Variabili di Mandelstam
# Variabili di Mandelstam

In fisica teorica le variabili di Mandelstam sono grandezze fisiche che rappresentano energia, impulso e angoli delle particelle in processi di scattering in un sistema Lorentz-invariante. Vengono usate nel caso di urti elastici tra due particelle.

Le variabili di Mandelstam $s,t,u$ sono definite come:

   * $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}$

   * $t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}$

   * $u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}$

dove $p_1$ e $p_2$ sono i quadri-impulsi delle particelle incidenti mentre $p_3$ e $p_4$ sono i quadri-impulsi delle particelle uscenti.

s rappresenta il quadrato dell'energia nel sistema del centro di massa ( $E^{CM}=M_{inv}c^{2}$, dove $M_{inv}$ indica la massa invariante del sistema ) e t il quadrato della quantità di impulso trasferito durante l'urto.

## Diagrammi di Feynman

Le lettere $s,t,u$ possono essere anche usate per individuare processi in canale-s, canale-t e canale-u. Questi canali rappresentano differenti tipi di diagrammi di Feynman o differenti processi di scattering quando l'interazione comporta lo scambio di una particella intermedia che possiede un momento ${\sqrt {s}},{\sqrt {t}},{\sqrt {u}}$,

    canale-s canale-t canale-u

Per esempio il canale-s corrisponde ad un processo in cui le particelle 1,2 interagiscono generando una particella intermedia, che infine decade nelle particelle 3 e 4: il canale-s è l'unico modo in cui si possono scoprire risonanze e nuove particelle instabili purché abbiano un tempo di vita sufficiente per essere rivelate.

Il canale-t rappresenta un processo in cui la particella 1 emette una particella intermedia e diventa la particella 3 dello stato finale, mentre la particelle 2 interagisce con la particella intermedia e diventa 4. Il canale-u è il canale-t nel quale si è scambiato il ruolo delle particelle 3 e 4.

## Limite per alte energie

Nel limite ultrarelativistico la massa può essere trascurata, quindi, ad esempio:

    $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2}$

dal momento che $p_{1}^{2}=m_{1}^{2}$ e $p_{2}^{2}=m_{2}^{2}$ (c =1).

In questo limite le variabili possono essere scritte come

    ${\begin{aligned}s&\approx 2p_{1}\cdot p_{2}&\approx \quad \!2p_{3}\cdot p_{4}\\t&\approx -2p_{1}\cdot p_{3}&\approx -2p_{2}\cdot p_{4}\\u&\approx -2p_{1}\cdot p_{4}&\approx -2p_{3}\cdot p_{2}\\\end{aligned}}$

## Addizione

Una proprietà di queste variabili è che la loro somma è pari alla somma dei quadrati delle masse delle particelle coinvolte (avendo posto c =1):

    $s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}$.

Per la dimostrazione sono necessarie due considerazioni:

* il modulo quadro del quadri-impulso di una particella è il quadrato della sua massa,

    $p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (1)$
* e la conservazione del quadri-impulso,

    $p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}\qquad \qquad \qquad (2)$

Si inizia scrivendo le tre variabili come:

    $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}$
    $t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}$
    $u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}$

usando la (1) si può scrivere:

    $s=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}$
    $t=m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}$
    $u=m_{1}^{2}+m_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}$

ora, sommando le tre equazioni si trova:

    ${\begin{aligned}s+t+u&=3m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2\left(m_{1}^{2}+p_{1}\cdot p_{2}-p_{1}\cdot p_{3}-p_{1}\cdot p_{4}\right)\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2\left(m_{1}^{2}+p_{1}\cdot \left(p_{2}-p_{3}-p_{4}\right)\right)\\\end{aligned}}$

quindi, in conclusione:

    $s+t+u=c^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2})$
