Espacio F
# Espacio F

En análisis funcional, un espacio F (también escrito en ocasiones F-espacio) es un espacio vectorial $X$ sobre los números reales o complejos junto con una métrica $d:X\times X\to \mathbb {R}$ tal que:

* La multiplicación escalar en $X$ es continua con respecto a $d$ y la métrica estándar en $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C} .$
* La suma en $X$ es continua con respecto a $d.$
* La métrica es invariante a la traslación; es decir, $d(x+a,y+a)=d(x,y)$ para todos los $x,y,a\in X.$
* El espacio métrico $(X,d)$ es completo.

La operación $x\mapsto \|x\|:=d(0,x)$ se denomina norma F, aunque en general no es necesario que una norma F sea homogénea. Con invariancia a la traslación, la métrica se puede recuperar de la norma F. Por lo tanto, un espacio F real o complejo es equivalente a un espacio vectorial real o complejo equipado con una norma F completa.

Algunos autores utilizan el término espacio de Fréchet en lugar de espacio F, pero normalmente el término "espacio de Fréchet" está reservado para los espacios F localmente convexos. Algunos otros autores utilizan el término "espacio F" como sinónimo de "espacio de Fréchet", con lo que se refieren a un espacio vectorial topológico metrizable completo localmente convexo. La métrica puede ser o no ser necesariamente parte de la estructura en un espacio F. Muchos autores solo requieren que dicho espacio sea metrizable, de manera que satisfaga las propiedades anteriores.

## Ejemplos

Todos los espacios de Banach y los espacios de Fréchet son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que $d(ax,0)=|a|d(x,0).$

Los espacios $L^p$ se puede convertir en espacios F para todos los $p\geq 0$ y para $p\geq 1$ se pueden convertir en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach.

### Ejemplo 1

$L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]$ es un espacio F. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos; tiene espacio dual trivial.

### Ejemplo 2

Sea $W_{p}(\mathbb {D} )$ el espacio de todas las serie de Taylor con valores complejos

    $f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$

en el disco unitario $\mathbb {D}$, de modo que

    $\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty$

entonces, para $0<p<1,$, $W_{p}(\mathbb {D} )$ son espacios F bajo espacios Lp:

    $\|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).$

De hecho, $W_{p}$ es un álgebra casi de Banach. Además, para cualquier $\zeta$ con $|\zeta |\leq 1$, la aplicación $f\mapsto f(\zeta )$ es lineal acotada (funcional multiplicativo) en $W_{p}(\mathbb {D} ).$

## Condiciones suficientes

* Teorema
* Sea $d$ una métrica cualquiera en un espacio vectorial $X$ tal que la topología $\tau$ inducida por $d$ en $X$ convierte a $(X,\tau )$ en un espacio vectorial topológico. Si $(X,d)$ es un espacio métrico completo, entonces $(X,\tau )$ es un espacio vectorial topológico completo.

## Propiedades relacionadas

El teorema de la función abierta implica que si $\tau {\text{and }}\tau _{2}$ son topologías en $X$ que convierten a $(X,\tau )$ y $\left(X,\tau _{2}\right)$ en espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, de Banach o de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si $\tau \subseteq \tau _{2}{\text{or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{then }}\tau =\tau _{2}$).

* Una aplicación lineal casi continua en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es continua.
* Una aplicación lineal casi abierta en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es necesariamente una aplicación abierta.
* Una aplicación lineal casi abierta continua de un espacio F es necesariamente una aplicación abierta.
* Una aplicación lineal continua casi abierta de un espacio F cuya imagen es exigua en el codominio es necesariamente una aplicación abierta sobreyectiva.
