Trinomio
# Trinomio

In algebra elementare, un trinomio è un polinomio contenente tre termini; in altre parole, è la somma algebrica di tre monomi. Ad esempio: $21ab+c+3b$ oppure $37xyz+4y^{3}+z$.

## Trinomi particolari

In algebra sono studiati particolari trinomi che hanno rilevanza nella fattorizzazione:

* Il trinomio caratteristico: è un trinomio nella forma $x^{2}+sx+p$, con $s$ e $p$ numeri reali diversi da zero. Esso può essere scomposto nella forma:

$(x-x_{1})(x-x_{2})$,

dove $x_{1}$ e $x_{2}$ sono due numeri reali tali che: $x_{1}+x_{2}=s$ e $x_{1}x_{2}=p$.

Per esempio:

scomporre il trinomio $x^{2}+3x-4$; bisogna cercare due numeri $x_{1}$ e $x_{2}$ tali che la loro somma dia $+3$ e il loro prodotto dia $-4$. I numeri cercati sono $+4$ e $-1$; il trinomio pertanto si fattorizza in: $x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1)$.

* Il trinomio nella forma $mx^{2}+nx+q$, con $m$, $n$ e $q$ numeri reali diversi da zero.

Per scomporre questo trinomio è necessario trovare due numeri $x_{1}$ e $x_{2}$ la cui somma sia $n$ e il prodotto sia $mq$; a questo punto è possibile riscrivere il trinomio nella forma:

$mx^{2}+(x_{1}+x_{2})x+q$, dal quale si procede effettuando prima un raccoglimento parziale e poi un raccoglimento a fattor comune.

Per esempio:

scomporre il trinomio $6x^{2}-x-2$. Bisogna trovare due numeri $x_{1}$ e $x_{2}$ tali per cui $x_{1}+x_{2}=n=-1$ e $mq=-12$; i numeri cercati sono $x_{1}=-4$ e $x_{2}=+3$.

Il trinomio pertanto diventa:

$6x^{2}-x-2=6x^{2}+x(-4+3)-2=6x^{2}-4x+3x-2=2x(3x-2)+(3x-2)=(3x-2)(2x+1)$.

* Il quadrato di un binomio

Il quadrato di un binomio è sempre un trinomio, e rientra nella categoria dei prodotti notevoli; esso contiene sempre due termini, che sono ognuno il quadrato di un monomio, ed un terzo termine che è il prodotto dei due monomi moltiplicato per due.

In generale:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$.

### Metodo alternativo

Un qualsiasi trinomio dei tre citati sopra può essere scritto nella forma generica (detta anche canonica) $ax^{2}+bx+c$ e fattorizzato con un'unica regola, poiché in tutti i casi sono trinomi di secondo grado. Applicando la formula risolutiva:

$x_{1,2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}+4c}}}{2}}$,

nei casi in cui $\Delta \geqslant 0$, è possibile fattorizzare il trinomio nel seguente modo:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$.

Qualsiasi trinomio di secondo grado, scritto come equazione del tipo $y=ax^{2}+bx+c$, è rappresentato graficamente in un piano cartesiano da una parabola.

## Prodotti notevoli

Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini, più la somma dei tre possibili doppi prodotti:

    $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Il cubo di un trinomio è uguale alla somma dei cubi dei tre termini, più il triplo prodotto del quadrato di ogni termine per la somma degli altri due, più sei volte il prodotto dei tre termini:

    $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}(b+c)+3b^{2}(a+c)+3c^{2}(a+b)+6abc$
