Zusammenhang (Prinzipalbündel)
# Zusammenhang (Prinzipalbündel)

In der Differentialgeometrie ist der Zusammenhang ein Konzept, mit dem der Paralleltransport zwischen den Fasern eines Prinzipalbündels erklärt werden kann. In der Physik werden solche Zusammenhänge zur Beschreibung von Feldern bei den Yang-Mills-Theorien verwendet.

## Definition

Sei $\pi \colon P\rightarrow M$ ein Prinzipalbündel mit der Strukturgruppe $G$. Die Gruppe wirke durch

    $R\colon P\times G\rightarrow P$.

Ferner bezeichne ${\mathfrak {g}}$ die Lie-Algebra der Lie-Gruppe $G$.

Ein Zusammenhang ist dann eine ${\mathfrak {g}}$-wertige 1-Form $\omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$, die $G$-äquivariant ist und deren Einschränkung auf die Fasern mit der Maurer-Cartan-Form übereinstimmt. Es sollen also die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein:

    $D(R_{g})\omega =\operatorname {Ad} (g^{-1})(\omega )$ für alle $g\in G$

und

    $\omega (X^{\sharp })=X$ für alle $X\in {\mathfrak {g}}$.

Hierbei ist $R_{g}\colon P\to P$ definiert durch $R_{g}(p)=R(p,g)$. $D(R_{g})$ bezeichnet das Differential von $R_{g}$. $\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$ ist die adjungierte Wirkung und $X^{\sharp }$ ist das sogenannte fundamentale Vektorfeld. Es wird durch

    $X^{\sharp }(p):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}R_{\exp(tX)}(p)$ für $p\in P$

auf $P$ definiert.

## Krümmung

Die Krümmung einer Zusammenhangsform ist definiert durch

    $\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].$

Hierbei ist der Kommutator Lie-Algebra-wertiger Differentialformen durch

    $[\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]$

und die äußere Ableitung $d\omega$ durch

    $d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])$

definiert.

Die Krümmungsform ist $G$-invariant und definiert deshalb eine 2-Form $\Omega \in \Omega ^{2}(M,{\mathfrak {g}})$ auf $M$.

### Bianchi-Identität

Zusammenhangs- und Krümmungsform genügen der Gleichung

    $d\Omega =\left[\Omega ,\omega \right]$.

## Horizontale Unterräume

Für eine Zusammenhangsform $\omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$ auf einem $G$-Prinzipalbündel $\pi :P\rightarrow M$ sind die horizontalen Unterräume $H_{p},p\in P$ definiert durch

    $H_{p}:=\ker(\omega :T_{p}P\rightarrow {\mathfrak {g}})$.

Die horizontalen Unterräume sind transversal zu den Tangentialräumen der Fasern von $\pi$, und sie sind $G$-invariant, d. h. $H_{gp}=DR_{g}(H_{p})$ für alle $g\in G,p\in P$.

Aus den horizontalen Unterräumen kann man die Zusammenhangsform zurückgewinnen (nach Identifikation des Tangentialraums der Faser mit ${\mathfrak {g}}$) durch Projektion von $T_{p}P$ entlang $H_{p}$ auf den Tangentialraum der Faser.

## Paralleltransport

Zu jedem Weg $\gamma :\left[0,1\right]\rightarrow M$ und jedem $x\in \pi ^{-1}(\gamma (0))$ gibt es einen Weg ${\tilde {\gamma }}:\left[0,1\right]\rightarrow P$ mit ${\tilde {\gamma }}_{x}(0)=x$ und $\pi ({\tilde {\gamma }}_{x})=\gamma$. (Das folgt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen.)

Insbesondere hat man zu jedem Weg $\gamma :\left[0,1\right]\rightarrow M$ eine durch

    $P_{\gamma }(x)={\tilde {\gamma }}_{x}(1)$

definierte Abbildung

    $P_{\gamma }:\pi ^{-1}(\gamma (0))\rightarrow \pi ^{-1}(\gamma (1))$,

den sogenannten Paralleltransport entlang des Weges $\gamma$.

Zu einem Punkt $b\in B$ definiert man die Holonomiegruppe als Untergruppe der Diffeomorphismen der Faser $F_{b}:=\pi ^{-1}(b)$ wie folgt. Zu einem geschlossenen Weg $\gamma :\left[0,1\right]\rightarrow B$ mit $\gamma (0)=\gamma (1)=b$ und einem $x\in F_{b}$ gibt es eine eindeutige Hochhebung ${\tilde {\gamma }}$ mit ${\tilde {\gamma }}(0)=x$ und wir definieren $f_{\gamma }(x):={\tilde {\gamma }}(1)$. Die Gruppe der $f_{\gamma }$ für alle $\gamma$ ist die Holonomiegruppe.

## Riemannscher Zusammenhang

Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ ist das Rahmenbündel ein Prinzipalbündel mit der linearen Gruppe $GL(n,\mathbb {R} )$.

Sei $A$ die Matrix, die mit Hilfe einer lokalen Basis durch

    $A(v)=\nabla _{X}v$

definiert wird, wobei $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang ist, so wird durch

    $\theta (X):=A$

die riemannsche Zusammenhangform definiert. Es gilt

    $\theta \in \Omega ^{1}(M,{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))$.

Seien $(x_{i})_{i}$ lokale Koordinaten in einer Umgebung von $p\in M$ und $(\omega _{i})_{i}$ die kanonischen 1-Formen des Rahmenbündels, dann hängt die Krümmungsform des Levi-Civita-Zusammenhangs mit dem Riemannschen Krümmungstensor über die Gleichung $\Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{kl}R_{ijkl}\omega _{k}\wedge \omega _{l}$ zusammen.

