Decadimento particellare
# Decadimento particellare

In fisica delle particelle, il decadimento particellare è il processo spontaneo mediante il quale una particella subatomica instabile si trasforma in una o più altre particelle subatomiche. Le particelle create nel processo (lo stato finale) devono essere ciascuna meno massiva della particella originale, sebbene la massa invariante del sistema sia conservata. Una particella è instabile se c'è almeno uno stato finale permesso in cui essa può decadere. Le particelle instabili hanno spesso molti modi di decadimento, ciascuno con una sua probabilità. I decadimenti sono mediati da una o più interazioni fondamentali. Le particelle dello stato finale possono essere a loro volta instabili e quindi decadere ulteriormente.

Il decadimento particellare è diverso dal decadimento radioattivo, in cui un nucleo atomico instabile si trasforma in un nucleo più leggero con l'emissione di particelle o radiazione, sebbene i due processi abbiano delle similitudini e possano essere descritti con la stessa terminologia.

## Vita media di alcune particelle

Dai dati del Particle Data Group, la vita media di alcune importanti particelle risulta essere:

    Tipologia Nome Simbolo Massa $(MeV/c^2)$ Vita media Leptone Elettrone / Positrone $e^{-}\,/\,e^{+}$ 0,511 $>4,6×10^{26}$ anni Muone / Antimuone $\mu ^{-}\,/\,\mu ^{+}$ 105,6 $2,2×10^{−6}$ s Tauone / Antitauone $\tau ^{-}\,/\,\tau ^{+}$ 1777 $291×10^{−15}$ s Mesone Pione neutro $\pi ^{0}$ 135 $8,4×10^{−17}$ s Pione carico $\pi ^{+}\,/\,\pi ^{-}$ 139,6 $2,6×10^{−8}$ s Barione Protone / Antiprotone $p^{+}\,/\,p^{-}$ 938,2 $>1×10^{26}$ anni Neutrone / Antineutrone $n\,/\,{\bar {n}}$ 939,6 885,7 s Bosone Bosone W $W^{+}\,/\,W^{-}$ 80 400 $1×10^{−24}$ s Bosone Z $Z^{0}$ 91 000 $1×10^{−25}$ s

## Probabilità di sopravvivenza

La vita media di una particella è indicata con $\tau$, la probabilità che essa sopravviva per un tempo maggiore di t prima di decadere è:

    $P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}$

dove

    $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

è il fattore di Lorentz della particella.

## Larghezza di decadimento

Per una particella di massa M, la larghezza di decadimento:

    $\Gamma ={\frac {\hbar }{\tau }}$

e

    $d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$
    dove
* n è il numero di particelle create nel decadimento.
* ${\mathcal {M}}$ è l'elemento della matrice invariante che connette lo stato iniziale con lo stato finale.
* $d\Phi _{n}$ è l'elemento della spazio delle fasi
* $p_{i}$ è il quadri-momento della particella i.

Lo spazio delle fasi è determinato da

    $d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)$

dove $\delta ^{4}$ è la delta di Dirac in quattro dimensioni.

## Quadrimpulso

La radice della norma del quadrimpulso di una particella è anche detta massa invariante (costante per ogni velocità v < c e numericamente coincidente con la massa a riposo $m_0).$

La norma del quadrimpulso è definita come la differenza tra il quadrato dell'energia e il quadrato del tri-impulso:

    $p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)$

Nel caso di due particelle si ha:

    $p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})$

Il quadrimpulso è conservato in tutti i decadimenti ed interazioni tra particelle

    $p_{\mathrm {iniziale} }=p_{\mathrm {finale} }$

## Decadimento a due corpi

Se una particella di massa M decade in due particelle (etichettate con 1 e 2) la conservazione del quadrimomento diventa

    $p_{M}=p_{1}+p_{2}$

che può essere scritto come

    $p_{M}-p_{1}=p_{2}$

elevando al quadrato entrambi i membri

    $p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}$

Usando la definizione precedentemente definita del quadrato del quadrimpulso si ha

    $M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}$

Se supponiamo la particella "madre" inizialmente ferma:

    ${\vec {p}}_{M}=0\qquad E_{M}=M$

si ottiene

    $M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}$

e quindi si arriva alla formula dell'energia per la particella 1:

    $E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}$

Similmente per la particella 2:

    $E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}$

L'angolo con cui è emessa una particella misurato nel sistema del laboratorio è collegato all'angolo nel sistema del centro di massa tramite l'equazione

    $\tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}$

### Larghezza di decadimento

Data una particella si massa M che decade in due particelle 1 e 2, nel sistema di riferimento fermo della particella "madre" si ha

    $|{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}.$

In coordinate sferiche:

    $d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right).$

Conoscendo l'elemento nello spazio delle fasi per il decadimento a due corpi si ottiene che la larghezza di decadimento è:

    $d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right).$
