Dodecaedro
# Dodecaedro

Un dodecaedro (del griego δωδεκαεδρον dōdekáedron, de δώδεκα dōdeka, ‘doce’ y ἕδρα edra; ‘cara’) es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina 'regular', siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Recientes investigaciones científicas han propuesto que el espacio dodecaédrico de Poincaré sería la forma del Universo y en el año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo.

## Dodecaedro regular

### Cálculo de dimensiones fundamentales

* Radio externo: $r_{u}={\frac {\sqrt {6}}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 1.401258538\cdot a$
* Radio interno: $r_{i}={\frac {a}{4}}{\sqrt {\frac {50+22{\sqrt {5}}}{5}}}\approx 1.113516364\cdot a$

En todo poliedro regular, el número de caras más el número de vértices, es igual al número de aristas más 2. Se conoce como característica de Euler, una propiedad topológica.

    $C+V=A+2\,$

donde: C = número de caras; V = número de vértices; A = número de aristas

### Área

El área total de las caras de un dodecaedro regular , A (que es 12 veces el área de una de ellas, $A_c)$ es igual a:

    $A=12\cdot {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}\cdot a^{2}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}\approx 20,65\cdot a^{2}$,

También se puede con esta fórmula basada en parte en la trigonometría:

    $A={\frac {15l^{2}}{\tan 36^{o}}}$

### Volumen

Para un dodecaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen. V mediante la siguiente fórmula:

    $V={\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\cdot a^{3}\approx 7,66\cdot a^{3}$

### Ángulos diedros

Los ángulos entre cada par de caras son:

    $\alpha =180-\arccos \left(\tan {18}\times \tan {54}\right)=116,57^{o}$

### Propiedades particulares

**Simetría**

Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado $I_h$ según la notación de Schöenflies.

El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del dodecaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.

### Aplicaciones y ejemplos

En los juegos de rol el dado de doce caras es un dodecaedro regular. Su notación escrita es «D12», Se usan dodecaedros de Rubik y Calendarios Dodecaedros También es la forma más usual para la construcción de las fuentes sonoras omnidireccionales usadas para realizar ensayos acústicos de aislamiento a ruido aéreo.

