Teorema de Ptolomeo
# Teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

    ${\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}$

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

* Teorema de Ptolomeo
* En todo cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.
* Claudio Ptolomeo

## Demostraciones

### Demostración geométrica

* Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
* Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
* Ahora, por ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
* Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
   * Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
   * Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   * Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   * Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es válida solo para cuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe una generalización de este teorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.

El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométrica con respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.

## Ejemplo

Considérese un pentágono regular y la circunferencia circunscrita al mismo. En el cuadrilátero ABCD las diagonales son iguales al lado AD. El teorema de Ptolomeo arroja en este caso,

       $b^{2}=ab+a^{2}.\$

Dividiendo entre $a^{2}$ se tiene

       ${\frac {b^{2}}{a^{2}}}=1+{\frac {b}{a}}.\$

Denotando con $\varphi$ la razón b/a se obtiene $\varphi ^{2}=1+\varphi$, ecuación que coinicide con la definición del número áureo.

       $\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}$.
