Pseudoespectro
# Pseudoespectro

En matemáticas, el pseudoespectro de un operador es un conjunto que contiene el espectro del operador y los valores que son "casi" valores propios. Conocer el pseudoespectro resulta particularmente útil para comprender los operadores no normales y sus funciones propias.

El $\epsilon$-pseudoespectro de una matriz $A$ está constituido por todos los valores propios de las matrices $\epsilon$-cercanas a $A$:

    $\Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.$

Los métodos numéricos para el cálculo de los valores propios de una matriz cometen errores debido al redondeo y otros factores. Estos errores pueden describirse mediante la matriz $E$.

De forma más general, considerando espacios de Banach $X,Y$, se puede definir el $\epsilon$-pseudoespectro del operador $A:X\to Y$ (denotado por ${\text{sp}}_{\epsilon }(A)$) de la siguiente manera:

${\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \},$

donde, por convenio, se toma $\|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty$ si $A-\lambda I$ no es invertible.

