Probabilidad condicionada
# Probabilidad condicionada

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B) o P(A/B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no, dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado salga un 6 si ya ha salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: $P(6\mid C)$.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

## Definición

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ y dos eventos (o sucesos) $A,B\in {\mathcal {F}}$ con $P(B)>0$, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

    $P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

## Interpretación

Tomando los casos en los que B se cumple, $P(A\mid B)$ se puede interpretar como la parte en los que también se cumple A.

## Propiedades

* $P(A\mid B)+P({\bar {A}}\mid B)=1$
* $B\subseteq A\to P(A\mid B)=1$.

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

* $P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)+P(A\mid {\bar {B}})\cdot P({\bar {B}})$

## Independencia de sucesos

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

    $P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B).$

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, $P(A\cap B)$ ó $P(A,B),$ puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

    $P(A|B)\ =\ P(A)$
    $P(B|A)\ =\ P(B).$

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

## Exclusividad mutua

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si $A\cap B=\emptyset$. Entonces, $P(A\cap B)=0$.

Si además

$P(B)>0$ entonces $P(A\mid B)$ es igual a 0.

## La falacia de la probabilidad condicional

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad.

La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

    $P(B\mid A)=P(A\mid B)\cdot {\frac {P(B)}{P(A)}}$ (Teorema de Bayes)

## Problemas de ejemplo

### La paradoja del falso positivo

La magnitud del error cometido con esta falacia se entiende mejor en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

$P({\textrm {enfermo}})=1\%=0.01$ y $P({\textrm {sano}})=99\%=0.99$

Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una probabilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

$P({\textrm {positivo|sano}})=1\%$ y $P({\textrm {negativo|sano}})=99\%$

Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una probabilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

$P({\textrm {negativo|enfermo}})=1\%$ y $P({\textrm {positivo|enfermo}})=99\%$

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

$P({\textrm {sano}}\cap {\textrm {negativo}})=P({\textrm {sano}})\times P({\textrm {negativo|sano}})=99\%\times 99\%=98.01\%$

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

$P({\textrm {enfermo}}\cap {\textrm {positivo}})=P({\textrm {enfermo}})\times P({\textrm {positivo|enfermo}})=1\%\times 99\%=0.99\%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

$P({\textrm {sano}}\cap {\textrm {positivo}})=P({\textrm {sano}})\times P({\textrm {positivo|sano}})=99\%\times 1\%=0.99\%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

$P({\textrm {enfermo}}\cap {\textrm {negativo}})=P({\textrm {enfermo}})\times P({\textrm {negativo|enfermo}})=1\%\times 1\%=0.01\%$

Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

$P({\textrm {positivo}})=P({\textrm {sano}}\cap {\textrm {positivo}})+P({\textrm {enfermo}}\cap {\textrm {positivo}})=0.99\%+0.99\%=1.98\%$

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

$P({\textrm {enfermo|positivo}})={\frac {P({\textrm {enfermo}}\cap {\textrm {positivo}})}{P({\textrm {positivo}})}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%$

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas $P({\textrm {positivo|enfermo}})$ (que es del 99 %) y $P({\textrm {enfermo|positivo}})$ (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.

## Ejemplo

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: $P({\textrm {enfermo}})=0,001$

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: $P({\textrm {positivo|enfermo}})=0,99$

La probabilidad de falso positivo es de 0,05: $P({\textrm {positivo|sano}})=0,05$

$P({\textrm {enfermo|positivo}})={\frac {P({\textrm {enfermo}})\times P({\textrm {positivo|enfermo}})}{P({\textrm {positivo}})}}$ $P({\textrm {enfermo|positivo}})=P({\textrm {enfermo}})\times {\frac {P({\textrm {positivo|enfermo}})}{P({\textrm {enfermo}})\times P({\textrm {positivo|enfermo}})+P({\textrm {sano}})\times P({\textrm {positivo|sano}})}}$ $P({\textrm {enfermo|positivo}})={\frac {0,001\times 0,99}{0,001\times 0,99+0,999\times 0,05}}=0,019=1,9\%$

* Datos: Q327069
* Multimedia: Conditional probability / Q327069
