Propiedad del grafo cerrado
# Propiedad del grafo cerrado

En matemáticas, particularmente en análisis funcional y en topología, la propiedad del grafo cerrado es una característica que poseen determinadas aplicaciones, de manera que se dice que una función f : X → Y entre espacios topológicos posee un grafo cerrado si su grafo es un conjunto cerrado perteneciente al espacio producto X × Y. Una propiedad relacionada es la de grafo abierto.

Esta propiedad se estudia porque existen muchos teoremas, conocidos como teoremas del grafo cerrado, que dan condiciones bajo las cuales una función con grafo cerrado es necesariamente continua. Una clase particularmente conocida son los teoremas de grafos cerrados en análisis funcional.

## Definiciones

### Grafos y funciones de valores establecidos

    Definición y notación: El grafo de una función f : X → Y es el conjunto
       Gr f := {(x, f(x)) : x ∈ X }= {(x, y) ∈ X × Y : y= f(x) }.
    Notación: Si Y es un conjunto, entonces el conjunto potencia de Y, que es el conjunto de todos los subconjuntos de Y, se denota por $2^Y$ o 𝒫(Y).
    Definición: Si X e Y son conjuntos, una función de conjunto valorado de Y en X (también llamada multifunción con valor Y en X) es una función F : X → $2^Y$ con diminio X que se valora en $2^Y.$ Es decir, F es una función en X tal que para cada x ∈ X, F(x) es un subconjunto de Y.
   * Algunos autores llaman a una función F : X → $2^Y$ una función con valores establecidos solo si satisface el requisito adicional de que F(x) no esté vacía para cada x ∈ X; en este artículo no se requiere esta condición.

    Definición y notación: Si F : X → $2^Y$ es una función con valores establecidos en un conjunto Y, entonces el grafo de F es el conjunto
       Gr F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F(x) }.
    Definición: Una función f : X → Y se puede identificar canónicamente con la función con valores establecidos F : X → $2^Y$ definida por F(x) := {f(x) } para cada x ∈ X, donde F se denomina función canónica con valores establecidos inducida por (o asociado con) f.
   * Debe tenerse en cuenta que en este caso, Gr f= Gr F.

### Grafos abiertos y cerrados

Se da la definición más general de cuándo una función con valores Y o una función con valores establecidos definida en un subconjunto S de X tiene un grafo cerrado, ya que esta generalización es necesaria en el estudio de operadores lineales cerrados que están definidos en un subespacio denso S de un espacio vectorial topológico X (y no necesariamente definido en todo X). Este caso particular es una de las principales razones por las que en análisis funcional se estudian funciones con grafos cerrados.

    Supuestos: En todo momento, X y Y son espacios topológicos, S ⊆ X y f es una función con valores Y o una función con valores establecidos en S (es decir, f : S → Y o f : S → $2^Y).$ X × Y siempre estará dotado de topología producto.
    Definición: Se dice que f  tiene un grafo cerrado (respectivamente, grafo abierto, grafo secuencialmente cerrado, grafo secuencialmente abierto) en X × Y si el grafo de f, Gr f, es un subconjunto closed (respectivamente abierto, secuencialmente cerrado, secuencialmente abierto) de X × Y cuando X × Y está dotado de topología producto. Si S= X o si X se desprende del contexto, entonces se puede omitir escribir "en X × Y"
    Observación: Si g : S → Y es una función y G es la función canónica con valores establecidos inducida por g  (es decir, G : S → $2^Y$ está definido por G(s) := {g(s) } para cada s ∈ S), entonces, dado que Gr g= Gr G, g tiene un grafo cerrado (respectivamente, secuencialmente cerrado, abierto, secuencialmente abierto) en X × Y si y solo si lo mismo ocurre con G.

### Aplicaciones que se pueden cerrar y cierres

    Definición: Se dice que la función (respectivamente, función con valores establecidos) f se puede cerrar en X × Y si existe un subconjunto D ⊆ X que contiene a S y una función (respectivamente, función con valores establecidos) F : D → Y cuya grafo es igual al cierre del conjunto Gr f en X × Y. Un F de este tipo se denomina cierre de f en X × Y, se denota por f y necesariamente se extiende a f.
   * Supuestos adicionales para aplicacións lineales: Si además, S, X y Y son espacios vectoriales topológicos y f : S → Y es una aplicación lineal, entonces para llamar a f cerrable también se requiere que el conjunto D sea un subespacio vectorial de X y el cierre de f sea un aplicación lineal.

    Definición: Si f se puede cerrar en S, entonces un núcleo o dominio esencial de f es un subconjunto D ⊆ S tal que el cierre en X × Y del grafo de la restricción f $|_D$ : D → Y de f a D es igual al cierre del grafo de f en X × Y (es decir, el cierre de Gr f en X × Y es igual al cierre de Gr f $|_D$ en X × Y).

### Aplicaciones cerradas y operadores lineales cerrados

    Definición y notación: Cuando se escribe f : D(f) ⊆ X → Y se quiere decir que f es una función valorada por Y con dominio D(f), donde D(f) ⊆ X. Si se dice que f : D(f) ⊆ X → Y está cerrado (respectivamente, cerrado secuencialmente) o tiene un grafo cerrado (respectivamente, tiene un grafo cerrado secuencialmente) entonces se quiere decir que el grafo de f está cerrado (o cerrado secuencialmente) en X × Y (en lugar de en D(f) × Y).

En distintas fuentes bibliográficas de análisis funcional se puede leer que, si f : X → Y es una aplicación lineal entre espacios vectoriales topológicos (EVTs) (por ejemplo, espacios de Banach), entonces "f está cerrada", lo que casi siempre significará lo siguiente:

    Definición: Un aplicación f : X → Y se llama cerrada si su grafo está cerrado en X × Y. En particular, es casi seguro que el término "operador lineal cerrado" se referirá a una aplicación lineal cuyo grafo sea cerrado.

De lo contrario, especialmente en la literatura sobre topología general, "f es cerrada" puede significar lo siguiente:

    Definición: Un aplicación f : X → Y entre espacios topológicos se denomina cerrada si la imagen de un subconjunto cerrado de X es un subconjunto cerrado de Y.

Estas dos definiciones de "aplicación cerrada" no son equivalentes. Si no está claro, se recomienda que el lector compruebe cómo se define "aplicación cerrada" en la literatura que está leyendo.

## Caracterizaciones

En todo momento, sean X e Y dos espacios topológicos.

### Función con grafo cerrado

Si f : X → Y es una función, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

* f  tiene un grafo cerrado (en X × Y);
* (Definición) el grafo de f, Gr f, es un subconjunto cerrado de X × Y;
* Para cada x ∈ X y red $x_•=$ $(x_i)_{i∈I}$ en X tal que $x_•$ → x en X, si y ∈ Y es tal que la red $f(x_•)$ := $(f(x_i))_{i∈I}$ → y en Y, entonces y= f(x);
   * Compárese esto con la definición de continuidad en términos de redes, que se recuerda que es la siguiente: para cada x ∈ X y $x_•=$ $(x_i)_{i∈I}$ neto en X tal que $x_•$ → x en X, $f(x_•)$ → f(x) en Y.
   * Por lo tanto, para mostrar que la función f tiene un grafo cerrado, se puede suponer que $f(x_•)$ converge en Y a algún y ∈ Y (y luego mostrar que y= f(x)), mientras que para mostrar que f es continua, se puede no asumir que $f(x_•)$ converge en Y a algún y ∈ Y y, en cambio, se debe demostrar que esto es cierto (y además, se debe demostrar más específicamente que $f(x_•)$ converge a f(x) en Y).

Y si Y es un espacio compacto de Hausdorff, entonces se puede agregar a esta lista:

* f  es continua;

y si tanto X como Y son espacios que satisfacen el primer axioma de numerabilidad, entonces se puede agregar a esta lista que:

* f  tiene un grafo secuencialmente cerrado (en X × Y);

### Función con grafo secuencialmente cerrado

Si f : X → Y es una función, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

* f  tiene un grafo secuencialmente cerrado (en X × Y);
* (Definición) el grafo de f es un subconjunto secuencialmente cerrado de X × Y;
* Para cada x ∈ X y para cada sucesión $x_•=$ $(x_i)∞$ i=1 en X tal que $x_•$ → x en X, si y ∈ Y es tal que la red $f(x_•)$ := $(f(x_i))∞$ i=1 → y en Y, entonces y= f(x);

### Función de valor establecido con un grafo cerrado

Si F : X → $2^Y$ es una función con valores establecidos entre los espacios topológicos X e Y, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

* F  tiene un grafo cerrado (en X × Y);
* (Definición) el grafo de F es un subconjunto cerrado de X × Y;

y si Y es compacto y de Hausdorff, entonces se pueden agregar a esta lista los enunciados siguientes:

* F es hemicontinua superior y F(x) es un subconjunto cerrado de Y para todos los x ∈ X;

Y si tanto X como Y son espacios metrizables, entonces se pueden agregar a esta lista los enunciados siguientes:

* para todos los x ∈ X, y ∈ Y y las secuencias $x_•=$ $(x_i)∞$ i=1 en X y $y_•=$ $(y_i)∞$ i=1 en Y, de modo que $x_•$ → x en X e $y_•$ → y en Y, e $y_i$ ∈ $F(x_i)$ para todos los i, luego y ∈ F(x).

## Condiciones suficientes para un grafo cerrado

* Si f : X → Y es una función continua entre espacios topológicos y si Y es de Hausdorff, entonces f tiene un grafo cerrado en X × Y.
   * Téngase en cuenta que si f : X → Y es una función entre espacios topológicos de Hausdorff, entonces es posible que f  tenga un grafo cerrado en X × Y, pero "no" ser continuo.

## Teoremas de grafo cerrado: cuando un grafo cerrado implica continuidad

Las condiciones que garantizan que una función con grafo cerrado sea necesariamente continua se denominan teorema del grafo cerrado. Los teoremas de grafos cerrados son de particular interés en análisis funcional, donde hay muchos teoremas que dan condiciones bajo las cuales una aplicación lineal con un grafo cerrado es necesariamente continua.

* Si f : X → Y es una función entre espacios topológicos cuyo grafo es cerrado en X × Y y si Y es un espacio compacto, entonces f : X → Y es continua.

## Ejemplos

### Aplicaciones continuas pero no cerradas

* Sea X el conjunto de los números reales ℝ con la topología euclídea habitual, e Y denota ℝ con la topología trivial (donde debe tenerse en cuenta que Y no es de Hausdorff y que cada función valorada en Y es continua). Ahora, considérese que f : X → Y se defina por f(0)= 1, y que f(x)= 0 para todo x ≠ 0. Entonces, f : X → Y es continua pero su grafo "no" está cerrado en X × Y.
* Si X es cualquier espacio, entonces la aplicación identidad Id : X → X es continua, pero su grafo, que es la diagonal Gr Id := {(x, x) : x ∈ X }, está cerrado en X × X si y solo si X es de Hausdorff. En particular, si X no es de Hausdorff, entonces Id : X → X es continua pero "no" cerrada.
* Si f : X → Y es una aplicación continua cuyo grafo no está cerrado, entonces Y "no" es un espacio de Hausdorff.

### Aplicaciones cerradas pero no continuas

* Sean X y Y los números reales ℝ con la topología euclídea habitual. Considérese ahora que f : X → Y se define por f(0)= 0, y que f(x)= 1/x para todo x ≠ 0. Entonces, f : X → Y tiene un grafo cerrado (y un grafo secuencialmente cerrado) en X × Y= $ℝ^2,$ pero "no" es continua (ya que tiene una discontinuidad en x= 0).
* Sea X el conjunto de los números reales ℝ con la topología euclídea habitual, sea Y el ℝ con la topología discreta y sea Id : X → Y la función identidad (es decir, Id(x) := x para cada x ∈ X). Entonces, Id : X → Y es una aplicación lineal cuyo grafo está cerrado en X × Y pero claramente "no" es continua (ya que los conjuntos unitarios están abiertos en Y pero no en X).
* Sea (X, 𝜏) un EVT de Hausdorff y sea 𝜐 una topología vectorial en X que es estrictamente más fina que 𝜏. Entonces, la aplicación identidad Id : (X, 𝜏) → (X, 𝜐) es un operador lineal discontinuo cerrado.

## Operadores lineales cerrados

Todo operador lineal continuo valorado en un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff tiene un grafo cerrado, y por otro lado, debe recordarse que un operador lineal entre dos espacios vectoriales normados es continuo si y solo si está acotado.

    Definición: Si X e Y son espacios vectoriales topológicos (EVTs), entonces se denomina a la aplicación lineal f : D(f) ⊆ X → Y un operador lineal cerrado si su grafo está cerrado en X × Y.

### Teorema del grafo cerrado

El teorema del grafo cerrada establece que cualquier operador lineal cerrado f : X → Y entre dos espacios F (como por ejemplo, dos espacios de Banach) es continuo, dado que si X e Y son espacios de Banach, entonces que f : X → Y sea continua equivale a que f esté acotada.

### Propiedades básicas

Las siguientes propiedades se verifican fácilmente para un operador lineal f : D(f) ⊆ X → Y entre espacios de Banach:

* Si A está cerrado, entonces A − $λId_{D(f)}$ está cerrada, siendo λ un escalar e $Id_{D(f)}$ es la función identidad;
* Si f está cerrada, entonces su núcleo (o espacio nulo) es un subespacio vectorial cerrado de X;
* Si f está cerrada y es injectiva, entonces su inversa f $^{−1}$ también está cerrada;
* Un operador lineal f admite una clausura si y solo si para cada x ∈ X y cada par de sucesiones $x_•=$ $(x_i)∞$ i=1 y $y_•=$ $(y_i)∞$ i=1 en D(f), ambas convergen a x en X, de modo que tanto $f(x_•)=$ $(f(x_i))∞$ i=1 como $f(y_•)=$ $(f(y_i))∞$ i=1 convergen en Y, se tiene que $lim_{i→∞}$ $fx_i=$ $lim_{i→∞}$ $fy_i.$

### Ejemplo

Considérese el operador derivada A= d/dx donde X= Y= C([a, b]) es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo [a, b]. Si se toma su dominio D(f) como $C^1([a,$ b]), entonces f es un operador cerrado, que no está acotado. Por otro lado, si es {{math|1=D(f)= [[función $diferenciable|C^∞([a,$ b])]]}}, entonces f ya no estará cerrada, pero se podrá cerrar, siendo el cierre su extensión definida en $C^1([a,$ b]).

