Zusammengesetzte Poisson-Verteilung
# Zusammengesetzte Poisson-Verteilung

Die zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Poisson-Verteilung und spielt eine wichtige Rolle bei Poisson-Prozessen und der Theorie der unendlichen Teilbarkeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Verteilungen ist bei der zusammengesetzten Poisson-Verteilung nicht a priori festgelegt, ob sie stetig oder diskret ist. Sie sollte nicht mit der gemischten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

## Definition

Ist $N$ eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $\lambda$ und sind $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Zufallsvariable

    $Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

zusammengesetzt Poisson-verteilt . Sind die $X_{i}$ alle auf $\mathbb {N} _{0}$ definiert, also diskret, so heißt $Y$ diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt. In beiden Fällen schreibt man $Y\sim CPoi_{\mu }$ wobei $\mu$ das Wahrscheinlichkeitsmaß von $X_{i}$ ist. Wahrscheinlichkeitsdichten oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen sowie Verteilungsfunktionen lassen sich nur in Spezialfällen geschlossen angeben, aber eventuell mit dem Panjer-Algorithmus approximieren.

Gelegentlich finden sich auch in der deutschen Literatur die Begriffe die englischen Begriffe Compound Poisson und discrete compound Poisson.

## Eigenschaften

### Erwartungswert

Für den Erwartungswert gilt nach der Formel von Wald:

    $\operatorname {E} (Y)=\lambda \operatorname {E} (X_{1})$.

### Varianz

Nach der Blackwell-Girshick-Gleichung gilt

    $\operatorname {Var} (Y)=\lambda \,(\operatorname {E} (X_{1}))^{2}+\lambda \operatorname {Var} (X_{1})=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2}),$

wenn die zweiten Momente von $X_{i}$ existieren. Dabei folgt die zweite Gleichheit aus dem Verschiebungssatz.

### Schiefe

Mittels der Kumulanten ergibt sich für die Schiefe

    $\operatorname {v} (Y)={\frac {\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{3})}{\left(\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})\right)^{\frac {3}{2}}}}$.

### Wölbung

Für den Exzess ergibt sich mittels der Kumulanten

    $\gamma ={\frac {\operatorname {E} (X_{1}^{4})}{\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})^{2}}}$.

### Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

    $g_{X}(t)=\lambda (M_{X_{1}}(t)-1)$

wobei $M_{X_{1}}(t)$ die Momenterzeugende Funktion von $X_{1}$ ist. Damit gilt für alle Kumulanten

    $\kappa _{k}=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{k})$.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der momenterzeugenden Funktion der $X_{i}$:

    $M_{Y}(t)=\exp(\lambda (M_{X_{1}}(t)-1))$.

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der charakteristischen Funktion der $X_{i}$:

    $\varphi _{Y}(t)=\exp(\lambda (\varphi _{X_{1}}(t)-1))$

### Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind die $X_{i}$ diskret, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion definiert, und ergibt sich als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von $N$ und von $X_{i}$ zu

    $m_{Y}(t)=\exp(\lambda (m_{X_{1}}(t)-1))$.

### Unendliche Teilbarkeit

Eine zusammengesetzt Poisson-verteilte Zufallsvariable ist unendlich teilbar. Es lässt sich zeigen, dass eine Zufallsvariable auf $\mathbb {N} _{0}$ genau dann unendlich teilbar ist, wenn die Zufallsvariable diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt ist.

## Beziehung zu anderen Verteilungen

### Beziehung zur Poisson-Verteilung

Ist $X_{i}=1$ fast sicher, so fallen Poisson-Verteilung und zusammengesetzte Poisson-Verteilung zusammen.

### Beziehung zur geometrischen Verteilung und zur negativen Binomialverteilung

Da sowohl die geometrische Verteilung als auch die negative Binomialverteilung unendlich teilbar sind, handelt es sich um zusammengesetzte Poisson-Verteilungen. Sie entstehen bei Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Die Parameter der negativen Binomialverteilung errechnen sich als $p_{\text{log}}=1-p_{\text{neg}}$ und $r={\frac {-\lambda }{\ln(1-p_{\text{log}})}}$.

