Superficie de revolución
# Superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

## Aplicaciones

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

## Área de una superficie de revolución

Si la curva está definida por las funciones $x(t)$ y $y(t)$, perteneciendo $t$ a un intervalo $[a,b]$ y siendo el eje de revolución el eje coordenado $Y$, el área $A$ estará dada, entonces, por la integral

   $A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({{\text{d}}x \over {\text{d}}t}\right)^{2}+\left({{\text{d}}y \over {\text{d}}t}\right)^{2}}}\,{\text{d}}t$

siendo $x(t)$ siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

   ${\text{d}}s={\sqrt {\left({{\text{d}}x \over {\text{d}}t}\right)^{2}+\left({{\text{d}}y \over {\text{d}}t}\right)^{2}}}$

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad $2\pi x(t)$ es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Asimismo, cuando el eje de rotación es el eje x y siempre que y(t) nunca sea negativo, el área viene dada por

   $A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.$

Si la curva está definida por la función $y=f(x)$, la integral se transforma en

   $A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y\,{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}\,{\text{d}}x=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\bigf'(x){\big )}^{2}}}\,dx\qquad a\leq x\leq b$

para una curva que gira alrededor del eje "x" de las abscisas, y

   $A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x\,{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}\,{\text{d}}x\qquad a\geq 0$

para una curva definida por la función $y=f(x)$ que gira alrededor del eje "y" de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva $x(t)=cos(t)$ y $y(t)=sen(t)$ cuando $t$ toma valores en el intervalo $[0,\pi ]$. Su área, por tanto, será

   $A=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,{\text{d}}t=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,{\text{d}}t=4\pi$

## Geometría diferencial de superficies de revolución

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

   $\mathbf {X} (u,v)=(\rho (u)\cos v,\rho (u)\sin v,h(u))\quad {\mbox{con}}\ v\in [0,2\pi )$

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

    $[I_{kl}(u,v)]={\begin{pmatrix}E(u,v)&F(u,v)\\F(u,v)&G(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho _{u}^{2}(u)+h_{u}^{2}(u)&0\\0&\rho ^{2}(u)\end{pmatrix}}$

Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

    $[II_{kl}(u,v)]={\begin{pmatrix}L(u,v)&M(u,v)\\M(u,v)&N(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\rho _{u}h_{uu}-\rho _{uu}h_{u}}{\sqrt {E}}}&0\\0&{\frac {\rho h_{u}}{\sqrt {E}}}\end{pmatrix}}$
