Epigraph (Mathematik)
# Epigraph (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

    $\operatorname {epi} f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} \,:\,f(x)\leq \mu \right\}\subseteq X\times \mathbb {R}$

Ist der Bildraum der Funktion der $\mathbb {R} ^{n}$ versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$, so ist der Epigraph definiert als

    $\operatorname {epi} f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} ^{n}\,:\,f(x)\preccurlyeq _{K}\mu \right\}\subseteq X\times \mathbb {R} ^{n}$.

## Eigenschaften

Sei $X$ ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum. Für Funktionen $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ gilt:

* $f$ ist genau dann konvex, wenn der Epigraph von $f$ eine konvexe Menge bildet.
* $f$ ist genau dann halbstetig von unten, wenn der Epigraph von $f$ eine abgeschlossene Menge bildet.
* $f$ ist genau dann schwach unterhalbstetig, wenn der Epigraph von $f$ eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist.
* Ist $f$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in $X$.

Ist der Bildraum der Funktion der $\mathbb {R} ^{n}$, so ist sie genau dann K-konvex, wenn der Epigraph konvex ist.

