Richard Dedekind
# Richard Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de octubre de 1831-12 de febrero de 1916) fue un matemático alemán. Nació en Brunswick, el más joven de los cuatro hijos de Julius Levin Ulrich Dedekind. Vivió con Julia, su hermana soltera, hasta que esta falleció en 1914;. En 1848 entró en el Colegium Carolinum de su ciudad natal, y en 1850, con sólidos conocimientos de matemáticas en la Universidad de Gotinga.

## Biografía

El padre de Dedekind era Julius Levin Ulrich Dedekind, administrador del Collegium Carolinum en Braunschweig. Su madre era Caroline Henriette Dedekind (de soltera Emperius), hija de un profesor del Collegium. Richard Dedekind tenía tres hermanos mayores. Como adulto, nunca usó los nombres de Julius Wilhelm. Nació en Braunschweig, que es donde vivió la mayor parte de su vida y murió.

Primero asistió al Collegium Carolinum en 1848 antes de trasladarse a la Universidad de Göttingen en 1850. Dedekind aprendió matemáticas en los departamentos de matemáticas y física de aquella universidad, siendo uno de sus principales profesores Moritz Abraham Stern, y también física de la mano de Wilhelm Eduard Weber. Su tesis doctoral, supervisada por Gauss, se titulaba Über die Theorie der Eulerschen Integrale (Sobre la teoría de las Integrales eulerianas), y aunque en ella no se reflejaba el talento que mostró en sus trabajos posteriores, Gauss supo apreciar el don de Dedekind para las matemáticas. Dedekind recibió su doctorado en 1852, siendo el último alumno de Gauss, y trabajó a continuación en una tesis de habilitación, que era necesaria en Alemania para obtener la venia docendi (habilitación de enseñanza docente en universidades alemanas).

Durante los siguientes años, estudió teoría de números y otras materias con Gustav Dirichlet, al que le uniría una gran amistad. Para ampliar sus conocimientos, abordó el estudio de las funciones abelianas y elípticas de la mano del genial Bernhard Riemann. Sólo tras estas experiencias, en su formación, encontró al fin sus campos de trabajo principales: el álgebra y la teoría de números algebraicos. Se dice de él que fue el primero en impartir clases universitarias sobre la teoría de las ecuaciones de Galois. Fue además el primero en comprender el significado fundamental de las nociones de grupo, cuerpo, Ideal en el campo del álgebra, la teoría de números y la geometría algebraica.

Sus cortaduras zanjan definitivamente el problema de la fundamentación del análisis al definir el conjunto de los números reales a partir de los racionales. En su magistral artículo de 1872, Dedekind caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo, y ofreció un desarrollo de toda la cuestión que es un modelo de organización y claridad.

Su trabajo sobre los números naturales fue también fundamental, sentando bases para la teoría de conjuntos, junto con Frege y Cantor, y dando una fundamentación muy rigurosa de los llamados Axiomas de Peano (publicados por el italiano un año más tarde).

Con ser importantes, esas no fueron las contribuciones principales de Dedekind a la matemática pura: trabajó toda su vida en la teoría de números algebraicos, que en buena medida creó. Y en el proceso, sentó muchos de los métodos característicos del álgebra moderna, hasta el punto de que Emmy Noether solía repetir que "todo está ya en Dedekind".

La correspondencia de Dedekind con otros matemáticos resultó especialmente fructífera y estimulante: ante todo la correspondencia con Cantor, donde asistimos al nacimiento de la teoría de conjuntos transfinitos; pero también la correspondencia con Heinrich Martin Weber, que entre otras cosas condujo a un artículo pionero de la geometría algebraica; y la que mantuvo con Frobenius, impulsando el desarrollo de la teoría de representaciones de grupos.

## Obra

Mientras enseñaba cálculos por primera vez en la escuela Politécnica, Dedekind desarrolló la noción ahora conocida como corte de Dedekind (en alemán: Schnitt), ahora una definición estándar de los números reales. La idea de un corte es que un número irracional divide los números racionales en dos clases (conjuntos), siendo todos los números de una clase (mayor) estrictamente mayor que todos los números de la otra clase (menor). Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 define todos los números no negativos cuyos cuadrados son menores que 2 y los números negativos en la clase menor, y los números positivos cuyos cuadrados son mayores que 2 en la clase mayor. Cada ubicación en el continuo de la recta numérica contiene un número racional o irracional. Por lo tanto, no hay lugares vacíos, lagunas o discontinuidades. Dedekind publicó sus pensamientos sobre los números irracionales y los recortes de Dedekind en su panfleto "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("Continuidad y números irracionales"); en la terminología moderna, Vollständigkeit, completad.

Dedekind definió dos conjuntos como "similares" cuando existe una correspondencia uno a uno entre ellos. Invocó similitud para dar la primera definición precisa de un conjunto infinito: un conjunto es infinito cuando es "similar a una parte propia de sí mismo", en la terminología moderna, es equinúmero a uno de sus subconjuntos propios.

## Honores

El asteroide (19293) Dedekind fue nombrado así en su honor.

