Bornología vectorial
# Bornología vectorial

En matemáticas, especialmente en análisis funcional, se denomina bornología vectorial a una bornología ${\mathcal {B}}$ en un espacio vectorial $X$ sobre un cuerpo $\mathbb {K} ,$ (donde $\mathbb {K}$ posee una bornología $B_{\mathbb{F}$$}$), si ${\mathcal {B}}$ convierte las operaciones del espacio vectorial en aplicaciones acotadas.

## Definiciones

### Requisitos previos

Una bornología en un conjunto $X$ es una colección ${\mathcal {B}}$ de subconjuntos de $X$ que satisfacen todas las condiciones siguientes:

* ${\mathcal {B}}$ recubre $X;$, es decir, $X=\cup {\mathcal {B}}$
* ${\mathcal {B}}$ es estable bajo inclusiones; es decir, si $B\in {\mathcal {B}}$ y $A\subseteq B,$ entonces $A\in {\mathcal {B}}$
* ${\mathcal {B}}$ es estable bajo uniones finitas; es decir, si $B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}$ entonces $B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}$

Los elementos de la colección ${\mathcal {B}}$ se denominan ${\mathcal {B}}$-acotado o simplemente conjuntos acotados si se sobreentiende que ${\mathcal {B}}$. El par $(X,{\mathcal {B}})$ se denomina estructura acotada o conjunto bornológico.

Una base o sistema fundamental de una bornología ${\mathcal {B}}$ es un subconjunto ${\mathcal {B}}_{0}$ de ${\mathcal {B}}$ tal que cada elemento de ${\mathcal {B}}$ es un subconjunto de algún elemento de ${\mathcal {B}}_{0}.$ Dada una colección ${\mathcal {S}}$ de subconjuntos de $X,$ la bornología más pequeña que contiene ${\mathcal {S}}$ se llama bornología generada por ${\mathcal {S}}.$

Si $(X,{\mathcal {B}})$ e $(Y,{\mathcal {C}})$ son conjuntos bornológicos, entonces su bornología del producto sobre $X\times Y$ es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma $B\times C,$ donde $B\in {\mathcal {B}}$ y $C\in {\mathcal {C}}.$ Un subconjunto de $X\times Y$ está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre $X$ e $Y$ están acotadas.

Si $(X,{\mathcal {B}})$ e $(Y,{\mathcal {C}})$ son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función $f:X\to Y$ es una aplicación localmente acotada o una aplicación acotada (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados ${\mathcal {B}}$ de $X$ a subconjuntos acotados ${\mathcal {C}}$ de $Y;$, es decir, si $f\left({\mathcal {B}}\right)\subseteq {\mathcal {C}}.$ (078) Si además $f$ es una biyección y $f^{-1}$ también está acotada, entonces $f$ se denomina isomorfismo bornológico.

### Bornología vectorial

Sea $X$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb {K}$ donde $\mathbb {K}$ tiene una bornología ${\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.$ Una bornología ${\mathcal {B}}$ en $X$ se llama bornología vectorial en $X$ si es estable ante la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de conjuntos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).

Si $X$ es un espacio vectorial y ${\mathcal {B}}$ es una bornología en $X,$ entonces lo siguiente es equivalente:

* ${\mathcal {B}}$ es una bornología vectorial.
* Las sumas finitas y los cascos equilibrados de conjuntos acotados por ${\mathcal {B}}$ están acotados por ${\mathcal {B}}$
* La aplicación multiplicación escalar $\mathbb {K} \times X\to X$ definida por $(s,x)\mapsto sx$ y la aplicación suma $X\times X\to X$ definida por $(x,y)\mapsto x+y,$ están acotadas cuando sus dominios llevan sus bornologías producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados).

Una bornología vectorial ${\mathcal {B}}$ se llama bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de la envolvente convexa (es decir, la envolvente convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces ${\mathcal {B}}.$ Y una bornología vectorial ${\mathcal {B}}$ se llama separada si el único subespacio vectorial acotado de $X$ es el espacio trivial de dimensión 0 $\{0\}.$

Por lo general, $\mathbb {K}$ son números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial ${\mathcal {B}}$ sobre $X$ se llamará bornología vectorial convexa si ${\mathcal {B}}$ tiene una base que consta de conjuntos convexos.

## Caracterizaciones

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb {F}$ de los números reales o de los complejos y ${\mathcal {B}}$ es una bornología en $X.$ Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:

* ${\mathcal {B}}$ es una bornología vectorial.
* La suma y la multiplicación escalar son aplicaciones acotadas.
* La envolvente equilibrada de cada elemento de ${\mathcal {B}}$ es un elemento de ${\mathcal {B}}$ y la suma de dos elementos cualesquiera de ${\mathcal {B}}$ es nuevamente un elemento de ${\mathcal {B}}$

## Bornología en un espacio vectorial topológico

Si $X$ es un espacio vectorial topológico, entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados de $X$ de una bornología vectorial en $X$ llamada 'bornología de von Neumann $X$, bornología habitual , o simplemente la bornología de $X$ y se la conoce como acotación natural. En cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo $X,$ el conjunto de todos los discos acotados cerrados forma una base para la bornología habitual de $X.$.

A menos que se indique lo contrario, siempre se supone que los números reales o complejos están dotados de la bornología habitual.

## Topología inducida por una bornología vectorial

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb {K}$ de los números reales o los complejos y ${\mathcal {B}}$ es una bornología vectorial sobre $X.$ Sea ${\mathcal {N}}$ todos aquellos subconjuntos $N$ de $X$ que son convexos, equilibrados y bornívoros. Entonces ${\mathcal {N}}$ forma una base de entornos en el origen para una topología localmente convexa.

## Ejemplos

### Espacio localmente convexo de funciones acotadas

Sea $\mathbb {K}$ el conjunto de los números reales o complejos (dotados de sus bornologías habituales), sea $(T,{\mathcal {B}})$ una estructura acotada y denótese con $LB(T,\mathbb {K} )$ el espacio vectorial de todas las aplicaciones valoradas en $\mathbb {K}$ acotadas localmente en $T.$ Para cada $B\in {\mathcal {B}},$ sea $p_{B}(f):=\sup \left|f(B)\right|$ para todos los $f\in LB(T,\mathbb {K} ),$ donde esto define una seminorma en $X.$ La topología del espacio vectorial topológico localmente convexo en $LB(T,\mathbb {K} )$ definido por la familia de seminormas $\left\{p_{B}:B\in {\mathcal {B}}\right\}$ se denomina topología de convergencia uniforme en un conjunto acotado. Esta topología convierte a $LB(T,\mathbb {K} )$ en un espacio métrico completo.

### Bornología de la equicontinuidad

Sea $T$ un espacio topológico, sean $\mathbb {K}$ los números reales o complejos, y sea $C(T,\mathbb {K} )$ el espacio vectorial de todas las aplicaciones continuas con valores $\mathbb {K}$ en $T.$ El conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos de $C(T,\mathbb {K} )$ forma una bornología vectorial en $C(T,\mathbb {K} ).$

