Criterio de divisibilidad
# Criterio de divisibilidad

La divisibilidad es la operación matemática que hace alusión a la propiedad de los números enteros de dividirse por otro número entero y cuyo resultado sea a su vez un número entero.

Mediante las congruencias se puede obtener los criterios de divisibilidad de cualquier número en distintas bases.

## Definición

Dado dos números enteros $n$ y $r$ son congruentes módulo $d$, $d$>0 d$\in$$\mathbb {Z}$, si $n$ y $r$ dan el mismo resto al dividirlos por $d$. Entonces se dice que $n$ es congruente con $m$ módulo $d$, se denota $n^{i}\equiv r_{i}{\pmod {d}}$.

Llamaremos restos potenciales de $n$ módulo $d$ a los restos que obtenemos al dividir las sucesivas potencias de $n$ entre d, es decir, $r_{i}$ .

Para el criterio de divisibilidad un número $a$ se puede escribir como la sumas de las potencias de base $n$, $a=a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_{1}n^{1}+a_{0}n^{0}$, entonces si se utiliza los restos potenciales $a\equiv a_{k}r_{k}+a_{k-1}r_{k-1}+...+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0}{\pmod {d}}$.

## Criterio de divisibilidad en base 10

Para obtener los distintos criterios de divisibilidad se utilizan las congruencias, con esto se obtienen los restos potenciales que servirán para sacar la expresión del criterio.

### Criterio de dividir del 2

$10^{0}\equiv 1{\pmod {2}}$

$10^{1}\equiv 0{\pmod {2}}$

$10^{2}\equiv 0{\pmod {2}}$

$10^{3}\equiv 0{\pmod {2}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-1}\equiv 0{\pmod {2}}$

$10^{k}\equiv 0{\pmod {2}}$

El criterio de divisibilidad del 2 es 2/4/6/8/10/12/14/16/18/20

Observando las el desarrollo de las congruencias se puede llegar a la conclusión de que el único resto potencial distinto de 0 es $r_{0}$ que vale 1, por lo que solo importa el valor de $a_{0}$ que tendrá que ser divisible por 2 para que todo el número lo sea.

Todos los números pares cumplen el criterio de divisibilidad del 2.

### Criterio de divisibilidad del 3

$10^{0}\equiv 1{\pmod {3}}$

$10^{1}\equiv 1{\pmod {3}}$

$10^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-1}\equiv 1{\pmod {3}}$

$10^{k}\equiv 1{\pmod {3}}$

El criterio de divisibilidad del 3 es $a\equiv a_{k}\cdot 1+a_{k-1}\cdot 1+...+a_{1}\cdot 1+a_{0}\cdot 1{\pmod {3}}$.

Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3 entonces ese número será también divisible.

### Criterio de divisibilidad del 4

$10^{0}\equiv 1{\pmod {4}}$

$10^{1}\equiv 2{\pmod {4}}$

$10^{2}\equiv 0{\pmod {4}}$

$10^{3}\equiv 0{\pmod {4}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-1}\equiv 0{\pmod {4}}$

$10^{k}\equiv 0{\pmod {4}}$

El criterio de divisibilidad del 4 es $a\equiv a_{k}\cdot 0+a_{k-1}\cdot 0+...+a_{1}\cdot 2+a_{0}\cdot 1{\pmod {4}}$.

Sus dos últimas cifras tienen que ser divisible por 4 para que el número lo sea.

### Criterio de divisibilidad del 5

$10^{0}\equiv 1{\pmod {5}}$

$10^{1}\equiv 0{\pmod {5}}$

$10^{2}\equiv 0{\pmod {5}}$

$10^{3}\equiv 0{\pmod {5}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-1}\equiv 0{\pmod {5}}$

$10^{k}\equiv 0{\pmod {5}}$

El criterio de divisibilidad del 5 es $a\equiv a_{k}\cdot 0+a_{k-1}\cdot 0+...+a_{1}\cdot 0+a_{0}\cdot 1{\pmod {5}}$.

Si el número termina en 0 o 5 es divisible.

### Criterio de divisibilidad del 6

$10^{0}\equiv 1{\pmod {6}}$

$10^{1}\equiv 4{\pmod {6}}$

$10^{2}\equiv 4{\pmod {6}}$

$10^{3}\equiv 4{\pmod {6}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-1}\equiv 4{\pmod {6}}$

$10^{k}\equiv 4{\pmod {6}}$

El criterio de divisibilidad del 6 es $a\equiv a_{k}\cdot 4+a_{k-1}\cdot 4+...+a_{1}\cdot 4+a_{0}\cdot 1{\pmod {6}}$.

Un número es divisible por 6 si se cumple el criterio de divisibilidad del 2 y a la vez el del 3.

### Criterio de divisibilidad del 7

$10^{0}\equiv 1{\pmod {7}}$

$10^{1}\equiv 3{\pmod {7}}$

$10^{2}\equiv 2{\pmod {7}}$

$10^{3}\equiv 6{\pmod {7}}$

$10^{4}\equiv 4{\pmod {7}}$

$10^{5}\equiv 5{\pmod {7}}$

$10^{6}\equiv 1{\pmod {7}}$

$10^{7}\equiv 3{\pmod {7}}$

Cada seis cifras se observa una repetición de los restos potenciales.

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-5}\equiv 1{\pmod {7}}$

$10^{k-4}\equiv 3{\pmod {7}}$

$10^{k-3}\equiv 2{\pmod {7}}$

$10^{k-2}\equiv 6{\pmod {7}}$

$10^{k-1}\equiv 4{\pmod {7}}$

$10^{k}\equiv 5{\pmod {7}}$

El criterio de divisibilidad del 7 es $a\equiv a_{k}\cdot 5+a_{k-1}\cdot 4+a_{k-2}\cdot 6+a_{k-3}\cdot 2+a_{k-4}\cdot 3+a_{k-5}\cdot 1+...+a_{7}\cdot 3+a_{6}\cdot 1+a_{5}\cdot 5+a_{4}\cdot 4+a_{3}\cdot 6+a_{2}\cdot 2+a_{1}\cdot 3+a_{0}\cdot 1{\pmod {7}}$.

### Criterio de divisibilidad del 9

$10^{0}\equiv 1{\pmod {9}}$

$10^{1}\equiv 1{\pmod {9}}$

$10^{2}\equiv 1{\pmod {9}}$

$10^{3}\equiv 1{\pmod {9}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-1}\equiv 1{\pmod {9}}$

$10^{k}\equiv 1{\pmod {9}}$

El criterio de divisibilidad del 9 es $a\equiv a_{k}\cdot 1+a_{k-1}\cdot 1+...+a_{1}\cdot 1+a_{0}\cdot 1{\pmod {9}}$.

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras lo es.

### Criterio de divisibilidad del 10

$10^{0}\equiv 1{\pmod {10}}$

$10^{1}\equiv 0{\pmod {10}}$

$10^{2}\equiv 0{\pmod {10}}$

$10^{3}\equiv 0{\pmod {10}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

$10^{k-1}\equiv 0{\pmod {10}}$

$10^{k}\equiv 0{\pmod {10}}$

El criterio de divisibilidad del 10 es $a\equiv a_{k}\cdot 1+a_{k-1}\cdot 1+...+a_{1}\cdot 2+a_{0}\cdot 1{\pmod {10}}$.

Para que sea divisible por 10 el número tiene que acabar en 0.

## Criterio de divisibilidad en diferentes bases

### Criterio de divisibilidad del 13 en base 28

$28^{0}=1\equiv 1{\pmod {13}}$

$28^{1}=28\equiv 2{\pmod {13}}$

$28^{2}=784\equiv 4{\pmod {13}}$

$28^{3}=21952\equiv 8{\pmod {13}}$

$28^{4}=614656\equiv 3{\pmod {13}}$

$28^{5}=17210368\equiv 6{\pmod {13}}$

$28^{6}=481890304\equiv 12{\pmod {13}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

El criterio de divisibilidad del 13 es $a\equiv a_{0}\cdot 1+a_{1}\cdot 2+a_{2}\cdot 4+a_{3}\cdot 8+a_{4}\cdot 3+a_{5}\cdot 6+a_{6}\cdot 12+...{\pmod {13}}$

### Criterio de divisibilidad del 11 en base 13

$13^{0}=1\equiv 1{\pmod {11}}$

$13^{1}=13\equiv 2{\pmod {11}}$

$13^{2}=169\equiv 4{\pmod {11}}$

$13^{4}=2197\equiv 8{\pmod {11}}$

$13^{4}=28561\equiv 5{\pmod {11}}$

$13^{5}=371293\equiv 10{\pmod {11}}$

$13^{6}=4826809\equiv 9{\pmod {11}}$

$13^{7}=6274861\equiv 7{\pmod {11}}$

$13^{8}=815730721\equiv 3{\pmod {11}}$

$13^{9}=10604499373\equiv 6{\pmod {11}}$

       $\bullet$
       $\bullet$
       $\bullet$

El criterio de divisibilidad del 11 es $a\equiv a_{0}\cdot 1+a_{1}\cdot 2+a_{2}\cdot 4+a_{3}\cdot 8+a_{4}\cdot 5+a_{5}\cdot 10+a_{6}\cdot 9+a_{7}\cdot 7+a_{8}\cdot 3+a_{9}\cdot 6+...{\pmod {11}}$

