Entero de Eisenstein
# Entero de Eisenstein

En matemáticas, en especial en la teoría de números, un entero de Eisenstein, llamado así en honor de Ferdinand Eisenstein, es un número complejo de la forma

    $z=a+b\,\omega$

donde a y b son números enteros y

    $\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}$

es una de las raíces cúbicas imaginarias de 1 .

## Propiedades

Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el cuerpo de los números algebraicos Q(√−3). También forman un dominio euclidiano.

Para ver que los enteros de Eisenstein son enteros algebraicos nótese que cada z = a + bω es un cero del polinomio cuadrático de coeficiente principal = 1

    $z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).$

En particular, ω satisface la ecuación algebraica de coeficiente principal = 1; sus demás coeficientes son enteros racionales.

    $z^{2}+z+1=0.$

Si x e y son enteros de Eisenstein, diremos que x divide a y si existe algún entero de Eisenstein z tal que

    y = z x.

Esto extiende la noción de divisibilidad para los enteros ordinarios, o sea los elementos del conjunto ℤ. Por lo tanto, podremos también extender la noción de primalidad; un entero de Eisenstein x será un primo de Eisenstein si sus únicos divisores son

    $\pm x,\pm \omega x,\pm \omega ^{2}x,\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}$

—excepto porque no consideraremos ±1, ±ω o ±ω² en sí mismos como primos de Eisenstein — son unidades en el anillo de los enteros de Eisenstein, y cada uno tiene norma = 1.

## Relación con los primos de forma x² − xy + y²

Puede demostrarse que un primo de la forma $x^{2}-xy+y^{2}$ puede ser factorizado en $(x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)$ y por lo tanto no es primo en el anillo de los enteros de Eisenstein. Nótese también que un número de la forma x² − xy + y² es primo si y solo si x + ωy es un primo de Eisenstein.

## Norma de un entero de Eisenstein

El anillo de los enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma N es

    $N(a+\omega b)=a^{2}-ab+b^{2}.$ (1)

Esto puede deducirse considerando los enteros de Eisenstein como números complejos: puesto que

    $N(a+ib)=a^{2}+b^{2}$

y puesto que

    $a+\omega b=\left(a-{1 \over 2}b\right)+i{{\sqrt {3}} \over 2}b$

se deduce que

    $N(a+\omega b)=\left(a-{1 \over 2}b\right)^{2}+{3 \over 4}b^{2}$
          $=a^{2}-ab+{1 \over 4}b^{2}+{3 \over 4}b^{2}=a^{2}-ab+b^{2}$.

### Otro procedimiento

La norma de un entero de Eisenstein se puede definir como:

    $N(c+\omega d)=(c+\omega d)\times (c+\omega ^{2}d)$
    pues se tiene $N(c+\omega d)=c^{2}+cd\omega +cd\omega ^{2}+\omega ^{3}d^{2}$
    agrupando, teniendo en cuenta el cubo de omega, $N(c+\omega d)=c^{2}+cd(\omega +\omega ^{2})+1\times d^{2}$
    como $\omega +\omega ^{2}=-1$ resulta $N(c+\omega d)=c^{2}-cd+d^{2}$, lo mismo que (1).

## Dominio euclidiano

Dados dos enteros de Essenstein c y d ≠ 0, existen dos enteros de Essenstein q y r tal que

          $c=dq+r,\ N(d)>N(r)$ aunque q y r no sean únicos. Se sigue cumpliendo el algoritmo de Euclides.
