Tabla de series newtonianas
# Tabla de series newtonianas

En matemáticas, una serie newtoniana, nombrada así en referencia a Isaac Newton, es una sucesión matemática $a_{n}$ escrita en la forma

    $f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}$

donde

    ${s \choose n}$

es el coeficiente binomial y $(s)_{n}$ es el factorial ascendente. Las series newtonianas a menudo aparecen en relaciones de la forma que se ve en el cálculo umbral.

## Lista

El teorema del binomio generalizado afirma que

    $(1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .$

Una prueba de esta identidad se puede obtener mostrando que satisface la ecuación diferencial

    $(1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.$

La función digamma es:

    $\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.$

y los números de Stirling de segunda especie vienen dados por la suma finita

    $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.$

Esta fórmula es un caso especial de la k-ésima diferencia finita del monomio $x^n$ evaluado en x = 0:

    $\Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.$

Una identidad relacionada constituye la base de la integral de Nörlund–Rice:

    $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n)$

donde $\Gamma (x)$ es la función gamma y $B(x,y)$ es la función beta.

Las funciones trigonométricas tienen identidades umbrales:

    $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}$

y

    $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}$

La naturaleza umbral de estas identidades es un poco más clara al escribirlas en términos del factorial descendente $(s)_{n}$. Los primeros términos de la serie del seno son

    $s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots$

que se puede reconocer como similar a la serie de Taylor para la función $\sin x$, con (s) $_n$ en lugar de $x^n.$

En teoría analítica de números es de interés la suma

    $\!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},$

donde B es el número de Bernoulli. Empleando la función generadora, su suma de Borel se puede evaluar como

    $\sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.$

La relación general da la serie de Newton

    $\sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),$

donde $\zeta$ es la función zeta de Hurwitz y $B_{k}(x)$ son polinomios de Bernoulli. La serie no converge, pero la identidad se mantiene formalmente.

Otra identidad es

    ${\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},$

que converge para $x>a$. Esto se deduce de la forma general de una serie de Newton para nodos equidistantes (cuando existe, es decir, es convergente)

    $f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).$
