Descomposición Helmholtz
# Descomposición Helmholtz

En física y matemáticas, en el campo del cálculo vectorial, el teorema de Helmholtz, también conocido como el teorema fundamental del cálculo vectorial, afirma que cualquier campo vectorial tridimensional que sea lo bastante suave y que decaiga lo bastante rápido puede ser descompuesto en la suma de un campo vectorial irrotacional (sin rotor) más otro solenoidal (sin divergencia); esto se conoce como su descomposición Helmholtz en honor a Hermann von Helmholtz.

Esto implica que cualquier campo vectorial $\mathbf {F}$ que cumpla las condiciones está generado por un par de potenciales: un potencial escalar $\varphi$ y un potencial vector $\mathbf {A}$.

## Teorema

Sea $\mathbf {F}$ un campo vectorial en $\mathbb {R} ^{3}$ que sea de clase $C^{2}$ y que decaiga más rápido que ${\frac {1}{r}}$ en el infinito. Entonces, $\mathbf {F}$ es la suma de un gradiente y un rotor como sigue:

   $\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi +{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A}$

donde:

    $\varphi$ representa un potencial escalar.
    $\mathbf {A}$ representa un potencial vector.

Donde:

    $\varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}},$
    $\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.$

Si $\mathbf {F}$ tiene divergencia nula, $\nabla \cdot \mathbf {F} =0$, entonces F recibe el nombre de campo solenoidal, y su descomposición Helmholtz se reduce a:

   $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A}$

En este caso, $\mathbf {A}$ se conoce como el potencial vectorial de $\mathbf {F}$. Esta elección concreta de potencial vector tiene divergencia nula, condición que en física se denomina de Coulomb.

De forma similar, si $\mathbf {F}$ tiene rotor nulo, $\nabla \times \mathbf {F} =0$, se denomina campo irrotacional, y su descomposición Helmholtz se reduce a:

   $\mathbf {F} =-\nabla \varphi .$

En este caso, $\varphi$ se conoce como el potencial escalar de $\mathbf {F}$.

En general $\mathbf {F}$ es la suma de estos términos,

   $\mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A}$

donde el gradiente negativo del potencial escalar es la componente irrotacional, mientras que el rotor del potencial vector es la componente solenoidal.

## Campos con divergencia y rotacional dados

El nombre "teorema de Helmholtz" también puede referirse a lo siguiente: sea $\mathbf {C}$ un campo vectorial y $d$ uno escalar en $\mathbb {R} ^{3}$ lo suficientemente suaves y que decaen más rápido que ${\frac {1}{r^{2}}}$ en el infinito. Entonces, existe un campo vectorial $\mathbf {F}$ tal que $\nabla \cdot \mathbf {F} =d$ y $\nabla \times \mathbf {F} =C$. Si además se especifica la condición de que $\mathbf {F}$ se anule con $r\to \infty$, entonces $\mathbf {F}$ es único.

Es decir, dados una divergencia y rotacional se puede construir el campo vectorial asociado, y si además se indica que éste se anula en el infinito, está especificado de forma única por su divergencia y su rotor. Este teorema es de gran importancia en electrostática, dado que las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético en el caso estático son exactamente del tipo descrito. La prueba se construye generalizando la dada arriba, estableciendo

   $\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}{\mathcal {G}}(d)+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathcal {G}}(\mathbf {C} ).$

## Formas diferenciales

La descomposición de Hodge está relacionada con la descomposición de Helmholtz, pasando de campos vectoriales en $R^3$ a formas diferenciales en una variedad Riemanniana M. La mayoría de las formulaciones de la descomposición de Hodge exigen que M sea compacta. Dado que esto no se cumple para $R^3,$ la descomposición de Hodge no es estrictamente una generalización del teorema de Helmholtz. Sin embargo, el requisito de compacidad de la formulación usual puede relajarse, exigiendo en su lugar a las formas diferenciales involucradas las condiciones adecuadas sobre su decaimiento en el infinito, resultando por tanto una auténtica generalización del teorema de Helmholtz.

## Formulación débil

También se puede generalizar la descomposición de Helmholtz relajando las condiciones de regularidad (es decir, la exigencia de que existan derivadas en sentido fuerte). Sea Ω un dominio de Lipschitz acotado y simplemente conexo. Todo campo vectorial u ∈ $(L^2(Ω))^3$ que sea cuadrado-integrable (es decir, que la integral en todo el dominio del cuadrado de su módulo sea finita) tiene una descomposición ortogonal:

   $\mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$

donde φ está en el espacio de Sóbolev $H^1$ de funciones cuadrado-integrables en Ω cuyas derivadas parciales (definidas en el sentido de distribución) sean también cuadrado-integrables; y A ∈ H(rot,Ω), el espacio Sobolev de campos vectoriales cuadrado-integrables con rotor también cuadrado-integrable.

Si el campo vectorial u es más suave y se cumple u ∈ H(rot,Ω), se tiene una descomposición similar:

   $\mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\mathbf {v}$

donde φ ∈ $H^1(Ω)$ y v ∈ $(H^1(Ω))^d.$

## Campos longitudinal y transversal

En física es frecuente denominar componente longitudinal a la componente irrotacional de un campo vectorial, y componente transversal a la componente solenoidal. Esta terminología surge de la aplicación de transformadas integrales vectoriales como sigue: sea u(x) un campo vectorial en $R^3,$ y sea U(k) su transformada tridimensional de Fourier. Si se separa este último campo en cada punto k en sus componentes paralela (longitudinal) y perpendicular (transversal) a k, se tiene:

    ${\mathcal {F}}[\mathbf {u} (\mathbf {x} )]=\mathbf {U} (\mathbf {k} )=\mathbf {U} _{l}(\mathbf {k} )+\mathbf {U} _{t}(\mathbf {k} )$
    $\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} _{t}=\mathbf {k} \times \mathbf {U} _{l}=0$

Aplicando a continuación la transformada inversa de Fourier a cada componente, y empleando las propiedades de esta transformada, se verifica:

    ${\mathcal {F}}^{-1}[\mathbf {U} (\mathbf {k} )]=\mathbf {u} (\mathbf {x} )=\mathbf {u} _{t}(\mathbf {x} )+\mathbf {u} _{l}(\mathbf {x} )$
    $\nabla \cdot \mathbf {u} _{t}=\nabla \times \mathbf {u} _{l}=0$

Por tanto, se ha obtenido la descomposición Helmholtz de u.

## Fórmulas integrales

Si el campo vectorial es suave y decae lo bastante rápido, junto con sus derivadas primera y segunda, entonces los campos vectoriales $F_l$ y $F_t$ que resultan de su descomposición Helmholtz F = $F_l$ + $F_t$ pueden ser expresados en forma integral:

    ${\begin{aligned}\mathbf {F} _{l}(\mathbf {x} )&=-{1 \over 4\pi }{\nabla }\left({\nabla }\cdot \int {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} ')\,d^{3}x'}{\mid \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\mid }}\right)\\&=-{1 \over 4\pi }\nabla \int {\frac {\nabla ^{\prime }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {x} ^{\prime })}{\mid \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\mid }}d^{3}x^{\prime }\end{aligned}}$

y

    $\mathbf {F} _{t}\left(\mathbf {x} \right)={1 \over 4\pi }{\nabla }\times {\nabla }\times \int {\mathbf {F} \left(\mathbf {x} ^{\prime }\right)\,d^{3}x^{\prime } \over \mid \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\mid }.$

El rotacional del primer vector es nulo, porque es un gradiente, y lo mismo se aplica a la divergencia del segundo porque es un rotor. Esta descomposición integral es consecuencia de la expresión del potencial newtoniano de F, que es el campo vectorial W que decae rápidamente y cumple

    $\nabla ^{2}\mathbf {W} =-\mathbf {F} .$

El potencial puede ser expresado como

    $\mathbf {W} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} ')\,d^{3}x'}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}.$

Entonces, la identidad vectorial

    $-\nabla ^{2}\mathbf {W} =-\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {W} \right)+\nabla \times \nabla \times \mathbf {W}$

es exactamente la descomposición Helmholtz, porque el primer miembro es F, y el segundo es $F_l$ + $F_t.$

