Convergencia absoluta
# Convergencia absoluta

En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.

## Definición formal

* Se dice que la serie $\sum {a_{n}}$ es absolutamente convergente si la serie $\sum {\left\vert a_{n}\right\vert }$ es convergente .

## Convergencia absoluta y convergencia

* $\sum {a_{n}}$ es absolutamente convergente $\Longrightarrow \sum {a_{n}}$ es convergente .
* Demostración
* Supongamos que $\sum |a_{n}|$ converge por hipótesis. $-|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N}$Sumamos $|a_{n}|$ término a término en la desigualdad:$|a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|\Longrightarrow 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N}$$\Longrightarrow 0\leq \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}+|a_{n}|)}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }{|a_{n}|}$Por tanto, $\sum {(a_{n}+|a_{n}|)}$ es convergente.
* Ahora se considera que $a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N}$.$\Longrightarrow \sum {a_{n}}=\sum {(a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|)}=\sum {(a_{n}+|a_{n}|)}-\sum {|a_{n}|}$Entonces, $\sum {a_{n}}$ es convergente por ser diferencia de series convergentes.

## Convergencia condicional

* Se dice que la serie $\sum {a_{n}}$ es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no absolutamente convergente.

Esto sucede cuando $\sum {|a_{n}|}$ es divergente.

Por ejemplo, la serie $\sum {(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}}$ es condicionalmente convergente porque $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}}=\log(2)$, mientras que $\sum _{n=1}^{\infty }{\left\vert (-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\right\vert }=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty$.

## Teorema de reordenación de Riemann

* Sea $\{a_{n}\}$ una sucesión de números reales tal que la serie $\sum {a_{n}}$ sea condicionalmente convergente. Entonces:
* 1)$\forall M\in \mathbb {R}$ existe una permutación $\sigma$ tal que $\sum _{n=0}^{\infty }{a_{\sigma (n)}}=M$.
* 2) existe una permutación $\tau$ tal que $\sum _{n=0}^{\infty }{a_{\tau (n)}}=\infty$.
