Notación de Coxeter
# Notación de Coxeter

Dominios fundamentales de los grupos de puntos de reflexión 3D :

| , [ ]= [1] $C_{1v}$ | , [2] $C_{2v}$ | , [3] $C_{3v}$ | , [4] $C_{4v}$ | , [5] $C_{5v}$ | , [6] $C_{6v}$ |
| - | - | - | - | - | - |
| Orden 2 | Orden 4 | Orden 6 | Orden 8 | Orden 10 | Orden 12 |
| [2]= [2,1] $D_{1h}$ | [2,2] $D_{2h}$ | [2,3] $D_{3h}$ | [2,4] $D_{4h}$ | [2,5] $D_{5h}$ | [2,6] $D_{6h}$ |
| Orden 4 | Orden 8 | Orden 12 | Orden 16 | Orden 20 | Orden 24 |
| , [3,3], $T_d$ | , [3,3], $T_d$ | , [4,3], $O_h$ | , [4,3], $O_h$ | , [5,3], $I_h$ | , [5,3], $I_h$ |
| Order 24 | Order 24 | Order 48 | Order 48 | Order 120 | Order 120 |
| La notación de Coxeter expresa el grupo de Coxeter como una lista de órdenes de ramas de un diagrama de Coxeter-Dynkin, como grupo poliédrico, = [p,q]. Los grupos diédricos, , se pueden expresar como un producto [ ]×[n] o en un solo símbolo con una rama explícita de orden 2, [2,n]. ||||||

En geometría, la notación de Coxeter (de la que forman parte los símbolos de Coxeter) es un sistema de clasificación de grupos de simetría, que describe los ángulos entre las reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter mediante una notación entre corchetes que expresa la estructura de un diagrama de Coxeter-Dynkin, con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación lleva el nombre de Harold Scott MacDonald Coxeter y fue definida de manera más completa por Norman Johnson.

## Grupos reflexivos

Para los grupos de Coxeter, definidos exclusivamente con operaciones de reflexión, existe una correspondencia directa entre la notación de corchetes y los diagramas de Coxeter-Dynkin. Los números entre paréntesis representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Utiliza la misma simplificación, suprimiendo 2s entre espejos ortogonales.

La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila para un diagrama lineal. Así que el grupo $A_n$ está representado por $[3^{n−1}],$ lo que implica n nodos conectados por n-1 ramas de orden 3. El ejemplo $A_2$ = [3,3] = $[3^2]$ o $[3^{1,1}]$ representa los diagramas o .

Coxeter inicialmente representó diagramas bifurcados con los números situados verticalmente, pero luego los abrevió con una notación exponencial, como $[...,3^{p,q}]$ o $[3^{p,q,r}],$ comenzando con $[3^{1,1,1}]$ o $[3,3^{1,1}]$ = o como $D_4.$ Coxeter permitió el uso de ceros como casos especiales para ajustarse a la familia $A_n,$ como $A_3$ = [3,3,3,3] = $[3^{4,0,0}]$ = $[3^{4,0}]$ = $[3^{3,1}]$ = $[3^{2,2}],$ como = = .

Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] = para el grupo triangular (p q r). Si los órdenes de ramificación son iguales, se pueden agrupar como un exponente según la duración del ciclo entre paréntesis, como [(3,3,3,3)] = $[3^{[4]}],$ que representa el diagrama de Coxeter o . se puede representar como [3,(3,3,3)] o $[3,3^{[3]}].$

Los diagramas de bucle más complicados también se pueden expresar utilizando la notación con cuidado. El grupo de Coxeter paracompacto se puede representar mediante la notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles adyacentes [(3,3,3)], y también se representa de forma más compacta como $[3^{×}],$ que representa el diagrama de Coxeter de la simetría rómbica. El diagrama de gráfico completo paracompacto o , se representa como $[3^{[3,3]}]$ con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de Coxeter de un tetraedro.

El diagrama de Coxeter normalmente deja ramas de orden 2 sin dibujar, pero la notación de paréntesis incluye un 2 explícito para conectar los subgráficos. Entonces, el diagrama de Coxeter = $A_2×A_2$ = $2A_2$ se puede representar mediante [3]×[3] = $[3]^2$ = [3,2,3 ]. A veces, las 2 ramas explícitas pueden incluirse con una etiqueta 2 o con una línea con un espacio: o , como una presentación idéntica a [3,2,3].

Grupos finitos :

| Rango | Símbolo del grupo | Notación de corchetes | Diagrama de Coxeter |
| - | - | - | - |
| 2 | $A_2$ | [3] | |
| 2 | $B_2$ | [4] | |
| 2 | $H_2$ | [5] | |
| 2 | $G_2$ | [6] | |
| 2 | $I_2(p)$ | [p] | |
| 3 | $I_h,$ $H_3$ | [5,3] | |
| 3 | $T_d,$ $A_3$ | [3,3] | |
| 3 | $O_h,$ $B_3$ | [4,3] | |
| 4 | $A_4$ | [3,3,3] | |
| 4 | $B_4$ | [4,3,3] | |
| 4 | $D_4$ | $[3^{1,1,1}]$ | |
| 4 | $F_4$ | [3,4,3] | |
| 4 | $H_4$ | [5,3,3] | |
| n | $A_n$ | $[3^{n−1}]$ | .. |
| n | $B_n$ | $[4,3^{n−2}]$ | ... |
| n | $D_n$ | $[3^{n−3,1,1}]$ | ... |
| 6 | $E_6$ | $[3^{2,2,1}]$ | |
| 7 | $E_7$ | $[3^{3,2,1}]$ | |
| 8 | $E_8$ | $[3^{4,2,1}]$ | |

Grupos afines :

| Símbolo del grupo | Notación de corchetes | Diagrama de Coxeter |
| - | - | - |
| ${\tilde {I}}_{1},{\tilde {A}}_{1}$ | [∞] | |
| ${\tilde {A}}_{2}$ | $[3^{[3]}]$ | |
| ${\tilde {C}}_{2}$ | [4,4] | |
| ${\tilde {G}}_{2}$ | [6,3] | |
| ${\tilde {A}}_{3}$ | $[3^{[4]}]$ | |
| ${\tilde {B}}_{3}$ | $[4,3^{1,1}]$ | |
| ${\tilde {C}}_{3}$ | [4,3,4] | |
| ${\tilde {A}}_{4}$ | $[3^{[5]}]$ | |
| ${\tilde {B}}_{4}$ | $[4,3,3^{1,1}]$ | |
| ${\tilde {C}}_{4}$ | [4,3,3,4] | |
| ${\tilde {D}}_{4}$ | [ $3^{1,1,1,1}]$ | |
| ${\tilde {F}}_{4}$ | [3,4,3,3] | |
| ${\tilde {A}}_{n}$ | $[3^{[n+1]}]$ | ... or ... |
| ${\tilde {B}}_{n}$ | $[4,3^{n−3},3^{1,1}]$ | ... |
| ${\tilde {C}}_{n}$ | $[4,3^{n−2},4]$ | ... |
| ${\tilde {D}}_{n}$ | [ $3^{1,1},3^{n−4},3^{1,1}]$ | ... |
| ${\tilde {E}}_{6}$ | $[3^{2,2,2}]$ | |
| ${\tilde {E}}_{7}$ | $[3^{3,3,1}]$ | |
| ${\tilde {E}}_{8}=E_{9}$ | $[3^{5,2,1}]$ | |

Grupos hiperbólicos :

| Símbolo del grupo | Notación de corchetes |
| - | - |
| | [p,q] con 2(p + q) < pq |
| | [(p,q,r)] con ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1$ |
| ${\overline {BH}}_{3}$ | [4,3,5] |
| ${\overline {K}}_{3}$ | [5,3,5] |
| ${\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}$ | [3,5,3] |
| ${\overline {DH}}_{3}$ | $[5,3^{1,1}]$ |
| ${\widehat {AB}}_{3}$ | [(3,3,3,4)] |
| ${\widehat {AH}}_{3}$ | [(3,3,3,5)] |
| ${\widehat {BB}}_{3}$ | [(3,4,3,4)] |
| ${\widehat {BH}}_{3}$ | [(3,4,3,5)] |
| ${\widehat {HH}}_{3}$ | [(3,5,3,5)] |
| ${\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}$ | [3,3,3,5] |
| ${\overline {BH}}_{4}$ | [4,3,3,5] |
| ${\overline {K}}_{4}$ | [5,3,3,5] |
| ${\overline {DH}}_{4}$ | $[5,3,3^{1,1}]$ |
| ${\widehat {AF}}_{4}$ | [(3,3,3,3,4)] |

Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo sumando un nodo al diagrama de un grupo finito.

## Subgrupos

La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional agregando un operador de superíndice $^+$ fuera de los corchetes, $[X]^+$ que corta el orden del grupo [X] a la mitad, resultando por lo tanto un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando reflexiones con rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, se denomina subgrupo directo porque lo que queda son solo isometrías directas sin simetría reflexiva.

Los operadores $^+$ también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como $[X,Y^+]$ o $[X,(Y,Z)^+],$ con lo que se crean subgrupos "semidirectos" que pueden incluir generadores de reflexión y no de reflexión. Los subgrupos semidirectos solo se pueden aplicar a los subgrupos de grupos de Coxeter que tienen ramas de orden pares adyacentes. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice $^+,$ que tiene el efecto de dividir las ramas ordenadas adyacentes en medio orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, $[4,3^+]$ y $[4,(3,3)^+].$

Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo de índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como $[5,1^+]$ = [5/2], que pueden definir polígonos doblemente recubiertos como la estrella pentagonal, 5 /2, y $[5,3^+]$ se relaciona con el triángulo de Schwarz [5/2,3], de densidad 2.

Ejemplos de grupos de rango 2 :

| Grupo | Orden | Generadores | Subgrupo | Subgrupo | Orden | Generadores | Notas |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| [p] | 2p | {0,1} | $[p]^+$ | | p | {01} | Subgrupo directo |
| $[2p^+]=$ $[2p]^+$ | 2p | {01} | $[2p^+]^+=$ $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ | | p | {0101} | Subgrupo directo |
| [2p] | 4p | {0,1} | $[1^+,2p]=$ [p] | = = | 2p | {101,1} | Semi subgrupos |
| [2p] | 4p | {0,1} | $[2p,1^+]=$ [p] | = = | 2p | {0,010} | Semi subgrupos |
| [2p] | 4p | {0,1} | $[1^+,2p,1^+]=$ $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ | = = | p | {0101} | Cuartos de grupo |

Los grupos sin elementos vecinos $^+$ se pueden ver en los nodos anillados. El diagrama de Coxeter-Dynkin para politopos uniformes y panales está relacionado con los nodos agujero y con los elementos $^+,$ en forma de círculos vacíos con los nodos alternados eliminados. Por ejemplo, el cubo romo, tiene simetría $[4,3]^+,$ el icosaedro, tiene simetría $[4,3^+],$ y un tetraedro, h4,3 = 3,3 ( o = ) tiene simetría $[1^+,4,3]$ = [3,3] ( o = = ).

Nota: La simetría tetraédrica se puede escribir como , separando el gráfico con espacios para una mayor claridad, con los generadores 0,1,2 del grupo de Coxeter , produciendo generadores piritoédricos 0,12, una reflexión y rotación triple. Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como o , $[1^+,4,3^+]$ = $[3,3]^+,$ con generadores 12,0120.

### Reducción a la mitad de subgrupos y grupos extendidos

Ejemplo de operaciones de reducción a la mitad :

| [1,4,1]= [4] | = = $[1^+,4,1]=[2]=[$ ]×[ ] |
| - | - |
| = = $[1,4,1^+]=[2]=[$ ]×[ ] | = = = $[1^+,4,1^+]=$ $[2]^+$ |
| Simetría tetraédrica | Simetría octaédrica |
| $T_d,$ [3,3]= $[1^+,4,3]$ = = (Orden 24) | $O_h,$ [4,3]= [[3,3]] (Orden 48) |

Johnson extiende el operador $^+$ para trabajar con un marcador de posición de nodos $1^+,$ lo que elimina espejos, duplicando el tamaño del dominio fundamental y cortando el orden del grupo a la mitad. En general, esta operación solo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par. El 1 representa un espejo, por lo que [2p] puede verse como [2p,1], [1,2p] o [1,2p,1], como el diagrama o , con 2 espejos relacionados por un ángulo diedro de orden 2p. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , o entre paréntesis: $[1^+,2p,$ 1] = [1,p,1] = [p].

Cada uno de estos espejos se puede quitar para que h[2p] = $[1^+,2p,1]$ = $[1,2p,1^+]$ = [p], con un índice de subgrupo reflexivo 2. Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter agregando un símbolo $^+$ sobre el nodo: = = .

Si se eliminan ambos espejos, se genera un subgrupo de un cuarto, y el orden de la rama se convierte en un punto de giro de la mitad del orden:

    q[2p] = $[1^+,2p,1^+]$ = $[p]^+,$ un subgrupo rotacional de índice 4. = = = = .

Por ejemplo, (con p=2): $[4,1^+]$ = $[1^+,4]$ = [2] = [ ]×[ ], orden 4. $[1^+,4,1^+]$ = [2] $^+,$ orden 2.

Lo opuesto a reducir a la mitad es duplicar, una operación que agrega un espejo, divide en dos un dominio fundamental y duplica el orden del grupo.

    [[p]] = [2p]

Las operaciones de reducción a la mitad se aplican a grupos de mayor rango, como por ejemplo la simetría tetraédrica que es un medio grupo de la simetría octaédrica: h[4,3] = $[1^+,4,3]$ = [3,3], eliminando la mitad de los espejos en las 4 ramas. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar todos los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , h[2p,3] = $[1^+,2p,3]$ = [(p,3,3)] .

Si los nodos están indexados, la mitad de los subgrupos se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos. Al igual que , los generadores {0,1} tienen un subgrupo = , con generadores {1,010}, donde se elimina el espejo 0 y se reemplaza por una copia del espejo 1 reflejada en el espejo 0. También dado , generadores {0,1,2}, tiene medio grupo = , con generadores {1,2,010}.

La duplicación mediante la adición de un espejo también se aplica al invertir la operación de reducción a la mitad: [[3,3]] = [4,3], o más generalmente [[(q,q,p)]] = [2p,q].

### Subgrupos radicales

Johnson también agregó un operador asterisco o estrella * para subgrupos "radicales", que actúa de manera similar al operador $^+,$ pero elimina la simetría rotacional. El índice del subgrupo radical es el orden del elemento eliminado. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrupo eliminado es de orden 6, por lo que [2,2] es un subgrupo de índice 6 de [4,3].

Los subgrupos radicales representan la operación inversa a una operación simetría extendida. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2] y, al revés, [2,2] se puede extender como [3[2,2]] ≅ [4,3]. Los subgrupos se pueden expresar como un diagrama de Coxeter: o ≅ . El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.

Si [4,3] tiene generadores {0,1,2}, $[4,3^+],$ índice 2, tiene generadores {0,12}; $[1^+,4,3]$ ≅ [3,3], el índice 2 tiene generadores {010,1,2}; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ≅ [2,2], índice 6, tiene generadores {01210, 2, $(012)^3};$ y finalmente $[1^+,4,3*],$ el índice 12 tiene generadores ${0(12)^20,$ $(012)^201}.$

### Subgrupos triónicos

Un subgrupo triónico es un subgrupo de índice 3. Johnson define un "subgrupo triónico" con el operador ⅄, que indica el índice 3. Para los grupos Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, $[3^⅄]$ es [ ], un solo espejo. Y para [3p], el subgrupo triónico es $[3p]^⅄$ ? [p]. Dado , con generadores 0,1, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar poniendo el símbolo ? junto al generador de espejos a eliminar, o en una rama para ambos: $[3p,1^⅄]$ = = , = , y [3p $^⅄]$ = = con generadores 0,10101, 01010,1 o 101,010.

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica: $[3,3]^⅄$ ⅄ $[2^+,4],$ relacionando la simetría del tetraedro y del disfenoide.

Para los grupos de Coxeter de rango 3, [p,3], hay un subgrupo triónico $[p,3^⅄]$ ⅄ [p/2,p], o = . Por ejemplo, el grupo finito $[4,3^⅄]$ ≅ [2,4] y el grupo euclidiano $[6,3^⅄]$ ≅ [3,6] y el grupo hiperbólico $[8,3^⅄]$ ≅ [4,8].

Una rama adyacente de orden impar, p, no disminuirá el orden del grupo, sino que creará dominios fundamentales superpuestos. El orden del grupo permanece igual, mientras que su densidad aumenta. Por ejemplo, la simetría icosaédrica [5,3] del icosaedro regular, se convierte en [5/2,5], que es la simetría de 2 poliedros regulares en estrella. También relaciona las teselaciones hiperbólicas p,3 y teselados hiperbólicos estrellados p/2,p

| Ejemplo de rango 2, [6] subgrupos triónicos con 3 colores de líneas especulares | Rango 4 | Ejemplo de simetría octaédrica: $[4,3^⅄]=$ [2,4] | Los subgrupos triónicos de ejemplo en simetría octogonal [8,3] aplicados sobre simetrías más grandes [4,8] |
| - | - | - | - |

Para el rango 4, $[q,2p,3^⅄]$ = [2p,((p,q,q))], = .

Por ejemplo, $[3,4,3^⅄]$ = [4,3,3], o = , generadores 0,1,2,3 en [3,4,3] con el subgrupo triónico [4,3 ,3] con generadores {0,1,2,32123}. Para grupos hiperbólicos, $[3,6,3^⅄]$ = $[6,3^{[3]}]$ y $[4,4,3^⅄]$ = [4,4,4].

**Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica**

Johnson identificó dos subgrupos triónicos de [3,3], primero un subgrupo de índice 3 $[3,3]^⅄$ ≅ $[2^+,4],$ con [3,3] ( = = ) y generadores {0,1,2}. También se puede escribir como $[(3,3,2^⅄)]$ como recordatorio de sus generadores {02,1}. Esta reducción de simetría es la relación entre el tetraedro regular y el disfenoide, y representan un estiramiento de un tetraedro en sentido perpendicular a dos aristas opuestas.

En segundo lugar, identifica un subgrupo de índice 6 relacionado con $[3,3]^Δ$ o $[(3,3,2^⅄)]^+,$ índice 3 de $[3,3]^+$ ≅ $[2,2]^+,$ con generadores {02,1021}, de [3,3] y sus generadores {0,1,2}.

Estos subgrupos también se aplican dentro de grupos de Coxeter más grandes con el subgrupo [3,3] con ramas vecinas, todo en orden uniforme.

Por ejemplo, $[(3,3)^+,4],$ $[(3,3)^⅄,4]$ y $[(3,3)^Δ,4]$ son subgrupos de [3,3,4], índice 2, 3 y 6 respectivamente. Los generadores de $[(3,3)^⅄,4]$ ≅ [[4,2,4]] ≅ $[8,2^+,8],$ orden 128, son {02,1,3} de [3,3,4] y generadores {0,1,2 ,3}. Y $[(3,3)^Δ,4]$ ≅ $[[4,2^+,4]],$ orden 64, tiene generadores {02,1021,3}. Además, $[3^⅄,4,3^⅄]$ ≅ $[(3,3)^⅄,4].$

También relacionado, $[3^{1,1,1}]$ = $[3,3,4,1^+]$ tiene subgrupos triónicos: $[3^{1,1,1}]^⅄$ = $[(3,3)^⅄,4,1^+],$ orden 64 y $1=[3^{1,1,1}]^Δ$ = [( $3,3)^Δ,4,1^+]$ ≅ [[ $4,2^+,4]]^+,$ orden 32.

### Inversión central

Una simetría central de orden 2, es operativamente diferente por dimensión. El grupo [ $]^n$ = $[2^{n−1}]$ representa n espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio n-plano de un espacio dimensional superior. Los espejos del grupo $[2^{n−1}]$ están numerados $0\dots n-1$. El orden de los espejos no importa en el caso de una inversión. La matriz de una inversión central es $-I$, la matriz Identidad con unos negativos en la diagonal.

A partir de esa base, la inversión central tiene un generador como producto de todos los espejos ortogonales. En la notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa agregando una alternancia $^+$ a cada rama de orden 2. La simetría de alternancia está marcada en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.

Un diagrama de Coxeter-Dynkin se puede marcar con ramas de orden 2 explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos abiertos dobles compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.

Por ejemplo, $[2^+,2]$ y $[2,2^+]$ son subgrupos de índice 2 de [2,2], , y se representan como (o ) y (o ) con generadores {01,2} y {0,12} respectivamente. Su índice de subgrupo común 4 es $[2^+,2^+],$ y está representado por (o ), con el de doble apertura que marca un nodo compartido en las dos alternancias y un solo generador de rotación impropia {012}.

| Dimensión | Notación de Coxeter | Orden | Operación | Generador |
| - | - | - | - | - |
| 2 | $[2]^+$ | 2 | Rotación de 180°, $C_2$ | {01} |
| 3 | $[2^+,2^+]$ | 2 | Rotorreflexión, $C_i$ o $S_2$ | {012} |
| 4 | $[2^+,2^+,2^+]$ | 2 | Rotación doble | {0123} |
| 5 | $[2^+,2^+,2^+,2^+]$ | 2 | Rotorreflexión doble | {01234} |
| 6 | $[2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]$ | 2 | Rotación triple | {012345} |
| 7 | $[2^+,2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]$ | 2 | Rotorreflexión triple | {0123456} |

### Rotaciones y rotorreflexiones

Las rotaciones y las rotorreflexiones se construyen mediante un único producto de generador único de todas las reflexiones de un grupo prismático, [2p]×[2q]×... donde el mcd(p ,q,...)=1. Son isomorfas al grupo cíclico abstracto $Z_n,$ de orden n=2pq.

Las dobles rotaciones de 4 dimensiones, $[2p^+,2^+,2q^+]$ (con mcd(p,q)=1), que incluyen un grupo central, y están expresados por Conway como $±[C_p×C_q],$ de orden 2pq. Del diagrama de Coxeter , generadores {0,1,2,3}, requiere dos generadores para $[2p^+,2^+,2q^+],$ como {0123,0132}. Los grupos mitad, $[2p^+,2^+,2q^+]^+,$ o el gráfico cíclico, $[(2p^+,2^+,2q^+,2^+)],$ expresados por Conway son $[C_p×C_q],$ orden pq, con un generador, como {0123}.

Si hay un factor común f, la rotación doble se puede escribir como $^1⁄_f[2pf^+,2^+,2qf^+]$ (con mcd(p,' 'q)=1), generadores {0123,0132}, y orden 2pqf. Por ejemplo, p=q=1, f=2, $^1⁄_2[4^+,2^+,4^+]$ es de orden 4. Y $^1⁄f[2pf^+,2^+,$ $2qf^+]^+,$ generador 0123, es de orden pqf. Por ejemplo, $^1⁄_2[4^+,2^+,4^+]^+$ es de orden 2, una simetría central.

En general, un grupo de rotación n, $[2p_1^+,2,2p_2^+,2,...,p_n^+]$ puede requerir hasta n generadores si el $mcd(p_1,..,p_n)>1,$ como producto de todos los espejos, y luego intercambiando pares secuenciales. El medio grupo, $[2p_1^+,2,2p_2^+,2,...,p_n^+]^+$ tiene generadores al cuadrado. Los reflejos n-rotativos son similares.

Ejemplos :

| Dimensión | Notación de Coxeter | Orden | Operación | Generadores | Subgrupo directo | Subgrupo directo |
| - | - | - | - | - | - | - |
| 2 | $[2p]^+$ | 2p | Rotación | {01} | $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ | Rotación simple: $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ orden p |
| 3 | $[2p^+,2^+]$ | 2p | Rotorreflexión | {012} | $[2p^+,2^+]^+=$ $[p]^+$ | Rotación simple: $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ orden p |
| 4 | $[2p^+,2^+,2^+]$ | 2p | Rotación doble | {0123} | $[2p^+,2^+,2^+]^+=$ $[p]^+$ | Rotación simple: $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ orden p |
| 5 | $[2p^+,2^+,2^+,2^+]$ | 2p | Rotorreflexión doble | {01234} | $[2p^+,2^+,2^+,2^+]^+=$ $[p]^+$ | Rotación simple: $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ orden p |
| 6 | $[2p^+,2^+,2^+,2^+,2^+]$ | 2p | Rotación triple | {012345} | $[2p^+,2^+,2^+,2^+,2^+]^+=$ $[p]^+$ | Rotación simple: $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ orden p |
| 7 | $[2p^+,2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]$ | 2p | Rotorreflexión triple | {0123456} | $[2p^+,2^+,2^+,2^+,2^+,2^+]^+=$ $[p]^+$ | Rotación simple: $[2p]^{+2}=$ $[p]^+$ orden p |
| 4 | $[2p^+,2^+,2q^+]$ | 2pq | Rotación doble | {0123, 0132} | $[2p^+,2^+,2q^+]^+$ | Rotación doble: $[2p^+,2^+,2q^+]^+$ orden pq |
| 5 | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+]$ | 2pq | Rotorreflexión doble | {01234, 01243} | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+]^+$ | Rotación doble: $[2p^+,2^+,2q^+]^+$ orden pq |
| 6 | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2^+]$ | 2pq | Rotación triple | {012345, 012354, 013245} | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2^+]^+$ | Rotación doble: $[2p^+,2^+,2q^+]^+$ orden pq |
| 7 | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2^+,2^+]$ | 2pq | Rotorreflexión triple | {0123456, 0123465, 0124356, 0124356} | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2^+,2^+]^+$ | Rotación doble: $[2p^+,2^+,2q^+]^+$ orden pq |
| 6 | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2r^+]$ | 2pqr | Rotación triple | {012345, 012354, 013245} | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2r^+]^+$ | Rotación triple: $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2r^+]^+$ orden pqr |
| 7 | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2r^+,2^+]$ | 2pqr | Rotorreflexión triple | {0123456, 0123465, 0124356, 0213456} | $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2r^+,2^+]^+$ | Rotación triple: $[2p^+,2^+,2q^+,2^+,2r^+]^+$ orden pqr |

### Subgrupos conmutadores

Los grupos simples con solo elementos de ramificación de orden impar tienen solo un único subgrupo rotacional/traslacional de orden 2, que también es el subgrupo conmutador, ejemplos $[3,3]^+,$ $[3,5]^+,$ $[3,3,3]^+,$ $[3,3,5]^+.$ Para otros grupos de Coxeter con ramas de orden par, el subgrupo conmutador tiene un índice $2^c,$ donde c es el número de subgráficos desconectados cuando se eliminan todas las ramas de orden par.

Por ejemplo, [4,4] tiene tres nodos independientes en el diagrama de Coxeter cuando se eliminan los valores 4, por lo que su subgrupo conmutador es el índice $2^3$ y puede tener diferentes representaciones, todas con tres $^+$ Operadores: $[4^+,4^+]^+,$ $[1^+,4,1^+,4,1^+],$ $[1^+,4,4,1^+]^+,$ o $[(4^+,4^+,2^+)].$ Se puede usar una notación general con +c como exponente de grupo, como $[4,4]^{+3}.$

### Subgrupos de ejemplo

**Subgrupos de ejemplo de rango 2**

Los grupos diedrales con órdenes pares tienen varios subgrupos. Este ejemplo muestra dos espejos generadores del grupo [4] en rojo y verde, y observa todos los subgrupos por reducción a la mitad, reducción de rango y sus subgrupos directos. El grupo [4], tiene dos generadores de espejos 0 y 1. Cada uno genera dos espejos virtuales 101 y 010 por reflexión sobre el otro.

Subgrupos de [4] :

| Índice | 1 | 2 (mitad) | 2 (mitad) | 4 (reducción de rango) | 4 (reducción de rango) |
| - | - | - | - | - | - |
| Diagram | | | | | |
| Coxeter | [1,4,1]= [4] | = = $[1^+,4,1]=$ $[1^+,4]=$ [2] | = = $[1,4,1^+]=$ $[4,1^+]=$ [2] | $[2,1^+]=$ [1]= [ ] | $[1^+,2]=$ [1]= [ ] |
| Generadores | {0,1} | {101,1} | {0,010} | {0} | {1} |
| Subgrupos directos ||||||
| Índice | 2 | 4 | 4 | 8 | 8 |
| Diagrama | | | | | |
| Coxeter | $[4]^+$ | = = = $[4]^{+2}=$ $[1^+,4,1^+]=$ $[2]^+$ | = = = $[4]^{+2}=$ $[1^+,4,1^+]=$ $[2]^+$ | [ $]^+$ | [ $]^+$ |
| Generadores | {01} | ${(01)^2}$ | ${(01)^2}$ | ${0^2}=$ ${1^2}=$ ${(01)^4}=$ | ${0^2}=$ ${1^2}=$ ${(01)^4}=$ |

**Subgrupos de ejemplo euclídeos de rango 3**

El grupo [4,4] tiene 15 subgrupos de índices pequeños. Esta tabla los muestra todos, con un dominio fundamental amarillo para grupos reflectantes puros y dominios blancos y azules alternos que se emparejan para formar dominios rotacionales. Las líneas especulares cian, roja y verde corresponden a los mismos nodos de color en el diagrama de Coxeter. Los generadores de subgrupos se pueden expresar como productos de los 3 espejos originales del dominio fundamental, {0,1,2}, correspondientes a los 3 nodos del diagrama de Coxeter, . Un producto de dos líneas de reflexión que se cruzan forman una rotación, como {012}, {12} o {02}. La eliminación de un espejo genera dos copias de los espejos vecinos, a través del espejo eliminado, como {010} y {212}. Dos rotaciones en serie reducen el orden de rotación a la mitad, como {0101} o ${(01)^2},$ {1212} o ${(02)^2}.$ Un producto de los tres espejos crea una reflexión deslizada, como {012} o {120}.

Subgrupos de índice pequeño de [4,4] :

| Índice | 1 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 |
| - | - | - | - | - | - | - |
| Diagrama | | | | | | |
| Coxeter | [1,4,1,4,1]= [4,4] | $[1^+,4,4]$ = | $[4,4,1^+]$ = | $[4,1^+,4]$ = | $[1^+,4,4,1^+]$ = | $[4^+,4^+]$ |
| Generadores | {0,1,2} | {010,1,2} | {0,1,212} | {0,101,121,2} | {010,1,212,20102} | ${(01)^2,(12)^2,012,120}$ |
| Orbifold | *442 | *442 | *442 | *2222 | *2222 | 22× |
| Subgrupos semidirectos |||||||
| Índice | | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 |
| Diagrama | | | | | | |
| Coxeter | | $[4,4^+]$ | $[4^+,4]$ | $[(4,4,2^+)]$ = | $[4,1^+,4,1^+]$ = = | $[1^+,4,1^+,4]$ = = |
| Generadores | | {0,12} | {01,2} | {02,1,212} | ${0,101,(12)^2}$ | ${(01)^2,121,2}$ |
| Orbifold | | 4*2 | 4*2 | 2*22 | 2*22 | 2*22 |
| Subgrupos directos |||||||
| Índice | 2 | 4 | 4 | 4 | 8 | 8 |
| Diagrama | | | | | | |
| Coxeter | $[4,4]^+$ = | $[4,4^+]^+$ = | $[4^+,4]^+$ = | $[(4,4,2^+)]^+$ = | $[4,4]^{+3}=$ $[(4^+,4^+,2^+)]=$ $[1^+,4,1^+,4,1^+]=$ $[4^+,4^+]^+$ == = = | $[4,4]^{+3}=$ $[(4^+,4^+,2^+)]=$ $[1^+,4,1^+,4,1^+]=$ $[4^+,4^+]^+$ == = = |
| Generadores | {01,12} | ${(01)^2,12}$ | ${01,(12)^2}$ | ${02,(01)^2,(12)^2}$ | ${(01)^2,(12)^2,2(01)^22}$ | ${(01)^2,(12)^2,2(01)^22}$ |
| Orbifold | 442 | 442 | 442 | 2222 | 2222 | 2222 |
| Subgrupos radicales |||||||
| Índice | | 8 | 8 | 16 | 16 | 16 |
| Diagrama | | | | | | |
| Coxeter | | [4,4*] = | [4*,4] = | $[4,4*]^+$ = | $[4*,4]^+$ = | $[4*,4]^+$ = |
| Orbifold | | *2222 | *2222 | 2222 | 2222 | 2222 |

**Subgrupos de ejemplo hiperbólicos**

El mismo conjunto de 15 pequeños subgrupos existe en todos los grupos de triángulos con elementos de orden par, como [6,4] en el plano hiperbólico:

Subgrupos de índice pequeño de [6,4] :

| Índice | 1 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Diagrama | | | | | | |
| Coxeter | [1,6,1,4,1]= [6,4] | $[1^+,6,4]$ = | $[6,4,1^+]$ = | $[6,1^+,4]$ = | $[1^+,6,4,1^+]$ = | $[6^+,4^+]$ |
| Generadores | {0,1,2} | {010,1,2} | {0,1,212} | {0,101,121,2} | {010,1,212,20102} | ${(01)^2,(12)^2,012}$ |
| Orbifold | *642 | *443 | *662 | *3222 | *3232 | 32× |
| Subgrupos semidirectos |||||||
| Diagrama | | | | | | |
| Coxeter | | $[6,4^+]$ | $[6^+,4]$ | $[(6,4,2^+)]$ | $[6,1^+,4,1^+]$ = = = = | $[1^+,6,1^+,4]$ = = = = |
| Generadores | | {0,12} | {01,2} | {02,1,212} | ${0,101,(12)^2}$ | ${(01)^2,121,2}$ |
| Orbifold | | 4*3 | 6*2 | 2*32 | 2*33 | 3*22 |
| Subgrupos directos |||||||
| Índice | 2 | 4 | 4 | 4 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| Diagrama | | | | | | |
| Coxeter | $[6,4]^+$ = | $[6,4^+]^+$ = | $[6^+,4]^+$ = | $[(6,4,2^+)]^+$ = | $[6^+,4^+]^+=$ $[1^+,6,1^+,4,1^+]$ = = = | $[6^+,4^+]^+=$ $[1^+,6,1^+,4,1^+]$ = = = |
| Generadores | {01,12} | ${(01)^2,12}$ | ${01,(12)^2}$ | ${02,(01)^2,(12)^2}$ | ${(01)^2,(12)^2,201012}$ | ${(01)^2,(12)^2,201012}$ |
| Orbifold | 642 | 443 | 662 | 3222 | 3232 | 3232 |
| Subgrupos radicales |||||||
| Índice | | 8 | 12 | 16 | 24 |
| Diagrama | | | | | |
| Generadores | | {0,101,21012,1210121} | {2,121,101020101,0102010, 010101020101010, 10101010201010101} | | |
| Coxeter (orbifold) | | [6,4*] = (*3333) | [6*,4] (*222222) | $[6,4*]^+$ = (3333) | $[6*,4]^+$ (222222) |

## Simetría extendida

| Grupo del papel pintado | Simetría del triángulo | Simetría extendida | Diagrama extendido | Grupo extendido | Panal |
| - | - | - | - | - | - |
| p3m1 (*333) | a1 | $[3^{[3]}]$ | | ${\tilde {A}}_{2}$ | (ninguno) |
| p6m (*632) | i2 | $[[3^{[3]}]]$ ↔ [6,3] | ↔ | ${\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$ | $_1,$ $_2$ |
| p31m (3*3) | g3 | $[3^+[3^{[3]}]]$ ↔ $[6,3^+]$ | ↔ | ${\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$ | (ninguno) |
| p6 (632) | r6 | $[3[3^{[3]}]]^+$ ↔ $[6,3]^+$ | ↔ | ${\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$ | $_{(1)}$ |
| p6m (*632) | r6 | $[3[3^{[3]}]]$ ↔ [6,3] | ↔ | ${\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$ | $_3$ |

En el plano euclídeo, el grupo de Coxeter ${\tilde {A}}_{2}$, $[3^{[3]}]$ se puede extender de dos formas al grupo de Coxeter ${\tilde {G}}_{2}$, [6,3] y relaciona teselas uniformes como diagramas de anillos. :

La notación de Coxeter incluye la notación de corchetes dobles, [[X]] para expresar la simetría automórfica dentro de un diagrama de Coxeter. Johnson agregó la duplicación alternativa mediante una notación entre ángulos <[X]>. Además, agregó un modificador de simetría de prefijo [Y[X]], donde Y puede representar la simetría del diagrama de Coxeter de [X] o la simetría del dominio fundamental de [X].

Por ejemplo, en 3D estos diagramas de geometría equivalentes rectangular y rómbico de ${\tilde {A}}_{3}$ toman las formas: y , el primero duplicado entre corchetes, $[[3^{[4]}]]$ o duplicado dos veces como $[2[3^{[4]}]],$ con [2], simetría de orden 4 superior. Para diferenciar el segundo, se utilizan paréntesis angulares para doblar, $<[3^{[4]}]>$ y doblar dos veces como $<2[3^{[4]}]>,$ también con una simetría [2] diferente, de orden 4. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes se puede representar mediante $[4[3^{[4]}]],$ con la simetría de orden 8, [4] del cuadrado. Pero al considerar el dominio fundamental del disfenoide, la simetría [4] extendida del gráfico cuadrado se puede marcar más explícitamente como $[(2^+,4)[3^{[4]}]]$ o $[2^+,4[3^{[4]}]].$

Existe más simetría en los diagramas ${\tilde {A}}_{n}$ cíclico y $D_{3}$, ${\tilde {E}}_{6}$ y ${\tilde {D}}_{4}$ de ramificación. ${\tilde {A}}_{n}$ tiene una simetría de orden 2n de un n-ágono regular, {n}, y está representado por $[n[3^{[n]}]].$ $D_{3}$ y ${\tilde {E}}_{6}$ están representados por $[3[3^{1,1,1}]]=$ [3,4,3] y $[3[3^{2,2,2}]]$ respectivamente mientras que ${\tilde {D}}_{4}$ por $[(3,3)[3^{1,1,1,1}]]=$ [3,3,4,3 ], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular, {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto ${\bar {L}}_{5}$= $[3^{1,1,1,1,1}],$ , contiene la simetría de un pentácoron, {3,3,3}, y por lo tanto está representado por $[(3,3,3)[3^{1,1,1,1,1}]]=$ [3,4, 3,3,3].

Un superíndice asterisco * es efectivamente una operación inversa, creando "subgrupos radicales" eliminando espejos conectados de orden impar.

Ejemplos:

Ejemplos de grupos extendidos y subgrupos radicales :

| Grupos extendidos | Subgrupos radicales | Diagramas de Coxeter-Dynkin | Índice |
| - | - | - | - |
| [3[2,2]]= [4,3] | [4,3*]= [2,2] | = | 6 |
| [(3,3)[2,2,2]]= [4,3,3] | [4,(3,3)*]= [2,2,2] | = | 24 |
| $[1[3^{1,1}]]=$ [[3,3]]= [3,4] | $[3,4,1^+]=$ [3,3] | = | 2 |
| $[3[3^{1,1,1}]]=$ [3,4,3] | [3*,4,3]= $[3^{1,1,1}]$ | = | 6 |
| $[2[3^{1,1,1,1}]]=$ [4,3,3,4] | $[1^+,4,3,3,4,1^+]=$ $[3^{1,1,1,1}]$ | = | 4 |
| $[3[3,3^{1,1,1}]]=$ [3,3,4,3] | [3*,4,3,3]= $[3^{1,1,1,1}]$ | = | 6 |
| $[(3,3)[3^{1,1,1,1}]]=$ [3,4,3,3] | [3,4,(3,3)*]= $[3^{1,1,1,1}]$ | = | 24 |
| $[2[3,3^{1,1,1,1}]]=$ $[3,(3,4)^{1,1}]$ | $[3,(3,4,1^+)^{1,1}]=$ $[3,3^{1,1,1,1}]$ | = | 4 |
| $[(2,3)[^{1,1}3^{1,1,1}]]=$ [4,3,3,4,3] | $[3*,4,3,3,4,1^+]=$ $[3^{1,1,1,1,1}]$ | = | 12 |
| $[(3,3)[3,3^{1,1,1,1}]]=$ [3,3,4,3,3] | [3,3,4,(3,3)*]= $[3^{1,1,1,1,1}]$ | = | 24 |
| $[(3,3,3)[3^{1,1,1,1,1}]]=$ [3,4,3,3,3] | [3,4,(3,3,3)*]= $[3^{1,1,1,1,1}]$ | = | 120 |
| Grupos extendidos | Subgrupos radicales | Diagramas de Coxeter-Dynkin | Índice |
| $[1[3^{[3]}]]=$ [3,6] | $[3,6,1^+]=$ $[3^{[3]}]$ | = | 2 |
| $[3[3^{[3]}]]=$ [6,3] | [6,3*]= $[3^{[3]}]$ | = | 6 |
| $[1[3,3^{[3]}]]=$ [3,3,6] | $[3,3,6,1^+]=$ $[3,3^{[3]}]$ | = | 2 |
| $[(3,3)[3^{[3,3]}]]=$ [6,3,3] | [6,(3,3)*]= $[3^{[3,3]}]$ | = | 24 |
| $[1[∞]^2]=$ [4,4] | $[4,1^+,4]=$ $[∞]^2=$ [∞,2,∞] | = | 2 |
| $[2[∞]^2]=$ [4,4] | $[1^+,4,4,1^+]=$ [(4,4,2*)]= $[∞]^2$ | = | 4 |
| $[4[∞]^2]=$ [4,4] | [4,4*]= $[∞]^2$ | = | 8 |
| $[2[3^{[4]}]]=$ [4,3,4] | $[1^+,4,3,4,1^+]=$ [(4,3,4,2*)]= $[3^{[4]}]$ | = = | 4 |
| $[3[∞]^3]=$ [4,3,4] | [4,3*,4]= $[∞]^3=$ [∞,2,∞,2,∞] | = | 6 |
| $[(3,3)[∞]^3]=$ $[4,3^{1,1}]$ | $[4,(3^{1,1})*]=$ $[∞]^3$ | = | 24 |
| $[(4,3)[∞]^3]=$ [4,3,4] | [4,(3,4)*]= $[∞]^3$ | = | 48 |
| $[(3,3)[∞]^4]=$ [4,3,3,4] | [4,(3,3)*,4]= $[∞]^4$ | = | 24 |
| $[(4,3,3)[∞]^4]=$ [4,3,3,4] | [4,(3,3,4)*]= $[∞]^4$ | = | 384 |

En cuanto a los generadores, se considera que la doble simetría agrega un nuevo operador que aplica posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, lo que hace que algunos generadores originales sean redundantes. Para el grupo espacial 3D y los grupos de puntos 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de [[X]], $[[X]^+],$ que define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto se parece a $[[X]]^+,$ que es el subgrupo quiral de [[X]]. Por ejemplo, los grupos espaciales 3D $[[4,3,4]]^+$ (I432, 211) y $[[4,3,4]^+]$ (Pm3n, 223) son subgrupos distintos de [[4,3,4]] (Im3m, 229).

## Grupos de rango 1

En una dimensión, el grupo bilateral [ ] representa una simetría de un solo espejo, abstracta $Dih_1$ o $Z_2,$ una simetría de orden 2. Se representa como un diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo nodo, . El grupo identidad es el subgrupo directo [ $]^+,$ $Z_1,$ con orden de simetría 1. El superíndice + simplemente implica que se ignoran los reflejos alternativos del espejo, dejando el grupo de identidad en este caso más simple. Coxeter usó un solo nodo abierto para representar una alternancia, .

| Grupo | Notación de Coxeter | Diagrama de Coxeter | Orden | Descripción |
| - | - | - | - | - |
| $C_1$ | [ $]^+$ | | 1 | Identidad |
| $D_2$ | [ ] | | 2 | Grupo de reflexión |

## Grupos de rango 2

En dos dimensiones, el grupo rectangular [2], abstracto $D_2^2$ o $D_4,$ también se puede representar como un producto directo [ ]×[ ], siendo el producto de dos grupos bilaterales, representado por dos espejos ortogonales, con diagrama de Coxeter , con orden 4. El 2 en [2] proviene de la linealización de los subgrafos ortogonales en el diagrama de Coxeter, como con orden de ramificación explícito 2. El grupo rómbico, $[2]^+$ ( o ), la mitad del grupo rectangular, es la simetría simetría central, $Z_2$ de orden 2.

La notación de Coxeter permite un marcador de posición 1 para grupos de menor rango, por lo que [1] es lo mismo que [ ], y $[1^+]$ o $[1]^+$ es lo mismo que [ $]^+$ con el diagrama de Coxeter .

El grupo p-gonal completo [p], abstracto diédrico $D_{2p},$ (no abeliano para p>2), de orden 2p, es generado por dos espejos en ángulo π/p, representados por el diagrama de Coxeter . El subgrupo p-agonal $[p]^+,$ es el grupo cíclico $Z_p$ de orden p, generado por un ángulo de rotación de π/p.

La notación de Coxeter utiliza corchetes dobles para representar una "duplicación" de simetría automórfica al agregar un espejo bisectriz al dominio fundamental. Por ejemplo, [[p]] agrega un espejo bisectriz a [p] y es isomorfo a [2p].

En el límite, bajando a una dimensión, se obtiene el grupo completo apeirogonal cuando el ángulo llega a cero, por lo que [∞], en abstracto, el grupo diedro infinito $D_∞,$ representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter . El grupo apeirogonal $[∞]^+,$ , de forma abstracta el grupo cíclico infinito $Z_∞,$ isomórfico al grupo aditivo de los números enteros, se genera mediante una única traslación distinta de cero.

En el plano hiperbólico, hay un grupo completo apeirogonal [iπ/λ] y un subgrupo pseudogonal $[iπ/λ]^+,$ . Estos grupos existen en polígonos regulares de infinitos lados, con longitud de arista λ. Los espejos son todos ortogonales a una sola línea recta.

Ejemplos de simetrías finitas e hiperbólicas de rango 2 :

| Tipo | Finito | Finito | Finito | Finito | Finito | Afín | Hiperbólico | Hiperbólico |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Geometría | | | | | ... | | | |
| Coxeter | [ ] | = [2]=[ ]×[ ] | [3] | [4] | [p] | [∞] | [∞] | [iπ/λ] |
| Orden | 2 | 4 | 6 | 8 | 2p | ∞ | ∞ | ∞ |
| Las líneas especulares están coloreadas para corresponder a los nodos del diagrama de Coxeter. Los dominios fundamentales están coloreados alternativamente. |||||||||
| Imágenes pares (directas) | | | | | ... | | | |
| Imágenes impares (inversas) | | | | | ... | | | |
| Coxeter | [ $]^+$ | $[2]^+$ | $[3]^+$ | $[4]^+$ | $[p]^+$ | $[∞]^+$ | $[∞]^+$ | $[iπ/λ]^+$ |
| Orden | 1 | 2 | 3 | 4 | p | ∞ | ∞ | ∞ |
| Los subgrupos cíclicos representan reflexiones alternas, todas imágenes son pares (directas). |||||||||
| Grupo | Internac. | Orbifold | Coxeter | Orden | Descripción |
| Finito |||||||
| $Z_n$ | n | n• | $[n]^+$ | n | Cíclico: rotaciones de multiplicidad n. Grupo abstracto $Z_n,$ el grupo de los números enteros bajo la suma de módulo n. |
| $D_{2n}$ | nm | *n• | [n] | 2n | Diédrico: cíclico con reflexiones. Grupo abstracto $Dih_n,$ el grupo diédrico. |
| Afín |||||||
| $Z_∞$ | ∞ | ∞• | $[∞]^+$ | ∞ | Cíclico: grupo apeirogonal. Grupo abstracto $Z_∞,$ el grupo de los números enteros bajo la suma. |
| $Dih_∞$ | ∞m | *∞• | [∞] | ∞ | Diédrico: reflexiones paralelas. Grupo diédrico infinito abstracto $Dih_∞.$ |
| Hiperbólico |||||||
| $Z_∞$ | | | $[πi/λ]^+$ | ∞ | Grupo pseudogonal |
| $Dih_∞$ | | | [πi/λ] | ∞ | Grupo pseudogonal completo |

## Grupos de rango 3

Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar entre corchetes, relacionados con los grupos de Coxeter de rango 3:

Grupos finitos de isometría en 3D :

| Grupos de rotación | Grupos de rotación | Grupos de rotación | Grupos de rotación | Grupos de rotación | Grupos de rotación | Grupos extendidos | Grupos extendidos | Grupos extendidos | Grupos extendidos | Grupos extendidos | Grupos extendidos |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre | Corchetes | Orb | Sch | Abstracto | Orden | Nombre | Corchetes | Orb | Sch | Abstracto | Orden |
| Identidad | [ $]^+$ | 11 | $C_1$ | $Z_1$ | 1 | Bilateral | [1,1]= [ ] | * | $D_2$ | $Z_2$ | 2 |
| Identidad | [ $]^+$ | 11 | $C_1$ | $Z_1$ | 1 | Central | $[2^+,2^+]$ | × | $C_i$ | $2×Z_1$ | 2 |
| Acrorrómbico | $[1,2]^+=$ $[2]^+$ | 22 | $C_2$ | $Z_2$ | 2 | Acrorrectangular | [1,2]= [2] | *22 | $C_{2v}$ | $D_4$ | 4 |
| Acrorrómbico | $[1,2]^+=$ $[2]^+$ | 22 | $C_2$ | $Z_2$ | 2 | Girorrómbico | $[2^+,4^+]$ | 2× | $S_4$ | $Z_4$ | 4 |
| Acrorrómbico | $[1,2]^+=$ $[2]^+$ | 22 | $C_2$ | $Z_2$ | 2 | Ortorrómbico | $[2,2^+]$ | 2* | $D_{1d}$ | $Z_2×Z_2$ | 4 |
| Pararrómbico | $[2,2]^+$ | 222 | $D_2$ | $D_4$ | 4 | Girorrectangular | $[2^+,4]$ | 2*2 | $D_{2d}$ | $D_8$ | 8 |
| Pararrómbico | $[2,2]^+$ | 222 | $D_2$ | $D_4$ | 4 | Ortorrectangular | [2,2] | *222 | $D_{2h}$ | $Z_2×D_4$ | 8 |
| Acro-p-gonal | $[1,p]^+=$ $[p]^+$ | pp | $C_p$ | $Z_p$ | p | Acro-p-gonal completo | [1,p]= [p] | *pp | $C_{pv}$ | $D_{2p}$ | 2p |
| Acro-p-gonal | $[1,p]^+=$ $[p]^+$ | pp | $C_p$ | $Z_p$ | p | Giro-p-gonal | $[2^+,2p^+]$ | p× | $S_{2p}$ | $Z_{2p}$ | 2p |
| Acro-p-gonal | $[1,p]^+=$ $[p]^+$ | pp | $C_p$ | $Z_p$ | p | Orto-p-gonal | $[2,p^+]$ | p* | $C_{ph}$ | $Z_2×Z_p$ | 2p |
| Para-p-gonal | $[2,p]^+$ | p22 | $D_{2p}$ | $D_{2p}$ | 2p | Giro-p-gonal completo | $[2^+,2p]$ | 2*p | $D_{pd}$ | $D_{4p}$ | 4p |
| Para-p-gonal | $[2,p]^+$ | p22 | $D_{2p}$ | $D_{2p}$ | 2p | Orto-p-gonal completo | [2,p] | *p22 | $D_{ph}$ | $Z_2×D_{2p}$ | 4p |
| Tetraédrico | [3,3]+ | 332 | T | $A_4$ | 12 | Tetraédrico completo | [3,3] | *332 | $T_d$ | $S_4$ | 24 |
| Tetraédrico | [3,3]+ | 332 | T | $A_4$ | 12 | Piritoédrico | $[3^+,4]$ | 3*2 | $T_h$ | $2×A_4$ | 24 |
| Octaédrico | $[3,4]^+$ | 432 | O | $S_4$ | 24 | Octaédrico completo | [3,4] | *432 | $O_h$ | $2×S_4$ | 48 |
| Icosaédrico | $[3,5]^+$ | 532 | I | $A_5$ | 60 | Icosaédrico completo | [3,5] | *532 | $I_h$ | $2×A_5$ | 120 |

En tres dimensiones, el grupo ortorrómbico completo u ortorrectangular [2,2], de forma abstracta $Z_2^3,$ de orden 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados ). También se puede representar como el producto directo [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:

Primero hay un subgrupo "semidirecto", el grupo ortorrómbico, $[2,2^+]$ ( o ), abstractamente $Z_2×Z_2,$ de orden 4. Cuando el superíndice + se encuentra dentro de los corchetes, lo que significa que los reflejos generados solo por los espejos adyacentes (como se define en el diagrama de Coxeter, ) se alternan. En general, las órdenes de rama vecinas al nodo + deben ser pares. En este caso $[2,2^+]$ y $[2^+,2]$ representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el grupo pararrómbico $[2,2]^+$ ( o ), también de orden 4, y finalmente el grupo central $[2^+,2^+]$ ( o ) de orden 2.

Luego está el grupo orto-p-gonal completo, [2,p], abstractamente $Z_2×D_{2p},$ de orden 4p, que representa dos espejos en un ángulo diedro π/p, y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También está representado por el diagrama de Coxeter como .

El subgrupo directo se denomina grupo para-p-gonal, $[2,p]^+$ ( o ), en abstracto $D_{2p},$ de orden 2p, y otro subgrupo es $[2,p^+]$ en abstracto $Z_2$ $×Z_p,$ también de orden 2p.

El grupo giro-p-gonal completo, $[2^+,2p]$ ( o ), en abstracto $D_{4p}$ y de orden 4p. El grupo giro-p-gonal, $[2^+,2p^+]$ ( o ), abstractamente $Z_{2p},$ de orden 2p, es un subgrupo de $[2^+,2$ p] y de $[2,2p^+].$

Los grupos poliédricos se basan en la simetría de los sólidos platónicos: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro, con símbolos de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y {5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3], [3,4], [3,5]; conocidos como simetría tetraédrica, simetría octaédrica y simetría icosaédrica completas, con órdenes 24, 48 y 120.

En todas estas simetrías, los reflejos alternos se pueden eliminar produciendo los grupos rotacionales tetraédricos $[3,3]^+,$ octaédricos $[3,4]^+$ e icosaédricos $[3,5]^+$ de orden 12, 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo único de índice 2 llamado grupo de simetría tetraédrica, $[3^+,4]$ ( o ), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y de reflexión. La simetría piritoédrica también es un subgrupo de índice 5 de simetría icosaédrica: → , con un espejo virtual 1 a través de 0, {010} y rotación triple {12}.

El grupo tetraédrico, [3,3], tiene un [[3,3]] duplicado (que se puede representar con nodos coloreados ), aplicando el primer y el último espejo entre sí, se produce el [3,4] ( o grupo ). El subgrupo $[3,4,1^+]$ ( o ) es igual a [3,3] y $[3^+,4,1^+]$ ( o ) es igual a $[3,3]^+.$

Ejemplo de árboles de subgrupos de grupos finitos de Coxeter de rango 3 :

| Simetría tetraédrica | Simetría octaédrica |
| - | - |
| Simetría icosaédrica | |

Finito (grupos de puntos en tres dimensiones) :

| Internac.* | Geo | Orb. | Schön. | Estruct. | Coxeter | Coxeter | Ord. |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | 1 | $C_1$ | $Z_1$ |= [ $]^+$ | = | 1 |
| 2= m | 1 | * | $C_s$ | $Z_2$ | [ ] | | 2 |
| 2 3 4 5 6 n | 2 3 4 5 6 n | 22 33 44 55 66 nn | $C_2$ $C_3$ $C_4$ $C_5$ $C_6$ $C_n$ | $Z_2$ $Z_3$ $Z_4$ $Z_5$ $Z_6$ $Z_n$ | $[1,2]^+$ $[1,3]^+$ $[1,4]^+$ $[1,5]^+$ $[1,6]^+$ $[1,n]^+$ | | 2 3 4 5 6 n |
| 2mm 3m 4mm 5m 6mm nmm nm | 2 3 4 5 6 n | *22 *33 *44 *55 *66 *nn | $C_{2v}$ $C_{3v}$ $C_{4v}$ $C_{5v}$ $C_{6v}$ $C_{nv}$ | $D_2$ $D_3$ $D_4$ $D_5$ $D_6$ $D_n$ | [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1,n] | | 4 6 8 10 12 2n |
| 2/m 3/m 4/m 5/m 6/m n/m | 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 | 2* 3* 4* 5* 6* n* | $C_{2h}$ $C_{3h}$ $C_{4h}$ $C_{5h}$ $C_{6h}$ $C_{nh}$ | $Z_2×Z_2$ $Z_2×Z_3$ $Z_2×Z_4$ $Z_2×Z_5$ $Z_2×Z_6$ $Z_2×Z_n$ | $[2,2^+]$ $[2,3^+]$ $[2,4^+]$ $[2,5^+]$ $[2,6^+]$ $[2,n^+]$ | | 4 6 8 10 12 2n |
| 1 4 3 8 5 12 2n n | 2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2n 2 | 1× 2× 3× 4× 5× 6× n× | $C_i=$ $S_2$ $S_4$ $S_6$ $S_8$ $S_{10}$ $S_{12}$ $S_{2n}$ | $Z_2$ $Z_4$ $Z_6=Z_2×Z_3$ $Z_8$ $Z_{10}=Z_2×Z_5$ $Z_{12}$ $Z_{2n}$ | $[2^+,2^+]$ $[2^+,4^+]$ $[2^+,6^+]$ $[2^+,8^+]$ $[2^+,10^+]$ $[2^+,12^+]$ $[2^+,2n^+]$ | | 2 4 6 8 10 12 2n |
| Internac. | Geo | Orb. | Schön. | Estruct. | Coxeter | Ord. |
| 222 32 422 52 622 n22 n2 | 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 | 222 223 224 225 226 22n | $D_2$ $D_3$ $D_4$ $D_5$ $D_6$ $D_n$ | $D_4$ $D_6$ $D_8$ $D_{10}$ $D_{12}$ $D_{2n}$ | $[2,2]^+$ $[2,3]^+$ $[2,4]^+$ $[2,5]^+$ $[2,6]^+$ $[2,n]^+$ | 4 6 8 10 12 2n |
| mmm $6m^2$ 4/mmm $10m^2$ 6/mmm n/mmm $2nm^2$ | 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 | *222 *223 *224 *225 *226 *22n | $D_{2h}$ $D_{3h}$ $D_{4h}$ $D_{5h}$ $D_{6h}$ $D_{nh}$ | $Z_2×D_4$ $Z_2×D_6$ $Z_2×D_8$ $Z_2×D_{10}$ $Z_2×D_{12}$ $Z_2×D_{2n}$ | [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n] | 8 12 16 20 24 4n |
| 42m 3m 82m 5m 122m 2n2m nm | 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 n 2 | 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n | $D_{2d}$ $D_{3d}$ $D_{4d}$ $D_{5d}$ $D_{6d}$ $D_{nd}$ | $D_4$ $D_6$ $D_8$ $D_{10}$ $D_{12}$ $D_{2n}$ | $[2^+,4]$ $[2^+,6]$ $[2^+,8]$ $[2^+,10]$ $[2^+,12]$ $[2^+,2n]$ | 8 12 16 20 24 4n |
| 23 | 3 3 | 332 | T | $A_4$ | $[3,3]^+$ | 12 |
| m3 | 4 3 | 3*2 | $T_h$ | $A_4×S_2$ | $[3^+,4]$ | 24 |
| 43m | 3 3 | *332 | $T_d$ | $S_4$ | [3,3] | 24 |
| 432 | 4 3 | 432 | O | $S_4$ | $[3,4]^+$ | 24 |
| m3m | 4 3 | *432 | $O_h$ | $S_4×S_2$ | [3,4] | 48 |
| 532 | 5 3 | 532 | I | $A_5$ | $[3,5]^+$ | 60 |
| 53m | 5 3 | *532 | $I_h$ | $A_4×S_2$ | [3,5] | 120 |

### Grupos afines

En el plano euclídeo hay 3 grupos fundamentales de reflexión generados por 3 espejos, representados por los diagramas de Coxeter , y , y reciben la notación de Coxeter como [4,4], [6,3] y [(3,3, 3)]. Los paréntesis del último grupo implican el ciclo del diagrama y también tiene una notación abreviada, $[3^{[3]}].$

[[4,4]], como una duplicación del grupo [4,4], produce la misma simetría girada π/4 desde el conjunto original de espejos.

Los subgrupos directos de simetría rotacional son: $[4,4]^+,$ $[6,3]^+$ y $[(3,3,3)]^+.$ $[4^+,4]$ y $[6,3^+]$ son subgrupos semidirectos.

Semiafín (frisos) :

| IUC | Orb. | Geo | Sch. | Coxeter | Coxeter |
| - | - | - | - | - | - |
| p1 | ∞∞ | p1 | $C_∞$ | [∞]= $[∞,1]^+=$ $[∞^+,2,1^+]$ | = |
| p1m1 | *∞∞ | p1 | $C_{∞v}$ | [∞]= [∞,1]= $[∞,2,1^+]$ | = |
| p11g | ∞× | $p._g1$ | $S_{2∞}$ | $[∞^+,2^+]$ | |
| p11m | ∞* | p. 1 | $C_{∞h}$ | $[∞^+,2]$ | |
| p2 | 22∞ | p2 | $D_∞$ | $[∞,2]^+$ | |
| p2mg | 2*∞ | $p2_g$ | $D_{∞d}$ | $[∞,2^+]$ | |
| p2mm | *22∞ | p2 | $D_{∞h}$ | [∞,2] | |

Afín (grupos del papel pintado) :

| IUC | Orb. | Geo. | Coxeter | Coxeter |
| - | - | - | - | - |
| p2 | 2222 | p2 | $[4,1^+,4]^+$ | |
| p2gg | 22× | $p_g2_g$ | $[4^+,4^+]$ | |
| p2mm | *2222 | p2 | $[4,1^+,4]$ | |
| c2mm | 2*22 | c2 | $[[4^+,4^+]]$ | |
| p4 | 442 | p4 | $[4,4]^+$ | |
| p4gm | 4*2 | $p_g4$ | $[4^+,4]$ | |
| p4mm | *442 | p4 | [4,4] | |
| p3 | 333 | p3 | $[1^+,6,3^+]=$ $[3^{[3]}]^+$ | = |
| p3m1 | *333 | p3 | $[1^+,6,3]=$ $[3^{[3]}]$ | = |
| p31m | 3*3 | h3 | $[6,3^+]=$ $[3[3^{[3]}]^+]$ | |
| p6 | 632 | p6 | $[6,3]^+=$ $[3[3^{[3]}]]^+$ | |
| p6mm | *632 | p6 | [6,3]= $[3[3^{[3]}]]$ | |

Expresados en notación de Coxeter (y notación orbifold entre paréntesis), algunos subgrupos afines de índice bajo son:

| Grupo reflexivo | Subgrupo reflexivo | Subgrupo mixto | Subgrupo rotativo | Rotorreflexion/ traslación | Subgrupo conmutador |
| - | - | - | - | - | - |
| [4,4], (*442) | $[1^+,4,4],$ (*442) $[4,1^+,4],$ (*2222) $[1^+,4,4,1^+],$ (*2222) | $[4^+,4],$ (4*2) $[(4,4,2^+)],$ (2*22) $[1^+,4,1^+,4],$ (2*22) | $[4,4]^+,$ (442) $[1^+,4,4^+],$ (442) $[1^+,4,1^+4,1^+],$ (2222) | $[4^+,4^+],$ (22×) | $[4^+,4^+]^+,$ (2222) |
| [6,3], (*632) | $[1^+,6,3]=$ $[3^{[3]}],$ (*333) | $[3^+,6],$ (3*3) | $[6,3]^+,$ (632) $[1^+,6,3^+],$ (333) | | $[1^+,6,3^+],$ (333) |

## Grupos de rango 4

* Relaciones entre subgrupos

### Grupos de puntos

Los grupos de rango cuatro definen los grupos puntuales de 4 dimensiones:

Grupos finitos :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[1]^+$ | 1.1 |
| [1]= [ ] | 2.1 |

[2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[1^+,2]^+$ | 1.1 |
| $[2]^+$ | 2.1 |
| [2] | 4.1 |

[2,2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[2^+,2^+]^+$ = $[(2^+,2^+,2^+)]$ | 1.1 |
| $[2^+,2^+]$ | 2.1 |
| $[2,2]^+$ | 4.1 |
| $[2^+,2]$ | 4.1 |
| [2,2] | 8.1 |

[2,2,2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[(2^+,2^+,2^+,2^+)]$ = $[2^+,2^+,2^+]^+$ | 1.1 |
| $[2^+,2^+,2^+]$ | 2.1 |
| $[2^+,2,2^+]$ | 4.1 |
| $[(2,2)^+,2^+]$ | 4 |
| $[[2^+,2^+,2^+]]$ | 4 |
| $[2,2,2]^+$ | 8 |
| $[2^+,2,2]$ | 8.1 |
| $[(2,2)^+,2]$ | 8 |
| $[[2^+,2,2^+]]$ | 8.1 |
| [2,2,2] | 16.1 |
| $[[2,2,2]]^+$ | 16 |
| $[[2,2^+,2]]$ | 16 |
| [[2,2,2]] | 32 |

[p]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[p]^+$ | p |
| [p] | 2p |

[p,2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[p,2]^+$ | 2p |
| [p,2] | 4p |

$[2p,2^+]:$ :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[2p,2^+]$ | 4p |
| $[2p^+,2^+]$ | 2p |

[p,2,2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[p^+,2,2^+]$ | 2p |
| $[(p,2)^+,2^+]$ | 2p |
| $[p,2,2]^+$ | 4p |
| $[p,2,2^+]$ | 4p |
| $[p^+,2,2]$ | 4p |
| $[(p,2)^+,2]$ | 4p |
| [p,2,2] | 8p |

$[2p,2^+,2]:$ :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[2p^+,2^+,2^+]^+$ | p |
| $[2p^+,2^+,2^+]$ | 2p |
| $[2p^+,2^+,2]$ | 4p |
| $[2p^+,(2,2)^+]$ | 4p |
| $[2p,(2,2)^+]$ | 8p |
| $[2p,2^+,2]$ | 8p |

[p,2,q]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[p^+,2,q^+]$ | pq |
| $[p,2,q]^+$ | 2pq |
| $[p^+,2,q]$ | 2pq |
| [p,2,q] | 4pq |

[2p,2,2q]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[2p^+,2^+,2q^+]^+=$ $[(2p^+,2^+,2q^+,2^+)]$ | pq |
| $[2p^+,2^+,2q^+]$ | 2pq |
| $[2p,2^+,2q^+]$ | 4pq |
| $[((2p,2)^+,(2q,2)^+)]$ | 4pq |
| $[2p,2^+,2q]$ | 8pq |

[[p,2,p]]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[[p^+,2,p^+]]$ | $2p^2$ |
| $[[p,2,p]]^+$ | $4p^2$ |
| $[[p,2,p]^+]$ | $4p^2$ |
| [[p,2,p]] | $8p^2$ |

[[2p,2,2p]]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[[(2p^+,2^+,2p^+,2^+)]]$ | $2p^2$ |
| $[[2p^+,2^+,2p^+]]$ | $4p^2$ |
| $[[((2p,2)^+,(2p,2)^+)]]$ | $8p^2$ |
| $[[2p,2^+,2p]]$ | $16p^2$ |

[3,3,2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[(3,3)^Δ,2,1^+]$ ≅ $[2,2]^+$ | 4 |
| $[(3,3)^Δ,2]$ ≅ $[2,(2,2)^+]$ | 8 |
| $[(3,3)^⅄,2,1^+]$ ≅ $[4,2^+]$ | 8 |
| $[(3,3)^+,2,1^+]$ = $[3,3]^+$ | 12.5 |
| $[(3,3)^⅄,2]$ ≅ $[2,4,2^+]$ | 16 |
| $[3,3,2,1^+]$ = [3,3] | 24 |
| $[(3,3)^+,2]$ | 24.10 |
| $[3,3,2]^+$ | 24.10 |
| [3,3,2] | 48.36 |

[4,3,2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[1^+,4,3^+,2,1^+]$ = $[3,3]^+$ | 12 |
| $[3^+,4,2^+]$ | 24 |
| $[(3,4)^+,2^+]$ | 24 |
| $[1^+,4,3^+,2]$ = $[(3,3)^+,2]$ | 24.10 |
| $[3^+,4,2,1^+]$ = $[3^+,4]$ | 24.10 |
| $[(4,3)^+,2,1^+]$ = $[4,3]^+$ | 24.15 |
| $[1^+,4,3,2,1^+]$ = [3,3] | 24 |
| $[1^+,4,(3,2)^+]$ = $[3,3,2]^+$ | 24 |
| $[3,4,2^+]$ | 48 |
| $[4,3^+,2]$ | 48.22 |
| $[4,(3,2)^+]$ | 48 |
| $[(4,3)^+,2]$ | 48.36 |
| $[1^+,4,3,2]$ = [3,3,2] | 48.36 |
| $[4,3,2,1^+]$ = [4,3] | 48.36 |
| $[4,3,2]^+$ | 48.36 |
| [4,3,2] | 96.5 |

[5,3,2]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[(5,3)^+,2,1^+]$ = $[5,3]^+$ | 60.13 |
| $[5,3,2,1^+]$ = [5,3] | 120.2 |
| $[(5,3)^+,2]$ | 120.2 |
| $[5,3,2]^+$ | 120.2 |
| [5,3,2] | 240 (nc) |

$[3^{1,1,1}]:$ :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[3^{1,1,1}]^Δ$ ≅[[ $4,2^+,4]]^+$ | 32 |
| $[3^{1,1,1}]^⅄$ | 64 |
| $[3^{1,1,1}]^+$ | 96.1 |
| $[3^{1,1,1}]$ | 192.2 |
| $<[3,3^{1,1}]>$ = [4,3,3] | 384.1 |
| $[3[3^{1,1,1}]]$ = [3,4,3] | 1152.1 |

[3,3,3]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[3,3,3]^+$ | 60.13 |
| [3,3,3] | 120.1 |
| $[[3,3,3]]^+$ | 120.2 |
| $[[3,3,3]^+]$ | 120.1 |
| [[3,3,3]] | 240.1 |

[4,3,3]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[1^+,4,(3,3)^Δ]$ = $[3^{1,1,1}]^Δ$ ≅[[ $4,2^+,4]]^+$ | 32 |
| $[4,(3,3)^Δ]$ = $[2^+,4[2,2,2]^+]$ ≅[[ $4,2^+,4]]$ | 64 |
| $[1^+,4,(3,3)^⅄]$ = $[3^{1,1,1}]^⅄$ | 64 |
| $[1^+,4,(3,3)^+]$ = $[3^{1,1,1}]^+$ | 96.1 |
| $[4,(3,3)^⅄]$ ≅ [[4,2,4]] | 128 |
| $[1^+,4,3,3]$ = $[3^{1,1,1}]$ | 192.2 |
| $[4,(3,3)^+]$ | 192.1 |
| $[4,3,3]^+$ | 192.3 |
| [4,3,3] | 384.1 |

[3,4,3]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[3^+,4,3^+]$ | 288.1 |
| $[3,4,3^⅄]$ = [4,3,3] | 384.1 |
| $[3,4,3]^+$ | 576.2 |
| $[3^+,4,3]$ | 576.1 |
| $[[3^+,4,3^+]]$ | 576 (nc) |
| [3,4,3] | 1152.1 |
| $[[3,4,3]]^+$ | 1152 (nc) |
| $[[3,4,3]^+]$ | 1152 (nc) |
| [[3,4,3]] | 2304 (nc) |

[5,3,3]: :

| Símbolo | Orden |
| - | - |
| $[5,3,3]^+$ | 7200 (nc) |
| [5,3,3] | 14400 (nc) |

**Subgrupos**

Grupos y subgrupos reflexivos de puntos 1D-4D :

| Orden | Reflexión | Subgrupos semidirectos | Subgrupos semidirectos | Subgrupos semidirectos | Subgrupos directos | Subgrupo conmutador | Subgrupo conmutador |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| 2 | [ ] | | | | [ $]^+$ | [ $]^{+1}$ | [ $]^+$ |
| 4 | [2] | | | | $[2]^+$ | $[2]^{+2}$ | [ $]^+$ |
| 8 | [2,2] | $[2^+,2]$ | $[2^+,2^+]$ | | $[2,2]^+$ | $[2,2]^{+3}$ | [ $]^+$ |
| 16 | [2,2,2] | $[2^+,2,2]$ $[(2,2)^+,2]$ | $[2^+,2^+,2]$ $[(2,2)^+,2^+]$ $[2^+,2^+,2^+]$ | | $[2,2,2]^+$ $[2^+,2,2^+]$ | $[2,2,2]^{+4}$ | [ $]^+$ |
| 16 | $[2^{1,1,1}]$ | | $[(2^+)^{1,1,1}]$ | | | $[2,2,2]^{+4}$ | [ $]^+$ |
| 2n | [n] | | | | $[n]^+$ | $[n]^{+1}$ | $[n]^+$ |
| 4n | [2n] | | | | $[2n]^+$ | $[2n]^{+2}$ | $[n]^+$ |
| 4n | [2,n] | $[2,n^+]$ | | | $[2,n]^+$ | $[2,n]^{+2}$ | $[n]^+$ |
| 8n | [2,2n] | $[2^+,2n]$ | $[2^+,2n^+]$ | | $[2,2n]^+$ | $[2,2n]^{+3}$ | $[n]^+$ |
| 8n | [2,2,n] | $[2^+,2,n]$ $[2,2,n^+]$ | $[2^+,(2,n)^+]$ | | $[2,2,n]^+$ $[2^+,2,n^+]$ | $[2,2,n]^{+3}$ | $[n]^+$ |
| 16n | [2,2,2n] | $[2,2^+,2n]$ | $[2^+,2^+,2n]$ $[2,2^+,2n^+]$ $[(2,2)^+,2n^+]$ $[2^+,2^+,2n^+]$ | | $[2,2,2n]^+$ $[2^+,2n,2^+]$ | $[2,2,2n]^{+4}$ | $[n]^+$ |
| 16n | [2,2n,2] | | $[2^+,2n^+,2^+]$ | | $[2,2,2n]^+$ $[2^+,2n,2^+]$ | $[2,2,2n]^{+4}$ | $[n]^+$ |
| 16n | $[2n,2^{1,1}]$ | | $[2n^+,(2^+)^{1,1}]$ | | $[2,2,2n]^+$ $[2^+,2n,2^+]$ | $[2,2,2n]^{+4}$ | $[n]^+$ |
| 24 | [3,3] | | | | $[3,3]^+$ | $[3,3]^{+1}$ | $[3,3]^+$ |
| 48 | [3,3,2] | $[(3,3)^+,2]$ | | | $[3,3,2]^+$ | $[3,3,2]^{+2}$ | $[3,3]^+$ |
| 48 | [4,3] | $[4,3^+]$ | | | $[4,3]^+$ | $[4,3]^{+2}$ | $[3,3]^+$ |
| 96 | [4,3,2] | $[(4,3)^+,2]$ $[4,(3,2)^+]$ | | | $[4,3,2]^+$ | $[4,3,2]^{+3}$ | $[3,3]^+$ |
| 96 | [3,4,2] | $[3,4,2^+]$ $[3^+,4,2]$ | $[(3,4)^+,2^+]$ | | $[3^+,4,2^+]$ | $[4,3,2]^{+3}$ | $[3,3]^+$ |
| 120 | [5,3] | | | | $[5,3]^+$ | $[5,3]^{+1}$ | $[5,3]^+$ |
| 240 | [5,3,2] | $[(5,3)^+,2]$ | | | $[5,3,2]^+$ | $[5,3,2]^{+2}$ | $[5,3]^+$ |
| 4pq | [p,2,q] | $[p^+,2,q]$ | | | $[p,2,q]^+$ $[p^+,2,q^+]$ | $[p,2,q]^{+2}$ | $[p^+,2,q^+]$ |
| 8pq | [2p,2,q] | $[2p,(2,q)^+]$ | $[2p^+,(2,q)^+]$ | | $[2p,2,q]^+$ | $[2p,2,q]^{+3}$ | $[p^+,2,q^+]$ |
| 16pq | [2p,2,2q] | $[2p,2^+,2q]$ | $[2p^+,2^+,2q]$ $[2p^+,2^+,2q^+]$ $[(2p,(2,2q)^+,2^+)]$ | - | $[2p,2,2q]^+$ | $[2p,2,2q]^{+4}$ | $[p^+,2,q^+]$ |
| 120 | [3,3,3] | | | | $[3,3,3]^+$ | $[3,3,3]^{+1}$ | $[3,3,3]^+$ |
| 192 | $[3^{1,1,1}]$ | | | | $[3^{1,1,1}]^+$ | $[3^{1,1,1}]^{+1}$ | $[3^{1,1,1}]^+$ |
| 384 | [4,3,3] | $[4,(3,3)^+]$ | | | $[4,3,3]^+$ | $[4,3,3]^{+2}$ | $[3^{1,1,1}]^+$ |
| 1152 | [3,4,3] | $[3^+,4,3]$ | | | $[3,4,3]^+$ $[3^+,4,3^+]$ | $[3,4,3]^{+2}$ | $[3^+,4,3^+]$ |
| 14400 | [5,3,3] | | | | $[5,3,3]^+$ | $[5,3,3]^{+1}$ | $[5,3,3]^+$ |

### Grupos espaciales

Grupos espaciales :

| Isomorfismo afín y correspondencias | Los 8 grupos espaciales cúbicos como simetría extendida de $[3^{[4]}],$ con diagramas cuadrados de Coxeter y dominios fundamentales reflexivos | Los 35 grupos espaciales cúbicos en notación internacional, notación fibrifold y de Coxeter |
| - | - | - |

Grupos de rango cuatro como grupos espaciales tridimensionales :

Triclínico (1-2) :

| Coxeter | Grupo espacial |
| - | - |
| $[∞^+,2,∞^+,2,∞^+]$ | (1) P1 |

Monoclínico (3-15) :

| Coxeter | Grupo espacial |
| - | - |
| $[(∞,2,∞)^+,2,∞^+]$ | (3) P2 |
| $[∞^+,2,∞^+,2,∞]$ | (6) Pm |
| $[(∞,2,∞)^+,2,∞]$ | (10) P2/m |

Ortorrómbico (16-74) :

| Coxeter | Grupo espacial |
| - | - |
| $[∞,2,∞,2,∞]^+$ | (16) P222 |
| $[[∞,2,∞,2,∞]]^+$ | (23) I222 |
| $[∞^+,2,∞,2,∞]$ | (25) Pmm2 |
| [∞,2,∞,2,∞] | (47) Pmmm |
| [[∞,2,∞,2,∞]] | (71) Immm |
| $[∞^+,2,∞^+,2,∞^+]$ | |
| $[∞,2,∞,2^+,∞]$ | |
| $[∞,2^+,∞,2^+,∞]$ | |

Tetragonal (75-142) :

| Coxeter | Grupo espacial |
| - | - |
| $[(4,4)^+,2,∞^+]$ | (75) P4 |
| $[2^+[(4,4)^+,2,∞^+]]$ | (79) I4 |
| $[(4,4)^+,2,∞]$ | (83) P4/m |
| $[2^+[(4,4)^+,2,∞]]$ | (87) I4/m |
| $[4,4,2,∞]^+$ | (89) P422 |
| $[2^+[4,4,2,∞]]^+$ | (97) I422 |
| $[4,4,2,∞^+]$ | (99) P4mm |
| [4,4,2,∞] | (123) P4/mmm |
| $[2^+[4,4,2,∞]]$ | (139) I4/mmm |
| $[4,(4,2)^+,∞]$ | (140) I4/mcm |
| $[4,4,2^+,∞]$ | |
| $[(4,4)^+,2^+,∞]$ | |
| $[4,4,2^+,∞^+]$ | |
| $[(4,4)^+,2^+,∞^+]$ | |
| $[4^+,4^+,2^+,∞]$ | |
| $[4,4^+,2,∞]$ | |
| $[4,4^+,2^+,∞]$ | |
| $[((4,2^+,4)),2,∞]$ | |
| $[4,4^+,2,∞^+]$ | |
| $[4,4^+,2^+,∞^+]$ | |
| $[((4,2^+,4)),2,∞^+]$ | |

Trigonal (143-167), romboedral :

| Coxeter | Grupo espacial |
| - | - |

Hexagonal (168-194) :

| $[(6,3)^+,2,∞^+]$ | (168) P6 |
| - | - |
| $[(6,3)^+,2,∞]$ | (175) P6/m |
| $[6,3,2,∞]^+$ | (177) P622 |
| $[6,3,2,∞^+]$ | (183) P6mm |
| [6,3,2,∞] | (191) P6/mmm |
| $[(3^{[3]})^+,2,∞^+]$ | |
| $[3^{[3]},2,∞]$ | |
| $[6,3^+,2,∞]$ | |
| $[6,3^+,2,∞^+]$ | |
| $[3^{[3]},2,∞]^+$ | |
| $[3^{[3]},2,∞^+]$ | |
| $[(3^{[3]})^+,2,∞]$ | |

Cúbico (195-230) :

| Group | Coxeter | Grupo espacial | Índice |
| - | - | - | - |
| [[4,3,4]] | [[4,3,4]] | (229) Im3m | 1 |
| [[4,3,4]] | $[[4,3,4]]^+$ | (211) I432 | 2 |
| [[4,3,4]] | $[[4,3,4]^+]$ | (223) Pm3n | 2 |
| [[4,3,4]] | $[[4,3^+,4]]$ | (204) I3 | 2 |
| [[4,3,4]] | $[[(4,3,4,2^+)]]$ | (217) I43m | 2 |
| [[4,3,4]] | $[[4,3^+,4]]^+$ | (197) I23 | 4 |
| [[4,3,4]] | $[[4,3,4]^+]^+$ | (208) $P4_232$ | 4 |
| [[4,3,4]] | $[[4,3^+,4)]^+]$ | (201) Pn43 | 4 |
| [[4,3,4]] | $[[(4,3,4,2^+)]^+]$ | (218) P43n | 4 |
| [4,3,4] | [4,3,4] | (221) Pm3m | 2 |
| [4,3,4] | $[4,3,4]^+$ | (207) P432 | 4 |
| [4,3,4] | $[4,3^+,4]$ | (200) Pm3 | 4 |
| [4,3,4] | $[4,(3,4)^+]$ | (226) Fm3c | 4 |
| [4,3,4] | $[(4,3,4,2^+)]$ | (215) P43m | 4 |
| [4,3,4] | $[[{4,(3}^+,4)^+]]$ | (228) Fd3c | 4 |
| [4,3,4] | $[4,3^+,4]^+$ | (195) P23 | 8 |
| [4,3,4] | $[{4,(3}^+,4)^+]$ | (219) F43c | 8 |
| $[4,3^{1,1}]$ | $[4,3^{1,1}]$ | (225) Fm3m | 4 |
| $[4,3^{1,1}]$ | $[4,(3^{1,1})^+]$ | (202) Fm3 | 8 |
| $[4,3^{1,1}]$ | $[4,3^{1,1}]^+$ | (209) F432 | 8 |
| $[[3^{[4]}]]$ |
| $[[3^{[4]}]]$ | $[(4^+,2^+)[3^{[4]}]]$ | (222) Pn3n | 2 |
| $[[3^{[4]}]]$ | $[[3^{[4]}]]$ | (227) Fd3m | 4 |
| $[[3^{[4]}]]$ | $[[3^{[4]}]]^+$ | (203) Fd3 | 8 |
| $[[3^{[4]}]]$ | $[[3^{[4]}]^+]$ | (210) $F4_132$ | 8 |
| $[3^{[4]}]$ | $[3^{[4]}]$ | (216) F43m | 8 |
| $[3^{[4]}]$ | $[3^{[4]}]^+$ | (196) F23 | 16 |

### Grupos lineales

Los grupos de rango cuatro también definen los grupos lineales tridimensionales:

Grupos (3D) semiafines :

| Grupo puntual | Grupo puntual | Grupo puntual | Grupo lineal | Grupo lineal | Grupo lineal | Grupo lineal | Grupo lineal | Grupo lineal | Grupo lineal | Grupo lineal |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Hermann-Mauguin | Hermann-Mauguin | Schönflies | Hermann-Mauguin | Hermann-Mauguin | Tipo desplazado | Papel pintado | Papel pintado | Papel pintado | Coxeter $[∞_h,2,p_v]$ | Coxeter $[∞_h,2,p_v]$ |
| n par | n impar | Schönflies | n par | n impar | Tipo desplazado | IUC | Orbifold | Diagrama | Coxeter $[∞_h,2,p_v]$ | Coxeter $[∞_h,2,p_v]$ |
| n | n | $C_n$ | $Pn_q$ | $Pn_q$ | Hélice: q | p1 | o | | $[∞^+,2,n^+]$ | |
| 2n | n | $S_{2n}$ | P2n | Pn | None | p11g, pg(h) | ×× | | $[(∞,2)^+,2n^+]$ | |
| n/m | 2n | $C_{nh}$ | Pn/m | P2n | Ninguno | p11m, pm(h) | ** | | $[∞^+,2,n]$ | |
| 2n/m | 2n/m | $C_{2nh}$ | $P2n_n/m$ | $P2n_n/m$ | Zigzag | c11m, cm(h) | *× | | $[∞^+,2^+,2n]$ | |
| nmm | nm | $C_{nv}$ | Pnmm | Pnm | Ninguno | p1m1, pm(v) | ** | | $[∞,2,n^+]$ | |
| nmm | nm | $C_{nv}$ | Pncc | Pnc | Reflexión plana | p1g1, pg(v) | ×× | | $[∞^+,(2,n)^+]$ | |
| 2nmm | 2nmm | $C_{2nv}$ | $P2n_nmc$ | $P2n_nmc$ | Zigzag | c1m1, cm(v) | *× | | $[∞,2^+,2n^+]$ | |
| n22 | n2 | $D_n$ | $Pn_q22$ | $Pn_q2$ | Hélice: q | p2 | 2222 | | $[∞,2,n]^+$ | |
| 2n2m | nm | $D_{nd}$ | P2n2m | Pnm | Ninguno | p2mg, pmg(h) | 22* | | $[(∞,2)^+,2n]$ | |
| 2n2m | nm | $D_{nd}$ | P2n2c | Pnc | Reflexión plana | p2gg, pgg | 22× | | $[^+(∞,(2),2n)^+]$ | |
| n/mmm | 2n2m | $D_{nh}$ | Pn/mmm | P2n2m | Ninguno | p2mm, pmm | *2222 | | [∞,2,n] | |
| n/mmm | 2n2m | $D_{nh}$ | Pn/mcc | P2n2c | Reflexión plana | p2mg, pmg(v) | 22* | | $[∞,(2,n)^+]$ | |
| 2n/mmm | 2n/mmm | $D_{2nh}$ | $P2n_n/mcm$ | $P2n_n/mcm$ | Zigzag | c2mm, cmm | 2*22 | | $[∞,2^+,2n]$ | |

### Grupo duoprismático

* Simetría duoprismática extendida
* Grupos duoprismáticos extendidos, [p]×[p] o [p,2,p] o , expresados en relación con su simetría de dominio fundamental disfenoide.

Los grupos de rango cuatro definen los grupos duoprismáticos de 4 dimensiones. En el límite, cuando p y q tienden a infinito, degeneran en 2 dimensiones y se convierten en los grupos del papel pintado.

Grupos duoprismáticos (4D) :

| Papel pintado | Papel pintado | Papel pintado | Coxeter [p,2,q] | Coxeter [[p,2,p]] | Papel pintado | Papel pintado | Papel pintado |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| IUC | Orbifold | Diagrama | Coxeter [p,2,q] | Coxeter [[p,2,p]] | IUC | Orbifold | Diagrama |
| p1 | o | | $[p^+,2,q^+]$ | $[[p^+,2,p^+]]$ | p1 | o | |
| pg | ×× | | $[(p,2)^+,2q^+]$ | - | - | - | - |
| pm | ** | | $[p^+,2,q]$ | - | - | - | - |
| cm | *× | | $[2p^+,2^+,2q]$ | - | - | - | - |
| p2 | 2222 | | $[p,2,q]^+$ | $[[p,2,p]]^+$ | p4 | 442 | |
| pmg | 22* | | $[(p,2)^+,2q]$ | - | - | - | - |
| pgg | 22× | | $[^+(2p,(2),2q)^+]$ | $[[^+(2p,(2),2p)^+]]$ | cmm | 2*22 | |
| pmm | *2222 | | [p,2,q] | [[p,2,p]] | p4m | *442 | |
| cmm | 2*22 | | $[2p,2^+,2q]$ | $[[2p,2^+,2p]]$ | p4g | 4*2 | |

### Grupos del papel pintado

Los grupos de rango cuatro también definen algunos de los grupos del papel pintado bidimensionales, como casos límite de los grupos de duoprismas de cuatro dimensiones:

Grupo afín (plano 2D) :

| IUC | Orb. | Geo | Coxeter |
| - | - | - | - |
| p1 | o | p1 | $[∞^+,2,∞^+]$ |
| p1 | o | p1 | $[∞^+,2^+,∞^+]$ |
| p1 | o | p1 | $[(∞^+,2^+,∞^+,2^+)]$ |
| p2 | 2222 | p2 | $[∞,2,∞]^+$ |
| p2 | 2222 | p2 | $[(∞,2^+,∞,2^+)]$ |
| p11g | ×× | $p_g1$ | h: $[∞^+,(2,∞)^+]$ |
| p1g1 | ×× | $p_g1$ | v: $[(∞,2)^+,∞^+]$ |
| p2gm | 22* | $p_g2$ | h: $[(∞,2)^+,∞]$ |
| p2mg | 22* | $p_g2$ | v: $[∞,(2,∞)^+]$ |
| IUC | Orb. | Geo | Coxeter |
| p11m | ** | p1 | h: $[∞^+,2,∞]$ |
| p1m1 | ** | p1 | v: $[∞,2,∞^+]$ |
| p2mm | *2222 | p2 | [∞,2,∞] |
| c11m | *× | c1 | h: $[∞^+,2^+,∞]$ |
| c1m1 | *× | c1 | v: $[∞,2^+,∞^+]$ |
| p2gg | 22× | $p_g2_g$ | $[^+(∞,(2),∞)^+]$ $[((∞,2)^+)^{[2]}]$ |
| c2mm | 2*22 | c2 | $[∞,2^+,∞]$ |

Los subgrupos de [8,2,8], (*2222) se pueden expresar hasta su subgrupo conmutador de índice 16 como sigue:

Subgrupos de [∞,2,∞] :

| Grupo reflexivo | Subgrupo reflexivo | Subgrupo mixto | Subgrupo rotativo | Rotorreflexión/ traslación | Subgrupo conmutador |
| - | - | - | - | - | - |
| [∞,2,∞], (*2222) | $[1^+,∞,2,∞],$ (*2222) | $[∞^+,2,∞],$ (**) | $[∞,2,∞]^+,$ (2222) | $[∞,2^+,∞]^+,$ (°) $[∞^+,2^+,∞^+],$ (°) $[∞^+,2,∞^+],$ (°) $[∞^+,2^+,∞],$ (*×) $[(∞,2)^+,∞^+],$ (××) $[((∞,2)^+,(∞,2)^+)],$ (22×) | $[(∞^+,2^+,∞^+,2^+)],$ (°) |
| [∞,2,∞], (*2222) | $[1^+,∞,2,∞],$ (*2222) | $[∞,2^+,∞],$ (2*22) $[(∞,2)^+,∞],$ (22*) | $[∞,2,∞]^+,$ (2222) | $[∞,2^+,∞]^+,$ (°) $[∞^+,2^+,∞^+],$ (°) $[∞^+,2,∞^+],$ (°) $[∞^+,2^+,∞],$ (*×) $[(∞,2)^+,∞^+],$ (××) $[((∞,2)^+,(∞,2)^+)],$ (22×) | $[(∞^+,2^+,∞^+,2^+)],$ (°) |

## Reflexiones complejas

La notación de Coxeter se ha ampliado al espacio complejo, $C^n,$ donde los nodos son reflexiones unitarias de período 2 o superior. Los nodos están etiquetados por un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se suprime. Los grupos de reflexión complejos se denominan grupos de Shephard en lugar de grupos de Coxeter y se pueden utilizar para construir politopos complejos.

En $\mathbb {C} ^{1}$, un grupo de Shephard de rango 1 , orden p, se representa como $_p[$ ], [ $]_p$ o $]_p[.$ Tiene un solo generador, representando una rotación de 2π/p radianes en el plano complejo: $e^{2\pi i/p}$.

Coxeter anota el grupo complejo de rango 2, $_p[q]_r$ y lo representa mediante el diagrama de Coxeter-Dynkin . La p y la r solo deben suprimirse si ambas son 2, que es el caso real [q]. El orden de un grupo de rango 2 $_p[q]_r$ es $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$.

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son: $_p[4]_2$ (p es 2,3,4,...), $_3[3]_3,$ $_3[6]_2,$ $_3[4]_3,$ $_4[3]_4,$ $_3[8]_2,$ $_4$ $(045)[6]_2,$ $_4[4]_3,$ $_3[5]_3,$ $_5[3]_5,$ $_3$ $)[10]_2,$ $_5[6]_2$ y $_5[4]_3$ con diagramas de Coxeter , , , , , , , , , , , , .

Los grupos infinitos son $_3[12]_2,$ $_4[8]_2,$ $_6[6]_2,$ $_3[6]_3,$ $_6[4]_3,$ $_4[4]_4$ y $_6[3]_6$ o , , , , , , .

Los subgrupos de índice 2 existen al eliminar un reflejo real: $_p[2q]_2$ → $_p[q]_p.$ También existen subgrupos de índice r para 4 ramas: $_p[4]_r$ → $_p[r]_p.$

Para la familia infinita $_p[4]_2,$ para cualquier p= 2, 3, 4,..., hay dos subgrupos: $_p[4]_2$ → [p], índice p, while y $_p[4]_2$ → $_p[$ $]×_p[$ ], índice 2.

## Cálculo con matrices de reflexión como generadores de simetría

Un grupo de Coxeter, representado por el diagrama de Coxeter-Dynkin , recibe la notación de Coxeter [p,q] según los órdenes de las ramas. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, por convención llamado $ρ_i$ (y matriz $R_i).$ Los generadores de este grupo [p,q] son reflexiones: $ρ_0,$ $ρ_1$ y $ρ_2.$ La subsimetría rotacional se define como producto de reflexiones: por convención, $σ_{0,1}$ (y la matriz $S_{0,1})=$ $ρ_0ρ_1$ representa una rotación del ángulo Π/p, y $σ_{1,2}=$ $ρ_1ρ_2$ es una rotación del ángulo Π/q, y $σ_{0,2}=$ $ρ_0ρ_2$ representa una rotación según un ángulo de Π/2.

$[p,q]^+,$ , es un subgrupo de índice 2 representado por dos generadores de rotación, cada uno de los cuales es producto de dos reflexiones: $σ_{0,1},$ $σ_{1,2},$ y representa rotaciones según los ángulos Π/p y Π/q respectivamente.

Con una rama par, $[p^+,2q],$ o , es otro subgrupo de índice 2, representado por el generador de rotación $σ_{0,1},$ y el de reflexión $ρ_2.$

Con ramas pares, $[2p^+,2q^+],$ , es un subgrupo de índice 4 con dos generadores, construido como un producto de las tres matrices de reflexión. Por convención, como $ψ_{0,1,2}$ y $ψ_{1,2,0},$ que son rotorreflexiones, que representan una reflexión y una rotación o reflexión.

En el caso de grupos afines de Coxeter como o , un espejo, generalmente el último, se traslada fuera del origen. Un generador traslación $t_{0,1}$ (y una matriz $T_{0,1})$ se construyen como el producto de dos (o un número par de) reflejos, incluido el reflejo afín. Un reflexión deslizada (reflexión más traslación) puede ser el producto de un número impar de reflexiones $f_{0,1,2}$ (y matriz $V_{0,1,2}),$ como el subgrupo de índice 4 : $[4^+,4^+]=$ .

Otro generador compuesto, por convención como ζ (y matriz Z), representa la inversión, asignando un punto a su inversa. Para [4,3] y [5,3], ζ = $(ρ_0ρ_1ρ_2)^{h/2},$ donde h es 6 y 10 respectivamente, el número de Coxeter para cada familia. Para el grupo de Coxeter 3D [p,q], este subgrupo es una rotorreflexión $[2^+,h^+].$

Los grupos de Coxeter se clasifican por su rango, siendo el número de nodos en su diagrama de Coxeter. La estructura de los grupos también se proporciona con sus tipos de grupos abstractos: en este artículo, los grupos diédricos abstractos se representan como $Dih_n,$ y los grupos cíclicos se representan como $Z_n,$ con $Dih_1$ $=Z_2.$

### Rango 2

| Grupos diédricos | Grupos cíclicos |
| - | - |
| [2] | $[2]^+$ |
| [3] | $[3]^+$ |
| [4] | $[4]^+$ |
| [6] | $[6]^+$ |

Por ejemplo, en 2D, el grupo de Coxeter [p] está representado por dos matrices de reflexión $R_0$ y $R_1,$ la simetría cíclica $[p]^+$ está representada por el generador de rotación de la matriz $S_{0,1}.$

[p], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Rotación |
| - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $S_{0,1}=R_0×R_1$ |
| Orden | 2 | 2 | p |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$ |

[2], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Rotación |
| - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $S_{0,1}=R_0×R_1$ |
| Orden | 2 | 2 | 2 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ |

[3], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Rotación |
| - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $S_{0,1}=R_0×R_1$ |
| Orden | 2 | 2 | 3 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ |

[4], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Rotación |
| - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $S_{0,1}=R_0×R_1$ |
| Orden | 2 | 2 | 4 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ |

[6], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Rotación |
| - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $S_{0,1}=R_0×R_1$ |
| Orden | 2 | 2 | 6 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\1/2&-{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\-1/2&{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ |

[8], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Rotación |
| - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $S_{0,1}=R_0×R_1$ |
| Orden | 2 | 2 | 8 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ |

### Rango 3

Los grupos de Coxeter de rango finito 3 son [1,p], [2,p], [3,3], [3,4] y [3,5].

Para reflejar un punto a través de un plano $ax+by+cz=0$ (que pasa por el origen), se puede usar $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$, donde $\mathbf {I}$ es la matriz identidad 3×3 y $\mathbf {N}$ es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si la norma de $a,b,$ y $c$ es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:

    $\mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]$

**[p,2]**

El grupo de reflexión finito tridimensional reducible es el grupo diedro, [p,2], de orden 4p, . Los generadores de reflexión son las matrices $R_0,$ $R_1,$ $R_2.$ $R_0^2=R_1^2=R_2^2=(R_0×R_1)^3=(R_1×R_2)^3=(R_0×R_2)^2=Identidad.$ $[p,2]^+$ se genera mediante 2 de 3 rotaciones: $S_{0,1},$ $S_{1,2}$ y $S_{0,2}.$ Una rotorreflexión de orden p es generada por $V_{0,1,2},$ el producto de las 3 reflexiones.

[p,2], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Reflexiones | Rotación | Rotación | Rotación | Rotorreflexión |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $S_{0,1}$ | $S_{1,2}$ | $S_{0,2}$ | $V_{0,1,2}$ |
| Grupo | | | | | | | |
| Orden | 2 | 2 | 2 | p | 2 | 2 | 2p |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ |

**[3,3]**

El grupo de reflexión finito tridimensional irreducible más simple es el de simetría tetraédrica, [3,3], y de orden 24, . Los generadores de reflexión, a partir de una construcción $D_3=A_3,$ son las matrices $R_0,$ $R_1,$ $R_2.$ $R_0^2=R_1^2=R_2^2=(R_0×R_1)^3=(R_1×R_2)^3=(R_0×R_2)^2=Identidad.$ $[3,3]^+$ se genera mediante 2 de 3 rotaciones: $S_{0,1},$ $S_{1,2}$ y $S_{0,2}.$ Un trionic subgroup, isomorfo a $[2^+,4],$ orden 8, es generado por $S_{0,2}$ y $R_1.$ Una rotorreflexión de orden 4 se genera mediante $V_{0,1,2},$ el producto de las 3 reflexiones.

[3,3], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Reflexiones | Rotaciones | Rotaciones | Rotaciones | Rotorreflexión |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $S_{0,1}$ | $S_{1,2}$ | $S_{0,2}$ | $V_{0,1,2}$ |
| Grupo | | | | | | | |
| Orden | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 4 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ |
| | $(0,1,−1)_n$ | $(1,−1,0)_n$ | $(0,1,1)_n$ | $(1,1,1)_{axis}$ | $(1,1,−1)_{axis}$ | $(1,0,0)_{axis}$ | |

**[4,3]**

Otro grupo de reflexión finito tridimensional irreducible es el de simetría octaédrica, [4,3], de orden 48, . Las matrices de reflexión generadoras son $R_0,$ $R_1,$ $R_2.$ $R_0^2=R_1^2=R_2^2=(R_0×R_1)^4=(R_1×R_2)^3=(R_0×R_2)^2=Identidad.$ La simetría octaédrica quiral, $[4,3]^+,$ se genera mediante 2 de 3 rotaciones: $S_{0,1},$ $S_{1,2}$ y $S_{0,2}.$ La simetría tetraédrica $[4,3^+],$ se genera mediante la reflexión $R_0$ y la rotación $S_{1,2}.$ Una rotorreflexión de orden 6 es generada por $V_{0,1,2},$ el producto de las 3 reflexiones.

[4,3], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Reflexiones | Rotaciones | Rotaciones | Rotaciones | Rotorreflexión |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $S_{0,1}$ | $S_{1,2}$ | $S_{0,2}$ | $V_{0,1,2}$ |
| Grupo | | | | | | | |
| Orden | 2 | 2 | 2 | 4 | 3 | 2 | 6 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ |
| | $(0,0,1)_n$ | $(0,1,−1)_n$ | $(1,−1,0)_n$ | $(1,0,0)_{axis}$ | $(1,1,1)_{axis}$ | $(1,−1,0)_{axis}$ | |

**[5,3]**

El grupo de reflexión finito tridimensional irreducible final es el de la simetría icosaédrica, [5,3], y de orden 120, . Las matrices generadoras de reflexión son $R_0,$ $R_1,$ $R_2.$ $R_0^2=R_1^2=R_2^2=(R_0×R_1)^5=(R_1×R_2)^3=(R_0×R_2)^2=Identidad.$ $[5,3]^+$ se genera mediante 2 de 3 rotaciones: $S_{0,1},$ $S_{1,2}$ y $S_{0,2}.$ Una rotorreflexión de multiplicidad 10 se genera mediante $V_{0,1,2},$ el producto de las 3 reflexiones.

[5,3], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Reflexiones | Rotaciones | Rotaciones | Rotaciones | Rotorreflexión |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $S_{0,1}$ | $S_{1,2}$ | $S_{0,2}$ | $V_{0,1,2}$ |
| Grupo | | | | | | | |
| Orden | 2 | 2 | 2 | 5 | 3 | 2 | 10 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$ |
| | $(1,0,0)_n$ | $(φ,1,φ−1)_n$ | $(0,1,0)_n$ | $(φ,1,0)_{axis}$ | $(1,1,1)_{axis}$ | $(1,0,0)_{axis}$ | |

### Rango 4

Hay 4 Grupo de Coxeter irreducibles en 4 dimensiones: [3,3,3], [4,3,3], $[3^{1,1,1}],$ [3,4,4], [5,3,3], así como una familia infinita de grupos duoprismáticos [p,2,q].

**[p,2,q]**

El grupo duoprismático, [p,2,q], tiene orden 4pq.

[p,2,q], :

| | Reflexiones | Reflexiones | Reflexiones | Reflexiones |
| - | - | - | - | - |
| Nombre | $R_0$ | $R_1$ | $R_2$ | $R_3$ |
| Grupo | | | | |
| Orden | 2 | 2 | 2 | 2 |
| Matriz | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ | $\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /q&\sin 2\pi /q\\0&0&\sin 2\pi /q&-\cos 2\pi /q\\\end{smallmatrix}}\right]$ |
