Collar de Antoine
# Collar de Antoine

En matemáticas, el collar de Antoine es un encaje topológico del conjunto de Cantor en el espacio euclídeo de 3 dimensiones cuyo complemento no está simplemente conexo. Es un contraejemplo de la afirmación de que todos los espacios de Cantor son ambientalmente homeomorfos entre sí. Fue descubierto por Louis Antoine en 1921.

## Construcción

El collar de Antoine se construye de forma iterativa, partiendo de un toro sólido $A^0$ (iteración 0). Se construye un «collar» compuesto por toros más pequeños, enlazados entre sí, en el interior de $A^0.$ Este collar es $A^1$ (iteración 1). Cada uno de los toros que conforman $A^1$ se puede sustituir por otro collar más pequeño de la misma forma que ya se hizo para $A^0.$ Al proceder así, se obtiene $A^2$ (iteración 2).

Este proceso se puede repetir un número infinito contable de veces para crear un $A^n$ para cualquier n. El collar de Antoine, A, se define como la intersección de todas las iteraciones.

## Propiedades

Como los toros sólidos se hacen arbitrariamente pequeños a medida que crece el número de la iteración, las componentes conexas de A deben ser puntos. Se puede verificar que A es cerrado, denso en sí mismo y totalmente discontinuo, que tiene la cardinalidad del continuo. Esto es suficiente para concluir que un espacio métrico abstracto A es homeomorfo al conjunto de Cantor.

El collar de Antoine fue utilizado por James Waddell Alexander en 1924 para construir la esfera cornuda de Antoine (similar pero no idéntica a la esfera cornuda de Alexander).

