Radice quadrata di una matrice
# Radice quadrata di una matrice

In matematica, per radice quadrata di una matrice quadrata $A$ si intende ogni matrice quadrata $X$ tale che il suo quadrato sia $X\cdot X=A$. In generale, una matrice non possiede un'unica radice quadrata.

## Procedimento numerico

Un procedimento per ottenere da una matrice $A$ una sua radice quadrata è quello chiamato iterazione per la radice quadrata di Denman-Beavers. Sia data la matrice quadrata $A$ di dimensione $n$, e si voglia ottenere $A^{\frac {1}{2}}$. Il procedimento iterativo si serve di una sequenza di coppie di matrici $\langle Y_{i},Z_{i}\rangle$. Si definiscono:

    $Y_{0}:=A{\mbox{ e }}Z_{0}:=I$

dove $I$ denota la matrice identità $n\times n$. Si procede per un opportuno numero di iterazioni definite da:

    $Y_{k+1}:=(Y_{k}+Z_{k}^{-1})/2\qquad Z_{k+1}:=(Z_{k}+Y_{k}^{-1})/2$

Si trova che:

    $\lim _{k\rightarrow +\infty }Y_{k}=A^{\frac {1}{2}}$

In alcuni casi un procedimento più efficiente per ottenere $A^{\frac {1}{2}}$ è il seguente: si costruisce la matrice $V$ le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice data $A$. Si trova quindi la matrice $V^{-1}$ inversa di $V$, e si calcola:

    $D:=V^{-1}AV$

Questa è una matrice diagonale i cui elementi diagonali sono gli autovalori della $A$. Si rimpiazza ogni elemento diagonale della $D$ con la sua radice quadrata in modo da ottenere la matrice ${\sqrt {D}}$, e si ottiene la matrice richiesta come:

    ${\sqrt {A}}=V{\sqrt {D}}V^{-1}$

Con una odierna calcolatrice grafica questo procedimento risulta in genere più efficiente del precedente. Questo approccio è effettuabile solo per matrici diagonalizzabili. Per matrici non diagonalizzabili si può procedere con una decomposizione di Jordan combinata con uno sviluppo in serie simile a quello descritto per il logaritmo di una matrice.

## Soluzione esplicita per matrici 2×2

Per il teorema di Hamilton-Cayley una generica matrice $A$ 2×2 soddisfa il polinomio caratteristico:

    $x^{2}-\mathrm {tr} (A)x+\det(A)$

cioè:

    $A^{2}-\mathrm {tr} (A)A+\det(A)I=0$

Indicando per brevità $\mathrm {tr} (A)$ con $t$ e $\det(A)$ con $d$ si ha:

    $A^{2}-tA+dI=0$

Muovendo il termine intermedio al secondo membro e completando il quadrato si ottiene:

    $A^{2}\pm 2{\sqrt {d}}A+dI=tA\pm 2{\sqrt {d}}A$

ovvero:

    $\left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)^{2}=\left(t\pm 2{\sqrt {d}}\right)A$

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene (compare un radicale doppio):

    $\pm \left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)={\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}{\sqrt {A}}$

da cui si ricava:

    ${\sqrt {A}}=\pm {\frac {A\pm {\sqrt {d}}I}{\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}}$

Si noti che il segno $\pm$ che compare prima della frazione è indipendente dagli altri due, che invece sono dipendenti tra loro. Il numero totale delle radici quadrate di una matrice quadrata $2\times 2$ è quindi $4$, e di queste quella con tutti e tre i segni positivi è la radice principale. In altre parole:

    ${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$
    ${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$
    ${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$
    ${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{4}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$
