Polinomio minimo
# Polinomio minimo

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

## Definizione

### Matrici quadrate

Data una matrice quadrata $A$ a valori in un certo campo $\Bbbk$, si considera l'insieme:

    ${\mathcal {I}}_{A}=\{p(x)\in {\mathbb {k}}[x]\ |\ p(A)=0\}$

di tutti i polinomi che si annullano in $A$. Questo insieme risulta essere un ideale (detto ideale dei polinomi) nell'anello $\Bbbk [x]$ di tutti i polinomi con coefficienti in $\Bbbk$.

L'anello $\Bbbk [x]$ è un anello euclideo (è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto) di conseguenza, è un anello ad ideali principali e quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

    ${\mathcal {I}}_{A}=(m(x))$

è generato da un elemento $m(x)$. Tale elemento è unico a meno di moltiplicazione per una costante non nulla ed è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine $x^{n}$ con $n=\deg(m(x))$). Si definisce quindi il polinomio minimo di $A$ come il polinomio $m(x)$.

### Endomorfismi

Dato un endomorfismo:

    $T:V\to V$

di uno spazio vettoriale $V$ su $\Bbbk$ di dimensione finita, il polinomio minimo $m(x)$ di $T$ è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

    ${\mathcal {I}}_{f}=\{p(x)\in \Bbbk [x]\ |\ p(T)=0\}$

formato da tutti i polinomi che annullano $T$. L'endomorfismo $p(T)$ è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

## Proprietà

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi, infatti, dato uno spazio vettoriale $V$ definito su un campo $\Bbbk$ e di dimensione $n$, vi è l'isomorfismo canonico $(\operatorname {End} (V),\circ )\cong (M_{n}(\Bbbk ),\cdot )$, dove $M_{n}(\Bbbk )$ è l'insieme delle matrici di ordine $n$ e aventi come entrate elementi del campo $\Bbbk$.

### Polinomio caratteristico

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se $p$ è il polinomio caratteristico di una matrice $A$ allora $p(A)=0$. Quindi $p$ è un elemento dell'ideale ${\mathcal {I}}_{A}$, e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico $p(x)$ si decompone in fattori primi come:

    $p=p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}}$

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

    $p=p_{1}^{l_{1}}\cdots p_{k}^{l_{k}}$

dove:

    $1\leqslant l_{j}\leqslant i_{j}\ \forall j=1,\ldots ,k$

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

### Triangolarizzabilità

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo $\Bbbk$.

### Diagonalizzabilità

In base al teorema di diagonalizzabilità, si sa che una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo $\Bbbk$ e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. Ne consegue che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte radici nel campo $\Bbbk$ di molteplicità uguale a $1$.

## Esempi

### Grado uno

Il polinomio minimo di una matrice $\lambda I$ ottenuta moltiplicando uno scalare $\lambda \neq 0$ per la matrice identità $I$ è pari a:

    $m(x)=x-\lambda$

D'altra parte, se $m$ è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo $\lambda I$.

### Diagonale

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

    $J={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

è

    $m(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$

mentre il polinomio caratteristico è:

    $p(x)=(x-1)^{2}(x-2)(x-3)$

### Blocco di Jordan

Dato un blocco di Jordan di ordine $n$ relativo all'autovalore $\lambda$:

    $J={\begin{pmatrix}\lambda &1&\cdots &0\\0&\lambda &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&\cdots &\lambda \end{pmatrix}}$

Il suo polinomio minimo è:

    $m(x)=(x-\lambda )^{n}$

## Applicazioni

### Diagonalizzabilità

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

**Proiezioni**

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo $T$ tale che:

    $T\circ T=T$

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

    $p(x)=x^{2}-x=x(x-1)$

vale $p(T)=0$. Ne segue che $p$ appartiene all'ideale ${\mathcal {I}}_{f}$, ed è quindi diviso dal polinomio minimo $m$ di $T$. Poiché $p$ ha due radici $0$ e $1$ di molteplicità $1$, anche $m$ ha radici di molteplicità $1$, e quindi $T$ è diagonalizzabile.

### Involuzioni

Una involuzione è un endomorfismo $T$ tale che:

    $T^{2}=\operatorname {id}$

Analogamente, $T$ è radice del polinomio $x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ che ha due radici, che sono distinte se la caratteristica del campo è diversa da $2$. Quindi $T$ è diagonalizzabile.

