Cuantificador
# Cuantificador

En lógica formal, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

    $\forall \,x,y\ldots$
    Para todo x, y...
    $\exists \,x,y\ldots$
    Existe al menos un x, y...
    $\exists !\,x,y\ldots$
    Existe exactamente un x, y...
    $\nexists \,x,y\ldots$
    No existe ningún x, y...

## Historia

El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores ($\forall$ y $\exists$) que permite cuantificar nuevos argumentos. La obra se encuentra dividida en varios capítulos:

* Primer capítulo: está formado por las ideas básicas y notaciones, donde aparecen los cuantificadores universales, la negación y la condicional.
* Segundo capítulo: declaración de axiomas.

## Declaraciones cuantificadas

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

* $\forall \,x\in \mathbb {R} \;,\quad 2x\in \mathbb {R}$

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

* $\forall \,a\in \mathbb {R} ,\quad \exists \,x\in \mathbb {R} \;:\quad a<x<(a+1)$

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

* $\forall \,a\in \mathbb {R} -\left\{{0}\right\},\quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \;:\quad a\cdot x=1$

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

## Proposiciones

### Cuantificación universal

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

    $\forall x\in A\;:\quad P(x)$
    Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

    $A=\{x\in U\;:\quad P(x)\}$
    Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

### Cuantificación existencial

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto $~A$ (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Como escribe:

    $\exists \,x\in A\;:\quad P(x)$
    Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

    $\{x\in A\;:\quad P(x)\}\neq \emptyset$
    El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

### Cuantificación existencial única

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

   $\exists !\,x\in A\;:\quad P(x)$

Se lee:

    Existe un único elemento x de A, que cumple P(x).

## Equivalencias

Se tienen las siguientes relaciones universales:

    $\forall x\in A\ P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \exists x\in A\ \neg P(x)$
       Para todo x de A, se cumple P(x) si y sólo si no existe x en A que no cumpla P(x).
    $\exists x\in A\ P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \forall x\in A\ \neg P(x)$
       Existe al menos un x en A que cumple P(x) si y sólo si no es cierto que para todo x de A, no se cumpla P(x).

El cuantificador existencial único puede definirse como extensión en un lenguaje formal de la siguiente manera:

    $\exists !x\in A\ P(x)\ \equiv \ \exists x\in A\ P(x)\land \forall y,z\in A\ (P(y)\land P(z)\rightarrow y=z)$
       Afirmar que existe un único x en A que satisface P(x) es el equivalente a afirmar la existencia de algún x en A que satisface P(x), y además, para cada y y z en A, si se satisfacen P(y) y P(z) entonces y y z deben ser iguales.

## Leyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan para cuantificadores son las siguientes:

* $\neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)$

    La negación es falsa si para todo $x$ el predicado es verdadero. Por el contrario, es verdadera si existe un $x$ para el que $P(x)$ es falsa.
* $\neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)$

    La negación es verdadera si para todo $x$ la función proposicional $P$ de $x$ es falsa y es falsa si existe un $x$ para el que $P(x)$ es verdadera.

## Prelación de los cuantificadores

El orden de prioridad (prelación) de los cuantificadores $\forall$ y $\exists$ tienen un mayor grado de preferencia que los demás operadores lógicos.

Ejemplos:

Cuando ponemos $\forall xP(x)\land M(x)$ el orden de prioridad nos obliga a realizar primero el cuantificador $(\forall xP(x))\land M(x)$. Este ejemplo se puede ver para los distintos cuantificadores.

En caso de que se quiera priorizar el operador lógico ($\land$) se tendrá que poner paréntesis para forzar la prioridad a esa operación $\forall x(P(x)\land M(x)).$

Un error muy común es considerar que $\forall xP(x)\land M(x)$ es lo mismo que $\forall x(P(x)\land M(x))$ cosa que no es así, ya que no se respeta el orden de prioridad, por lo que lo correcto sería $(\forall xP(x))\land M(x)$.

## Reglas de intercambio

* Primera regla:

    Un cuantificador universal ($\forall$) afirmativo se asemeja a la negación de un cuantificador existencial ( $\neg \exists$) y del predicado.
                                                       $(\forall xP(x))\leftrightarrow (\neg \exists x\neg P(x))$
    Para todos los $x$, $P$ es cierta, esto equivale a que es falso que alguna $x$ no sea $P$.
* Segunda regla:

    Un cuantificador existencial ( $\exists$) afirmativo se asemeja a la negación cuantificador universal ($\neg \forall$) y del predicado.
                                                       $(\exists xP(x))\leftrightarrow (\neg \forall x\neg P(x))$
    Existe alguna $x$ en la que $P$ es cierta, esto es equivalente a decir que ninguna $x$ no es $P$.
* Tercera regla:

    La negación de un cuantificador universal ($\neg \forall$) se asemeja a un cuantificador existencial ( $\exists$) con el predicado negado.
                                                       $(\neg \forall xP(x))\leftrightarrow (\exists x\neg P(x))$
    Es falso que todas las $x$ son $P$, esto equivalente a que algunas $x$ no son $P$.
* Cuarta regla:

    La negación de un cuantificador existencial ($\neg \exists$) se asemeja a un cuantificador universal ( $\forall$) con el predicado negado.
                                                       $(\neg \exists xP(x))\leftrightarrow (\forall x\neg P(x))$
    Es falso que algunas $x$ sean $P$, equivale a todas las $x$ no son $P$.
