R-Matrix
# R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen $R\in Mat(n)$, welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang und Rodney Baxter):

    $R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}$

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

## Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Eine $n^{2}\times n^{2}$-Matrix $R$ mit Einträgen $r_{ij}^{kl}$ kann als Endomorphismus des $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}$ mit Basis $e_{i}\otimes e_{j}$ aufgefasst werden, also

    $R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l}$.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

    $R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}$,

wobei $R^{ij}$ der Endomorphismus von $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}$ ist, der auf den Faktoren $i,j$ als $R$ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

    $R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R$

und

    $R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b}$.

## R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

## R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

