Función polinómica
# Función polinómica

Una función polinómica es una relación que para cada valor de la entrada proporciona un valor que se multiplique con un polinomio.

## Formalización

Formalmente, a cada variable $x$ le asigna un único valor, resultante de sustituirlo en el polinomio asociado a la función:

    ${\begin{array}{rccl}P:&\mathbb {R} &\longrightarrow&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=P(x)\end{array}}$

donde $P(x)\,$ es un polinomio definido para todo número real $x\,$; es decir, una suma finita de potencias de $x\,$ multiplicadas por coeficientes reales, de la forma:

    $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$

Entonces, una función polinómica se define simbólicamente:

    ${\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}$

tal que:

    $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

En esta función, la variable es $x$, el mayor de los exponentes a los que está elevada esta variable indica el grado del polinomio, los coeficientes $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ son números reales.

Las funciones polinómicas no constantes (grado mayor que 0), tienden a infinito cuando $x$ crece o decrece indefinidamente. El signo del infinito depende del coeficiente principal y del grado del polinomio. Además, si el grado es mayor que 1, la función no tiene asíntotas (si es 0 o 1, la función tiene una asíntota: $y=f(x)$).

## Funciones polinómicas básicas

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

| Grado | Nombre | Expresión | Representación |
| - | - | - | - |
| 0 | función constante | y = a | Rectas horizontales o paralelas al eje x |
| 1 | función lineal | y = ax + b es un binomio del primer grado | Rectas oblicuas |
| 2 | función cuadrática | y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado | Parábolas |
| 3 | función cúbica | y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado | Curvas cúbicas |
