Forma sesquilineare
# Forma sesquilineare

In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.

Poiché un'applicazione antilineare è talora detta semilineare, il nome sesquilineare trae origine dal prefisso latino sesqui- che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale. Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.

## Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo $\mathbb {C}$ è una mappa:

    $\phi :V\times V\to \mathbb {C}$

che associa ad ogni coppia di elementi $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w} \in V$ lo scalare $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in \mathbb {C}$.

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

* $\phi (\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} +\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {w} )$
* $\phi (a\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=a\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$
* $\phi (\mathbf {x} ,a\mathbf {y} )={\bar {a}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

con $a\in \mathbb {C}$ e $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ,\mathbf {w} \in \mathbb {V}$.

In altre parole, per ogni $\mathbf {z}$ in $V$ fissato, le applicazioni

    $\mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )\qquad \ \mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

## Forma hermitiana

Data una qualsiasi forma sesquilineare $\phi$ su $V$, è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare $\phi ^{\dagger }$ che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

    $\phi ^{\dagger }(\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}$

e si ha:

    $(\phi ^{\dagger })^{\dagger }=\phi$

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare $\phi :V\times V\to \mathbb {C}$ tale che:

    $\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}$

La forma hermitiana standard sullo spazio $\mathbb {C} ^{n}$ è definita nel modo seguente:

    $\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=\sum _{i=1}^{n}{\overline {z}}_{i}w_{i}$

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

    $\phi ={1 \over 2}(\phi +\phi ^{\dagger })+{1 \over 2}(\phi -\phi ^{\dagger })$

### Prodotto interno

Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:

    $\phi (0,0)=0\qquad \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {z} )>0$

se $\mathbf {z} \neq 0$. Un prodotto hermitiano è sovente indicato con $\langle ,\rangle$, e uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

### Forma antihermitiana

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare $\varepsilon :V\times V\to \mathbb {C}$ tale che:

    $\varepsilon (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=-{\overline {\varepsilon (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}$

ovvero:

    $\varepsilon =-\varepsilon ^{\dagger }$

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

    $\varepsilon =i\cdot \phi$

dove i è l'unità immaginaria e $\phi$ è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

### Matrice associata

Supponiamo che $V$ abbia dimensione finita. Sia

    $B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

una base di $V$. Ogni forma hermitiana $\phi$ è rappresentata da una matrice hermitiana $H$ definita come

    $H_{i,j}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})\$

e vale la relazione

    $\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=[\mathbf {w} ]_{B}^{t}H{\overline {[\mathbf {z} ]_{B}}}$

dove $[\mathbf {v} ]_{B}$ è il vettore in $C^{n}$ delle coordinate di $\mathbf {v}$ rispetto a $B$. D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base $B$.

## Forma quadratica

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

    $Q(z)=\phi (z,z)\$

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

