Zusammenhängender Raum
# Zusammenhängender Raum

In der mathematischen Topologie gibt es verschiedene Begriffe, die die Art und Weise des Zusammenhangs eines topologischen Raumes beschreiben. Im Allgemeinen heißt ein topologischer Raum $X$ zusammenhängend, falls es nicht möglich ist, ihn in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen. Ein Teilraum eines topologischen Raumes heißt zusammenhängend, wenn er unter der induzierten Topologie zusammenhängend ist.

Eine maximale zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Zusammenhangskomponente.

## Formale Definition

Für einen topologischen Raum ${\bigX,{\mathcal {O}}{\big )}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

* $X$ ist zusammenhängend.
* $X$ kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden:

    $\forall O_{1},O_{2}\in {\mathcal {O}},O_{1}\neq \emptyset ,O_{2}\neq \emptyset :O_{1}\cap O_{2}=\emptyset \Rightarrow O_{1}\cup O_{2}\neq X$
* $X$ kann nicht in zwei disjunkte nichtleere abgeschlossene Mengen zerlegt werden:

    $\forall O_{1},O_{2}\in {\mathcal {O}},O_{1}\neq X,O_{2}\neq X:(X\setminus O_{1})\cap (X\setminus O_{2})=\emptyset \Rightarrow (X\setminus O_{1})\cup (X\setminus O_{2})\neq X$
* $X$ und $\emptyset$ sind die beiden einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind.
* Die einzigen Mengen mit leerem Rand sind $X$ und $\emptyset$.
* $X$ kann nicht als Vereinigung zweier nichtleerer getrennter Mengen geschrieben werden.
* Jede stetige Abbildung von $X$ in einen diskreten topologischen Raum ist konstant.
* Jede lokal konstante Funktion von $X$ in eine beliebige Menge ist konstant.

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes nennt man zusammenhängend, wenn sie in der Teilraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist (siehe anschließendes Beispiel).

Manche Autoren betrachten den leeren topologischen Raum nicht als zusammenhängend (obwohl er die acht äquivalenten Bedingungen erfüllt). Dies hat gewisse Vorteile, zum Beispiel ist ein Raum mit dieser Definition genau dann zusammenhängend, wenn er genau eine Zusammenhangskomponente besitzt.

## Beispiel

Sei $X:=\left[0,1\right[\cup \left[3,4\right[\subseteq \mathbb {R}$. In Worten ist $X$ also die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen. Diese Menge ist wie üblich mit der von $\mathbb {R}$ induzierten Topologie (Teilraumtopologie, Spurtopologie) versehen. Dies bedeutet, dass die in $X$ offenen Mengen gerade die Mengen von der Form $V\cap X$ sind, wobei $V$ eine in $\mathbb {R}$ offene Menge ist. Eine Menge ist also genau dann in $X$ offen, wenn sie sich als Schnitt einer in $\mathbb {R}$ offenen Menge mit $X$ schreiben lässt.

Das Intervall $V_{1}:=\left]-1,2\right[$ ist in $\mathbb {R}$ offen. Also ist der Schnitt von $V_{1}$ mit $X$ in $X$ offen. Dies ergibt gerade $[0,1[$. Also ist die Menge $[0,1[$ in $X$ offen, obwohl $[0,1[$ natürlich nicht in $\mathbb {R}$ offen ist.

Ebenso ist das Intervall $V_{2}:=\left]2,5\right[$ in $\mathbb {R}$ offen. Also ist der Schnitt von $V_{2}$ mit unserem Raum $X$ in $X$ offen. Dieser Schnitt ist nun gerade die Menge $[3,4[$. Also ist $[3,4[$ eine offene Teilmenge des Raumes $X$.

Damit kann man den Raum $X$ als disjunkte Vereinigung von zwei in $X$ offenen Teilmengen schreiben, die beide nicht leer sind. Also ist $X$ nicht zusammenhängend.

Dies lässt sich alternativ auch folgendermaßen sehen: Das Intervall $[0,2]$ ist in $\mathbb {R}$ abgeschlossen. Also ist $[0,2]\cap X$ in $X$ abgeschlossen. Dieser Schnitt ist die Menge $[0,1[$, also ist $[0,1[$ in $X$ abgeschlossen, obwohl $[0,1[$ nicht in $\mathbb {R}$ abgeschlossen ist.

Da wie oben erläutert $[0,1[$ in $X$ auch offen ist, existiert mit $[0,1[$ eine Teilmenge von $X$, die gleichzeitig sowohl offen als auch abgeschlossen (in $X$) ist, aber nicht leer ist und auch nicht ganz $X$. Also kann $X$ nicht zusammenhängend sein.

## Zusammenhangskomponente

In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Teilräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Teilräumen, denen dieser Punkt zugehört.

## Besonderheiten

### Besonderheiten zusammenhängender Teilräume des reellen Koordinatenraums

Im reellen Koordinatenraum haben zusammenhängende Teilräume mehrere Besonderheiten. Hervorzuheben sind vor allem zwei davon.

**Zusammenhängende Teilräume der reellen Zahlen**

Hier handelt es sich um die reellen Intervalle. Es gilt nämlich:

    Die zusammenhängenden Teilräume von $\mathbb {R}$ sind die reellen Intervalle jeden Typs. Es handelt sich im Einzelnen also um die der leere Menge $\emptyset$, die einpunktigen Teilmengen sowie um alle offenen, halboffenen, abgeschlossenen, beschränkten und unbeschränkten Intervalle mit mindestens zwei Punkten, $\mathbb {R}$ selbst eingeschlossen.
    Es lässt sich nämlich zeigen, dass ein Teilraum $T\subseteq \mathbb {R}$ dann und nur dann zusammenhängend ist, wenn für je zwei Punkte $a\;,\;b\in T$ auch $[a,b]\subseteq T$ gilt.

**Gebiete**

Hinsichtlich der zusammenhängenden Teilräume des $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ ist vor allem die folgende Besonderheit bemerkenswert:

    Eine nichtleere offene Menge bildet genau dann einen zusammenhängenden Teilraum (und damit ein Gebiet), wenn sie wegzusammenhängend (s. u.) ist.
    Dabei gilt sogar schärfer, dass sich in einem solchen Gebiet je zwei Punkte stets durch einen ganz in diesem Gebiet liegenden Streckenzug verbinden lassen.

### Besonderheit kompakter metrischer Räume

Diese Besonderheit besteht in folgender Eigenschaft:

    Ist ein metrischer Raum $(X,d)$ kompakt, so ist er genau dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte $a,b\in X$ für jedes $\epsilon >0$ $\epsilon$-verkettet in dem Sinne, dass endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X\;(n=n(a,b,\epsilon )\in \mathbb {N} )$ existieren mit $a=x_{1}$ und $b=x_{n}$ sowie $d(x_{i},x_{i+1})<\epsilon \;(i=1,\ldots ,n-1)$.

## Globale Zusammenhangsbegriffe

Die folgenden Begriffe beziehen sich immer auf den ganzen Raum, sind also globale Eigenschaften:

### Total unzusammenhängend

Ein Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt, wenn also alle Zusammenhangskomponenten einpunktig sind. Jeder diskrete topologische Raum ist total unzusammenhängend. In diesem Fall sind die (einpunktigen) Zusammenhangskomponenten offen. Ein Beispiel für einen nicht diskreten total unzusammenhängenden Raum ist die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ mit der von $\mathbb {R}$ induzierten Topologie.

### Wegzusammenhängend

Ein topologischer Raum $X$ ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend oder kurvenweise zusammenhängend oder bogenweise zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten $x$, $y$ aus $X$ einen Weg $p$ von $x$ nach $y$ gibt, d. h. eine stetige Abbildung $p\colon [0,1]\to X$ mit $p(0)=x$ und $p(1)=y$.

Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. Ein Beispiel ist die Vereinigung des Graphen von

    $(0,\infty )\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto \sin(1/x)$

mit einem Abschnitt der $y$-Achse zwischen −1 und 1, mit der von $\mathbb {R} ^{2}$ induzierten Topologie. Da in jeder Umgebung der Null auch ein Stück des Graphen liegt, kann man die $y$-Achse nicht vom Graphen als eine offene Teilmenge abtrennen; die Menge ist also zusammenhängend. Andererseits gibt es keinen Weg von einem Punkt auf dem Graphen zu einem Punkt auf der $y$-Achse, also ist diese Vereinigung nicht wegzusammenhängend.

Eine maximale wegzusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Wegzusammenhangskomponente.

### Einfach zusammenhängend

Ein Raum ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt, d. h. nullhomotop ist. Die zweite Bedingung ist dazu äquivalent, dass die Fundamentalgruppe trivial ist.

So sind in der nebenstehenden Abbildung sowohl der pinkfarbene Raum $C$ als auch sein weißes Komplement „einfach zusammenhängend“, ersterer allerdings erst dadurch, dass eine Trennlinie die Umrundung des weiß gezeichneten Komplements verhindert. Im unteren Teilbild dagegen sind weder der orangefarbene Raum $D$ noch sein weiß gezeichnetes Komplement „einfach zusammenhängend“ – interpretiert man $D$ als Darstellung der Topologie einer „Kugel mit vier Henkeln“, wären das Komplement die vier „Löcher“ der Henkelkugel.

Im Unterschied zu Teilräumen des $\mathbb {R} ^{2}$, die, sobald sie einen oder mehrere nicht zu dem Raum gehörende Punkte („Löcher“) enthalten, dadurch auch nicht mehr „einfach zusammenhängend“ sind, gilt dies für Teilräume des $\mathbb {R} ^{3}$ zunächst einmal nicht: Ein Raum mit der Topologie eines (ganzen) Schweizer Käses etwa bleibt dennoch (und unabhängig von der Zahl der Löcher in seinem Inneren) „einfach zusammenhängend“, weil jeder geschlossene Weg in einem solchen Raum sich unter Umgehung der Löcher zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wird der Raum dagegen von einer Kurve, z. B. einer Geraden, komplett durchquert, deren Punkte allesamt nicht zu dem Raum gehören, entsteht die Situation des Volltorus: Ein sich um die Gerade schließender Weg kann damit nicht mehr auf einen einzelnen Punkt zusammengezogen werden.

### n-zusammenhängend

Ist $n$ eine nichtnegative ganze Zahl, so heißt ein topologischer Raum $X$ $n$-zusammenhängend, falls alle Homotopiegruppen $\pi _{\,k\,}(X)$ für $0\leq k\leq n$ trivial sind. „0-zusammenhängend“ ist also ein Synonym für „wegzusammenhängend“, und „1-zusammenhängend“ bedeutet dasselbe wie „einfach zusammenhängend“ im oben definierten Sinne.

### Zusammenziehbar

Ein Raum X ist zusammenziehbar, falls er homotopieäquivalent zu einem Punkt ist, das heißt die Identität auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Zusammenziehbare Räume haben daher aus topologischer Sicht ähnliche Eigenschaften wie ein Punkt, insbesondere sind sie immer einfach zusammenhängend. Aber die Umkehrung gilt nicht: n-Sphären mit festem Radius sind nicht zusammenziehbar, obwohl sie für $n\geq 2$ einfach zusammenhängend sind.

## Lokale Zusammenhangsbegriffe

Die folgenden Begriffe sind lokale Eigenschaften, sie machen also Aussagen über das Verhalten in Umgebungen von Punkten:

### Lokal zusammenhängend

Ein Raum ist lokal zusammenhängend, falls es zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes gibt. Jeder Punkt besitzt dann eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Mengen.

Ein lokal zusammenhängender Raum kann durchaus aus mehreren Zusammenhangskomponenten bestehen. Aber auch ein zusammenhängender Raum muss nicht unbedingt lokal zusammenhängend sein: Der „Kamm“, bestehend aus der Vereinigung der Intervalle $\{0\}\times [0,1]$, $[0,1]\times \{0\}$ und $[0,1]\times \{1/n\}$, ist zusammenhängend, doch jede genügend kleine Umgebung des Punktes $(1,0)$ enthält unendlich viele nicht zusammenhängende Intervalle.

### Lokal wegzusammenhängend

Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend oder lokal bogenweise zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt, die aus wegzusammenhängenden Umgebungen besteht. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist wegzusammenhängend genau dann, wenn er zusammenhängend ist. Das oben gegebene Beispiel mit dem Graphen von $\sin(1/x)$ und der $y$-Achse ist daher nicht lokal wegzusammenhängend. Fügt man auch noch die $x$-Achse hinzu bekommt man einen zusammenhängenden, wegzusammenhängenden, aber nicht lokal wegzusammenhängenden Raum („Warschauer Kreis“). Weiterhin ist das „Buch“ wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend für alle Punkte auf der Mittelsenkrechten mit Ausnahme des Schnittpunktes aller Geradenstücke.

### Lokal einfach zusammenhängend

Ein Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung enthält.

Mannigfaltigkeiten sind lokal einfach zusammenhängend.

Ein Beispiel für einen nicht lokal einfach zusammenhängenden Raum sind die Hawaiischen Ohrringe: Die Vereinigung von Kreisen mit Radien $1/n$ als Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$, so dass sich alle Kreise in einem Punkt berühren. Dann enthält jede Umgebung um den Berührpunkt einen geschlossenen Kreis und ist daher nicht einfach zusammenhängend.

### Semilokal einfach zusammenhängend

Ein Raum $X$ ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebung $U$ besitzt, so dass sich jede Schleife in $U$ in $X$ zusammenziehen lässt (in $U$ muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein, daher nur semilokal).

Semilokal einfach zusammenhängend ist eine schwächere Bedingung als lokal einfach zusammenhängend: Ein Kegel über den Hawaiischen Ohrringen ist semilokal einfach zusammenhängend, da sich jede Schleife über die Kegelspitze zusammenziehen lässt. Er ist aber (aus dem gleichen Grund wie die Hawaiischen Ohrringe selbst) nicht lokal einfach zusammenhängend.

