Topologías de operadores
# Topologías de operadores

En el campo matemático del análisis funcional existen varias topologías de operadores estándar que se le dan al álgebra B(X) de aplicaciones lineales acotadas en un espacio de Banach X.

## Introducción

Sea $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una secuencia de operadores lineales en el espacio de Banach X. Considere la afirmación de que $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge con algún operador T en X. Esto podría tener varios significados diferentes:

* Si $\|T_{n}-T\|\to 0$, es decir, el operator norm de $T_{n}-T$ (el supremo de $\|T_{n}x-Tx\|_{X}$, donde x oscila sobre el 1-esfera en X) converge a 0, decimos que $T_{n}\to T$ en ' uniform operator topology.
* Si $T_{n}x\to Tx$ es para todos los $x\in X$, entonces decimos $T_{n}\to T$ en strong operator topology.
* Finalmente supongamos que para todo x ∈ X tenemos $T_{n}x\to Tx$ en el weak topology de X. Esto significa que $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ para todas las funcionales lineales continuas F en X. En este caso decimos que $T_{n}\to T$ está en weak operator topology.

## Lista de topologías en B(H)

Hay muchas topologías que se pueden definir en B(X) además de las utilizadas anteriormente; Al principio, la mayoría solo se definen cuando X= H es un espacio de Hilbert, aunque en muchos casos hay generalizaciones apropiadas. Todas las topologías que se enumeran a continuación son localmente convexas, lo que implica que están definidas por una familia de seminorma.

En análisis, una topología se llama fuerte si tiene muchos conjuntos abiertos y débil si tiene pocos conjuntos abiertos, de modo que los modos de convergencia correspondientes son, respectivamente, fuerte y débil. (En la topología propiamente dicha, estos términos pueden sugerir el significado opuesto, por lo que fuerte y débil se reemplazan por fino y tosco, respectivamente). El diagrama de la derecha es un resumen de las relaciones, con las flechas apuntando de fuerte a débil.

Si H es un espacio de Hilbert, Espacio de Hilbert B(X) tiene un predual $B(H)_{*}$ (único), que consta de operadores de clase de seguimiento, cuyo dual es B(X). La seminorma $p_w(x)$ para w positiva en el predual se define como B(w, $x^*x)^{1/2}.$

Si B es un espacio vectorial de aplicaciones lineales en el espacio vectorial A, entonces σ(A, B) se define como la topología más débil en A de modo que todos los elementos de B sean continuos.

* La norm topology o topología uniforme o topología uniforme de operador' está definida por la norma habitual ||x|| en B(H). Es más fuerte que todas las demás topologías siguientes.
* El weak (Banach space) topology es σ(B(H), $B(H)^*),$ en otras palabras, la topología más débil tal que todos los elementos del $B(H)^*$ dual son continuos. Es la topología débil en el espacio de Banach B(H). Es más fuerte que las topologías de operador débil y ultradébil. (Advertencia: la topología débil del espacio de Banach, la topología débil del operador y la topología ultradébil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).
* La topología Mackey topology o Arens-Mackey es la topología localmente convexa más fuerte en B(H), de modo que el dual es $B(H)_*,$ y también es la topología de convergencia uniforme en $Bσ(B(H)_*,$ subconjuntos convexos compactos B(H) de $B(H)_*.$ Es más fuerte que todas las topologías siguientes.
* La topología $s-fuerte-^*$ o topología $ultrafuerte-^*$ es la topología más débil y más fuerte que la topología ultrafuerte, de modo que el mapa adjunto es continuo. Está definido por la familia de seminormas $p_w(x)$ y $p_w(x^*)$ para elementos positivos w de $B(H)_*.$ Es más fuerte que todas las topologías siguientes.
* La topología s-fuerte o ultrastrong topology o topología más fuerte o topología de operador más fuerte está definida por la familia de seminormas $p_w(x)$ para elementos positivos w de $B(H)_*.$ Es más fuerte que todas las topologías siguientes, excepto la topología $strong^*.$ Advertencia: a pesar del nombre "topología más fuerte", es más débil que la topología normal).
* La topología s-débil o topología ultradébil o $weak-^*$ operator topology o topología débil-* o topología débil o La topología σ(B(H), $B(H)_*)$ está definida por la familia de seminormas |(w, x)| para los elementos w de $B(H)_*.$ Es más fuerte que la topología de operador débil. (Advertencia: la topología débil del espacio de Banach, la topología débil del operador y la topología ultradébil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).
* La topología $strong-^*$ operator topology o $strong-^*$ está definida por las seminormas ||x(h)|| y $||x^*(h)||$ para h ∈ H. Es más fuerte que las topologías de operador fuerte y débil.
* La strong operator topology (SOT) o topología fuerte está definida por las seminormas ||x(h)|| para h ∈ H. Es más fuerte que la topología de operador débil.
* La weak operator topology (WOT) o topología débil está definida por las seminormas $|(x(h_1),$ $h_2)|$ para $h_1,$ $h_2$ ∈ H. (Advertencia: la topología débil del espacio de Banach, la topología débil del operador y la topología ultradébil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).

==Relaciones entre las topologías==.

Los funcionales lineales continuos en B(H) para las topologías débil, fuerte y $fuerte^*$ (operador) son los mismos y son las combinaciones lineales finitas de los funcionales lineales. $(xh_1,$ $h_2)$ para $h_1,$ $h_2$ ∈ H. Los funcionales lineales continuos en B(H) para las topologías ultradébil, ultrafuerte, $ultrafuerte^*$ y Arens-Mackey son los mismos y son los elementos de la $predua.lB(H)_*.$

Por definición, los funcionales lineales continuos en la topología normal son los mismos que los de la topología débil del espacio de Banach. Este dual es un espacio bastante grande con muchos elementos patológicos.

En conjuntos acotados por normas de B(H), las topologías débil (operador) y ultradébil coinciden. Esto se puede ver, por ejemplo, a través de Teorema de Banach-Alaoglu. Básicamente por la misma razón, el ultrafuerte La topología es la misma que la topología fuerte en cualquier subconjunto acotado (normativo) de B(H). Lo mismo ocurre con la topología Arens-Mackey, la topología $ultrastrong^*$ y la topología $strong^*.$

En espacios localmente convexos, el cierre de conjuntos convexos se puede caracterizar por funcionales lineales continuos. Por lo tanto, para un subconjunto convex K de B(H), las condiciones de que K se cierre en las topologías $ultrafuerte^*,$ ultrafuerte y ultradébil son todas equivalentes y también son equivalentes a las condiciones eso para todos los r > 0, K tiene una intersección cerrada con la bola cerrada de radio r en las topologías $fuerte^*,$ fuerte o débil (operador).

La topología normal es metrizable y las demás no; de hecho, no llegan a ser primer axioma de numerabilidad. Sin embargo, cuando H es separable, todas las topologías anteriores son metrizables cuando se restringen a la bola unitaria (o a cualquier subconjunto delimitado por normas).

## Topologías utilizadas

Las topologías más utilizadas son las topologías de operador normal, fuerte y débil. La topología del operador débil es útil para argumentos de compacidad, porque la bola unitaria es compacta por Teorema de Banach-Alaoglu. La topología normal es fundamental porque convierte a B(H) en un espacio de Banach, pero es demasiado fuerte para muchos propósitos; por ejemplo, B(H) no es separable en esta topología. La topología de operador fuerte podría ser la más utilizada.

Las topologías ultradébil y ultrafuerte se comportan mejor que las topologías de operador débil y fuerte, pero sus definiciones son más complicadas, por lo que normalmente no se utilizan a menos que realmente se necesiten sus mejores propiedades. Por ejemplo, el espacio dual de B(H) en la topología de operador fuerte o débil es demasiado pequeño para tener mucho contenido analítico.

El mapa adjunto no es continuo en las topologías de operador fuerte y ultrafuerte, mientras que las topologías fuerte* y ultrafuerte* son modificaciones para que el adjunto se vuelva continuo. No se utilizan con mucha frecuencia.

La topología Arens-Mackey y la topología espacial débil de Banach se utilizan relativamente raramente.

En resumen, las tres topologías esenciales en B(H) son las topologías normal, ultrafuerte y ultradébil. Las topologías de operador débil y fuerte se utilizan ampliamente como aproximaciones convenientes a las topologías ultradébil y ultrafuerte. Las otras topologías son relativamente oscuras.

