 66 Prozent) elliptischer Kurven zutrifft.

Für Kurven mit Gruppen, die einen Rang r>1 haben, wurde bisher nichts bewiesen, es gibt aber starke numerische Argumente für die Korrektheit der Vermutung.

Der Beweis der noch offenen Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer wurde vom Clay Mathematics Institute in ihre Liste der Millennium-Probleme aufgenommen.

