Integral senoidal
# Integral senoidal

La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):

    ${\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\mbox{sinc}}(t)\,dt=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt$

Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie:

    ${\mbox{Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\dots$

## Propiedades

Algunas propiedades de la integral senoidal son:

* Al ser la integral de una función par, es una función impar, esto es, Si(-x) = -Si(x).
* El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite:

    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}$
    Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es $-{\frac {\pi }{2}}$.

## Funciones asociadas

### Seno Integral

Las diferentes definiciones son:

    ${\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt$
    ${\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt$

${\rm {Si}}(x)$ es la primitiva de $\operatorname {sen} x/x$ que es cero para $x=0$; ${\rm {si}}(x)$ es la primitiva de $\operatorname {sen} x/x$ que es cero para $x=\infty$. Se debe distinguir que ${\tfrac {\operatorname {sen} t}{t}}$ es la Función sinc y también la de orden cero de la función esférica de Bessel: $j_{n},y_{n}$. Cuando $x=\infty$, se conoce como la Integral de Dirichlet.

Se define la función integral senoidal complementaria como:

    ${\mbox{si}}(x)={\mbox{Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt$

### Coseno Integral

Se define la función integral cosenoidal como:

    ${\mbox{ci}}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\,dt$

Las diferentes definiciones son:

    ${\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt$
    ${\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt$
    ${\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt$

${\rm {ci}}(x)$ es la primitiva de $\cos x/x$ que es cero para $x=\infty$. Se tiene:

    ${\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,$
    ${\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,$
