Riesz-Raum
# Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert und trägt deshalb heute seinen Namen.

## Definition

Sei $(X,+,\cdot )$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum und $(X,\leq )$ eine halbgeordnete Menge.

Dann heißt $(X,+,\cdot ,\leq )$ ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

* Für alle $f,g,h\in X$ gilt: $f\leq g\Rightarrow f+h\leq g+h$.
* Für alle $f,g\in X$ gilt: $0\leq a\in \mathbb {R}$ und $f\leq g\Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g$.
* $(X,\leq )$ ist ein Verband.
