Segundo Teorema de Minkowski
# Segundo Teorema de Minkowski

En matemáticas, el segundo teorema de Minkowski es un resultado en la geometría de los números sobre los valores tomados por una norma en un látice y el volumen de su célula fundamental.

## Contexto

Sea K un cuerpo cerrado convexo centralmente simétrico de volumen positivo y finito en un espacio Euclídeo n-dimensional $ℝ^n.$ El gauge o funcional de Minkowski de distancia g respecto a K está definido por

    $g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.$

Conversamente, dada una norma g en $ℝ^n,$ definimos K como

    $K={x∈R^n:g(x)≤1}.{\textstyle$ K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.}

Sea Γ un látice, o enrejado en $ℝ^n.$ Los mínimos sucesivos de K o g en Γ están definidos dejanto que el k-ésimo mínimo sucesivo $λ_k$ sea el ínfimo de los números λ tal que λK contiene k vectores linearmente independientes de Γ. Tenemos 0 < $λ_1$ ≤ $λ_2$ ≤ ... ≤ $λ_n$ < ∞.

## Enunciado

Los mínimos sucesivos satisfacen lo siguiente

    ${\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).$

## Prueba

Una base de vectores linearmente independientes del enrejado $b_1$ , $b_2$ , ... $b_n$ puede ser definida por $g(b_j)$ = $λ_j$ .

La cuota inferior se demuestra considerando el politopo convexo 2n con vértices en $±b_j/$ $λ_j$ , el cual tiene un interior contenido en K y un volumen que es $2n/n!λ_1$ $λ_2...λ_n$ veces un múltiplo entero de una célula primitiva del enrejado (lo cual puede verse escalando el politopo por un factor $λ_j$ en la dirección de cada vector base para obtener $2^n$ n-simplejos con vectores en el enrejado).

Para probar la cuota superior, consideremos las funciones $f_j(x)$ que envían puntos x en K{\textstyle K} al centroide del subconjunto de puntos en K{\textstyle K} que puede ser escrito como $x+∑_{i=1}^{j−1}a_ib_i{\textstyle$ x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}} para algunos números reales $a_i{\textstyle$ a_{i}}. Entonces, la transformaciónd de coordenadas $x^′=h(x)=∑_{i=1}^n(λ_i−λ_{i−1})f_i(x)/2{\textstyle$ x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2} tiene un determinante jacobiano $J=λ_1λ_2…λ_n/2^n{\textstyle$ J=\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n}/2^{n}}. Si p{\textstyle p} y q{\textstyle q} están en el interior de K{\textstyle K} y $p−q=∑_{i=1}^ka_ib_i{\textstyle$ p-q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}} (con $a_k≠0{\textstyle$ a_{k}\neq 0}), entonces $(h(p)−h(q))=∑_{i=0}^kc_ib_i∈λ_kK{\textstyle$ (h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K} con $c_k=λ_ka_k/2{\textstyle$ c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}, donde la inclusión en $λ_kK{\textstyle$ \lambda _{k}K} (específicamente el interior de $λ_kK{\textstyle$ \lambda _{k}K}) se debe a convexidad y simetría. Pero los puntos de enrejado en el interior de $λ_kK{\textstyle$ \lambda _{k}K} son, por definición de $λ_k{\textstyle$ \lambda _{k}}, siempre expresables como combinación lineal de $b_1,$ $b_2,$ $…b_{k−1}{\textstyle$ b_{1}, b_{2}, \ldots b_{k-1}}, así que cualesquiera dos puntos distintos de $K^′=h(K)={x^′|h(x)=x^′}{\textstyle$ K'=h(K)=\lbrace x'|h(x)=x'\rbrace }, estos no pueden ser separados por un vector del enrejado. Por tanto, $K^′{\textstyle$ K'} tiene que estar encerrado en una célula primitiva del enrejado (la cual tiene volumen $vol(R^n/Γ){\textstyle$ {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}), y por consiguiente $vol(K)/J=vol(K^′)≤vol(R^n/Γ){\textstyle$ {\text{vol}}(K)/J={\text{vol}}(K')\leq {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}.

